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La_matematica_degli_indovinelli_3.0

La

La matematica degli indovinelli” di Matteo Puzzle – matematicare@hotmail.com Indovinello 33 - “Un filo intorno alla Terra” Indicando con: λ k r ' Circonferenza terrestre Incremento arbitrario mediante il filo Raggio terrestre Raggio dell’anello posto a distanza costante dalla superficie terrestre r ' ∆ R Differenza tra i raggi r e r si ha: λ λ = 2⋅π ⋅r ⇒ r = 2 ⋅ π ' ' λ + k λ+ k = 2⋅π ⋅r ⇒ r = 2⋅π ' λ+ k λ k ∆R = r − r = − = 2⋅π 2⋅π 2⋅π 1 con: k = 1m ⇒∆ R= 0,16 m 16 cm 2⋅π Quindi, il gatto ha a disposizione circa 16 cm in altezza per passare tra l’anello posto a distanza costante dalla superficie terrestre e la superficie stessa; in tale spazio un qualunque gatto può passarci agevolmente, per cui la risposta all’indovinello è sicuramente affermativa. Da notarsi che la differenza tra i raggi r e r ' , cioè ∆ R , è funzione del solo incremento a rbitrario mediante il filo, cioè k , mentre la lunghezza della circonferenza non influenza il v alore di ∆R , infatti: k ∆ R= f ( k) = 2 ⋅π Inoltre ∆ R e k sono direttamente proporzionali, quindi all’aumentare di k vi è un incremento proporzionale di ∆ R , e la rappresentazione geometrica che lega le due variabili è una retta passante per l’origine degli assi cartesiani con una pendenza positiva di circa 9° sessagesimali. 81

La matematica degli indovinelli” di Matteo Puzzle – matematicare@hotmail.com Indovinello 34 - “Se io avessi venduto tante uova come te...” Generalizzando il problema, ed indicando con: x Uova vendute da Alda y Uova vendute da Berta u w k P 1 Prezzo cadauna delle uova di Alda Prezzo cadauna delle uova di Berta Totale delle uova vendute tra Alda e Berta Somma ricavata dalla ipotetica vendita delle uova di Berta al prezzo delle uova di Alda P Somma ricavata dalla ipotetica vendita delle uova di Alda al prezzo delle uova di Berta 2 Si imposta il sistema risolutivo composto da 4 equazioni e 4 incognite, ma tale sistema non è lineare, per cui non si potrà ricorrer e all’uso della matrice inversa, piuttosto si dovrà usare il metodo per sostituzione e confronto: ⎧x+ y = k ⎪u ⋅ x = w ⋅ y ⎨ ⎪u⋅ y = P1 ⎪ ⎩w⋅ x= P2 ⎛ P k P P P P P P P k : = ⇒ : = ⇒ : ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ : + ⋅ = ⇒ = = ⎝ x y y x P P P P − P + 1 P 2 1 1 2 1 1 IV w III u II x y y x I x x k x ⎛ P ⎞ ⎛ 1 P ⎞ 1 k⋅P2⋅⎜ −1⎟ k⋅⎜P2⋅ −P1⎟ P2 P2 x= ⎝ ⎠ ⇒ I : y = k−x⇒ y = ⎝ ⎠ P −P P −P : 1 III u u 1 2 1 2 ⎛ P ⎞ 1 P1⋅ ( P2 −P1) ⋅⎜P2⋅ + P1⎟ P P2 = ⇒ = ⎝ ⎠ 2 y k⋅ P⋅P −P 2 IV w w : ( 1 2 2) ( 1 2 1 ) ⎛ P P ( P P ) P = ⇒ = ⎝ x k⋅ P P 1 2⋅ 1− 2 ⋅ ⎜ + P2 ( − ) 1 2 ⎧ k⋅ P⋅P −P ⎪ x = ⎪ P1− P2 ⎪ ⎪ k⋅( P P ) 1 0 1⋅P2 −P ⎧ > 1 y ⎪ = P2 0 P1 P ⎪ > ⎨ − 2 con: ⎨ ⎪ ⎪P ≠ P ⎪u ⎩k 0 ⎪ k ⎪ ⎪ P1⋅ P2 + P2 w = ⎪⎩ k 1 2 P1⋅ P2 + P1 = ⎪ > ⎞ 1⎟ ⎠ 1 ⋅ 2 ⋅⎜ − P2 2 2 1 1 2 2 ⎞ 1⎟ ⎠ 82

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