Università degli Studi di Napoli Federico II Facoltà di Scienze ... - Infn

Università degli Studi di Napoli Federico II
Facoltà di Scienze MM. FF. NN.
MASTER UNIVERSITARIO DI II LIVELLO
Didattica delle Scienze per insegnanti della
scuola elementare e media
TESI DI DIPLOMA
“UN PERCORSO DIDATTICO SPERIMENTALE SUL PIANO
CARTESIANO”
Relatori Candidato
Prof.ssa Donatella Iannece Adele Masi
Ins. Pasqualina Nazzaro
Anno accademico 2008 – 2009

INDICE 1
INTRODUZIONE 2
CAPITOLO 1
1. Il ruolo formativo della matematica nell’attuale contesto sociale 6
2. Le basi teoriche di riferimento 8
CAPITOLO 2
1. Analisi del contesto 18
2. La sperimentazione in classe: le lumachine 24
2.1 Le lumachine: 1° incontro 26
2.2 Le lumachine: 2° incontro 29
2.3 Le lumachine: 3° incontro 32
2.4 I metodi 37
2.5 Analisi e valutazione dei risultati 45
CONCLUSIONI 48
BIBLIOGRAFIA 51
Allegato 1 - Registrazione audio integrale del 3° incontro 52
1

INTRODUZIONE
Questa tesi descrive e riporta un intervento di ricerca-azione realizzato in una quinta elementare
nel mese di febbraio dell’anno scolastico 2008/2009. Tale intervento costituisce la fase finale di
un percorso sperimentale iniziato nella classe, fin dalla prima, dall’insegnante di matematica
Pasqualina Nazzaro, finalizzato allo sviluppo del pensiero proporzionale e all’uso del piano
cartesiano come modello linguistico.
L’obiettivo principale di questa ricerca-azione è stato quello di verificare se, bambini abituati ad
utilizzare il piano cartesiano come strumento linguistico per raccontare, rappresentare e
formalizzare esperienze vissute, siano capaci anche di interpretare i grafici in esso riportati.
Quest’attività di ricerca-azione ha costituito per me un’importante occasione di formazione e di
crescita professionale. Ho avuto, infatti, la possibilità di sperimentare un nuovo approccio
metodologico - didattico, di mettere in pratica le conoscenze acquisite durante il master e di
confrontarmi con l’insegnante di classe, esperta in didattica della matematica, e con i professori
del master, durante tutte le fasi della ricerca-azione, dalla progettazione all’analisi e valutazione
finale. L’esperienza, inoltre, mi ha fatto “toccare con mano” la necessità di una formazione che
accompagni l’intera vita professionale, formazione intesa come messa in discussione e come
riflessione sulle modalità di gestire il processo di insegnamento/apprendimento, sui propri
strumenti e percorsi conoscitivi per cercare di andare a fondo attraverso un’attività
metacognitiva, per scoprirne la vera essenza e per intravedere eventuali difficoltà nel processo di
apprendimento degli alunni.
Alla luce dell’attività condotta, posso affermare che lo stesso percorso euristico svolto con i
bambini ha obbligato noi adulti a riflettere sui processi cognitivi che aiutano a “mettere in
ordine” il mondo che ci circonda. Ci siamo resi conto, infatti, dell’imprevedibilità delle risposte
dei bambini, nonostante avessimo progettato tutto nei minimi dettagli. La realtà è, infatti, più
2

complessa e più ricca di quello che può sembrare e, proprio a partire dal riconoscimento della
ricchezza della realtà che ci circonda, si possono elaborare strategie efficaci per comprendere il
funzionamento e le potenzialità delle strutture matematiche, in modo che ciascuno realmente
possa utilizzare in modo consapevole e critico tali strumenti, per interpretare il mondo, gestirne
la complessità sempre crescente e perseguire i propri fini nella maniera più efficace e libera da
condizionamenti. Oggi, infatti, l’ideale formativo espresso da Montaigne “meglio una testa ben
fatta che una ben piena” 1 è divenuto il fine ultimo di un processo continuo di educazione e
formazione di uomini dalla mentalità critica, sintesi armonica tra cultura e conoscenza della
realtà. Il compito della scuola non deve limitarsi, dunque, alla trasmissione della cultura, ma
anche alla produzione di nuova cultura. Ciò implica che i soggetti in formazione non devono
ricevere passivamente il bagaglio culturale preconfezionato dalla generazione precedente, ma
devono essere costruttori della propria cultura, come intreccio sinergico e indissolubile tra
sapere, saper fare e saper essere. In questo processo l’insegnante dovrebbe fare da mediatore tra
la cultura ed i soggetti in formazione, in modo da stimolare ed accrescere continuamente il
proprio desiderio di conoscenza, mostrandone il vero significato e valore. Durante la
realizzazione di questa ricerca-azione, ho potuto sperimentare proprio il ruolo di “mediatore”,
che è consistito nell’organizzazione di un’esperienza condivisa, pensata in modo da far nascere
situazioni problematiche ed aperte, che sono state risolte in un continuo alternarsi di momenti in
cui si agiva, momenti in cui i bambini rappresentavano le proprie azioni, momenti in cui si
discuteva di ciò che si era fatto, si facevano congetture e si argomentava.
Questa scelta metodologica è giustificata dalla convinzione che il percorso conoscitivo inizia
sempre dall’esperienza ed è soggettivo, perché ogni soggetto ha un proprio modello di
rappresentazione del mondo che condiziona il suo processo di apprendimento. Ognuno, infatti,
1 Montaigne de M., Saggi, Cap XXVI Libro I: Dell’istruzione dei fanciulli (A Madama Diana de Foix, Contessa De Gurson)
1580, (trad. it.) Virginio E. (a cura di), 1986, Milano, Oscar Mondadori, p. 172.
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esperisce diversamente a parità di contesto, cogliendo alcuni aspetti piuttosto che altri, in virtù
del personale modello rappresentativo/interpretativo della realtà. Successivamente, per
avvicinarsi ad una conoscenza più oggettiva e far sì che quell’esperienza soggettiva diventi
conoscenza, è importante mettere a confronto le varie interpretazioni.
“Nell’intersoggettività la propria rappresentazione del mondo trova la necessità di ripensare a se
stessa e si arricchisce in un gioco di richiami e di risonanze di nuove interpretazioni,
ridefinendosi come più ampia e complessa. Quando cerchiamo di spiegare ad altri il nostro
pensiero, infatti, lo capiamo meglio, ne cogliamo incongruenze e punti deboli; e dal confronto
scaturisce la consapevolezza che 'io' e 'mondo' sono realtà distinte ma non separabili; che
esistono tanti 'mondi per me' quanti siamo noi, che la propria cultura è frutto di un confronto tra
questi mondi. La rappresentazione del mondo di ciascuno è resa esplicita attraverso la lingua, il
disegno, le azioni” 2 .
Pertanto, è nella condivisione di queste azioni, nel confronto tra le rappresentazioni, nelle
discussioni che ne scaturiscono che si struttura la conoscenza.
Nella ricerca-azione realizzata, abbiamo dato ampio spazio al confronto tra pari e tra bambini e
adulti. Le ragioni di questa scelta metodologico - didattica sono riconducibili anche
all’importanza che viene data all’interazione sociale nello sviluppo cognitivo del bambino,
soprattutto da Vygotskij. Durante il lavoro in classe, si è posto l’accento sulla discussione tra
pari, sull’argomentazione e, soprattutto, sulla produttività legata alla mutua collaborazione tra i
bambini.
Un altro aspetto fondamentale che influenza il processo di insegnamento/apprendimento è, senza
dubbio, quello emotivo che conferisce valore e significato, anche quando “si fa matematica”, ad
un percorso che altrimenti sarebbe sterile e meccanicistico, privo di intenzionalità e
partecipazione affettivo - motivazionale. Non c’è apprendimento efficace senza la motivazione e
2 Nazzaro P., Rappresentare lo spazio e il tempo: storie di principi e cavalieri, in Capire si può, 2005, a cura di Mazzoli P.,
Firenze, Carocci Faber.
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la motivazione ha sempre un humus affettivo. Le espressioni dei bambini, estrapolate dalla
discussione in classe e testualmente riportate di seguito, il tono della loro voce, l’incalzare degli
interventi via via sempre più frequenti e non semplici da gestire, il loro modo di “fare gruppo”
anche con i corpi accostati a formare una cupola intorno alla rappresentazione in discussione, le
esclamazioni di sorpresa e di gioia al momento della scoperta o della risoluzione di un problema,
evidenziano il ruolo chiave delle emozioni.
Infine, la soddisfazione di partecipare ad una ricerca comune in un contesto accogliente crea la
percezione di appartenenza ad un gruppo rispettoso e bisognoso delle specifiche peculiarità, un
gruppo che si regge sulla collaborazione e non sulla sopraffazione, sulla subordinazione e sul
soffocamento vicendevole.
Questo rappresenta un momento significativo di crescita sia sul piano conoscitivo che su quello
socio-emotivo.
Oltre al ruolo delle emozioni, anche il corpo influisce profondamente nel processo conoscitivo.
Tuttavia, l’esperienza proposta non è partita dal suo coinvolgimento, perché i bambini avevano
già sperimentato in precedenza queste attività; tuttavia, laddove è stato necessario, si è fatto
ricorso all’esperienza corporea.
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CAPITOLO I
1. IL RUOLO FORMATIVO DELLA MATEMATEMATICA NELL’ATTUALE CONTESTO SOCIALE
Prima di presentare l’attività oggetto della mia ricerca, vorrei soffermarmi su quelle che noi
docenti usiamo chiamare le “finalità generali”, cioè il senso che attribuiamo al nostro lavoro
nella scuola, il genere di processi di cambiamento, nella società e negli individui, a cui
vorremmo partecipare, il tipo di relazioni umane che ci sembrano più desiderabili e che ci
interessa creare nella scuola, i bisogni dei bambini alla cui soddisfazione pensiamo di poter
contribuire con il nostro lavoro. Sono idee che dirigono il nostro operato e rendono possibile la
valutazione dei risultati delle azioni che mettiamo in campo.
Parto citando un breve passo tratto dalle “Indicazioni nazionali per la scuola dell’infanzia e per
il primo ciclo di istruzione del 2007” e un pensiero di Tolstoj. Da queste due citazioni emerge
un’idea di formazione che sento di condividere pienamente. Nelle “Indicazioni nazionali” si
legge che “la scuola deve far sì che gli studenti acquisiscano gli strumenti di pensiero necessari
per apprendere a selezionare le informazioni; deve promuovere negli studenti la capacità di
elaborare metodi e categorie che siano in grado di fare da bussola negli itinerari personali; deve
favorire l’autonomia del pensiero degli studenti, orientando la propria didattica alla costruzione
di saperi a partire dai concreti bisogni formativi”.
Tolstoj, altresì, afferma che “la scuola dovrebbe trasformarsi in un luogo di cultura e non di
educazione”, dove per educazione si intende il tentativo di “rendere una persona simile a se
stessi”, o meglio ad un qualsivoglia modello prestabilito, e per cultura la trasmissione di quelle
“conoscenze e capacità” che rispondono alle esigenze esplicite, ma anche alle potenzialità
implicite, degli individui 3 .
Se la nostra finalità formativa è quella di fornire gli strumenti che rispondono alle esigenze
esplicite ed implicite degli individui, strumenti che guidino questi ultimi negli itinerari personali,
3 Spring J.,1981, L’educazione libertaria, Milano, Antistato, p.63.
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un buon processo di acquisizione del linguaggio matematico si rivela essenziale in quanto educa
a non subire passivamente le novità, a vivere le esperienze da protagonista, attivo e responsabile,
capace di fronteggiare le transizioni con senso critico, costruttivo ed operativo. Dobbiamo,
quindi, perseguire l’obiettivo del lifelong learner, cioè consentire ai bambini di essere liberi “ di
perseguire la propria crescita in un’infinita varietà di modi” e vivi “per affrontare ogni giorno
un’avventura”, perché ogni giorno sono spinti ad arricchire le proprie esperienze e le proprie
conoscenze. Si tratta, dunque, dell’ideale della self-renewing person, della persona che sa
rinnovarsi continuamente, come afferma R. Gross 4 , fonte che rispecchia l’ideale della psicologia
umanistica descritto dallo stesso J. Gardner 5 : una continua esplorazione delle proprie
potenzialità, portata avanti sistematicamente, per tutta la vita. “La scuola dovrà, quindi,
soddisfare la doppia esigenza di intenzionalità e spontaneità formativa, o, per dirla con Bateson 6 ,
con la duplice modalità umana di stare nelle relazioni come finalità cosciente e come azione che
accade da sé e senza esitazioni, puntando proprio all’autonomia e alla creatività dei soggetti ”.
Per far sì che il linguaggio matematico contribuisca in tal senso, i bambini non devono essere
schiacciati dal bagaglio culturale delle generazioni precedenti, ma devono piuttosto entrare in
relazione con esso attraverso un confronto alla pari, che amplia il loro desiderio di conoscenza,
mostrandone il vero valore. Affinché gli artefatti culturali possano effettivamente essere usati in
modo personale, ognuno deve appropriarsene, attivando un processo di reciproca trasformazione.
L’artefatto culturale cambia nel momento in cui l’essere umano lo fa suo, lo acquisisce, e
contemporaneamente cambia anche l’essere umano che ristruttura i propri modi di percepire e di
agire in relazione alla presenza dentro di sé del nuovo strumento. Ovviamente tali cambiamenti
non si operano in un momento, la conoscenza non è un cibo che, come si legge nel libro“ I
viaggi di Gulliver” di J. Swift, viene inghiottito e digerito in un paio d’ore. Il processo di
4 Gross R., 1977, The lifelong learner, New York, Simon and Shuter, cit. in Lichtner,(1990), Soggetti, percorsi, complessità
sociale - Per una teoria dell’educazione permanente, Firenze,La Nuova Italia, p.86.
5 Gardner J.,1963, Self-Renewal, New York, Harper and Row, cit. in Lichtner, op. cit., p.88.
6 Bateson G.,1989, Dove gli angeli esitano.Verso un’epistemologia del sacro, (trad. it.),Milano, Adelphi.
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conoscenza richiede tempi lunghi nel corso dei quali gli strumenti acquisiti interagiscono con il
mondo e con altri strumenti, dimostrandosi più o meno efficaci a descrivere contesti di volta in
volta diversi.
Questa visione delle cose implica la scelta di metodi attivi, che coinvolgano la persona nella sua
totalità; è, infatti, improbabile che bambini a cui non si è dato modo di sperimentare l’utilità di
conoscenze, a cui non si dà la possibilità di agire, di mettere in atto strategie, di usare
autonomamente strumenti facciano proprie tali modalità ed usino autonomamente tali strumenti.
E’ così che il linguaggio matematico contribuisce all’acquisizione della capacità di giudizio e
allo sviluppo del pensiero nella sua complessità ed interezza, strumento fondamentale per poter
vivere e gestire la complessità sempre crescente del mondo in cui viviamo.
L’acquisizione di modalità cognitive di decodifica, interpretazione e produzione di messaggi
costituisce, dunque, il leitmotiv della formazione scolastica.
Negare un tale percorso formativo, significa limitare le possibilità culturali, lavorative e sociali
dei futuri cittadini.
2. LE BASI TEORICHE DI RIFERIMENTO
In questo paragrafo vorrei rendere espliciti, anche se in modo sintetico, gli assunti teorici che
guidano la scelta dell’approccio metodologico-didattico utilizzato. Si tratta di alcune idee
fondamentali e generali a proposito della conoscenza e della sua trasmissione e costruzione, della
funzione e del funzionamento dei modelli matematici.
Innanzitutto penso che il pensiero sia “un processo ed un prodotto esperienziale, […] una realtà
complessa, in cui si intersecano componenti biologiche, psicologiche, socio-culturali, che può
essere indagato da una molteplicità di angolazioni” 7 . Il pensiero ha la funzione di organizzare ed
interpretare l’esperienza, conferendole significato e creando delle relazioni significative tra i
vissuti, gli oggetti e le persone. In questo senso, rappresenta un elemento imprescindibile della
7 Striano M.,2000, Educare al pensare. Percorsi e prospettive, Lecce, Pensa Multimedia, p.32.
8

formazione del soggetto e, di conseguenza, degli interventi educativi, come “confronto coi
diversi ‘significati’ che si attribuiscono alle esperienze di vita e di formazione e con le diverse
modalità di interpretazione e gestione di tale esperienza, per stimolare e sollecitare l’emergenza
di nuove modalità d’interpretazione, di significazione, di conoscenza del mondo, dei problemi
della vita, dei rapporti con gli altri” 8 .
Lo sviluppo del pensiero si struttura, dunque, come vera e propria negoziazione di significati. Il
“pensare” in quanto processo mentale, pur implicando una successione di cose pensate, come
sostiene J. Dewey 9 , se ne differenzia perché “questo casuale succedersi di un casuale qualcosa o
qualcos’altro in un’irregolare sequenza” implica la possibilità di intessere relazioni e significati
tra dati ed esperienze e comporta una “consequenzialità” di idee, tale che ciascun risultato si
appoggia o si riferisce alle idee che lo hanno preceduto e allo stesso tempo determina le idee
successive.
A tale riguardo D. Hawkins, altresì, afferma: “Ci sono molte vie per comprendere la meta di una
comprensione, e lungo ciascuna di queste vie si trovano mete molto importanti. Considerati
secondo logica, i rapporti tra le varie idee che danno un ordine alla nostra esperienza
costruiscono un intreccio molto complesso; le idee non sono tante stazioni lungo una sola strada
[…] 10 .
La lettura della registrazione audio allegata rende evidente queste convinzioni. Gli interventi di
alcuni bambini centrano subito l’argomento, altri, pur essendo sequenziali, portano su altre strade
apparentemente lontane; si ha l’impressione che i bambini “girino intorno all’argomento”
attraverso percorsi apparentemente tortuosi, poi però basta un’affermazione di qualche bambino,
una domanda dell’insegnante che fa scattare un’intuizione e di conseguenza la riorganizzazione
8 Striano M., op. cit., p. 35.
9 Dewey J., 1961, Come pensiamo. Una riformulazione del rapporto tra il pensiero riflessivo e l’educazione (trad. it.),Firenze,
La Nuova Italia.
10 Hawkins D., 1979, Imparare a vedere, Torino, Loescher Editore, p.28.
9

di tutto quanto è stato detto e fatto. Come in un puzzle tutti i pezzi vanno al loro posto, tutto
torna e tutto contribuisce a ridefinire sempre meglio il loro pensiero e l’argomento in
discussione.
Un'altra convinzione che ha orientato le nostre azioni è quella di non poter prescindere da quella
che D. Hawkins definisce fase del “pasticciamento”, che è dedicata ad un lavoro esplorativo,
libero e non strutturato, in cui i bambini possono costruire, provare, sondare e sperimentare.
Questa fase è importante, perché dà la possibilità ai bambini di portare a scuola quello che già
sanno, le radici del loro sviluppo intellettuale, morale ed estetico.
Nella ricerca-azione realizzata, abbiamo previsto questa fase dando ai bambini la possibilità di
mimare gli eventuali percorsi che il grafico poteva rappresentare, di confrontarsi in piccoli
gruppi prima della stesura individuale della storia. Il mimo, vissuto come gioco, libera dall’ansia
della prestazione e crea la possibilità per ogni bambino di portare a scuola i suoi modi personali
di interpretare il mondo, le esperienze pregresse utili a ricostruire attivamente e consapevolmente
le conoscenze. L’acquisizione di nuove conoscenze e competenze, dunque, non è il prodotto
diretto ed automatico dei processi di insegnamento, ma è l’esito di un complesso processo di
integrazione tra le nuove conoscenze e quelle preesistenti, elaborate dal bambino tramite il
contatto diretto con la realtà quotidiana.
Durante la sperimentazione, abbiamo notato come le nuove acquisizioni non solo entrano in
risonanza con apprendimenti passati, ma si strutturano proprio in riferimento a queste. Come si
evince anche dalla discussione, alcuni bambini hanno fatto riferimento alle attività pregresse in
cui avevano utilizzato lo stesso strumento matematico, cioè il piano cartesiano; altri invece
hanno richiamato alla memoria concetti matematici acquisiti in precedenza (la moltiplicazione e
la divisione sono operazioni inverse).
Alla fase del pasticciamento segue la fase della sistemazione delle esplorazioni di ogni bambino.
Un ruolo fondamentale nella strutturazione delle nuove conoscenze è svolto dal dibattito,
10

dall’argomentazione fra i bambini, sotto la guida dell’insegnante. L’insegnante, infatti, media e
modera gli interventi dei bambini, favorendo la discussione, chiedendo ulteriori spiegazioni e
facendo riflettere sull’uso di termini poco chiari senza, però, diventare un libro di esercizi
animato né il primo della classe.
Ecco un esempio di conduzione tratto dalla registrazione audio allegata, che evidenzia
l’intervento adulto finalizzato a sostenere i bambini nel loro sforzo di superare un chiaro
“inciampo” linguistico – concettuale.
Ho stralciato alcuni interventi per rendere più agevole la lettura.
Lorenzo:“Allora hai detto la stessa cosa di Francesco, spazio “unnn” tempo fanno velocità”.
Ins.: “Perché hai detto spazio unnn tempo fanno velocità, che cosa significa unnn?Che cosa ti
sei mangiato?”
Lorenzo: “ Il più”.
Ins.:“Spazio più tempo... però ci sembra strano. Perché?”
Novella: “ Per me può essere anche spazio più tempo, però come si fa a sommare spazio più tempo, cioè
un centimetro più un minuto, quanto fa?”
Bianca: “ Secondo me, Lorenzo vuole dire che un certo tempo si divide in un certo numero e la
lumachina percorre uno spazio nel tempo che ha diviso”.
La discussione va avanti ma la cosa che voglio sottolineare è il forte legame tra pensiero e
linguaggio evidenziato da questi interventi.
L’intervento dell’adulto non risolve il problema, anzi le sue domande sollecitano una riflessione
che coinvolge anche la sfera concettuale.
L’apprendimento è, dunque, un processo, non un prodotto, di partecipazione individuale alle
pratiche strutturate socialmente; tale assunto è condiviso, anche, dalla recente prospettiva teorica
del “ costruttivismo sociale”, che considera “i processi di pensiero e di crescita concettuale [...] il
risultato delle interazioni personali in contesti sociali (piano interpsicologico) e
11

dell’appropriazione (piano intrapsicologico) della conoscenza costruita socialmente” 11 . A tale
proposito Vygotskij sottolinea l’importanza del contesto storico-sociale nell’orientare lo sviluppo
dei processi intellettivi. Ogni funzione dello sviluppo culturale del bambino avviene due volte o
su due piani. Prima sul piano sociale e successivamente sul piano psicologico. Prima appare tra
persone come categoria interpsicolgica e poi nel bambino come categoria intrapsicologica.
L’interazione trasforma il processo stesso e ne cambia struttura e funzioni 12 . Ciò determina una
nuova immagine della cognizione non più astratta ed unifattoriale, ma contestualizzata e
socialmente determinante, che sottolinea l’importanza del contesto in cui si struttura il processo
di apprendimento-insegnamento come condivisione e co-costruzione di significati. Anche Bruner
sostiene che “la cultura plasma la mente, ci fornisce l’insieme degli attrezzi mediante i quali
costruiamo non solo il nostro mondo, ma la nostra concezione di noi stessi e delle nostre
capacità” 13 .
L’approccio metodologico-didattico cui ci riferiamo ha come modello di riferimento un albero
piuttosto che una scala, per dirla con Hawkins. Il modello della scala è, infatti, troppo lineare e
limitativo, poiché indica soltanto una direzione, senza la possibilità di fare scelte significative,
tranne scendere. Preparare un albero, ricco e folto, in modo che i bambini possano divertirsi ad
esplorarlo senza ricorrere a semplificazioni, rispettando le modalità di apprendimento di
ciascuno, coltivando di ognuno l’intraprendenza, la voglia di “toccare con mano” e sporcarsi le
mani, l’esserci completamente nelle cose, lo spirito scientifico, il protagonismo.
Certo un simile modo di fare scuola richiede una preparazione adeguata, una cosa, infatti, è
prepararsi una lezione da sciorinare ad alunni che ascoltano passivamente, un’altra è cogliere e
sostenere i vari percorsi mentali, interpretare gli “errori” come un errare tra le conoscenze che si
posseggono per dare senso a quanto si sta facendo; è inoltre faticoso inventarsi momento per
11 Mason L., Costruire conoscenze: contesti di insegnamento –apprendimento e processi formativi a scuola, in Orefice P. (a
cura di),1997, Formazione e processo formativo. Ipotesi interpretative, Milano, Franco Angeli, p.74.
12 Vygotskij L. S.,1990, Pensiero e linguaggio, (trad. it.) Bari, Laterza.
13 Bruner J. ,1977, La cultura dell’educazione, (trad. it.) Milano, Feltrinelli, p.8.
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momento stimoli, domande, attività che aiutino a superare gli ostacoli nei quali di volta in volta
si inciampa, leggere il “non detto” nei gesti e negli sguardi dei bambini. Infine, non ultima, c’è la
paura dell’inadeguatezza, dell’incapacità di cogliere nodi disciplinari negli interventi dei
bambini, oppure di coglierli, ma non saper orientare le loro azioni e le loro riflessioni perché è a
noi che manca il nesso tra formule algebriche e quello che vogliono esprimere. A noi è stato
insegnato quello che definirei “un trucchetto” che recita: “ x sta a y come x primo sta a y primo
(x: y = x’: y’) ” o anche la legge oraria che è v = s/t , ma i legami che intercorrono tra questo
sapere, la struttura moltiplicativa e i giochi di movimento, di miscugli e soluzioni, nessuno ci ha
dato la possibilità di scoprirli. Riuscire a cogliere negli interventi dei bambini le radici del
pensiero proporzionale non è facile. Io lo sto imparando in una situazione protetta, affiancata da
insegnanti esperti e da professori che ci aiutano a sciogliere i nodi disciplinari, proponendoci
delle attività a livello adulto su cui riflettere. Questo è il problema che Hawkins coglie nella
tradizione dell’insegnamento/apprendimento della matematica di cui sono vittime molti
insegnanti di matematica che non tiene assolutamente conto delle origini spontanee della
matematica all’interno dell’esperienza, e perfino non le comprende.
Una cosa è, infatti, la Matematica, un’altra cosa è la tradizione pedagogica, tra le quali non
sussiste necessariamente un nesso. La Matematica ha quel tipo di struttura e di complessità per
cui non si può ridurre ad una sequenza di parole in un libro. Non si può pensare che aver svolto
tutto il programma previsto dal curricolo scolastico, significa aver reso i bambini competenti in
quella materia. L’aver svolto il programma non garantisce l’aver compreso, se questo “aver
svolto” significa solo aver spiegato, senza aver predisposto esperienze, vivendo le quali i
bambini affrontano e pasticciano gli argomenti proposti. E’ necessario, dunque, interrogarsi su
come è fatto e come funziona questo sapere e, soprattutto, essere consapevoli di tutto il lavoro di
ricerca e di scoperta che sta dietro ogni enunciato e far sì che i bambini facciano quelle
esperienze atte a ricostruire le idee di fondo della disciplina.
13

Il valore formativo del sapere matematico, infatti, non risiede solo nelle conoscenze in sé, quanto
piuttosto nel lavoro fatto per conquistare queste conoscenze. “Se le matematiche vengono così
spesso riguardate come inutile peso dagli allievi, dipende in parte almeno dal carattere troppo
formale che tende a prendere quell’insegnamento […], si dimenticano in tal modo i problemi
concreti che conferiscono interesse alle teorie, e sotto la formula o lo sviluppo del ragionamento
non si vedono più i fatti ormai da lungo tempo acquisiti, ma soltanto la concatenazione in cui noi
artificialmente li abbiamo stretti” 14 . E’ noto, ma purtroppo non ancora a tutti, che non basta
enunciare un teorema o una definizione, illustrati con dovizia di esempi e con l’utilizzo di
strategie metodologiche innovative, perché gli alunni li comprendano e li apprendano. Per capire
perché, è indispensabile guardare alla Matematica, al suo statuto e alle sue caratteristiche,
occorre capire che cos’è e come funziona questo sapere che vogliamo far scoprire o co-costruire
o far re-inventare.
Allora che cos’è la Matematica?
La matematica, certamente, non è l’insieme degli enunciati dimostrati o congetturati nel corso
dei secoli, come viene raccolta in alcuni libri di testo, secondo una sistemazione logico-
deduttiva. Questo modello espositivo, che da oltre due millenni rappresenta il paradigma della
trattazione del sapere matematico, può essere funzionale all’organizzazione della materia, ma
risulta meno efficace dal punto di vista metodologico-didattico; soprattutto per quanto riguarda i
bambini che stanno iniziando a scoprire la Matematica, questo approccio nasconde il lavoro di
ricerca e di scoperta che sta dietro a qualsiasi concetto matematico e la stessa Matematica viene
vista come un prodotto finito. La sistemazione logico-deduttiva dovrebbe essere il punto di
arrivo, non il punto di partenza di ogni lavoro matematico. Il valore formativo della Matematica
sta proprio nello sviluppo di quelle procedure che l’alunno mette in atto quando fa Matematica.
In sintesi è meglio una formula, un procedimento o qualunque altro concetto matematico
14 Enriques F.,1906, Sulla preparazione degli insegnanti di scienze, relazione tenuta al V Congresso degli insegnanti di scuole
medie.
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scoperto dagli stessi alunni dopo un percorso di sperimentazione, che una dimostrazione
esaustiva del docente, appresa passivamente dagli alunni. Molti studiosi di didattica della
Matematica partono proprio da questa necessità fondamentale. Hans Freudenthal, ad esempio, ha
affermato da sempre la necessità di un insegnamento della Matematica che si basasse sul lavoro
di scoperta e di ricerca di chi apprende. A tale riguardo afferma: “Le conoscenze e le abilità,
quando sono acquisite con l’attività personale, si dimenticano meno facilmente e vengono
utilizzate con maggiore facilità e prontezza di quelle che sono state imposte dagli altri. In
secondo luogo, la scoperta può dare soddisfazione, e quindi l’imparare con la reinvenzione può
essere fondato sulle motivazioni personali. In terzo luogo questo atteggiamento incoraggia
l’attività di esperimentare la Matematica come una attività umana.[...]. Guidare la reinvenzione
significa trovare un delicato equilibrio tra libertà dell’inventare e la forza del guidare, tra il
permettere al discente di divertirsi e il chiedere di compiacere il docente. Inoltre la libertà di
scelta del discente è sempre limitata dal 're' di 'reinvenzione'. Il discente deve inventare qualcosa
che per lui è nuovo, ma che è ben conosciuto da chi guida” 15 . “In questa prospettiva, il lavoro
individuale, il lavoro a piccoli gruppi, il lavoro in grande gruppo, diventano altrettante possibilità
sulla tavolozza dell’insegnante. I giochi matematici, i laboratori, le osservazioni scientifiche, le
curiosità dei bambini sono tutte opportunità per il lavoro matematico” 16 . A tale proposito si legge
nelle “Indicazioni nazionali” che “la costruzione del pensiero matematico è un processo lungo e
progressivo nel quale concetti, abilità, competenze e atteggiamenti vengono ritrovati, intrecciati,
consolidati e sviluppati a più riprese; è un processo che comporta anche difficoltà linguistiche e
che richiede un’acquisizione graduale del linguaggio matematico”.
I bambini, infatti, riescono a dare significato a un’informazione simbolicamente codificata, a
decodificarla e trasformarla, solo se hanno costruito da soli, attraverso le loro schematizzazioni
dell’esperienza, i significati impiegati in quel discorso. Lo scambio comunicativo tra pari serve
15 Freudenthal H., 1994, Ripensando l’educazione matematica. Lezioni tenute in Cina, Brescia, Editrice La Scuola.
16 Bolondi G. ,2007, Apprendere facendo, in La vita scolastica n° 4, Firenze, Giunti Scuola.
15

proprio a superare il problema dell’incomprensione della differenza tra oggetto matematico e sue
rappresentazioni possibili. Ogni bambino per comunicare la propria matematica, dovrà scegliere
delle rappresentazioni, rendendosi conto che non solo l’oggetto, ma anche la rappresentazione è
necessaria per comunicare la Matematica. La Matematica, infatti, è legata ai simboli scritti che,
in qualche modo, fanno parte della sua essenza, ma è anche vero che i simboli non sono nulla in
assenza delle intuizioni percettive e manipolatorie che danno loro vita e significato. “Il
linguaggio matematico, come tutti i linguaggi, è metaforico. Esso narra, attraverso un processo di
astrazione, la realtà. Tuttavia, sviluppatosi per la necessità di risultare sempre più efficace e
preciso, ai non addetti ai lavori (bambini e i loro insegnanti) sembra lontano o addirittura avulso
dalla realtà” 17 . Per i bambini che hanno la possibilità di sviluppare questa base intuitiva, la
matematica diventa un territorio familiare e facile da percorrere, gli altri che sperimentano uno
stile d’istruzione prevalentemente trasmissivo e formale, manifestano a breve o a medio termine
un rigetto degli schemi e degli strumenti matematici appresi. E’ fondamentale, dunque, che si
crei un circolo virtuoso che dallo schema acquisito conduca al concetto e dal concetto a sua volta
riporti al mondo sensibile e dell’immaginazione e vada anche oltre, verso l’invenzione di nuovi
schemi. La comunicazione, dunque, rappresenta sia un obiettivo da raggiungere, in quanto
componente fondamentale dell’apprendimento matematico, sia uno strumento efficace per
superare la dicotomia tra concetto matematico e sue rappresentazioni, tra piano empirico e piano
astratto e formale, tra realtà concreta e sistemi formalizzati di segni.
I bambini devono, dunque, acquisire una padronanza orale e scritta del linguaggio matematico,
così come conoscono l’italiano o un’altra lingua.
Come promuovere l’acquisizione di questo linguaggio senza che scada in sterile terminologia?
Questo interrogativo rappresenta la motivazione che mi ha spinto ad indagare sull’uso che i
bambini fanno di uno strumento linguistico particolarmente fecondo nella promozione del
17 Nazzaro P., Rappresentare lo spazio e il tempo: storie di principi e cavalieri, in Capire si può, 2005, a cura di Mazzoli P.,
Firenze, Carocci Faber.
16

pensiero astratto: il piano cartesiano. Nella didattica tradizionale il piano cartesiano compare per
la prima volta nella scuola primaria in quarta/quinta, come strumento finale di rappresentazione
di una qualche fenomenologia fisica, e così viene poi ripreso nella scuola secondaria di primo
grado. Un tale approccio conduce ad una serie di rigidità che gli studenti si trascinano fino
all’università sulle componenti pragmatiche e sintattiche di tale linguaggio iconico, come ad
esempio il posizionamento dell’origine o la scelta dell’unità di misura, impedendo l’utilizzo
dello stesso come strumento di pensiero. L’approccio che presento è del tutto alternativo e
prevede un lungo percorso di acquisizione del piano cartesiano che ricalca il processo evolutivo
di qualunque competenza linguistica. L’avvio è, infatti, molto precoce, già in seconda, ed in
continuità con il disegno spontaneo dei bambini; prosegue poi in tutte le classi del ciclo,
usandolo in diversi contesti e situazioni, con diverse attività e curando di volta in volta le diverse
abilità incorporate in una competenza linguistica: produzione, lettura, interpretazione,
correlazione con l’esperienza ed altre forme di rappresentazione e così via.
17

1. ANALISI DEL CONTESTO
CAPITOLO II
Dall’anno scolastico 2005/2006, al 6° I.C. “Fava- Gioia”, opera un gruppo di ricerca sulla
didattica della matematica, di cui faccio parte insieme all’insegnante Pasqualina Nazzaro.
La classe in cui ho realizzato la sperimentazione è una quinta, composta da 20 bambini,
eterogenea sia per estrazione sociale sia per capacità e livelli di apprendimento. La loro
insegnante di matematica, Pasqualina Nazzaro, nonché mia tutor in questo percorso di studio,
sperimentazione e ricerca, dal primo anno scolastico, ha iniziato con loro un percorso
sperimentale sul pensiero proporzionale e sull’utilizzo del piano cartesiano, come strumento
linguistico per rendere percettiva la relazione tra due variabili.
Avverto l’esigenza di narrare, sebbene molto schematicamente, lo sfondo nel quale si colloca
l’attività che è più specificamente oggetto di questa ricerca, perché penso che l’apprendimento si
costruisca attraverso processi a lungo termine, determinati dalle interazioni complesse che si
stabiliscono tra i molteplici percorsi ed esperienze vissute da ciascuno. Non è possibile
considerare le attività che si propongono a scuola secondo una logica sequenziale che vede le
attività separate una dall’altra, e consente di passare all’una dopo aver chiuso definitivamente
con l’altra. La descrizione delle esperienze che hanno preceduto quella che io ho proposto ai
bambini, mi serve a contestualizzare questo intervento. Ad esse, come vedremo di seguito, i
bambini hanno fatto riferimento per capire la mia proposta.
I primi approcci alla riflessione sulle relazioni tra variabili, sulla proporzionalità diretta e
sull’utilizzo del piano cartesiano sono stati strutturati nelle attività sull’appetito, sulle candele e
sulle piantine, ideate e proposte dal prof. Paolo Guidoni.
Durante il primo anno scolastico, i bambini hanno realizzato l’esperienza delle candele che
consisteva nel disegnare la storia del tempo e delle candele; più la candela si consumava, più
18

tempo la maestra trascorreva con i suoi alunni. I bambini hanno osservato e sperimentato la
relazione tra altezza della candela e durata della lezione della maestra Lina. “Quando la candela
accesa si è consumata tutta, è passato molto tempo”. “ Più tempo la maestra è stata con noi, più
la candela si è consumata”. “ Più la candela si consuma, meno cera c’è nella candela”.
L’attività sull’appetito, invece, consisteva nel disegnare il proprio appetito dall’arrivo a scuola
fino al suono della campanella; l’appetito aumentava in relazione al tempo trascorso. I bambini
hanno scelto il disegno allegato qui sotto, tra tutti quelli realizzati, perché era quello più
funzionale e schematico, e quindi rispettava maggiormente una delle caratteristiche del
linguaggio matematico.
Disegna il tuo appetito dal tuo arrivo a scuola al suono della campanella.
Fig. 1. Il disegno rappresenta l’aumento dell’appetito in relazione al trascorrere del tempo (dalla mattina “mat” fino
al suono della campanella “drin” ).
Durante il secondo anno scolastico, i bambini hanno piantato dei semi e ne hanno seguito la
crescita, registrandola attraverso disegni di settimana in settimana. L’insegnante ha proposto tale
attività perché i bambini cogliessero la relazione tra l’altezza delle piantine (crescita) e il
trascorrere del tempo. Alcuni bambini nei loro disegni avevano tracciato una linea sotto le
19

piantine per rappresentare il tavolo su cui era poggiata la propria piantina. L’insegnante ha
utilizzato questa linea, raccontando ai bambini che le faceva venire in mente una modalità che
usano i matematici per rappresentare delle esperienze, in cui delle cose si modificano in
relazione allo scorrere del tempo. L’insegnante ha quindi chiesto ai bambini se ritenevano valido
questo strumento per rappresentare la loro esperienza e dopo una breve discussione hanno dato il
loro assenso. E’ stata quella la prima volta che i bambini hanno usato il piano cartesiano. Fino ad
allora per raccontare e formalizzare la relazione tra due variabili, i bambini avevano utilizzato
soltanto il disegno spontaneo, che rappresentava, comunque, oggetto di discussione per
verificarne oltre che l’efficacia ai fini comunicativi, anche l’adesione a quello che definirono
“matematichese”.
Questo approccio metodologico, infatti, considera il disegno una tappa significativa per poi
giungere a rappresentazioni e schematizzazioni più formali, proprie del linguaggio matematico.
L’insegnante inizia il confronto e la discussione tra i bambini partendo proprio dall’analisi dei
loro disegni e delle loro rappresentazioni.
In terza, l’insegnante ha proposto la preparazione del pane. Ogni bambino ha preparato la sua
pagnotta. All’esperienza è seguita la registrazione della stessa; l’insegnante ha chiesto ai bambini
se era possibile, secondo loro, utilizzare il piano cartesiano per rappresentare la quantità di ogni
ingrediente in relazione al numero di pagnotte da preparare. I bambini hanno ritenuto fattibile la
proposta dell’insegnante ed hanno realizzato differenti piani cartesiani per rappresentare la
relazione tra i vari ingredienti ed il numero delle pagnotte da preparare, ad esempio farina e
numero di pagnotte. I bambini hanno riportato sui lucidi le rappresentazioni legate ai differenti
ingredienti e l’insegnante ha sovrapposto i lucidi per far intuire ai bambini che su un unico piano
cartesiano potevano essere rappresentate diverse variabili; in questo caso tutte in relazione col
numero di pagnotte da produrre. L’obiettivo era proprio quello di mostrare la possibilità di
pensare a forme rappresentative sempre più economiche ed efficaci per raccontare un’esperienza.
20

Il che è stato generativo di altri interrogativi e di nuovi percorsi conoscitivi da intraprendere
(cosa raccontano le diverse inclinazioni delle rette, l’utilizzo di unità di misura omogenee ed
eterogenee, ma viene fuori sempre una retta?…).
Un’altra attività, realizzata durante questo anno scolastico, che consisteva nell’utilizzo degli
schieramenti come rappresentazione della moltiplicazione, è quella del bambino “robottino” che
eseguiva comandi finalizzati ad esperire la struttura moltiplicativa. Durante la discussione
seguita al confronto tra i vari schieramenti realizzati con l’utilizzo di diversi materiali
(stuzzicadenti, fagioli, bottoni, ecc.), una bambina ha notato l’analogia tra questa struttura
bidimensionale e il piano cartesiano. Di seguito ho riportato alcuni interventi significativi,
estrapolati dalla discussione avvenuta tra i bambini, sotto la guida dell’insegnante, al termine
dell’attività di costruzione degli schieramenti. In essa è evidente che i bambini provano ad usare
il nuovo oggetto di conoscenza (il piano cartesiano) in varie situazioni, per vedere se funziona e,
man mano che ne fanno uso, ne scoprono, come in questo caso, la potenza.
I bambini, dopo aver realizzato il proprio schieramento con vari oggetti e “marcato” con
stuzzicadenti righe e colonne, hanno tolto dai fogli gli oggetti usati e hanno discusso sulla
differenza tra i disegni che riportano gli schieramenti con tutti gli oggetti e quelli in cui si vedono
solo gli stuzzicadenti.
Fig. 2. Schieramento realizzato con gli stuzzicadenti.
21

Fig. 3. Disegno dello schieramento realizzato con gli stuzzicadenti.
Bianca afferma: “Quelle stecche rappresentano un piano cartesiano. Come nel disegno di
Federica, tu puoi pensare di continuare con i pallini mettendo due pallini all’infinito, è proprio
come il piano cartesiano che con le frecce continua all’infinito e il piano cartesiano è come una
moltiplicazione”.
Francesco aggiunge: “E’ come se…tu conti gli stuzzicadenti in orizzontale e poi quelli in
verticale. Poi fai la somma di quei quadratini che dovrebbero stare in mezzo. Il primo
(stuzzicadenti) in orizzontale e il primo in verticale, insieme, equivalgono a 1. Il secondo in
orizzontale con il primo in verticale equivale a 2, il terzo orizzontale con l’1 verticale vale un
altro, il quarto vale ancora un altro e così il quinto. Dopo passi al secondo in verticale, cioè alla
seconda riga e si fa la stessa cosa”.
L’insegnante dice: “Francesco ha detto: “Poi conti quello che dovrebbe stare al centro. Nel
suo caso sono regoli bianchi, nel caso di Federica sono fagioli, nel caso di Lorenzo sono chicchi
22

di mais…nel disegno dove spariscono le cose al centro, le stecche hanno ancora un
significato?”
Gaetano risponde: “Potrebbe essere qualsiasi materiale al centro”.
Marcello aggiunge: “ Non importa quello che usi, ma di quante volte usi quel certo tot di cose
alla volta. Però deve essere sempre la stessa quantità”.
Anita afferma: “Quando vedo una cosa come questa, posso pensare che ho sistemato qualsiasi
cosa. Questo mi fa vedere la quantità e le volte mi fa pensare una moltiplicazione”.
Lorenza commenta: “ Non vedo però che c’entra il piano cartesiano. Noi lo abbiamo usato per
la farina e l’acqua per fare l’impasto!”
Lorenzo: “ E’ come un modello. Tu vuoi fare un mobile e disegni la struttura e poi lo fai
veramente”.
Anita: “ E puoi utilizzare la struttura per costruirne tanti e diversi”.
Lorenza: “ Io voglio capire perché Bianca ha parlato di piano cartesiano e ha detto che è come
la moltiplicazione”.
Novella: “ Perché se tu fai
1 bicchiere di acqua 5 cucchiai di farina
2 bicchieri d’acqua 10 cucchiai di farina
3 bicchieri d’acqua 15 cucchiai di farina
non è come una tabellina?”
Lorenza scrive:
X 5
1 5
2 10
3 15
4 20
E poi dice: “Allora sul piano cartesiano si possono mettere le tabelline”.
23

Al termine delle attività, i bambini hanno concluso che sul piano cartesiano non sono
rappresentate sempre le stesse variabili, ma possono essere rappresentate differenti variabili in
relazione all’esperienza che vogliamo raccontare e rappresentare.
In quarta, i bambini hanno fatto esperienza di soluzioni d’acqua e zucchero, chiedendosi come
fare per rendere ugualmente dolce delle soluzioni formate con diverse quantità sia di acqua che
di zucchero. Hanno realizzato, inoltre, dei giochi di movimento che in seguito hanno
rappresentato sul piano cartesiano.
Ciò che caratterizza queste attività, dalla prima alla quinta elementare, è l’importanza che si dà
alla produzione e rappresentazione individuale e alla discussione che scaturisce dal confronto tra
queste differenti rappresentazioni, le quali assumono la valenza di comunicare nella maniera più
efficace possibile il fenomeno che si sta osservando, tanto che questi bambini hanno
incominciato a parlare e ad esprimersi, fin dalla seconda, in “matematichese”.
2. LA SPERIMENTAZIONE IN CLASSE: LE LUMACHINE
Le attività appena descritte, rappresentano contesti diversi tra loro, nei quali ricorre l’uso di un
unico oggetto matematico per rappresentare esperienze diverse. Collegando e confrontando le
diverse esperienze, i bambini hanno avuto modo di sperimentare un aspetto fondamentale dei
modelli matematici: la loro adattabilità a descrivere una molteplicità di situazioni concrete. E’
proprio in questa caratteristica che risiede la potenza di questi strumenti ed è questa che coglie
Anita quando, riferendosi alla struttura bidimensionale costruita con gli stuzzicadenti, dice:
“Quando vedo una cosa come questa, posso pensare che ho sistemato qualsiasi cosa. Questo
non mi fa vedere i ceci, il mais, ma la quantità di cose alla volta e le volte, mi fa pensare alla
moltiplicazione”.
Bell’esempio di riflessione riguardo al passaggio dall’esperienza concreta all’astrazione.
24

Alla luce delle attività realizzate in questa classe, ho pensato di progettare la mia
sperimentazione sull’interpretazione di un grafico che rappresenta la relazione tra le variabili
spazio e tempo.
L’obiettivo è quello di capire se, bambini abituati a riflettere sulle esperienze e a formalizzarle
con l’utilizzo del piano cartesiano, sappiano anche leggerlo e tradurre i grafici in esso riportati.
Infatti, se il piano cartesiano è uno strumento linguistico, diverse sono le competenze da
sviluppare, tra cui produrre e interpretare.
La consegna è stata la seguente:
Le protagoniste di questa storia sono due lumachine
che si muovono su un muro verticale.
1) Inventa la storia raccontata nel grafico.
2) Rappresentala in tabella.
Spazio
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Fig. 4. Consegna.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112
Tempo
25

Nel proporre l’invenzione di storie, ho ritenuto già acquisite alcune conoscenze e competenze
maturate negli anni precedenti, come ad esempio la necessità di riferirsi ad unità di misura per lo
spazio e per il tempo. Ho potuto, infatti, constatare che i bambini hanno dato valori diversi
all’unità di misura riportata sul piano, ma la cosa non ha sortito difficoltà. Quando ho sollevato il
problema mi hanno risposto così:
Salvatore: “Io ho messo 1 minuto con 4 cm perché le lumache sono lente”.
Bianca: “Certo, bisognava fare attenzione, perché i personaggi sono delle lumache, non
potevano spostarsi alla velocità di un gatto per esempio”.
Lorenza: “Ma la cosa che ci importa è che le due lumache hanno velocità diverse e perciò
stanno facendo una gara”.
Anita: “Oppure una è vecchia e l’altra è giovane”.
Ins.: “E’ importante che l’unità di misura sia uguale per tutte e due le lumache”.
Lorenza: “Sì, ma il grafico già ci dice che è così perché (la relazione tra) i loro spostamenti e il
tempo che impiegano è sullo stesso piano. Il piano mette le tacche per tutte e due”.
Bianca: “Lorenza vuole dire che le unità di misura dello spazio e quelle del tempo sono le stesse
per le due lumache. Forse ci saremmo dovuti mettere d’accordo prima su quanto doveva valere
ogni tacca”.
L’insegnante di classe mi ha poi detto che lo scorso anno i bambini hanno più volte affrontato il
problema dell’unità di misura, perciò lo gestiscono bene.
2.1 Le lumachine: 1° incontro
Il primo incontro si è svolto in aula. L’aula è ampia e a terra ha delle mattonelle che si prestano
ad eventuali sperimentazioni di spostamenti di cui i bambini potrebbero sentire l’esigenza.
Ai bambini è stata data la possibilità di mimare i percorsi che il grafico poteva rappresentare,
utilizzando gesso di vario colore, scotch colorato, gettoni per segnare le tappe, ma tutti hanno
preferito produrre storie.
26

Penso che, avendo giocato molto lo scorso anno su andature e percorsi diversi a varie velocità,
abbiano trovato più stimolante impegnarsi nella produzione di storie, percepita come la reale
novità e quindi come una nuova sfida in cui cimentarsi.
Ogni bambino ha svolto la consegna individualmente.
Qui di seguito sono allegate la storia, il disegno e la rappresentazione in tabella di una bambina
che ha dato una interpretazione molto interessante del grafico.
Fig. 5. Storia e disegno.
Fig. 6. Rappresentazione tabellare.
27

Dopo quest’attività ho avuto un incontro con la mia tutor per esaminare i lavori svolti dai
bambini.
Durante l’analisi degli elaborati, ci siamo accorte che per alcuni bambini non era chiaro cosa
indicassero le rette: confondevano la velocità con il percorso. Una delle storie parla, infatti, di
due lumache di cui una più spericolata che “va più su sul muro”.
Il problema incontrato da questi bambini è lo stesso che abbiamo affrontato noi durante la
formazione. Molte insegnanti confondevano traiettoria e legge oraria. D’altra parte la
formalizzazione non viene incontro a quanto si percepisce. Con il corpo vado in avanti, ma la
linea del grafico non è verticale. Questo, però, aiuta a capire che la registrazione sul grafico tratta
cose diverse dal semplice spostarsi in avanti, indicando piuttosto quello che, vedremo in seguito,
i bambini definiscono come “nuova unità di misura”, cioè un rapporto che tiene insieme due
variabili: lo spazio e il tempo. L’esperienza vissuta a livello adulto con altre colleghe mi ha
aiutato a capire la difficoltà in cui si sono imbattuti questi bambini, però nonostante avessi
affrontato l’argomento durante la formazione, e nonostante insieme alla tutor avessi previsto le
linee guida del secondo incontro, ero un po’ spaventata. Non so a cosa attribuire il mio disagio,
se alla scarsa confidenza con questi bambini che mi rendeva difficile prevederne le reazioni, o
alla consapevolezza che per la prima volta affrontavo con dei bambini questioni relative alla
formalizzazione della proporzionalità diretta. Alla fine sono stati i bambini stessi a togliermi
dall’impaccio.
Avevo pensato insieme alla tutor di proporre un’attività ludica affinché nascessero nuove
riflessioni e confronti tali da promuovere sia una distinzione di concetti quali traiettoria e legge
oraria, problema ben noto alla ricerca, sia la consapevolezza della differenza tra le
rappresentazioni di questi diversi concetti.
28

2.2 Le lumachine: 2° incontro
Si è svolto in aula. Banchi accostati al muro, bambini seduti in un grande cerchio. L’esigenza di
risolvere una difficoltà incontrata da alcuni è stata, per dirla con Dewey, il fattore guida del
processo di riflessione. “La natura del problema fissa il fine del pensiero e il fine controlla il
processo del pensiero” 18 . Il gruppo-classe è diventato un contesto operativo. L’agire e il pensare
insieme ha trasformato “una situazione in cui si è fatta esperienza di un’oscurità, un dubbio, un
conflitto, in una situazione chiara, coerente, risolta, armoniosa” 19 .
Alla lavagna ho disegnato un piano con una retta passante per l’origine. L’ascissa indica il
tempo, l’ordinata lo spazio. Dopo aver stabilito come unità di misura spaziale le mattonelle
dell’aula e come unità di misura temporale un ritmo battuto con le mani, ho chiamato uno dei
bambini che nel primo incontro aveva scritto una storia che interpretava correttamente il grafico
e lo ho invitato ad eseguire un percorso che teneva conto delle indicazioni del grafico disegnato
alla lavagna. Il bambino ha fatto una passeggiata in avanti attento a non variare la velocità. Ho
chiesto agli altri bambini se pensavano che il compagno avesse fatto bene ed una bambina ha
detto: “No, perché è andato in avanti, là invece si va in diagonale”.
A questo punto è iniziata una discussione, su cui è utile riflettere.
Anita: “Pia si è imbrogliata perché non ha letto che là c’è spazio e tempo”.
Anita pensa che la difficoltà della compagna stia in una distrazione.
Pia: “Là…ma dove?”
Anita: “Sul piano, vedi? Alla lavagna”.
La perplessità di Pia rende chiaro a tutti i bambini che l’errore non è di cattiva lettura, cercano di
aiutarla con i ricordi.
Lorenza: “Pia ti ricordi quando facevamo i giri e sul piano c’era sempre la linea retta?”
18 Dewey J.,(1961), Come pensiamo. Una riformulazione del rapporto tra pensiero riflessivo e l’educazione, (trad. it.) La Nuova
Italia, Firenze, p. 175.
19 Ibidem, p.175.
29

Pia torna alla mattonella punto di partenza ma si blocca e ha lo sguardo perplesso di chi non sa
dove posizionarsi, manifestando una difficoltà di tipo cognitivo. Un’altra bambina Bianca
suggerisce: “Maestra possiamo fare un gioco?”
Ins.: “Quale?”
Bianca si alza, si avvicina a Pia e le dice: “Ora noi passeggiamo, mentre gli altri battono le
mani”.
Sembra che Bianca percepisca chiaramente come il blocco fisico e la confusione di Pia possono
essere superati con il coinvolgimento del corpo ed ha ragione. La sua richiesta risveglia in Pia
dei ricordi e la bambina, questa volta, più sicura esclama: “Ah sì, ho capito, loro battono le mani
e noi ci muoviamo sentendo un tempo”.
Bianca: “…e la maestra segna quello che facciamo”.
Cominciano, ma Pia per guardare i piedi e ascoltare il battito delle mani non guarda il grafico
alla lavagna. Interviene Lorenza: “Guarda Pia avete fatto un passo con una battuta di mano,
vedi dove è stato segnato?”
Ins.: “Dove è stato segnato cosa?”
Lorenza: “Il punto che indica insieme la mattonella percorsa e la battuta di mano”.
Per aiutare Pia e altri a superare le loro difficoltà di interpretazione e per divertirsi, i bambini si
sono avvicendati nei giochi di movimento, passando da questi alla registrazione e viceversa.
Vincenzino: “Se fai due passi avanti e li registri così
Fig. 7. Rappresentazione sul piano cartesiano delle due coordinate spaziali (ad ogni freccia corrisponde un
passo).
30

… è come se stessi disegnando il pavimento, ma non lo puoi fare se sugli assi hai spazio e
tempo, lo fai solo se c’è spazio e spazio”.
Pia rivolta all’insegnante dice: “Vincenzino mi ha fatto capire. Tu segni quello che faccio mentre
loro battono il tempo. Allora fai incontrare con i puntini la mattonella dove metto il piede e il
tempo delle battute delle mani”.
Ho chiesto: “Ma si incontrano mattonelle e battute di mano?” Pia mi ha risposto: “No, è il
segno, il pallino che sta sulla linea che significa due cose insieme, la mattonella e la battuta di
mano”.
Nei loro interventi i bambini riconoscono al corpo la sua saggezza. Questo mi ha fatto riflettere:
spesso noi insegnanti richiediamo ai bambini di limitare la propria espressione allo spazio del
banco e del quaderno. Di fronte agli “errori” li correggiamo e spieghiamo perché si fa in un
modo piuttosto che in un altro. Ma pensiamo veramente così di aver risolto un problema
concettuale o semplicemente impediamo ai blocchi fisici di manifestarsi e di indicarci con
chiarezza le difficoltà concettuali ad essi connessi?
Quel giorno abbiamo variato l’unità di misura temporale, abbiamo effettuato percorsi circolari e
su linee spezzate. Alla fine i bambini hanno recuperato saperi legati ad esperienze passate e, non
solo si sono convinti che il piano non è il muro, che il percorso non coincide con la retta del
piano cartesiano, ma anche che la retta rappresenta la relazione tra lo spazio percorso ed il tempo
impiegato a percorrerlo. Ins.: “Allora, se io dicessi che queste due lumachine si stanno
muovendo lungo un muro verticale...” Lorenzo: “No, perché altrimenti dovrebbe esserci spazio
e spazio”.
31

2.3 Le lumachine: 3° incontro
La nostra intenzione era quella di proseguire l’attività avviando una riflessione e una discussione,
come avevamo progettato, sulla relazione tra la legge oraria (ovvero lo spazio percorso in
funzione del tempo impiegato a percorrerlo) e la traiettoria percorsa da ogni lumachina. I bambini
però hanno cambiato direzione al percorso. Innanzitutto, a partire dalla lettura del grafico, hanno
avviato discussioni sulle operazioni aritmetiche più appropriate per descrivere questa relazione;
inoltre hanno dato maggiore rilievo alla relazione tra le due rette e al significato della loro
“compresenza” , come a dire “ se sono insieme, qualche cosa deve pur significare”.
Lorenza:“ … in questo grafico si vede la velocità di una lumachina rispetto all’altra. Non solo
il percorso in quanto tempo (vuole intendere di ciascuna lumaca), io sto mettendo in relazione
spazio e tempo e sto vedendo anche la velocità di una lumaca rispetto all’altra”.
E ancora Lorenza più avanti ribadisce: “La moltiplicazione c’entra perché la lumachina rossa
fa in un’ora un metro, allora se non ci fosse l’altra retta, ci potremmo porre la domanda…in due
ore quanti metri fa?In tre ore? Quindi un poco moltiplico”.
E Francesco:“La lumaca che va più veloce impiega la metà del tempo per questo diviso due, 2
centimetri in 1 minuto, invece, l’altra fa 2 centimetri in 2 minuti”.
Antonio: “La lumaca percorre 1 centimetro, mentre l’altra lumaca in 1 minuto percorre 1
centimetro”.
E’ interessante notare come sia io che l’insegnante, prese dall’argomento “operazione adatta
a…”, ci siamo lasciate sfuggire questi importanti interventi che andavano nel verso della nostra
ricerca. Questo ci fa riflettere sul valore delle registrazioni audio, strumento fondamentale in
questo tipo di approccio. Esse sono utilissime per valutare l’attività e i percorsi individuali e
della classe e si rivelano un valido aiuto per la ricerca e per orientare la didattica. Piaget riferiva
solo a bambini piccoli l’incapacità di prestare attenzione alle cose che si dicono, a quanto pare
non è così. Anche negli adulti, il filo del proprio pensiero fa da filtro e seleziona solo alcuni
32

interventi, quelli che vanno nel verso delle proprie aspettative. L’insegnante che registra e
ascolta gli interventi di incontri che le sembrano cruciali può accorgersi di interventi importanti
cui ha dato poco o nessun peso e tornarci su insieme ai bambini, leggendoli, commentandoli e
chiedendo ulteriori informazioni.
Gli interventi di Lorenza, di Francesco e di Antonio avvalorano la nostra tesi, i bambini posti di
fronte al grafico e, dando per scontato che le due rette indicavano la velocità, hanno rivolto la
loro attenzione proprio sulle due velocità diverse. Inoltre hanno usato il piano come oggetto utile
a confrontarsi sulla logica delle operazioni. A partire dalla lettura del grafico hanno avviato,
infatti, discussioni riguardo alle operazioni aritmetiche più appropriate per parlare di questa
relazione, come si può evincere anche dagli stralci della registrazione audio qui di seguito
allegati, intervallati da interventi che approfondiscono altri aspetti, ma che per altre vie
riconducono allo stesso discorso.
Ins.: Perché hai detto spazio 'unnn' tempo fanno velocità, che cosa significa unnn?Che cosa ti
sei mangiato?”
Lorenzo: “ Il più”.
Ins.: “Spazio più tempo. Però ci sembra strano. Perché?”
Novella: “Per me può essere anche spazio più tempo, però come si fa a sommare spazio più
tempo, cioè un centimetro più un minuto, quanto fa?”
Bianca: “Secondo me, un certo tempo si divide in un certo numero e la lumachina percorre uno
spazio nel tempo che ha diviso”.
Lorenzo: “Secondo me, tu dividi lo spazio che percorre la lumachina e poi guardi il tempo che
ci ha impiegato per fare quello spazio e così dividi pure il tempo per avere anche lo spazio”.
Ins.: “Se considero un’ora e dico che una macchina in un’ora fa 60 chilometri, in mezz’ora farà
30 chilometri. Che cosa sto facendo?
Lorenza: “Sta salendo a galla anche la moltiplicazione”.
33

Salvatore: “Secondo me, è la moltiplicazione, perché moltiplichiamo lo spazio nel tempo”.
Lorenza:“La moltiplicazione c’entra perché la lumachina rossa fa in un’ora un metro, allora
se non ci fosse l’altra retta, ci potremmo porre la domanda…in due ore quanti metri fa?In tre
ore? Quindi un poco moltiplico. Però dico che anche la divisione è giusta perché questo spazio
si divide in questo tempo…”
Marcello: “Se io dico, ad esempio, che in 7 minuti questa lumachina ha percorso 7 centimetri,
posso sapere in un minuto quanti centimetri ha percorso?”
Lorenzo: “1”.
Ins.: “Quale operazione faccio?”
Pia: “ La tabellina dell’1 al contrario”.
Antonio: “ Cioè il diviso”.
Francesco: “La lumaca che va più veloce impiega la metà del tempo per questo diviso due, 2
centimetri in 1 minuto, invece, l’altra fa 2 centimetri in 2 minuti”.
Ins.: “Che cosa è diviso per 2?”
Francesco: “Il tempo, perché lo spazio non cambia. Il tempo è diviso perché una ci impiega la
metà del tempo, l’altra il doppio”.
Ins.: “Una ci impiega rispetto all’altra la metà del tempo. Quanti secondi sono 5 minuti?”
Anita: “300 secondi”.
Ins. : “Scriviamo 300 secondi invece di 5 minuti. Guardiamo cosa ci dice il grafico: in 300
secondi quanto spazio percorre? Come vogliamo chiamarla questa…?”
Tutti: “Relazione”.
Ins.: “Guardiamo questa relazione, qua è 30 secondi e qua…?”
Anita: “E’ un centimetro”.
Ins.: “Qua sono 300 secondi, e qua…?”
Lorenza: “10 centimetri”.
34

Ins.: “Allora che cosa vedete? Che cosa possiamo ricavare da queste informazioni? Se faccio
3000 secondi…”
Marcello: “Stai facendo la moltiplicazione, stai aggiungendo gli zeri. Mettere in relazione
dividere e moltiplicare in questo caso sono la stessa cosa”.
Ins.: “In questo caso sono la stessa cosa e cioè…”.
Lorenza: “Sono la stessa cosa, il rapporto deve essere uguale all’unità di misura”.
Ins.: “Che significa rapporto uguale all’unità di misura?”
Vincenzo: “Il rapporto di uno del tempo è uguale al rapporto di uno dello spazio”.
Maria: “La relazione non deve essere per forza tra spazio e tempo, anche negli anni scorsi
abbiamo fatto con acqua e zucchero o anche per fare i panini, mettevamo 3 pizzichi di sale e un
bicchiere d’acqua”.
Ins.: “Che cosa significa?”
Bianca: “Per ogni bicchiere tre pizzichi di sale, perciò serve la moltiplicazione”.
Ins.: “Scrivo quello che ha detto Bianca,
Poi, a rimarcare quanto dice, l’insegnante alza la voce e molto lentamente dice
: “per ogni… 1 bicchiere 3 pizzichi di sale, 2 bicchieri 6 pizzichi di sale, 3 bicchieri…”.
Lorenza: “Per questo dicevo l’unità di misura, in questo caso è il 3”.
Ins.: “Il rapporto posso scriverlo così 1/3 oppure 1:3, è la stessa cosa?”
Tutti: “Sì”.
Ins: “Se io qua ci metto 12, quale sarà l’altro numero?”
Salvatore: “4”.
Ins.: “Come hai fatto ad ottenere questo 4?”
Salvatore: “Ho fatto 12 diviso 3”.
Ins.: “Non riesco a capire perché dici unità di misura”.
Lorenza: “L’unità di misura è un campione, è uguale per tutti”.
35

Ins.: “Qual è in questo caso il campione?”
Lorenza: “il 3, 1 a 3. Per 3 o diviso 3. Se consideriamo il tempo dobbiamo fare per 10, se
consideriamo lo spazio dobbiamo fare diviso 10”.
Maria: “Mi viene in mente quel disegno che abbiamo fatto in terza, la divisione è l’operazione
inversa della moltiplicazione”.
Salvatore: “Io ho detto 4 perché ho fatto la moltiplicazione, 4 per 3 fa 12”.
Lorenza: “Ogni numero deve essere diviso sempre per 3; 12 diviso 3 è 4; 9 diviso 3 è 3;
15 diviso 3 è 5 e così via”.
Ins.: “Per spiegarci se c’entra la divisione o la moltiplicazione, ci sono stati vari interventi; uno
che mi sembra fondamentale è quello di Maria e di Bianca. Loro dicono che la divisione è
l’inverso della moltiplicazione, Lorenza poi ha detto che in alcuni casi dobbiamo moltiplicare, in
altri dobbiamo dividere. Se io dico che per ogni bicchiere d’acqua, metto tre pizzichi di sale, è
chiaro che se dico per 2 bicchieri, dato che l’1 nel 2 ci sta 2 volte, anche di qua devo fare 2 volte
il sale per mantenere la stessa relazione. Che vi pare? Infine l’intervento di Lorenza ha posto
l’attenzione sull’unità di misura o campione su cui rifletteremo un’altra volta”.
Mi ha sorpreso questo assecondare le vie che i bambini hanno scelto di percorrere, rinviando le
attività che avevamo programmato.
Di questo ho discusso a lungo con l’insegnante. Lina ha detto che non è sempre così. Spesso,
quando intravede il rischio che le strade si allontanino molto dall’obiettivo, invita i bambini a
scrivere su foglietti le loro curiosità rimaste inesplorate. I foglietti vengono affissi su un
cartellone ad una parete dell’aula come “cose su cui riflettere”.
Questa volta mi ha consigliato di proseguire nella discussione, perché cogliere le operazioni
aritmetiche appropriate a calcolare rapporti significa approfondire la difficoltà di inventare
variabili che siano il rapporto di quantità non omogenee e definire meglio il pensiero
36

proporzionale. Quando dico ci vuole la moltiplicazione o la divisione cosa sto guardando? Se mi
interessa il rapporto tra una variabile e l’altra quale / i operazione/i devo usare?
I bambini si chiedono perché per confrontare spazio e tempo bisogna fare proprio una divisione
se si vuole trovare la costante, quella che Lorenza definisce “campione” o “unità di misura della
relazione”.
A tale riguardo P. Guidoni afferma che “ possediamo solo due modi per confrontare tra di loro
due elementi di realtà rappresentati da due opportune variabili: la differenza tra variabili ( rese
semanticamente omogenee) e il rapporto tra queste variabili. La necessità del confronto porta a
scegliere il sistema formale “adatto” alla situazione” (faccio spazio più tempo o spazio diviso
tempo? Si chiedono i bambini). Proprio attraverso la discriminazione qualitativa e quantitativa
dei confronti, secondo differenza e secondo rapporto, si stabilizzano cognitivamente le strutture
operatorie e formali “additiva” e “moltiplicativa” 20 .
Il mio intervento in questa classe termina qui per ragioni di tempo. Il percorso dei bambini so
che continuerà con un’esperienza di moto attraverso l’uso di sensori e l’insegnante ha intenzione
di proporre attività di comparazione tra variabili durante le quali mettere a fuoco la diversità tra
il confronto per differenza e quello per rapporto.
2.4 I metodi
Ho scelto di comunicare l’esperienza in classe raccontandola e cercando di riferirmi il più
possibile alle “fonti”, citandole ampiamente.
Ho scelto il racconto perché mi sembra il metodo più aderente all’intento della sperimentazione,
cioè quello di osservare se i bambini utilizzano determinate modalità cognitive per affrontare e
20 Guidoni P., “ Ripensando il pensiero proporzionale: riflessioni per la progettazione didattica” in Capire si può, 2005, a cura
di Mazzoli P., Firenze, Carocci Faber.
37

isolvere i problemi, quali conoscenze i bambini hanno fatto proprie e quale uso fanno delle
conoscenze acquisite.
Narrare come sostiene Feyerabend è la cosa più sincera che si possa fare 21 . Inoltre, per quanto le
esperienze siano irripetibili, il loro racconto può suggerire vie che altrimenti non riusciremmo a
vedere, porta alla luce alcuni nodi problematici fondamentali, rende evidente come si possono
presentare tali nodi e come si possono affrontare. L’idea è quella di permettere al lettore di farsi
un’idea abbastanza precisa dell’esperienza, per valutare se le nostre deduzioni o le nostre scelte
convincono oppure no.
Nella realizzazione della sperimentazione in classe ho dato molto rilievo alla creazione di un
proficuo setting educativo, inteso come contesto in cui avviene il processo di co-costruzione dei
significati attraverso il confronto e la discussione tra bambini, e all’utilizzo di diverse tecniche
metodologiche quali il mimare, la rappresentazione grafica che diventa oggetto di discussione tra
adulti e bambini, l’uso di “oggetti culturali” che i bambini hanno fatto propri nel corso delle
proprie esperienze.
Per la progettazione di una efficace azione educativa, sono convinta, come ho espresso anche nel
capitolo precedente, che è necessario partire dal sistema di saperi cognitivi e non cognitivi, che il
soggetto possiede e attraverso cui interpreta la realtà. I saperi non cognitivi sono identificabili in
quelli percettivi, emotivi, fantastici, che rappresentano il tramite diretto ed immediato con la
realtà.
Alla luce delle teorie di riferimento esposte nei precedenti paragrafi, ho cercato di creare un
contesto di partecipazione e costruzione di significati condivisi per la realizzazione delle attività
progettate, seguendo l’approccio vygotskijano.
21 Feyerabend P.K.,1993, Dialogo sul metodo, Bari, Laterza, pp.128-130.
38

Con Doise, Mugny e Perret-Clermont 22 considero il ‘conflitto socio-cognitivo’, cioè il confronto
di centrazioni opposte, come elemento che favorisce lo sviluppo cognitivo, stimola un forte
interesse alla ricerca, alla comprensione e all’affinamento dei meccanismi che supportano i
progressi constatati nel caso di interazioni sociali” 23 . Come ho potuto “toccare con mano”
durante la ricerca-azione realizzata, in particolare durante la discussione, i conflitti socio-
cognitivi risultano positivi, in quanto designano una dinamica interattiva che richiede ai soggetti
un impegno attivo in un confronto cognitivo, generatore di opposti e divergenti punti di vista. E’
una fonte sociale e cognitiva di disequilibrio che si traduce in due modi:
- interindividuale, attraverso le divergenze di risposta tra soggetti:
Bianca: “ Secondo me, si vede il percorso perché una lumachina fa un metro in un minuto,
mentre l’altra fa 2 metri in 1 minuto, quindi è un percorso”.
Lorenzo: “Secondo me, quella indica lo spazio che percorre e quanto tempo impiega a
percorrerlo, quindi è il tempo. Il tempo è quanto ci impiega a percorrere lo spazio, però lo
spazio non ci fa vedere il percorso, ci fa vedere solo lo spazio che percorre”.
- intraindividuale, quando il soggetto è portato a dubitare della sua risposta per l’esistenza di una
risposta concorrente:
Anita: “Secondo me, anche quante volte si fermano, perché il tempo passa ma lo spazio si
ferma”.
Lorenzo: “Non sono d’accordo con la fermata, perché altrimenti il grafico dovrebbe presentare
una linea orizzontale all’ascissa”.
Anita: “Io detto così perché ogni tanto sono segnati dei punti sul grafico”.
In altri termini, ha luogo un “ pensare insieme” che non corrisponde esattamente al pensare di
qualcuno e che ancora non si ritrova in quello: il fenomeno della co-costruzione del
22 Doise W., Mugny G., Perret-Clermont A. N.,1975, Social interaction and the development of cognitive operations, in
European journal of social psychology, n° 5, pp.367-383.
23 Monteil J. M.,1989, Educare e formare – Prospettive psico-sociali, Bologna, Il Mulino, p.147.
39

agionamento 24 . Ciò implica una forte condivisione dell’oggetto del discorso da parte degli
interlocutori. Per poter realizzare questa condivisione, pur avendo dato ai bambini la possibilità
di confrontarsi, abbiamo previsto un compito individuale. Durante la discussione di gruppo ogni
bambino cerca di difendere la propria produzione e quindi il proprio percorso mentale. La
condivisione si evidenzia anche nel modo in cui i soggetti si dispongono intorno al compito
(come si evince dalle Figure 8 e 9).
Fig. 8. Sperimentazione in classe: all’inizio della discussione tutti i bambini sono seduti al loro posto in cerchio.
24 Pontecorvo C., Ajello A. M., Zucchermaglio C., 1993, Discutendo s’impara. Interazione sociale e conoscenza a scuola,
Firenze, La Nuova Italia,p.79.
40

Fig. 9. Alla fine della discussione i bambini si avvicinano al foglio su cui si discute, formando una cupola.
Il loro modo di “fare gruppo” evidenzia la crescita dell’interesse e della condivisione.
Queste due foto rendono l’idea della crescita dell’interesse e della condivisione. All’inizio della
discussione tutti i bambini erano seduti al loro posto in cerchio, verso la fine tutti i bambini si
sono avvicinati al foglio su cui si discuteva. La foto non mostra i bambini in piedi dietro ai
bambini accovacciati; chi era presente poteva avvertire una forte tensione del gruppo impegnato
a capire.
L’interesse comune per la ricerca della soluzione alla situazione problematica o della risposta
agli interrogati posti dall’insegnante, è il collante che tiene insieme e guida i bambini nel
percorso euristico e di riflessione. L’interazione con gli altri fornisce l’energia a questo processo
e il confronto con il gruppo apre nuove prospettive di interpretazione, nuovi orizzonti di senso,
che superano le modalità di pensiero individuali ed anche le eventuali idiosincrasie per un sapere
preconfezionato.
I principali strumenti adoperati durante la sperimentazione sono stati il confronto e il dialogo tra
i bambini del gruppo-classe, strutturato come una “comunità di ricerca”, di sperimentazione e
41

acquisizione di una pluralità di strategie cognitive, sia a livello collettivo che individuale. Proprio
per favorire la discussione ed il confronto, ho disposto i bambini in cerchio, come
precedentemente accennato, ed ho messo a terra la scheda con la consegna, oggetto della
discussione (Figura 10).
Ho dato inizio alla discussione, ponendo alcuni interrogativi ai bambini. A turno ogni bambino
ha chiesto la parola ed ha espresso liberamente le proprie idee, ascoltando attentamente anche gli
interventi fatti in precedenza dai propri compagni. Ogni bambino ha avuto la possibilità di
raccontare il lavoro realizzato, argomentare e giustificare il proprio punto di vista e riflettere
sulle proprie modalità di pensiero nel confronto costruttivo con gli altri.
Fig. 10. Foglio con la consegna, oggetto della discussione.
I miei interventi sono stati finalizzati a mantenere la direzionalità del processo in rapporto
all’evolversi del percorso euristico collettivo che scaturiva naturalmente dal confronto dialettico
tra i bambini.
Ins.: Innanzitutto è chiaro a tutti di che cosa stiamo parlando?Delle due lumachine che
compiono un percorso; Vincenzino, su questo grafico si vede il percorso che le lumachine fanno
o si vede altro?
Mi sono trasformata, dunque, in un “ facilitatore” del processo, una presenza discreta e non
autoritaria ed il gruppo-classe è diventato una vera e propria comunità di discorso e di parlanti
attraverso attività di ragionamento collaborativo. Si è superato lo schema tradizionale lezione-
42

interrogazione - verifica per lasciare spazio allo scambio-confronto attraverso cui si è realizzato
il potenziale per l’apprendimento. La discussione, infatti, è lo strumento più votato alla
costruzione di una conoscenza critica e in una classe, strutturata come una comunità di discorso,
il sapere è generato e giustificato nella pratica argomentativa. “Insegnare ed imparare in un
forum non significa solo cambiare posto, ma rivedere completamente tutto il progetto
educativo 25 .
Fig. 11. Durante la discussione a turno ogni bambino ha la possibilità di raccontare il lavoro realizzato, argomentare
e giustificare il proprio punto di vista.
Il gruppo è il luogo in cui ci si scontra con la difficoltà ad entrare nel pensiero degli altri bambini
attraverso il linguaggio, ma nello stesso tempo si è accolti e aiutati a tirar fuori i propri pensieri,
perché è anche un contesto accogliente, affettivo e protettivo. Proprio durante la fase della
discussione, ho potuto osservare queste dinamiche di mutuo aiuto e di collaborazione reciproca.
Alcuni bambini hanno aiutato e sostenuto una compagna che non riusciva ad esprimere il suo
pensiero. Attraverso il confronto e lo scambio comunicativo con i compagni, alla fine è riuscita a
comunicare chiaramente il suo punto di vista.
25 Santi M., La pratica sociale del sapere: l’argomentazione come strumento e contesto di critica e crescita della conoscenza, in
Orefice P. ( a cura di),1997, Formazione e processo formativo. Ipotesi interpretative, Milano, Franco Angeli, p.101.
43

Un’altra bambina, come si vede nella Figura 12, ha annotato quello che il suo compagno stava
dicendo ed ha inserito i dati in una tabella per illustrare meglio il punto di vista del compagno, un
vero e proprio processo di co-costruzione della conoscenza.
Fig. 12. Durante la discussione una bambina inserisce i dati in una tabella per illustrare meglio il punto di vista
del compagno, un vero e proprio processo di co-costruzione della conoscenza.
Al termine della discussione, i bambini si sono avvicinati a me e alla mia tutor, formando una
cupola attorno alla consegna, ed insieme abbiamo riflettuto sui contenuti emersi durante il
dibattito.
L’insegnante, dunque, non sparisce, ma sparisce la sua ossessione cognitiva diretta, la sua
pretesa di insegnare, cioè di imprimere nella mente dei bambini le strutture ed i concetti
matematici. L’insegnante è il garante della sospensione del giudizio che può liberare le energie,
il regista che fa agire; la sua attitudine fondamentale è l’ascolto, come accettazione
dell’imprevisto e dell’inatteso e come disposizione a non chiudere nessuna possibilità che si
presenta 26 .
26 Le Bohec P.,1995, Il testo libero di matematica, Firenze, La Nuova Italia.
44

2.5 Analisi e valutazione dei risultati
Per l’analisi e la valutazione dei risultati ho fatto riferimento alle registrazioni audio degli
incontri svolti con i bambini. La discussione, infatti, ha avuto un ruolo primario in questa
ricerca-azione proprio per l’approccio metodologico scelto e per motivi esposti nei capitoli
precedenti.
Le mie considerazioni sono state già riportate nei paragrafi precedenti. Un’osservazione
aggiuntiva che ritengo importante sottolineare è la seguente: durante la sperimentazione è stato
sorprendente scoprire che non è vero che i bambini più bravi riescono sempre, mentre quelli
meno bravi non riescono quasi mai, come avviene di solito quando si seguono determinati
percorsi didattici tradizionali, strutturati su gerarchie valutative obsolete, che tendono a
standardizzare e stereotipare determinati stili cognitivi come i migliori e a marginalizzare quelli
che si discostano dalla cosiddetta “ normalità”, sia in senso positivo che negativo. E’ accaduto,
infatti, che una bambina considerata non particolarmente brava, sia riuscita a interpretare
correttamente il grafico rappresentato sul piano cartesiano, mentre alcuni dei bambini considerati
“bravi” hanno incontrato delle difficoltà. Questo approccio metodologico, infatti, dà molta
importanza a quello che dicono e comunicano i bambini, al loro pensiero e alla loro
interpretazione. Nell’insegnamento tradizionale le conquiste dei bambini vengono previste e
progettate in maniera lineare, seguendo lo schema: spiegazione, esercitazione e verifica; se
l’obiettivo è stato raggiunto dalla maggior parte dei bambini, si procede alla spiegazione di un
nuovo argomento. Questa metodologia, invece, dà molta più importanza al processo piuttosto
che al prodotto. Ogni bambino nel rispetto dei suoi tempi di apprendimento raggiunge i propri
traguardi. Una volta che l’esperienza si è conclusa, non è scontato pensare che i bambini abbiano
fatto propria una certa competenza; si dà, invece, per scontato che i bambini si siano esercitati ed
allenati a pensare e ad esplicitare il proprio pensiero, a confrontarlo con quello degli altri e a
utilizzare linguaggi sempre più vicini a quelli formali. Per questo una schematizzazione, un
45

grafico o qualsiasi rappresentazione formale non gli sembrerà lontana dall’esperienza vissuta,
perché gli strumenti non vengono trasmessi tout court ma vengono scoperti con gradualità, nel
rispetto della zona di sviluppo prossimale di ogni bambino, per dirla con Vygotskij, superando
così il gap esistente tra il piano formale e l’esperienza vissuta.
L’approccio metodologico – didattico utilizzato favorisce, altresì, un apprendimento di tipo
reticolare. Il bambino diventa “costruttore” 27 delle sue conoscenze, come lo definisce Loris
Malaguzzi, capace di rappresentare le sue conoscenze con i suoi linguaggi; un bambino reale,
con una soggettività ricca di emozioni, di vissuti, di imprevedibilità; un bambino che si impegna
e che impegna l’adulto nella sua continua richiesta di attenzione per le sue idee e per i suoi
percorsi conoscitivi. I concetti e le idee di ogni bambino sono interconnessi con quelle degli altri
bambini, ma nel rispetto dell’individualità di ogni bambino, il quale ha la possibilità di seguire il
suo stile di apprendimento. Il bambino non procede secondo una sequenza di contenuti che
vanno dal più semplice al più complesso ma seguendo uno schema di esplorazione reticolare che
nasce dalla sua curiosità e dal suo stile cognitivo. Durante il dibattito ogni bambino ha seguito il
suo percorso mentale, che rivedeva e metteva in discussione alla luce del confronto con gli altri.
Purtroppo non sono riuscita a cogliere le intuizioni di tutti i bambini, a seguirli e a supportarli nei
loro percorsi mentali, a causa della mia inesperienza metodologica e della scarsa padronanza
disciplinare.
Un tale approccio offre la possibilità di riflettere sui propri processi di apprendimento, cioè di
imparare ad apprendere, ad indagare, a porre domande, non solo a contenere informazioni e
conoscenze trasmesse dall’insegnante. Un apprendimento orientato alla ricerca, che valorizza
l’errore, il dubbio e l’ipotesi di tutti i bambini, le modalità processuali del pensiero più che i suoi
prodotti, come afferma J. Dewey.
27 Edwards C., Gandini L., Forman G., 1995, I cento linguaggi dei bambini, Edizioni Junior.
46

Anche la valutazione è attenta al processo non al prodotto, alla qualità degli interventi dei
bambini durante la discussione, alla loro capacità di far ricorso alle esperienze passate per dare
senso e significato a quelle che stanno vivendo. Non è una valutazione basata sulla verifica dei
livelli di competenza acquisiti o sul raggiungimento di obiettivi predefiniti ma sulla rivisitazione
dell’esperienza, volta a esaminare quanto realmente i bambini sono stati protagonisti del
percorso euristico collettivo e quanto sono riusciti a farlo proprio.
Accogliere tale intenzionalità pedagogica, sottintende da parte dell’insegnante, la capacità di
ascoltare ciò che la circonda, di tollerare la frustrazione dell’insicurezza, di mettersi in
discussione abbandonando la certezza di percorsi “confezionati a priori”.
47

CONCLUSIONI
La ricerca - azione condotta è stata un’esperienza significativa per tutti, adulti e bambini.
I bambini hanno sperimentato il gusto e la passione per l’esplorazione, per la discussione, per la
scoperta e si sono confrontati con le esigenze di coerenza interna del sapere matematico,
“toccando con mano” l’utilità di tale coerenza nel momento in cui si cercano di interpretare delle
situazioni problematiche. Il valore formativo del sapere matematico, infatti, non risiede solo
nelle conoscenze in sé, quanto piuttosto nel lavoro fatto per conquistare queste conoscenze.
Per quanto riguarda noi adulti, insieme abbiamo costruito delle ipotesi di partenza e scelto alcuni
obiettivi da sperimentare, dando una direzione iniziale alla ricerca- azione, che è stata modificata
in itinere per andare incontro alle esigenze di conoscenza e di comprensione dei bambini. La
realizzazione di questa ricerca-azione mi ha dato la possibilità di sperimentare un approccio
didattico - metodologico alternativo a quello che di solito utilizzo con i miei alunni, di mettere in
pratica le conoscenze disciplinari acquisite durante il master, di continuare a confrontarmi con
docenti esperti e ricercatori soprattutto a livello disciplinare per destrutturare, mettere alla prova
e rafforzare le basi del mio sapere matematico. Durante questa esperienza, ho provato insieme ai
bambini “il piacere della scoperta”, che vorrei tener vivo trovando sempre una modalità diversa e
coinvolgente di “fare matematica”.
E’ fondamentale, infatti, come è stato evidenziato anche durante il master, acquisire maggiore
intenzionalità e professionalità didattica che si esprime nello strutturare percorsi metodologici,
strategie e procedure, nell’organizzazione significativa delle attività e dei contesti di
apprendimento/insegnamento e nella scelta dei comportamenti cognitivi e socio-affettivi idonei a
progettare un curricolo integrato come guida all’azione formativa, ponendo maggiore attenzione
alla promozione della capacità di “apprendere ad apprendere”, come costruzione e
partecipazione critica e consapevole alla propria e altrui conoscenza e ad una riqualifica incisiva
48

dell’emozionalità, elemento imprescindibile di ciascun processo di apprendimento/insegna-
mento.
La realizzazione di un tale curricolo scolastico, però, non richiede soltanto una padronanza
didattico-metodologico, ma soprattutto un’ampia padronanza disciplinare, nello specifico quella
matematica. Durante la sperimentazione, infatti, mi sono messa in gioco insieme ai bambini, ho
guidato il loro percorso esplorativo, assecondando l’estensione dell’interesse e la curiosità di
ogni bambino. Per dirla con Hawkins, ho sperimentato il ruolo dell’insegnante “diagnostico” e
“provveditore”. Il lavoro ideale di un bravo insegnante, infatti, implica due aspetti
inseparabilmente combinati: “quello di fare la diagnosi e quello di provvedere conformemente
alle indicazioni della sua diagnosi. Come diagnostico, l’insegnante cerca di raffigurare nella
propria mente lo stato e la traiettoria temporanei di un’altra mente; come ‘provveditore’, cerca
poi di intensificare (non di sostituire) le risorse di quella mente, attingendo alla propria scorta di
conoscenza e di abilità” 28 .Un insegnante-diagnostico deve riuscire ad immaginare sia la
domanda sia la risposta del bambino, perché nessuna delle due da sola sarà sufficiente per
definire la traiettoria del pensiero e deve essere anche capace di anticipare qualcosa di quello che
il bambino potrebbe incontrate durante il percorso esplorativo.
La frequenza di questo master mi ha permesso di acquisire una maggiore e migliore padronanza
del sapere disciplinare, didattico e metacognitivo, differenti tra di loro ma strettamente interrelati
nella prassi scolastica e quindi di avvicinarmi all’idea di insegnante “diagnostico” e
“provveditore” di Hawkins, ma la strada da percorrere è ancora lunga.
Alla luce della ricerca-azione realizzata e del percorso di studio intrapreso, sono ancora più
convinta che un tale approccio metodologico-didattico supporta lo sviluppo della creatività del
bambino, come consapevolezza delle proprie possibilità e come progressiva capacità di
autonoma valutazione dell’uso delle conoscenze sul piano personale e sociale. Ogni bambino
28 Hawkins D.,1979, Imparare a vedere, Torino, Loescher Editore, p. 136.
49

non è soltanto titolare del diritto all’apprendimento, ma collabora in maniera significativa alla
riuscita del proprio apprendimento inteso come sapere, saper fare e saper essere.
La scuola diventa così un vero “laboratorio culturale”, in cui l’alunno “apprendista” impara l’arte
dell’apprendimento, come ricerca di competenze e di partecipazione al processo di auto-
costruzione di conoscenze, incontro tra fondamenti culturali posseduti e capacità di tradurli in
operatività.
A mio avviso, questo modus operandi dovrebbe entrare a far parte in maniera istituzionale dei
curricoli scolastici e della prassi educativa per giungere ad un reale e completo apprendimento
della Matematica.
Questa è la proposta curricolare di una scuola che è al passo con i tempi e che si pone nella
prospettiva della formazione continua, come “lifelong learning”.
Se si riesce ad accettare questa prospettiva, cambia completamente il modo di pensare la scuola,
non solo perché si mettono in circolo le emozioni, anche le nostre (quelle dei docenti), ma anche
perché iniziamo a pensare a come pensano gli alunni.
50

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Vygotskij L. S.,1990, Pensiero e linguaggio, (trad. it.), Bari, Laterza.
51

Registrazione audio integrale del 3° incontro
ALLEGATO 1
Ho allegato la registrazione audio integrale del 3° incontro per evidenziare il mio cambiamento
metodologico-didattico alla luce del percorso di studio intrapreso e della ricerca-azione
realizzata.
Durante gli incontri della ricerca-azione sono intervenuta nella discussione soltanto per
mantenere la direzionalità del processo di co-costruzione della conoscenza, che scaturiva
naturalmente dal confronto dialettico tra i bambini, diversamente da quello che di solito faccio
nelle mie classi, seguendo un approccio metodologico-didattico tradizionale basato sullo schema
spiegazione, esercitazione e verifica e su un modello a scala piuttosto che ad albero per dirla con
Hawkins.
Mi ha sorpreso molto l’assecondare i percorsi mentali dei bambini, senza la preoccupazione e
l’ansia di realizzare le attività programmate e di costringere i bambini a ritornare sul sentiero già
tracciato (come di solito faccio in classe).
Dunque non ho cambiato soltanto posto, ma ho rivisto completamente il mio modus operandi.
1 -Ins.: “Parliamo dell’attività delle lumachine. Partiamo da
questo: quasi tutti hanno detto che questo grafico
rappresenta le lumachine che percorrono due velocità
diverse; chi di voi mi sa dire, invece, perché questo grafico
non rappresenta il percorso che le lumachine fanno?”
COMMENTO
Seguendo l’approccio
metodologico tradizionale,
avrei iniziato la lezione con
la spiegazione della legge
oraria, facendo diversi
esempi alla lavagna.
Non avrei proposto i giochi
di movimento per chiarire la
differenza tra traiettoria e
legge oraria, limitando
l’espressione dei bambini
allo spazio del banco e del
quaderno o al massimo della
lavagna.
52

2 -Lorenzo: “Perché altrimenti dovrebbe essere spazio e
spazio”.
3 -Ins.: “Allora, se io dicessi che queste due lumachine si
stanno muovendo lungo un muro verticale...”
4 -Lorenzo: “Maestra, dovrebbe essere spazio e spazio,
perché vanno prima a destra, poi ancora a destra…”
5 -Ins.: Innanzitutto è chiaro a tutti di che cosa stiamo
parlando? Delle due lumachine che compiono un percorso;
Vincenzino, su questo grafico si vede il percorso che le
lumachine fanno o si vede altro?
6 -Vincenzo: “ Si vede pure altro, infatti, in due minuti la
lumachina fa due metri”.
7 -Ins.: “Vincenzino ha detto che si vede anche altro, questo
altro mi fa supporre che si vede la velocità ma anche il
percorso che fanno, cioè lo spazio”.
8 -Lorenzo: “ Sì, lo spazio! Non da solo!”
9 -Bianca: “ Secondo me, si vede il percorso perché una
lumachina fa un metro in un minuto, mentre l’altra fa 2
metri in 1 minuto, quindi è un percorso”.
10 -Lorenzo: “Secondo me, quella indica lo spazio che
percorre e quanto tempo impiega a percorrerlo, quindi è il
L’insegnante mi ha detto che
i bambini hanno già
esperienza di moto e la
relativa rappresentazione sul
piano. Qualcuno ricorda
bene, altri meno. Il mio
intervento, al contrario di
quello che faccio di solito
nelle mie classi, è finalizzato
ad aggirare l’indottrinamento
e portare le intelligenze a
confrontarsi, non limitandosi
a ricordare.
Un’altra novità metodologica
che ho potuto sperimentare
durante questa ricerca-azione
è l’utilizzo del registratore
durante gli incontri. L’analisi
della registrazione audio è
uno strumento prezioso per
comprendere i percorsi
mentali di ogni bambino e
coglierne i significati
impliciti.
Ad esempio, Bianca usa
impropriamente il termine
percorso; in realtà esprime
un rapporto.
La confusione è colta da
Lorenzo che cerca di
53

tempo. Il tempo è quanto ci impiega a percorrere lo spazio,
però lo spazio non ci fa vedere il percorso, ci fa vedere
solo lo spazio che percorre”.
11 -Lorenza: “ Quindi maestra, addizionando in qualche
modo spazio e tempo si vede anche la velocità”.
12 -Francesco: “ Se addiziono spazio e tempo ho la
velocità”?
chiarire.
“Addizionando” sta per
“rapportando”, ma l’errore
linguistico – concettuale
risulta essere una miniera
d’oro. Consente di aprire una
discussione circa la struttura
additiva, moltiplicativa e la
proporzione.
13 -Ins.: “ Cosa significa addizionando in qualche modo?” Con questa domanda apro la
strada ad una conversazione,
interpretando l’errore come
errare tra le conoscenze.
Seguendo l’approccio
metodologico tradizionale,
avrei subito corretto Lorenza
senza dare una giusta
interpretazione al suo
pensiero e dando la risposta
esatta. Avrei corretto gli
errori, credendo di aver
risolto il problema
concettuale
spiegazione.
con un’altra
14 -Lorenza: “ Cioè mettendo in relazione”.
15 -Ins .: “Francesco ti ha chiesto se spazio più tempo fa
velocità”.
16 -Lorenza: “ Non esattamente, perché in questo grafico
si vede la velocità di una lumachina rispetto all’altra.
Non solo il percorso in quanto tempo, io sto mettendo in
relazione spazio e tempo e sto vedendo anche la velocità”.
La risposta di Lorenza è
ancora poco chiara, perciò
ribadisco la perplessità di
Francesco.
Lorenza vuole dire che il
grafico non riporta solo la
velocità di una lumachina (la
relazione spazio e tempo) ma
confronta anche le due
diverse velocità.
La cosa è molto interessante
ma, in quel contesto, è
sfuggita sia a me che
54

17 -Bianca: “ Abbiamo fatto il piano cartesiano proprio per
relazionare lo spazio al tempo”.
18 -Lorenza: “Relazionando spazio e tempo ci viene, non
so se è giusto, la velocità; il percorso è la prima cosa che si
vede, se stai più attenta si vede anche in quanto tempo lo
percorre, non solo il tempo ma anche la velocità”.
19 -Lorenzo: “Allora hai detto la stessa cosa di Francesco,
spazio 'unnn' tempo fanno velocità”.
20 -Ins.: “Perché hai detto spazio 'unnn' tempo fanno
velocità, che cosa significa unnn?Che cosa ti sei mangiato?”
21 -Lorenzo: “ Il più”.
22 -Ins.: “Spazio più tempo. Però ci sembra strano.
Perché?”
23 -Lorenzo: “ Sì, perché non sono numeri. Allora diviso.
Spazio diviso tempo”.
24 -Ins. : “Perché dici diviso?
25 -Lorenzo: “Mia sorella mi ha detto che si fa la
divisione”.
all’insegnante di classe
perché eravamo concentrate
sul problema
dell’operazione.
L’intervento testimonia la
consapevolezza dell’uso del
piano per evidenziare una
relazione tra variabili.
L’intervento di Lorenzo
sembrava che avesse chiarito
la differenza tra percorso e
rapporto spazio/tempo, ma
forse non è così. Voglio,
inoltre, accertare il senso che
si attribuisce a mettere in
rapporto o relazionare che le
bambine stanno usando.
Lorenzo non usa addizionare
e nemmeno rapporto o
relazione, ma un’espressione
che sollecita un
approfondimento. Seguendo
l’approccio tradizionale avrei
suggerito a Lorenzo la parola
mancante, senza indurlo a
riflettere.
26 -Vincenzo: “Forse ha ragione”. Avrei potuto chiedere perché
Vincenzo pensa che la
sorella di Lorenzo abbia
ragione.
55

27 -Novella: “Per me può essere anche spazio più tempo,
però come si fa a sommare spazio più tempo, cioè un
centimetro più un minuto, quanto fa?”
28 -Lorenzo: “Mi sembra più strano con il più, che con il
diviso”.
29 -Bianca: “Secondo me, Lorenzo vuole dire che un
certo tempo si divide in un certo numero e la lumachina
percorre uno spazio nel tempo che ha diviso”.
30 -Lorenzo: “Secondo me, ho detto diviso perché tu dividi
lo spazio che percorre la lumachina e poi guardi il tempo
che ci ha impiegato per fare quello spazio e poi dividi
pure il tempo per avere anche lo spazio”.
31 -Ins.: “Lorenzo sta dicendo che per considerare lo spazio
che ha percorso in un certo tempo posso dividere il tempo,
ossia considerarlo a pezzetti e per ogni pezzetto ci metto una
tacca. Viceversa considerando le tacche che segnano il
tempo, guardando il grafico, posso sapere quanto spazio ha
percorso. Ho capito bene Lorenzo? Questo stai dicendo?”
32 -Lorenzo: “Sì”.
33 -Francesco: “Ma come è possibile?”
34 -Ins.: “Francesco, se considero un’ora e dico che una
macchina in un’ora fa 60 chilometri, in mezz’ora farà 30
chilometri. Che cosa sto facendo? Ad esempio, per
arrivare a Salerno so che sono più o meno 60 chilometri e
dico che voglio percorrere in un’ora 60 chilometri, in 2 ore
120 chilometri e così via”.
L’intervento di Novella può
aiutare a riflettere.
La struttura additiva
funziona con variabili rese
semanticamente omogenee.
Cosa non possibile con
spazio e tempo.
Senza l’aiuto della mia tutor,
avrei sottovalutato
l’intervento di Novella.
Anche qua avrei potuto
chiedere dove Lorenzo
coglie la stranezza, ma avevo
paura di essere troppo
invadente. L’ins. mi aveva
raccomandato di non
intervenire troppo spesso e
soprattutto di non dare
imbeccate.
In questo intervento è
evidente l’uso del pensiero
proporzionale.
35 -Lorenza: “Sta salendo a galla anche la La metafora del “salire a
galla” rende chiaro un
56

moltiplicazione”. metodo d’indagine e di
acquisizione delle
conoscenze che Lorenza ha
fatto proprio: le conoscenze
emergono dal confronto sulle
esperienze.
L’intervento di Lorenza mi
ha dato la possibilità di
“toccare con mano” la
validità di questa modalità di
apprendimento.
36 -Salvatore: “Secondo me, è la moltiplicazione, perché
moltiplichiamo lo spazio nel tempo, per esempio se
percorre in mezz’ora 50 metri, negli ultimi minuti fa
60”.
37 -Ins.: “Cioè vuoi dire, se in mezz’ora fa 50 metri, in
un’ora fa 100 metri, è questo quello che vuoi dire?”
38 -Salvatore: “ Sì”.
39 -Marcello: “Secondo me, quelle due rette mettono in
relazione un certo spazio e un tot di tempo, cioè in quanto
tempo la lumaca percorre un tot di centimetri”.
40 -Lorenza: “La moltiplicazione c’entra perché la
lumachina rossa fa in un’ora un metro, allora se non ci
fosse l’altra retta, ci potremmo porre la domanda…in
due ore quanti metri fa? In tre ore? Quindi un poco
moltiplico. Però dico che anche la divisione è giusta
perché questo spazio si divide in questo tempo, no… il
tempo si divide nello spazio, no è il contrario perché i metri
si dividono in un certo tempo, in un metro fa un’ora, in due
metri fa due ore”.
41 -Ins.: “Se io considero per esempio lo spazio 8, quello
contrassegnato con 8, posso dire che questo spazio è stato
percorso in un tot di tempo e se voglio considerare il
secondo minuto lei non ha percorso 8 metri, ma ne ha
percorsi 4”.
42 -Lorenza: “In questo caso è anche la metà, nel caso della
1°- Lorenza interpreta il
grafico, tentando di dare un
senso alla contemporanea
presenza delle due rette.
Se compaiono insieme
qualcosa deve pur
significare, ma purtroppo
non riprendo né
quest’intervento né altri in
cui i bambini mettono a
confronto le due rette.
2° Emerge il groviglio
spazio-temporale e quello
dell’aritmetica che tenta di
raccontarlo.
57

lumachina blu”.
43 -Ins.: “Se metti a confronto i due grafici, si vede che è la
metà”.
44 -Anita: “ Io volevo sapere quindi due rette ci raccontano
la velocità oppure altro?”
45 -Ins. : “ Secondo te, Anita?”
46 -Anita: “Secondo me, anche quante volte si fermano,
perché il tempo passa ma lo spazio si ferma”.
47 -Lorenzo: “Non sono d’accordo con la fermata, perché
altrimenti il grafico dovrebbe presentare una linea
orizzontale all’ascissa perché il tempo va avanti ma la
lumaca sta sempre in quello spazio”.
48 -Anita: “Io detto così perché ogni tanto sono segnati dei
punti sul grafico”.
49 -Ins.: “Lei intende i punti sulla retta, non le fermate”.
50 -Lorenzo: “Quella è la relazione”.
51 -Anita: “Sì, ma non ho ancora capito la relazione di che
cosa”.
52 -Lorenzo: “ I punti rappresentano la relazione spazio e
tempo; per esempio, qua si unisce un metro con un minuto e
così via.”
53 -Ins.: “Anita, è sufficiente la risposta di Lorenzo?”
54 -Anita: “Ho capito quello che dice Lorenzo, ma ancora
non ho capito il senso di questi punti”.
55 -Lorenzo: “I punti non esistono, ma ti fanno capire che
in un minuto percorre un metro, come se non ci fossero”.
56 -Anita: “ Ogni volta c’è un punto”.
57 -Ins.: “Ogni volta cosa?”
58 -Anita: “Ogni metro, ogni tempo e spazio messo
insieme, c’ è un punto, quella sarebbe la soluzione”.
59 -Ins. : “Aspetta, di cosa stiamo parlando?”
E’ chiara la capacità di usare
il piano come strumento per
raccontare.
Ogni tanto…ogni quanto e
cosa succede ogni volta che
si considera un nuovo punto
sull’asse temporale?
I punti come segni per far
capire.
58

60 -Anita: “Di spazio e tempo in relazione”.
61 -Ins.: “Perché hai parlato di soluzione?”
62 -Anita: “Perché maestra mi sono ricordata il problema
dell’acqua e dello zucchero che insieme in quel punto
facevamo la soluzione”.
63 -Ins. : “Allora il piano cartesiano non ci racconta sempre
una storia tra spazio e tempo, ma…”
64 -Lorenza: “Mettere in relazione è, secondo me, la parola
più giusta”.
65 -Ins.: “Ma mettere in relazione che cosa?”
I bambini utilizzano le
esperienze già vissute e le
conoscenze acquisite per
affrontare nuove situazioni.
Si riflette sul piano come
oggetto matematico.
66 -Vincenzo: “Due dati”. Capacità di astrazione e di
generalizzazione. Vincenzo
vuole dire che posso usare il
piano in contesti diversi.
67 -Salvatore: “Spazio e tempo significa la velocità, cioè in
un minuto fa un certo spazio, allora sto parlando di velocità,
per questo c’è il puntino”.
68 -Maria: “E’ come nel problema dell’acqua e dello
zucchero, quel puntino era acqua zuccherata. Ora sarebbe
spazio-tempo”.
69 -Vincenzo: “Per me quello che ha detto Salvatore è
sbagliato, non indica soltanto la velocità, per esempio fa un
metro in un giorno, Salvatore ho capito che ha detto che
quel puntino segna soltanto la velocità. Indica anche il
tempo”.
70 -Francesco: “Per me hanno detto diviso perché se io
dico diviso, devo dividere sia lo spazio sia il tempo; se
dividi soltanto il tempo, lo spazio non cambia”.
71 -Bianca: “La divisione è l’operazione inversa della
moltiplicazione, perciò c’entra anche la moltiplicazione,
come ha detto Lorenza. Hanno qualcosa in comune”.
Ora è chiaro il concetto di
velocità come rapporto tra
spazio e tempo.
Esperienze passate vengono
in aiuto per capire,
sistematizzare meglio, ma
anche per ampliare l’uso
dello strumento (piano
cartesiano) che può
rappresentare più realtà.
Vincenzo non coglie la
relazione tra velocità e S/T.
La registrazione audio,
come ho affermato in
precedenza, è sicuramente un
valido strumento di verifica.
Francesco parla di
proporzionalità?
La strada si fa breve quando
si sono fatti propri degli
strumenti che si utilizzano
per capire nuove situazioni.
59

72 -Marcello: “I puntini rappresentano la relazione; quanto
spazio percorre la lumaca in un minuto”.
73 -Lorenzo: “I puntini ti dicono soltanto quanto spazio
percorre la lumachina in un determinato tempo”.
74 -Marcello: “A questo grafico gli importa più il tempo
che lo spazio, perché in un minuto percorre un centimetro
una lumaca, mentre l’altra lumaca percorre in un minuto due
centimetri”.
75 -Lorenzo: “ Sì, perché quella è andata più veloce”.
76 -Ins.: “Voglio farvi riflettere su quello che ha detto
Marcello, cioè che in questo grafico il tempo è una delle
variabili che resta la stessa, che trascorre allo stesso modo
per tutte e due le lumache”.
77 -Lorenzo: “E’ vero, perché il tempo è uguale per tutte e
due le lumachine”.
78 -Ins.: “Per questo motivo molti matematici pongono il
tempo sull’asse dell’ascissa”.
79 -Bianca: “Maestra l’altra volta mi hai corretto il fatto dei
gradi, io avevo messo sull’ascissa la temperatura e il tempo
sull’ordinata; mi hai corretto dicendo che sull’ascissa si
mette il dato che tu già conosci e sull’ordinata il dato che
cambia”.
80 -Ins.: “Sì, il dato che cambia in funzione del dato che
conosciamo si mette sull’ordinata”.
Qui si legge un tentativo
chiaro di interpretazione del
grafico. Quest’intervento mi
dà la possibilità di integrare
ed ampliare le conoscenze e
il vocabolario dei bambini,
introducendo i concetti di
variabile dipendente e di
variabile indipendente.
Non avrei introdotto i
concetti di variabile
dipendente e di variabile
indipendente, partendo
dall’intervento di un
bambino ma utilizzando una
modalità trasmissiva.
Avrei dovuto riprendere
l’intervento di Lorenzo, per
me era chiaro che il bambino
si riferisse al fatto che il
tempo trascorre allo stesso
modo per le due lumache.
Ascoltando la registrazione
audio, però, potrebbe essere
riferito anche al fatto che le
rette vanno a coprire lo
stesso lasso di tempo.
60

81 -Marcello: “Se io dico, ad esempio, che in 7 minuti
questa lumachina ha percorso 7 centimetri, posso sapere
in un minuto quanti centimetri ha percorso?”
82 -Lorenzo: “1”.
83 -Ins.: “Quale operazione faccio?”
84 -Lorenzo: “Il più”.
85 -Pia: “La tabellina dell’1 al contrario”.
86 -Antonio: “Cioè il diviso”.
87 -Marcello: “No, devi fare la tabellina del 2”.
88 -Lorenza: “Hai ragione, mi sto correggendo, 1x1, 2x2,
3x3, invece qua si deve fare la metà”.
89 -Ins. : “Scrivete quello che state dicendo”. Ecco un suggerimento per
facilitare.
Avrei interrotto la
discussione e sarei
intervenuta sostituendomi ai
bambini.
90 -Antonio: “Ritornando al fatto di prima della
moltiplicazione e della divisione, io credo che è la
moltiplicazione, perché in un certo tempo la lumaca
percorre un tot di metri, ad esempio in 30 secondi la lumaca
percorre 1 centimetro, mentre l’altra lumaca in 1 minuto
percorre 1 centimetro”.
91 -Lorenza sta disegnando la tabella seguendo le
indicazioni di Antonio.
92 -Antonio: “ Quindi se la lumaca dovesse fare 10
centimetri, impiegherebbe 5 minuti, mentre l’altra
impiegherebbe più tempo”.
93 -Ins. : “ Perché hai fatto 5 minuti?”
94 -Francesco: “ La lumaca che va più veloce impiega la
metà del tempo per questo diviso due, 2 centimetri in 1
minuto, invece, l’altra fa 2 centimetri in 2 minuti”. “Quella
Anche per Antonio è molto
significativo il fatto che ci
siano due rette sul piano.
Collaborazione finalizzata a
raggiungere uno scopo
comune. Un esempio
significativo del processo di
co-costruzione della
conoscenza.
Anche questo intervento è
molto significativo e avrebbe
potuto chiarire quello di
Lorenzo e dell’insegnante
(n° 77 e n° 78).
61

2 centimetri in 1 minuto, quindi è diviso 2”.
95 -Ins. : “Che cosa è diviso per 2?”
96 -Francesco: “Il tempo, perché lo spazio non cambia. Il
tempo è diviso perché una ci impiega la metà del tempo,
l’altra il doppio”.
97 -Ins.: “ Una ci impiega rispetto all’altra la metà del
tempo. Quanti secondi sono 5 minuti?”
98 -Anita: “300 secondi”.
99 -Ins.: “Scriviamo 300 secondi invece di 5 minuti.
Guardiamo cosa dice il grafico: in 300 secondi quanto
spazio percorre? Come vogliamo chiamarla?”
100 -Tutti: “Relazione”.
101 -Ins.: “ Guardiamo questa relazione, qua è 30 tempo e
qua…?”
102 -Lorenza: “ E’ un centimetro”.
103 -Ins.: “ Qua sono 300 secondi, e qua…?”
104 -Lorenza: “ 10 centimetri”.
105 -Ins.: “Allora che cosa vedete? Che cosa possiamo
ricavare da queste informazioni? Se faccio 3000 secondi…”
106 -Marcello: “Stai facendo la moltiplicazione, stai
aggiungendo gli zeri. Mettere in relazione dividere e
moltiplicare in questo caso sono la stessa cosa”.
107 -Ins.: “ In questo caso sono la stessa cosa e cioè…”.
108 -Lorenza: “ Sono la stessa cosa, il rapporto deve
essere uguale all’unità di misura”.
109 -Ins.: “ Che significa rapporto uguale all’unità di
misura?”
110 -Vincenzo: “Il rapporto di uno del tempo è uguale al
rapporto di uno dello spazio”.
Non avrei fatto la domanda,
ma avrei dato la definizione
esatta.
Emerge la struttura
moltiplicativa come quella
più adatta a calcolare
rapporti.
La costante associata per
analogia all’unità di misura.
Vincenzo vuole dire che il
rapporto tra le variabili è
costante.
In questa sede il mio
intervento avrebbe potuto
chiarire il linguaggio e di
conseguenza il pensiero.
62

111 -Lorenza: “ Noi stiamo facendo una specie di unità di
misura, prima è 2, infatti, dobbiamo dividere per 2, poi
moltiplichiamo per 10; ma quindi non ho capito dividere per
2 e moltiplicare per 10 non credo che sono la stessa cosa”.
112 -Ins.: “ Non è la stessa cosa”.
113 -Maria: “ La relazione non deve essere per forza tra
spazio e tempo, anche negli anni scorsi abbiamo fatto
con acqua e zucchero o anche per fare i panini,
mettevano 3 pizzichi di sale e un bicchiere d’acqua”.
114 -Ins.: “Che cosa significa?”
115 -Bianca: “ Per ogni bicchiere tre pizzichi di sale,
perciò serve la moltiplicazione”.
116 -Ins.: "Scrivo quello che ha detto Bianca, 1 bicchiere 3
pizzichi di sale, 2 bicchieri 6 pizzichi di sale, 3 bicchieri…”.
117 -Lorenza: “Per questo dicevo l’unità di misura, in
questo caso è il 3”.
118 -Ins.: “ Il rapporto posso scriverlo così 1/3 oppure
1:3, è la stessa cosa?”
119 -Tutti: “Sì”.
120 -Ins.: “1/3 e 1: 3 significano 1 su tre”.
121 -Antonio: “1 ogni 3 e 1 diviso 3”.
122 -Ins: “Se io qua ci metto 12, quale sarà l’altro
numero?”
123 -Salvatore: “4”.
124 -Ins.: “Come hai fatto ad ottenere questo 4?”
125 -Salvatore: “ Ho fatto 12 diviso 3”.
126 -Ins.: “ Non riesco a capire perché dici unità di
misura”.
127 -Lorenza: “ L’unità di misura è un campione, è
uguale per tutti”.
128 -Ins.: “ Qual è in questo caso il campione?”
Ma Lorenza sembra cogliere
questa opportunità; infatti,
individua la costante nel
numero 2. Avrei potuto
chiedere cosa intendesse dire
con “prima è 2”.
Il lavorio mentale che cerca
nelle esperienze precedenti
per dare significato a quanto
si vive oggi.
Faccio uso di una tabella.
La costante è 3.
63

129 -Lorenza: “ il 3, 1 a 3. Per 3 o diviso 3. Se
consideriamo il tempo dobbiamo fare per 10, se
consideriamo lo spazio dobbiamo fare diviso 10”.
130 -Maria: “ Mi viene in mente quel disegno che
abbiamo fatto in terza, la divisione è l’operazione
inversa della moltiplicazione”.
131 -Salvatore: “ Io ho detto 4 perché ho fatto la
moltiplicazione, 4 per 3 fa 12”.
132 -Lorenza: “ Ogni numero deve essere diviso sempre
per 3, 12 diviso 3 è 4, 9 diviso 3 è 3,15 diviso 3 è 5 e così
via”.
133 -Ins.:“Per spiegarci se c’entra la divisione o la
moltiplicazione, ci sono stati vari interventi; quelli di Maria
e di Bianca mi sembrano fondamentali. Maria ha detto che
la divisione è l’inverso della moltiplicazione. Lorenza ha
aggiunto poi che in alcuni casi dobbiamo moltiplicare, in
altri dobbiamo dividere. Se io dico che per ogni bicchiere
d’acqua, metto tre pizzichi di sale, è chiaro che se dico per 2
bicchieri, dato che l’1 nel 2 ci sta 2 volte, anche di qua devo
fare 2 volte il sale per mantenere la stessa relazione. Che vi
pare? Infine l’intervento di Lorenza ha posto l’attenzione
sull’unità di misura o campione su cui rifletteremo un’altra
volta”.
Ringraziamenti
In questo percorso di studio, sperimentazione e ricerca ho avuto la fortuna di ricevere il prezioso
sostegno, i consigli e le correzioni della mia collega e tutor Pasqualina Nazzaro, alla quale va
tutta la mia riconoscenza e gratitudine.
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