Casi pratici di approccio statistico alle tolleranze. Ridurre i costi e realizzare progetti robusti: metodo RSS e Monte Carlo nell'analisi delle catene di tolleranze

“Casi pratici di approccio statistico alle tolleranze”

Ai miei genitori

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Luigi Pasquali

Casi pratici di approccio

statistico alle tolleranze.

Ridurre i costi e realizzare

progetti robusti: metodo RSS e

Monte Carlo nell'analisi delle

catene di tolleranze.

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“Tutti i modelli sono sbagliati, ma alcuni sono utili.”

George Edward Pelham Box

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PREFAZIONE

È con onore e immenso piacere che introduco al lettore questo libro

del caro amico Luigi. Dico "onore" perché Luigi è uno di quegli

ingegneri ancora votati alla tecnica, di quella razza in via di

estinzione che ancora coltiva, alimenta ma soprattutto utilizza le

competenze e l’approccio che i duri anni di studi ci hanno insegnato.

Un approccio che una certa faciloneria, a volte dettata

dall’incompetenza, relega all’angolo nelle organizzazioni a favore di

inutili soluzioni semplici e scorciatoie.

Con questo non voglio dire che i temi di questo libro siano

esclusivamente per ingegneri; tutt’altro, sono per tutti coloro che non

si accontentano delle favole, per tutti coloro che vogliono andare a

fondo al tema delle catene di tolleranze senza però mai travalicare il

buon senso, e in qualche modo desiderano comprendere le regole di

base che governano i nostri sistemi e i nostri prodotti. Questo libro è

nato dalla passione di Luigi per l’ingegneria e dalla sua profonda

conoscenza delle tecniche di simulazione applicate alla

progettazione meccanica, ma è anche un condensato di vera

esperienza in ufficio tecnico.

Attraverso anni di esperienza lavorativa, Luigi ha raccolto e

perfezionato una vasta gamma di casi pratici che ora condivide con

voi, offrendo strumenti concreti per ridurre i costi e realizzare progetti

robusti.

Questa è un’opera che rappresenta un punto di riferimento

essenziale per ingegneri, progettisti e studenti interessati a

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migliorare la loro comprensione delle catene di tolleranze. La mia

speranza è che siano proprio gli studenti a leggere questo libro,

perché possano vaccinarsi contro la cultura deterministica purtroppo

prevalente nelle aziende. Uno degli aspetti più rilevanti affrontati in

questo libro è il superamento della tradizionale cultura aziendale che

privilegia un approccio deterministico ai dati. Troppo spesso, infatti,

nelle aziende si tende a considerare i dati come statici e immutabili,

ignorando l’importanza dell’approccio statistico o stocastico, ovvero il

reale comportamento dei processi con i quali si realizzano le

lavorazioni dei particolari. Comportamento che solo entro certi limiti

risulta prevedibile e che solo con una certa probabilità (che è un

dovere stimare) è possibile collocare all’interno di un campo di

tolleranza.

Luigi racconta la storia di come il caso aiuti gli audaci, di come ci

siano leggi della natura che ci proteggono dagli estremi. È la storia di

come, anche quando le distribuzioni delle lavorazioni dei pezzi non

sono normali e si pensa di aver perso il controllo della lavorazione o

della fornitura, tutto ritorna normale grazie alle magie del teorema del

limite centrale. Il libro si distingue per la chiarezza con cui vengono

esposti i metodi RSS (Root Sum Square) e Monte Carlo,

fondamentali per l’analisi delle catene di tolleranze. Questi metodi,

illustrati attraverso una serie di esempi dettagliati, permettono di

affrontare e risolvere le problematiche quotidiane che si presentano

nella progettazione meccanica, garantendo l’affidabilità e la qualità

dei prodotti.

Grazie ai contenuti di questo libro, si vuole portare il lettore a

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superare il vetusto, bugiardo e irrealistico approccio Worst Case,

approccio che ricordo essere valido e coerente con quello che si

crede di ottenere (la certezza del risultato) solo se controlliamo le

tolleranze al 100%. Non è infatti vero che, se in una scrivania

dell’ufficio tecnico ci mettiamo le mutande di ghisa, calcolando in

worst case, restringendo nel 99% dei casi

le tolleranze, queste ultime poi obbediranno al disegno. Le tolleranze

obbediscono alle macchine e ai metodi con cui vengono condotte;

questo significa che, se non si adotta un linguaggio diverso che

unisca al concetto di tolleranza una probabilità di ottenerla e una

forma desiderata di distribuzione dei dati, a valle sarà difficile

mantenere il processo sotto controllo, se non misurando tutto al

100%. È il concetto di capability. E le deroghe allora? Non saranno

mica l’evidenza che in fondo forse esiste un equilibrio più ampio di

quello immaginato?

La struttura del libro è pensata per guidare il lettore passo dopo

passo, partendo dalle basi delle tolleranze e dell’intercambiabilità,

fino ad affrontare casi avanzati e complessi. Le appendici forniscono

utili richiami di statistica elementare e funzioni Excel®, nonché le

basi del controllo statistico di processo, rendendo questo libro una

risorsa completa e versatile.

Voglio ringraziare Luigi per aver condiviso la sua esperienza e il suo

sapere. Mi prendo il merito di aver acceso in lui la fiammella tanti

anni fa durante uno dei miei corsi sul tema; è quindi per me una

grande soddisfazione professionale essere qui ora a testimoniare

un percorso così virtuoso di approfondimento e divulgazione.

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Concludo dicendo che sono certo che troverete in queste pagine non

solo risposte ai vostri quesiti tecnici, ma anche una fonte di

ispirazione per affrontare con maggiore consapevolezza, e forse

meno ansia, il vostro lavoro quotidiano.

Buona lettura!

Nicola Lippi

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INTRODUZIONE

Piuttosto che un testo teorico, questo libro ha l’obiettivo di fornire

strumenti operativi pratici.

L’enfasi è posta sull’utilizzo “quotidiano” delle tecniche di

simulazione, attraverso l’esposizione di una ventina di dettagliati casi

di implementazione, ricavati da esperienze aziendali concrete.

Una prima parte del testo si occupa delle analisi più frequenti,

mentre una seconda affronta casi avanzati di crescente complessità.

L'appendice 1 richiama elementi base di statistica (con esplicito

riferimento alle funzioni statistiche del software Excel®). L’appendice

2 tratta le basi del controllo statistico della produzione mentre

l’appendice 3 è dedicata al Teorema del Limite Centrale.

Tutti i fogli elettronici dei casi riportati in questo libro sono scaricabili

all’indirizzo: https://montecarlo-simulation-zoo.weebly.com/

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INDICE

Prefazione pag. 6

Introduzione pag. 10

Indice pag. 11

* PERCHE’ un approccio statistico pag. 14

* CASO 1: richiesta di deroga e WCA pag. 19

* CASO 2: richiesta di deroga e RSS pag. 26

PARTE 1

* Tolleranze e intercambiabilità pag. 31

* Le cause di variabilità pag. 33

* Tolerance stack-up pag. 33

* Il dilemma delle “mutande di ghisa” pag. 39

* Applicazione del metodo WCA pag. 41

* CASO 3: GAP assiale di motore elettrico pag. 42

* CASO 4: GAP assiale di albero su 2 supporti pag. 52

* Quando il metodo WCA è da preferire pag. 60

* Applicazione del metodo RSS pag. 63

* Primo passo nell’approccio statistico pag. 64



* Il metodo MRSS pag. 72

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* Limiti del metodo RSS pag. 74

* Esempio 1 di inapplicabilità del metodo RSS pag. 75

* Esempio 2 di inapplicabilità del metodo RSS pag. 77

* Applicazione del metodo Monte Carlo pag. 79

* CASO 7: richiesta di deroga pag. 83



PARTE 2

Tolleranze di forma e metodo RSS pag. 103

* CASO10: perno che trafigge due piastre pag. 103

* CASO 11: pompa a ingranaggi: WCA e RSS pag. 109

*CASO 12: pompa a ingranaggi: Monte Carlo pag. 117

Tolerance stack up bidimensionali. Pag. 125

* CASO 13: fissaggio di motoriduttore pag. 126

* CASO 14: staffa con 4 fori pag. 134

* CASO 15: ruota libera WCA pag. 138

* CASO 16: ruota libera Monte Carlo pag. 143

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Casi non lineari pag. 147

* CASO 17 : regolatore di pressione pag. 147

* CASO 18: pompa volumetrica alternativa pag. 154

* Conclusione pag. 161

* Requisiti per il metodo Monte Carlo pag. 163

* Valori per un uso efficace del metodo pag. 164

APPENDICE 1 :

statistica elementare e funzioni EXCEL pag. 165

* CASO 19: verifica probabilistica di una molla pag. 181

APPENDICE 2 :

controllo statistico di processo: CP e CPK pag. 185

* CASO 20 : durezza di un ingranaggio pag. 194

* CASO 21 : boccola a strisciamento pag. 196

* CASO 22 : rischio di grippaggio pompa pag. 198

APPENDICE 3 :

Il Teorema del Limite Centrale pag. 204

RINGRAZIAMENTI pag. 211

BIBLIOGRAFIA pag. 212

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PERCHE’

UN APPROCCIO STATISTICO ALLE TOLLERANZE?

1 PER RIDURRE I COSTI DI PRODUZIONE

È noto che i costi di produzione aumentano drasticamente quando

gli intervalli di tolleranza si restringono. Nel settore industriale, infatti,

l’adozione di tolleranze più rigide comporta un’impennata dei costi,

dovuta a una serie di fattori interdipendenti. Innanzitutto, per ottenere

tolleranze ridotte è necessario utilizzare macchinari e strumenti di

misurazione di alta precisione, che comportano spese significative

sia in termini di acquisto che di manutenzione. Questi dispositivi

richiedono anche tempi di set-up più lunghi e meticolosi, con

conseguente aumento del ciclo di produzione per unità e del rischio

di scarti.

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Il controllo qualità si fa più complesso e richiede l'impiego di

tecnologie avanzate e personale altamente qualificato,

incrementando ulteriormente i costi operativi. Inoltre, mantenere

tolleranze strette comporta l’utilizzo di materiali specifici e costosi,

così come l'adozione di sistemi di controllo statistico del processo

per limitare la variabilità [6].

In sintesi, la combinazione di tutti questi fattori contribuisce a un

aumento esponenziale dei costi di produzione al diminuire degli

intervalli di tolleranza, riflettendo la complessità e l’attenzione ai

dettagli necessarie per raggiungere elevati livelli di precisione.

L’approccio statistico permette di quantificare il rischio associato

all'adozione di tolleranze più ampie rispetto a quelle permesse

dall’analisi tradizionale, nota come WCA (Worst Case Analysis).

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PERCHE’

UN APPROCCIO STATISTICO ALLE TOLLERANZE?

2 PER AVERE PROGETTI ROBUSTI

A causa della variabilità dei componenti, prodotti nominalmente

identici non hanno prestazioni identiche. Senza ricorrere a tolleranze

più strette, l'approccio statistico consente di ottenere prodotti con

prestazioni molto più ripetibili, concentrandosi sulle dimensioni che

influenzano maggiormente le performance. In questo modo, i progetti

sono resi più "robusti".

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Inoltre, un approccio di tipo statistico è in grado, in molti casi, di

evidenziare i meccanismi di causa-effetto reali, ovvero giustificare il

funzionamento di un sistema dipendente da catene di tolleranze che

i metodi tradizionali, quali la Worst Case Analysis (WCA), non

spiegano.

Spesso, è il fenomeno della deroga, il cui processo nelle aziende

comporta tensioni e conflitti tra progettazione, produzione e fornitori,

a rendere evidente come vi sia "spazio" per soluzioni non

adeguatamente esplorate in precedenza [6].

Un esempio di richiesta di deroga sarà trattato a breve (cfr. CASO 1,

pag. 19).

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Robustezza e Lean Thinking.

Il pensiero snello non intende solo ridurre i “MUDA”, termine

giapponese per indicare gli sprechi, ma anche i “MURI” ovvero ogni

“rumore” o squilibrio che provoca disallineamenti e mancato

livellamento. [2]

A pag. 154 sarà trattato il caso della riduzione di variabilità della

prestazione di una pompa alternativa.

Decision making.

Per far capire subito come l’approccio statistico alle tolleranze possa

condurre a decisioni opposte rispetto ad approcci tradizionali,

tratteremo subito il caso ispirato ad un episodio reale di una richiesta

di deroga per la flangia di un cilindro idraulico.

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CASO 1.

Titolo: richiesta di deroga per cilindro idraulico

Metodo: WCA Worst Case Analysis (cfr. pag. 41)

Scopo: applicare il metodo tradizionale a una catena di

tolleranze monodimensionale.

Immaginate di lavorare come responsabile progettazione in una

azienda costruttrice di attuatori idraulici a doppio effetto.

Schematizziamo il prodotto così :

la canna C è impaccata fra due flange A e B da quattro tiranti

non rappresentati nella figura.

anche la canalina di alimentazione T, che mette in

comunicazione le due flange, si trova imprigionata fra di

esse.

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RISCHIO DI PERDITA DI TENUTA:

Se la canalina di alimentazione arrivasse a battuta sulle flange A e B

prima della canna C (cfr. figura sotto), il prodotto verrebbe scartato al

collaudo generando costi di non qualità.

Per questo motivo quando l'attuatore idraulico fu progettato, fu

previsto che la canalina di alimentazione presentasse sempre gioco

assiale g ≥ 0 una volta montata.

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Il fornitore della flangia B, resosi conto di averne realizzate oltre tre

migliaia con la sede per la canalina di profondità minorata fino a due

decimi di millimetro rispetto al limite indicato a disegno, presenta

richiesta di deroga.

Chiede, cioè, di poter fornire comunque il lotto di flange dalla sede a

profondità minorata, dato che il costo di rilavorazione per rendere le

flange conformi al disegno sarebbe rilevante.

Di fronte al timore di dover scartare migliaia di prodotti finiti al

termine dell'assemblaggio, la scelta più cautelativa e semplice per il

responsabile della progettazione è rifiutare la richiesta di deroga.

D'altro canto, rigettare sistematicamente le richieste di deroga può

significare infliggere un inutile spreco al fornitore e in ogni caso, non

incentiva i fornitori ad autodenunciare i propri errori.

Alla prossima occasione il fornitore potrebbe essere tentato di tacere

la non conformità, nella speranza che passi inosservata.

In prima battuta, per decidere se accettare la deroga, si applicherà il

tradizionale approccio Worst Case Analysis che sarà meglio

descritto in seguito (cfr da pag 41).

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Come si vede dal cosiddetto “loop diagram” riportato sopra, le

dimensioni coinvolte sono quattro:

1 - lunghezza della canalina T

2 - profondità della sede canalina nella flangia A

3 – lunghezza della canna C

4 - profondità della sede canalina nella flangia B

(dimensione per la quale è richiesta deroga)

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Si attribuisce alle dimensioni segno positivo o negativo in coerenza

con la convenzione adottata (freccia).

Configurazione di progetto

ID

valor

medio t±

1 lunghezza canalina -418,8 0,2

2 sede canalina flangia A 8,65 0,05

3 lunghezza canna 400 0,2

4 sede canalina flangia B 10,75 0,05

GAP 0,6 0,5

Sommando valori medi e semi tolleranze si ottiene il valore del gap

di progetto:

GAP = 0,6 ±0,5mm

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Da cui deriva:

GAP max = 0,6 +0,5 = 1,1 mm

GAP MIN = 0,6 -0,5 = 0,1 mm > 0

La quota (pallinata 4) della flangia B per la quale si richiede deroga,

risulta minorata fino a 10,5 mm.

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Andando a sostituire il valore per il quale si richiede deroga nello

schema:

Configurazione richiesta di deroga

ID

valor

medio t±

1 lunghezza canalina -418,8 0,2

2 sede canalina flangia A 8,65 0,05

3 lunghezza canna 400 0,2

4 sede canalina flangia B 10,5 0

GAP 0,35 0,45

Si ottiene:

GAP max = 0,35 +0,45 =

GAP min = 0,35 - 0,45 =

+ 0,8 mm

- 0,1 mm

Il gioco minimo risulta negativo e quindi sussiste il rischio di perdita

di tenuta idraulica (cfr figura a pag. 20).

La Worst Case Analysis rigetta la deroga o richiede interventi

correttivi come la realizzazione di un lotto di canaline a lunghezza

minorata.

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CASO 2.


Titolo:

Metodo:

Scopo:

richiesta di deroga per cilindro idraulico

RSS Root Sum Square

applicare il più semplice dei metodi statistici a una

catena di tolleranze monodimensionale.

L’applicazione del metodo RSS (affrontato da pag. 63) calcola nello

stesso modo il valore medio del GAP, ma attribuisce ad esso una

tolleranza inferiore.

La semi tolleranza del GAP Tgap è ottenuta sommando i quadrati

delle semi tolleranze delle diverse grandezze in gioco, per poi

eseguirne la radice quadrata.

Nel caso specifico:

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Configurazione richiesta di deroga

ID Metodo RSS

valor

medio t± t² ±

1 lunghezza canalina -418,8 0,2 0,04

2 sede canalina flangia A 8,65 0,05 0,0025

3 lunghezza canna 400 0,2 0,04

4 sede canalina flangia B 10,5 0 0

GAP 0,35 somma 0,0825

Il valor medio del GAP è ancora somma dei valori medi, mentre la

semi tolleranza è radice della somma dei quadrati delle semi

tolleranze:

GAP MAX :

GAP MIN :

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Il metodo RSS porta a un risultato opposto a quello della WCA: il

gioco minimo si mantiene sempre superiore a 0 e la deroga può

essere concessa.

Come vedremo in seguito, il metodo RSS si basa su alcune

assunzioni che ne limitano l’utilizzo (cfr. pag. 74) ed è certamente

meno cautelativo della WCA.

Tuttavia, fu assunto come riferimento in questo caso di richiesta di

deroga e circa 3000 flange furono montate senza riscontrare alcun

problema in fase di collaudo o di esercizio di altrettanti cilindri.

A pag. 83 la richiesta di deroga per questa flangia verrà di nuovo

considerata per essere affrontata con un metodo statistico molto più

flessibile ma più laborioso del metodo RSS: la simulazione Monte

Carlo.

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PARTE I

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TOLLERANZE E INTERCAMBIABILITA’

Le tolleranze permettono di quantificare il grado di imperfezione

ammissibile perché i componenti siano ancora montabili e funzionali.

In altri termini, il concetto di INTERCAMBIABILITA’, chiave per

qualsiasi contesto industriale, si fonda su quello di tolleranza:

Una tolleranza specifica quanto una caratteristica può variare

rispetto al valore nominale in termine di posizione, dimensione,

forma o orientamento dell'elemento. [1]

Classificazione delle imprecisioni cui è soggetto un componente

meccanico (tratto da [3]):

Errore dimensionale

Errore di forma

Gli errori dimensionali sono gestiti con tolleranze dimensionali,

mentre quelli di forma con tolleranze geometriche.

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Sia gli errori di dimensionali che quelli di forma condizionano il

posizionamento reciproco fra le parti rendendolo diverso dal

posizionamento teorico.

In una ruota libera ad esempio (cfr. CASO 15 a pag.138 e CASO 16

a pag. 143), gli errori dimensionali e di forma dell’anello esterno, del

rotore e delle sfere influenzano il reale punto di contatto fra tali

componenti (errore “cinematico”).

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LE CAUSE DI VARIABILITA’.

Le cause degli scostamenti sono innumerevoli. Le principali sono:

Limiti tecnologici di processo (ad esempio indotto dai ritiri:

fonderia e stampaggio plastica)

Variabilità dei parametri di processo (es. saldatura)

Condizioni ambientali (temperatura, umidità) che influenzano

i processi

Variazione della composizione della materia prima

Deformazione di macchine e attrezzature in esercizio

Usura degli utensili e delle macchine

Ripetibilità dei sistemi di fissaggio

Derive nel sistema di controllo e/o misurazione del processo

Errori o variabilità dovute all’operatore (es. training, turnover

e bias di vario genere)

Periodicità degli interventi di manutenzione su attrezzature e

macchinari

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A proposito del primo punto, è del tutto ovvio che i valori di tolleranza

non possono essere arbitrariamente fissati ma devono essere

strettamente correlati alla tecnologia con la quale si intende

realizzare il componente.

A un foro realizzato di fresa o trapano viene tipicamente associata

una classe di tolleranza IT 9 (cfr ISO 286).

Un foro alesato può raggiungere una classe 7 mentre per ottenere

classi inferiori, che implicano range di tolleranza più ristretti, sono

necessarie lavorazioni ancora più specializzate.

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Una volta che il componente è realizzato, le variazioni che

intervengono in esercizio rispetto alla configurazione nominale

rappresentata a disegno, sono di varia natura:

Deformazioni strutturali indotte dai carichi in gioco

Dilatazioni termiche

Alterazione del materiale (ad esempio nel caso di un

componente in nylon, aumento di volume per assorbimento

di umidità a causa della igroscopicità del materiale)

Usura

Corrosione

Utilizzo improprio

Esempio: l’errore di co-assialità di un dispositivo in acciaio affacciato

al foro di un telaio di alluminio, dipende non solo dagli errori

costruttivi dei componenti coinvolti ma anche dalla temperatura

ambientale a causa della dilatazione termica differenziale dei

materiali coinvolti.

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TOLERANCE STACK-UP

Il tolerance stack-up (letteralmente “accumulo di tolleranze”) si

riferisci all’effetto cumulativo delle tolleranze di produzione su una

dimensione finale di assemblaggio (tipicamente denominata GAP) la

quale è rilevante in termini funzionali o di assemblaggio.

In altre parole, il tolerance stack-up è l’analisi di come le tolleranze

individuali dei vari componenti di un assemblaggio si combinano

influenzando una specifica dimensione finale (GAP) e la funzionalità

del prodotto.

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Come si esegue una analisi di tolerance stack-up?

(in relazione al caso monodimensionale)

PASSO 1:

Identificazione delle tolleranze

Le dimensioni di ogni componente coinvolto sono

identificate. Le rispettive tolleranze sono rese

simmetriche.

Si evidenzia la dimensione finale di interesse o GAP.

PASSO 2:

Definizione della catena di tolleranze

Si stabilisce un percorso ad anello (loop diagram)

che definisce in corrispondenza del GAP il punto di

partenza e quello di arrivo. Stabilito un verso

positivo, si assegna il segno + o - alle dimensioni

elencate al passo 1.

PASSO 3:

Calcolo del valor medio per la dimensione finale

(GAP) con una somma algebrica delle dimensioni

con segni di cui al passo 2.

PASSO 4:

Calcolo della variabilità per la dimensione finale

(GAP) adottando il metodo WCA o un metodo

statistico (RSS, MRSS = Modified RSS, Monte

Carlo).

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PASSO 5: Ottimizzazione.

Se il risultato del passo 4 non risulta conforme, si

procede a modificare il progetto seguendo un tipico

processo iterativo Plan Do Check Act.

A partire da pag.42 applicheremo il tolerance stack up a esempi

concreti.

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IL DILEMMA DELLE MUTANDE DI GHISA

NOTA DELL’AUTORE

E’ fuori discussione che la persona che conosce a fondo i requisiti

funzionali di un componente è il progettista.

Ne consegue che è esclusiva responsabilità dell’ufficio tecnico

determinare, stabilire e formalizzare i limiti di accettabilità del

componente stesso.

Adottare cautelativamente campi ristretti di tolleranza ha certamente

pesanti implicazioni lungo la catena del valore, quali:

elevati costi di realizzazione o di acquisto

notevole incidenza di scarti in fase di lavorazione

difficoltà a trovare fornitori alternativi

frequenti richieste di deroga

necessità di stringenti controlli di processo

Ho conosciuto un direttore acquisti che era solito rimproverare la

categoria intera dei progettisti di indossare troppo spesso “le

mutande di ghisa”.

L’accusa faceva riferimento all’abitudine progettuale di adottare

margini di sicurezza troppo “pesanti” e di far cadere le conseguenze

dell’over engineering su chi progettista non era.

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D’altro canto, adottare tolleranze troppo lasche o, peggio, ricorrere a

quelle generali confidando sul fatto che la simultaneità di tolleranze

sfavorevoli sia un evento improbabile, è il preludio a un disastro

annunciato.

In fase di sperimentazione, dato il limitato numero dei prototipi,

potrebbero non manifestarsi problemi di montaggio o di prestazione.

D’altro canto, in fase di produzione di serie o di sostituzioni con

ricambi provenienti da lotti di produzione diversi, l’eventualità di

riscontrare prodotti non conformi potrebbe assumere probabilità

consistente.

L’approccio statistico alle tolleranze permette di superare il dilemma

delle mutande di ghisa.

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APPLICAZIONE DEL METODO WCA

(WORST CASE ANALYSIS)

Per prima cosa applicheremo il metodo WCA evidenziandone i passi

fondamentali.

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CASO 3.

Titolo: GAP assiale di un motore elettrico

Metodo: WCA (caso monodimensionale).

Scopo: applicare tolerance stack-up e WCA a una catena di

tolleranze lineari lungo un asse

Un motore elettrico sia costituito da :

A calotta anteriore

B cuscinetto anteriore

C albero rotore

D carcassa (include pacco statorico)

E anello di compensazione dei giochi assiali

F cuscinetto posteriore

G calotta posteriore

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L’anello di compensazione richiede uno spazio assiale, che

chiameremo GAP ed è oggetto dell’analisi.

Il costruttore dell’anello di compensazione raccomanda che il GAP

sia compreso fra due valori:

GAP minimo di 0,3 [mm]

GAP massimo di 1,2 [mm]

43


La cascata di quote tollerate consecutivamente assemblate,

chiamato catena di tolleranze (o stack-up), per non avere problemi di

funzionalità e rumorosità, deve realizzare un GAP a disposizione

dell’anello di compensazione tale che :

Numero di quote nella catena di tolleranze: n = 6

SEMPLIFICAZIONE: data la stretta tolleranza della larghezza dei

cuscinetti volventi commerciali, la trascureremo, considerando il

cuscinetto perfetto.

PASSO 1: conversione delle tolleranze

Per prima cosa occorre convertire le tolleranze in maniera che

risultino simmetriche rispetto al valore medio al centro dell’intervallo

di tolleranza.

Ad esempio, sia la quota pallinata 2 (rotore: distanza fra battute):

60 +1,2 -0

evidenziare il valore minimo e massimo

60 +1,2 -0 -> 60,0 61,2

la differenza rappresenta il range o campo di tolleranza:

61,2 – 60,0 = 1,2

la semi-tolleranza divide in due parti il campo:

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il valore medio si ottiene sommando al valore minimo la

semi-tolleranza: 60 +0,6 = 60,6

si indica a disegno la tolleranza simmetrica:

60,6 ± 0,6

Attenzione alle quote tollerate con sistema ISO:

Salvo rare eccezioni, il valore nominale della quota non corrisponde

al valore medio.

In particolare, per eseguire gli accoppiamenti raccomandati, i

diametri sono spesso quotati ISO.

Esempio:

diametro della sede cuscinetto

80 H7 +0,03 0 -> 80,015 ± 0,015

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Attenzione, inoltre, a tutti quei casi, oggi frequenti, in cui il pezzo

viene realizzato a partire dal modello matematico, ad esempio per

programmare una macchina utensile con il CAM, sia per la

lavorazione di un componente meccanico sia per la realizzazione di

uno stampo. Se nel disegno indichiamo una tolleranza non

simmetrica, il pezzo nel modello 3D è rappresentato in una

condizione limite, non nella condizione "centrale". Il rischio è quindi

di leggere sul modello 3D delle dimensioni che in realtà non

corrispondono alla condizione nominale centrale dei componenti,

oppure di realizzare dei pezzi non centrati (se il fornitore non è

attento), arrivando a scartare metà della produzione! [6]

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PASSO 2: diagramma ad anello (loop diagram)

Si identifica un punto di partenza, tipicamente in vicinanza

del GAP. Nel nostro caso scegliamo il fianco del cuscinetto

in prossimità della calotta posteriore.

A ogni spostamento verso sinistra si associa il segno

positivo, ad ogni spostamento verso destra quello negativo

Dal punto di partenza, si mettono in lista le quote

consecutive percorrendo prima l’interno del motore, poi

l’esterno a chiudere appunto la catena.

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ID metodo WCA

valor

medio t±

1 cuscinetto posteriore 12 0

2 rotore : distanza fra battute 60 0,1

3 cuscinetto anteriore 12 0

4 quota calotta anteriore 2,4 0,2

5 carcassa pacco statore -88 0,6

6 quota calotta posteriore 3 0,2

PASSO 3: calcolo del valor medio del GAP

n = numero di dimensioni nella catena di tolleranza

µi = valore medio della i-esima dimensione

a1 = fattore che definisce la direzione: ha valore 1 o -1

Sommando i valori medi, nel nostro caso risulta un valore medio del

GAP pari a 1,4 [mm].

PASSO 4: calcolo della variabilità del GAP

ti = semi-tolleranza della i-esima dimensione

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Nel nostro caso risulta un valore di semi-tolleranza del GAP pari a

1,1 [mm]. E’ immediato calcolare il valore di GAP massimo e minimo.

ID metodo WCA

valor

medio t±


2 rotore : distanza fra battute 60 0,1



5 carcassa pacco statore -88 0,6


GAP 1,4 1,1

GAP massimo = 1,4 + 1,1 = 2,5 mm

GAP minimo = 1,4 -1,1 = 0,3 mm

PASSO 5: ottimizzazione

Mentre il valore minimo del GAP corrisponde al minimo

raccomandato per l’anello di compensazione, il valore massimo del

GAP è ampiamente al di fuori del limite superiore consentito (pari a

1,2[mm]).

Del resto, il range di tolleranza della sola carcassa (2 x t = 1,2 [mm])

è superiore alla variabilità ammessa per il GAP (infatti 1,2 - 0,3 =

0,9mm).

49


Si supponga che a causa del procedimento di realizzazione del

componente carcassa, non sia possibile ridurre il range di tolleranza

di questa quota.

Una possibile via di uscita potrebbe essere:

Misurazione in progress sulla linea di assemblaggio della

altezza delle carcasse: se risulta superiore a 88[mm] viene

previsto l’inserimento di un anello distanziale di spessore 0,6

[mm] interposto fra flangia posteriore e anello di

compensazione. Questa contromisura dimezza la semitolleranza

t da attribuire alla carcassa, nel senso che si

sdoppierebbe l’analisi per il caso di montaggio CON e

SENZA anello distanziale.

Riduzione della tolleranza delle quote delle calotte

prevedendone la lavorazione meccanica. La tolleranza

originaria era infatti riferita alle calotte stampate.

Riduzione della tolleranza di lavorazione per l’albero e

correzione della quota nominale (da 60 a 59,05mm)

50


carcassa da 87,4 a 88,0 [mm]

ID metodo WCA

valor

medio t±


2 rotore : distanza fra battute 59,05 0,05



5 carcassa pacco statore -87,7 0,3


GAP 0,75 0,45

GAP MAX 1,2

GAP MIN 0,3

carcassa da 88,0 a 88,6 [mm] -> distanziale

ID metodo WCA

valor

medio t±


2 rotore : distanza fra battute 59,05 0,05



5 carcassa pacco statore -88,3 0,3


8 spessore distanziale 0,6 0

GAP 0,75 0,45

GAP MAX 1,2

GAP MIN 0,3

51

CASO 4.


Titolo:

Metodo:

Scopo:

GAP assiale di un albero fra due supporti con gioco

di assemblaggio

WCA (caso monodimensionale)

aggiungiamo l’aleatorietà (incertezza “cinematica”)

dovuta al fissaggio dei supporti.

52


Il gap viene determinato a partire dalla battuta destra del distanziale,

considerando tutti i componenti impaccati a sinistra.

Nella analisi di questo assieme, particolare rilevanza ha il fissaggio

dei supporti alla piastra base mediante bulloni M8.

Quando si considera la condizione di GAP minimo, i supporti vanno

immaginati assemblati il più possibile accostati fra loro.

Al contrario la condizione di GAP massimo assume che i supporti

siano il più possibile distanziati.

Nel foglio di calcolo considereremo un fissaggio ideale in cui bulloni

e fori sono coassiali (-> valore medio nullo) mentre assegneremo alla

semi-tolleranza t la eccentricità massima fra asse del foro sul

supporto e asse sul foro della piastra.

I fori sia di piastra che di supporto abbiano diametro:

Ø 9 H9 +0,036 +0 [mm] = Ø 9,018 ±0,018 [mm]

La WCA deve considerare il massimo errore di posizionamento,

dovuto sia ai fori al massimo del diametro, sia a un posizionamento

limite della vite all’interno dei fori.

53


In conclusione, l’off-set di posizionamento vale per ogni supporto:

(9,036-8) = 1,036 [mm]

Ovvero:

0 ± e = 0 ± 1,036 [mm]

54


Per determinare il gap si abbia il seguente assessment:

valor

ID Metodo WCA medio t±

1 Distanziale 35 0,3

2 Puleggia 38 0,3

3 spallamento albero 6 0,1

4 flangia bronzina 3 0,1

5 supporto SX 25 0,2

6

fuori centro

montaggio SX 0 1,036

7 interasse piastra -135 0,5

55


fuori centro

8 montaggio DX 0 1,036

9 supporto DX 25 0,2

10 flangia bronzina 3 0,1

GAP 0 3,872

GAP max 3,872 mm

GAP min -3,872 mm

56


Un gap minimo negativo non può certamente essere ammissibile

(GAP minimo = 0) , mentre per il gap massimo, si supponga sia

ammissibile raggiungere un valore massimo di 6[mm] (GAP

massimo = 6 mm).

Ora l’intervallo di variabilità del GAP trovato con il metodo WCA vale:

3,872 x 2 = 7,744 mm

Si intende contenere l’intervallo di variabilità a 6mm.

Supponiamo che i supporti siano componenti commerciali, per cui

non è possibile modificare né le tolleranze delle quote pallinate 5 e 9,

né i diametri dei fori del supporti 9 H9 (evidenziate in blu nella tabella

che segue).

Una tecnica per distribuire la correzione in proporzione alla

tolleranza di partenza, senza modificare alcune tolleranze fisse, è la

seguente:

Calcolare la somma delle semi-tolleranze fisse

q rappresenta il numero delle sole quote a tolleranza fissa.

In questo esempio:

Tf= 0,2 + 0,2 +1,036+1,036 = 2,472 mm

57


E’ evidente che l’intervallo di variabilità del gap sarà superiore a

2,472 mm x 2.

Calcolare la somma delle semi-tolleranze modificabili:

Dove p è il numero delle quote a tolleranza modificabile (p+q=n).

In questo esempio :

Tm= 1,4 mm

Determinare un fattore moltiplicativo F ottenuto dal rapporto

fra la semi-tolleranza obiettivo del gap, al netto delle semitolleranze

non modificabili, e la somma delle tolleranze

modificabili.

Correggere ogni semi-tolleranza modificabile in ragione del

fattore F. In questo esercizio bisogna ridurre i range di

tolleranza per i quali si possa modificare a un terzo il loro

valore iniziale per rientrare nelle specifiche di progetto:

58


Nuova semi-tolleranza-iesima = Vecchia semi-tolleranza-iesima x F

valor

ID

medio t±

1 distanziale 35 0,3x0,377=0,1

2 puleggia 38 0,3x0,377=0,1

3 spallamento albero 6 0,1x0,377=0,05

4 flangia bronzina 3 0,1x0,377=0,05

5 supporto SX 25 0,2

fuori centro

6 montaggio SX 0

1,036

7 interasse piastra -132 0,5x0,377=0,2

fuori centro

8 montaggio DX 0

1,036

9 supporto DX 25 0,2

10 flangia bronzina 3 0,1x0,377=0,05

GAP 3 3

GAP max 6 mm

GAP min 0,00 mm

NOTA: E’ stato corretto il valore nominale dell’interasse di foratura

sulla piastra a 132 [mm] affinché il GAP sia convenientemente

centrato.

59


QUANDO IL METODO WCA E’ DA PREFERIRE.

Il caso della deroga dimostra come l’approccio WCA trascura il fatto

che l'eventualità di montare un attuatore che presenti

simultaneamente TUTTE e quattro le quote al limite di tolleranza

sfavorevole sia “piuttosto” remota.

L’approccio statistico si pone come obbiettivo di quantificare quanto

sia remota tale eventualità.

Prima di passare alla analisi dettagliata dei metodi statistici, bisogna

tuttavia sottolineare che in determinati casi la WCA è la scelta

migliore. Questo accade quando:

1 RISCHIO INACCETTABILE PER QUANTO BASSO

Il rischio va correlato con le possibili conseguenze derivanti dal

malfunzionamento delle parti di interesse.

E' assolutamente opportuno che progettisti di reattori nucleari, di

valvole cardiache, di componenti del settore spaziale e armamenti

applichino cautelativamente l'approccio WCA e non tollerino alcuna

probabilità di guasto.

60


2 BASSA QUANTITA’ DEL PRODOTTO DA

REALIZZARE

Per produzioni che riguardano meno di un migliaio di componenti,

applicare metodo statistici potrebbe risultare poco praticabile a

causa della ridotta numerosità e quindi della bassa significatività dei

risultati ottenibili.

3 NON SI CONOSCE IL PROCESSO O NON SI

DISPONE DEI DATI DI PROCESSO

Gli approcci statistici richiedono assunzioni sui parametri di processo

(cfr APPENDICE 2). Se il processo è una “scatola nera” la WCA

rimane la scelta più giusta purché sia stabilito un adeguato controllo

di processo.

4 LA CATENA DI TOLLERANZE RIGUARDA POCHE

(MENO DI 4) DIMENSIONI

Maggiore il numero delle dimensioni coinvolte, maggiore

l’opportunità di applicare l’approccio statistico invece di quello

tradizionale.

61


Occorre osservare che, quando si utilizza la WCA (Worst Case

Analysis) e quindi si presuppone che non si possa mai uscire dalla

condizione di progetto, si sta implicitamente supponendo (o

rendendo obbligatorio) un controllo al 100% sulla produzione.

Non vi è infatti nessun nesso causale tra il metodo utilizzato nella

definizione delle tolleranze a disegno e l'esecuzione dei pezzi: le

prime sono stabilite dal progettista, mentre la seconda dipende dalla

variabilità del processo [6].

62


APPLICAZIONE DEL METODO RSS

(ROOT SUMS OF THE SQUARES)

63


PRIMO PASSO NELL’APPROCCIO STATISTICO:

ROOT SUMS OF THE SQUARES

Il metodo WCA, come già espresso, è estremamente conservativo e

tanto più irrealistico quanto più sono le dimensioni la cui tolleranza

viene considerata congiuntamente a sfavore.

Il più semplice degli approcci statistici, denominato RSS, assume

che tutte le quote della catena di tolleranze possano essere

rappresentate da una distribuzione statistica gaussiana centrata sul

valor medio.

In termini di capacità produttiva (cfr APPENDICE 2), significa

supporre per ogni dimensione: CP=CPK=1.

Le semi-tolleranze equivalgono allora a 3 volte la deviazione

standard in base:

64


Per definizione, il GAP è somma delle quote della catena di

tolleranza, le quali abbiamo detto supporre essere distribuzioni

gaussiane.

E’ dimostrabile che il GAP è a sua volta distribuzione gaussiana (cfr.

APPENDICE 1, pag 179) la cui deviazione standard è pari al

quadrato della somma dei quadrati delle deviazioni standard delle

distribuzioni addendo.

Sostituendo:

Per il metodo RSS, la semi-tolleranza del GAP è pari alla radice

della somma dei quadrati delle semi-tolleranze delle dimensioni

variabili del loop diagram.

65

CASO 5.


Titolo:

Metodo:

Scopo:

GAP assiale di un motore elettrico

RSS (caso monodimensionale).

applicare tolerance stack-up e RSS a una catena di

tolleranze lineari lungo un asse

Ripercorrendo il caso del motore elettrico, ricordiamo l’obiettivo:

Il quale implica :

66


Sommiamo i quadrati delle semi-tolleranza considerate inizialmente.

ID metodo RSS

valor

medio t± t²±

1 cuscinetto posteriore 12 0 0

2

rotore : distanza fra

battute 60 0,1 0,01

3 cuscinetto anteriore 12 0 0

4 quota calotta anteriore 2,4 0,2 0,04

5 carcassa pacco statore -88 0,6 0,36

6 quota calotta posteriore 3 0,2 0,04

GAP 1,4 somma 0,45

67


Ovviamente, rispetto al metodo WCA, il valor medio del GAP non è

cambiato. Verrà attribuita però come semi tolleranza del GAP, la

radice della somma dei quadrati delle semi-tolleranze.

Secondo RSS:

GAP massimo = 1,4 + 0,67 = 2,07 mm

GAP minimo = 1,4 -0,67 = 0,73 mm

Nonostante l’intervallo di variabilità del GAP si sia ridotto del 40%

rispetto al caso WCA (passando da ±1,1mm a ±0,67mm), esso

risulta ancora superiore al limite di specifica (±0,45).

Nel contesto del metodo RSS, è sufficiente introdurre una delle tre

azioni correttive previste alle fine dell’esercizio 3 (la selezione degli

statori) per portarsi in condizione di conformità del GAP.

La quota nominale dell’albero deve essere lievemente ritoccata.

68

Infatti:


carcassa da 87,4 a 88,0 [mm]

ID metodo RSS valor medio t± t²±


2 rotore : distanza fra battute 59,05 0,1 0,01



5 carcassa pacco statore -87,7 0,3 0,09


GAP 0,75 somma 0,18

GAP massimo = 0,75 + 0,42 = 1,17 mm < 1,2 mm

GAP minimo = 0,75 - 0,42 = 0,32 mm > 0,3 mm

carcassa da 88,0 a 88,6 [mm] -> distanziale

ID metodo RSS

valor

medio t± t²±


2 rotore : distanza fra battute 59,05 0,1 0,01



5 carcassa pacco statore -88,3 0,3 0,09


8 spessore distanziale 0,6 0 0

GAP 0,75 somma 0,18

Che realizza i medesimi valori limite per il GAP.

69

CASO 6.


Titolo:

Metodo:

Scopo:


di assemblaggio

RSS (caso monodimensionale)

aggiungere l’aleatorietà (incertezza “cinematica”)


70


Andiamo a riconsiderare il caso analizzato in precedenza con il

metodo WCA.

Sommiamo i quadrati delle semi-tolleranze considerate inizialmente.

ID metodo RSS

valor

medio t± t^2±

1 distanziale 35 0,3 0,09

2 puleggia 38 0,3 0,09

3 spallamento albero 6 0,1 0,01

4 flangia bronzina 3 0,1 0,01

5 supporto SX 25 0,2 0,04

6

fuori centro

montaggio SX 0 1,036 1,073

7 interasse piastra -132 0,5 0,25

fuori centro

montaggio DX 0 1,036 1,073

8

9 supporto DX 25 0,2 0,04

10 flangia bronzina 3 0,1 0,01

GAP 3 somma: 2,687

La somma dei quadrati è pari a 2,687 [mm2]

La radice quadrata di tale somma è pari a 1,639 [mm]

Secondo il metodo RSS, quindi otteniamo:

GAP massimo : 3 + 1,639 = 4,639 [mm] < 6

GAP minimo : 3 - 1,639 = 1,361 [mm] > 0

71


Contrariamente al metodo WCA, la RSS prevede non vi sia bisogno

di restringere alcun campo di tolleranza perché il GAP risulti

conforme, ovvero compreso fra 0 e 6 mm.

Il metodo MRSS: Modified Root Sum of Squares

Il metodo RSS ha attribuito al GAP, in questo esempio, una semitolleranza

quasi dimezzata rispetto alla WCA.

Entrambi i metodi rappresentano casi estremi:

La WCA parte dal presupposto che TUTTE le grandezze in

gioco siano contemporaneamente nella condizione di

maggiore sfavore

La RSS parte dal presupposto che TUTTE le grandezze in

gioco siano centrate (CP=CPK=1) nei rispettivi limiti di

tolleranza.

Per questo motivo è stato sviluppato un metodo denominato MRSS il

quale introduce un fattore correttivo Cf che accresce l’incertezza del

GAP determinato con il metodo RSS.

In particolare, la tolleranza del GAP viene determinata come:

72


Diversi autori (cfr [4]) hanno suggerito un fattore correttivo Cf

compreso fra 1,4 e 1,8.

Storicamente, sebbene non vi sia nessuna ragione matematica a

giustificarlo, si assume:

Nel caso in analisi,

Cf=1,5

Riassumendo le diverse stime di variazione del GAP (in [mm]), il

metodo MRSS si colloca in posizione intermedia fra WCA e RSS.

73


LIMITI DEL METODO RSS

Si può ricorrere al metodo RSS se:

Si dispone dei dati di processo o si ha buona confidenza che

i processi siano sotto controllo. Questa condizione rende

plausibile l’ipotesi CP=CPK=1 per TUTTE le quote coinvolte.

Le dimensioni sono indipendenti fra loro e l’assemblaggio dei

componenti avviene in modo casuale (ovvero non ci sono

regole di selezione dei componenti da assemblare ed essi

appartengono a lotti di produzione qualunque).

Il GAP (o più in generale la grandezza di interesse) è

esprimibile come SOMMA delle altre dimensioni (cfr

ESEMPIO 1 di inapplicabilità).

74


E’ lecito attribuire distribuzione gaussiana alle dimensioni in

gioco. Tuttavia, in virtù del Teorema del Limite Centrale (per

il quale si rimanda alla APPENDICE 3 a pag. 204), anche in

presenza di distribuzione statistiche non normali, la

distribuzione della somma di tali campioni (GAP) potrebbe

risultare assimilabile a una distribuzione normale.

E’ infine opportuno che la catena di tolleranza comprenda

almeno 4 quote.

ESEMPIO 1 DI INAPPLICABILITA’ DEL METODO RSS

Il seguente esempio riguarda il caso di una funzione di trasferimento

che non è una somma.

Si ipotizzi che la variabilità di interesse, piuttosto che riguardare un

gap, sia relativa alla massima forza di compressione F di presse

idrauliche nominalmente identiche.

Tale forza dipende da due grandezze variabili schematizzabili come

distribuzioni gaussiane:

1. la massima pressione Pmax che la centralina che

equipaggia la pressa è in grado di conseguire

2. l’alesaggio d del cilindro idraulico.

75


Non si può applicare il metodo RSS per stimare la variabilità della

forza perché il prodotto di due distribuzioni gaussiane NON è una

distribuzione gaussiana.

E’ però possibile risolvere il problema ricorrendo a una semplice

simulazione Monte Carlo. Si tratta di un metodo che affronteremo a

breve.

76


ESEMPIO 2 DI INAPPLICABILITA’ DEL METODO RSS

L’esempio che segue riguarda invece il caso di una dimensione che

non è lecito considerare descrivibile da una distribuzione gaussiana.

L’interasse di funzionamento di una maglia di catena ottenuta per

tranciatura cresce al procedere dell’usura dei punzoni che realizzano

i fori della maglia.

Per determinare lo sviluppo di una catena composta da una

moltitudine di maglie realizzate tutte dalla stessa trancia a poca

distanza temporale l’una dall’altra, sarebbe inopportuno considerare

per l’interasse fra i perni una distribuzione gaussiana dato che essa

77


è simmetrica e centrata rispetto al valor medio del range di

tolleranza.

In questo caso, eseguita una campagna di misurazione, andrebbe

identificata la funzione statistica approssimante (ad esempio una

esponenziale) per poi ricorrere a una simulazione Monte Carlo

(l’esempio è stato tratto da [3]).

78


APPLICAZIONE DEL METODO MONTE CARLO

79


Il metodo RSS presenta pesanti limiti:

Si possono affrontare solo problemi per i quali la funzione

obiettivo è somma di dimensioni aleatorie

Le dimensioni aleatorie possono essere esclusivamente

distribuzioni gaussiane

Tutti le dimensioni in gioco hanno medesime capability (si

veda APPENDICE 2 a pag. 185), centrate e simmetriche

all’interno dell’intervallo di specifica

Quando il problema da risolvere è troppo complesso per essere

trattato con il metodo RSS entra in scena il metodo Monte Carlo, che

esegue veri e propri esperimenti disponendo di generatori di numeri

casuali quali ad esempio il software Excel®.

Per ripassare come simulare distribuzioni gaussiane con Excel®, si

rimanda alla APPENDICE1 (pag.165).

80


Questo metodo deve il suo nome al casinò del principato di Monaco,

celebre per il gioco d’azzardo, proprio perché sfrutta la generazione

di numeri casuali per simulare la performance del sistema.

Ingresso del Casinò di Monte Carlo, luglio 2024

(foto dell’autore)

81


Le simulazioni Monte Carlo comportano i seguenti passaggi:

Identificazione delle variabili coinvolte.

Definizione di un modello matematico che descriva la

relazione tra dato di input e dato di output (performance).

Generazione dei numeri casuali che simulano i possibili

valori delle variabili in input.

Calcolo del risultato in output utilizzando i valori casuali

generati.

Iterazione dei passaggi 3 e 4 un gran numero di volte per

ottenere una stima statistica significativa del risultato.

82

CASO 7.


Titolo:

Metodo:

Scopo:

richiesta di deroga per cilindro idraulico

Monte Carlo

applicare la simulazione a una catena di tolleranze

monodimensionale.

Si ripresenta qui il caso della richiesta di deroga analizzata al CASO

1 (pag. 19).

83


Per iniziare, si applicano le medesime assunzioni adottate dal

metodo RSS: tutti i processi vengono considerati centrati e sotto

controllo, ovvero:

CP=CPk =1

Ne consegue che la deviazione delle dimensioni si ottiene dividendo

la semi-tolleranza per 3.

valor

ID Monte Carlo CP=CPK=1 medio t± σ = t /3

1 lunghezza canalina 418,8 0,2 0,0667

2 sede canalina flangia A 8,65 0,05 0,0167

3 lunghezza canna 400 0,2 0,0667

4 sede canalina flangia B 10,5 0 0

Utilizzando una funzione macro Excel è facile simulare il montaggio

virtuale di migliaia di cilindri, ognuno dei quali rappresenta una

combinazione statistica delle grandezze aleatorie in gioco.

84


La macro esegue i seguenti passaggi:

PONI a 0 il valore di SCARTI

LEGGI il valore “numero cicli”

ESEGUI : -----------------------------------------------------

Attribuisci un valore randomico alle distribuzioni gaussiane

(dimensioni) nel rispetto dei parametri assegnati (valor

medio e deviazione).

In questo esempio è calcolata la quota 2:

Determina il valore del GAP (somma di 4 variabili)

SE il valore del GAP è minore del valore di soglia (0 in

questo caso), incrementa il numero degli SCARTI

Decrementa il contatore “numero di cicli”

------------------- RIPETI FINCHE’ “Numero cicli” >0

85


86


Significatività del campione: è raccomandabile ripetere più RUN

(simulazioni) con il medesimo numero di cicli per verificare che il

valore di scarti trovati risulti all’incirca costante.

Ad esempio, lanciando 3 run ognuno da 10'000 cicli, si riscontra 1

solo scarto al termine di ogni simulazione.

VANTAGGIO 1

Mentre il metodo RSS è del tutto indifferente alla dimensione della

popolazione per la quale si esegue l’inferenza statistica, la

simulazione Monte Carlo permette di stimare la quantità di scarti o

anomalie che si verificheranno in base alle assunzioni adottate.

VANTAGGIO 2

La simulazione Monte Carlo offre indubbiamente una superiore

flessibilità.

Ad esempio, si potrebbe lanciare una simulazione per la quale per

tutte le dimensioni valga CP=1 e CPK=0,5.

Dato il valore di CP, le deviazioni non cambiano.

87


Per quanto riguarda i CPK, per ognuna delle 3 variabili, la media

potrebbe trovarsi più vicina al limite superiore o a quello inferiore.

Considerando il caso più sfavorevole:

Valor medio vicino al LS (limite superiore) per la lunghezza

della canalina

Valor medio vicino al LI (limite inferiore) per le altre 2

dimensioni

88


ID

Monte Carlo

CP=1 CPK=0,5 LS LI σ = t /3

valor

medio

valor

medio

1 lunghezza canalina 419 0,066667 =LS-3σ/2 418,9

2 sede canalina flangia A 10,5 0

3 lunghezza canna 399,8 0,066667 =LI+3σ/2 399,9

4 sede canalina flangia B 8,6 0,016667 =LI+3σ/2 8,625

Aggiornati i valori sul foglio excel per quanto riguarda i soli valori

medi, si eseguono 3 ulteriori simulazioni per il montaggio di 10000

unità.

In questa configurazione, si ottengono 972, 910 e 959 scarti.

89


Se il numero di scarti sembra molto elevato, si consideri che in

questa simulazione, per le ipotesi adottate sui CPK:

il 6,7% delle canaline sono fuori tolleranza (superano il

Limite Superiore)

1-DISTRIB.NORM(419; 418,9 ; 0,0666667;1) = 6,7%

il 6,7% delle canne sono fuori tolleranza (al di sotto del

Limite Inferiore)

DISTRIB.NORM(399,8; 399,9 ; 0,0666667;1) = 6,7%

il 6,7% delle flange A presentano la profondità della sede

minorata (al di sotto del Limite Inferiore)

DISTRIB.NORM(8,620; 8,625; 0,0166667;1) = 6,7%

il 100% delle flange B presentano profondità della sede

minorata a 10,5mm (oggetto della deroga)

90

CASO 8.


Titolo:

Metodo:

Scopo:

GAP assiale di un motore elettrico

Monte Carlo (caso monodimensionale).

progettare la simulazione di una catena di tolleranze

lineari lungo un asse

ID simulazione Monte Carlo

valor

medio t±

CP=CPK=1

σ=t/3


2 rotore : distanza fra battute 60 0,1 0,033333



5 carcassa pacco statore -88 0,6 0,2


91


Tornando al caso del motore elettrico già visto in precedenza, si può

creare una simulazione con le ipotesi del metodo RSS.

Ogni riga del foglio excel rappresenterà la catena di tolleranze di un

motore simulato.

Nelle colonne, si ricorre alla funzione INV.NORM invocando il valor

medio e inserendo come deviazione un terzo della semi-tolleranza,

nel rispetto della condizione CP=CPK=1.

Ad esempio nel caso della quota relativa alla carcassa :

Simulati oltre 12000 motori (=12000 righe copiate), è immediato

calcolare MEDIA e DEVIAZIONE del GAP, che risultano ovviamente

molto vicini ai valori determinati con il metodo RSS:

Si ha dunque conferma che il GAP è una distribuzione gaussiana

combinazione lineare delle distribuzioni gaussiane adottate per

schematizzare le dimensioni coinvolte nella catena di tolleranze.

92

PROBLEMA


La quota della carcassa è quella soggetta al più ampio intervallo di

tolleranza (±0,6 mm). Supponendo che il fornitore della carcassa

fosse disponibile a impegnarsi a contratto per garantire per la quota

in questione CPK≥1,5, si avrebbero ancora scarti?

Svolgimento

Dato che CP≥CPK, il caso più critico è quello per il quale:

CP = CPK = 1,5

Dalla definizione di CP si determina il valore di σ :

Si corregge la deviazione nella colonna E:

E si determina la nuova semi-tolleranza del GAP che risulta ridotta a

0,52 mm, comunque superiore a quella ammessa dal costruttore di

anelli di compensazione (pari, si ricorda, a (1,2-0,3) / 2 = 0,45 mm).

93


Si corregge quindi la quota nominale del rotore in maniera da

centrare a 0,75 il valor medio del GAP.

Nella colonna H viene aggiunto un contatore di scarti (che fornisce il

valore 1 se GAP>1,2 oppure GAP<0,3 mm).

94


Eseguendo la conta dei valori nella colonna H, si trova che il valore

di motori con GAP fuori specifica ammonta circa a:

E’ importante osservare che è opportuno aumentare la dimensione

della popolazione di motori osservati fino a quando simulazioni

successive forniscono un valore ripetibile della deviazione del GAP.

95

CASO 9.


Titolo:

Metodo:

Scopo:


di assemblaggio

Monte Carlo (caso monodimensionale)

aggiungere l’aleatorietà (incertezza “cinematica”)


96


Si verificano i risultati ottenuti in precedenza con il metodo RSS,

applicando le medesime ipotesi (CP=CPK=1) alle dimensioni trattate

con una simulazione Monte Carlo.

Similmente al caso precedente, a ogni dimensione coinvolta nella

catena di tolleranze è dedicata una colonna del foglio excel.

Valor medio e deviazione sono riportati in una tabella riassuntiva

collocata a destra nel foglio elettronico.

Nella colonna K, il GAP si ricava come combinazione lineare delle 10

dimensioni, mentre la colonna L verifica che il GAP sia all’interno

dell’intervallo di specifica (riportando ‘1’ in caso di scarto).

Ogni riga rappresenta quindi un ipotetico albero fra due supporti del

quale si calcola il GAP.

97


98


Avendo esteso il calcolo a un numero elevato di motori (20'000), si

ottengono per il GAP valori medi e deviazioni del tutto aderenti alla

stima RSS:

99


100


PARTE II

101


102


Tolleranze geometriche (o di forma) e metodo RSS.

CASO 10.

Titolo:

Metodo:

Scopo:

perno che trafigge due piastre

WCA e RSS

estendere l’applicazione di WCA e RSS a casi che

comprendono tolleranze di forma.

Consideriamo il caso semplice di due piastre sovrapposte ognuna

avente un foro di diametro D. Come UNICA tolleranza geometrica

consideriamo dapprima la sola tolleranza di localizzazione del foro

rispetto ai due piani A e B rispetto ai quali si deve immaginare le due

piastre siano posizionate e fissate.

103


La tolleranza di localizzazione prevede che l’asse del foro sia

compreso in un cilindro di diametro e avente asse ortogonale al

piano di proiezione e giacente nella posizione teorica esatta del foro

considerato.

Secondo WCA, un perno perfetto per poter trafiggere entrambe le

piastre deve avere diametro massimo d tale che :

Se ad esempio fosse e = 0,1[mm] deve risultare:

d ≤ D - 0,1 mm

104


Secondo RSS invece, un perno per poter trafiggere entrambe le

piastre deve avere diametro massimo d tale che :

Il metodo RSS infatti, a differenza del metodo WCA, non considera i

fori delle due piastre al limite di superiore della tolleranza di

localizzazione E in opposizione di fase.

Aggiungiamo adesso l’errore di rotondità dei fori e supponiamo che

per entrambi i fori valga c = 0,05mm.

La zona di tolleranza è limitata da due cilindri concentrici i cui raggi

differiscono del valore c.

105


Secondo il metodo WCA, un perno per poter trafiggere entrambe le

piastre deve avere ora un diametro massimo d tale che :

Da cui :

d ≤ D - 0,2 mm

Secondo il metodo RSS invece, il quale non considera l’errore di

rotondità al limite superiore, un perno per poter trafiggere entrambe

le piastre deve avere diametro massimo d tale che :

106


Aggiungiamo ora l’errore di cilindricità del perno, pari a:

f=0,05mm

Ancora la zona di tolleranza del perno è limitata da due cilindri

concentrici i cui raggi differiscono del valore f.

Secondo la WCA, un perno per poter trafiggere entrambe le piastre

deve avere diametro massimo d tale che:

Per cui d ≤ D - 0,3

107


Secondo la RSS invece, un perno per poter trafiggere entrambe le

piastre deve avere diametro massimo d tale che:

Da cui d ≤ D - 0,14

In conclusione, nel caso finale, il metodo RSS richiede che il

diametro massimo del perno sia minorato rispetto al foro meno della

metà rispetto all’analisi WCA!

(D-d)

solo

localizzazione

localizzazione

+rotondità

localizzazione

+rotondità

+cilindricità

WCA 0,1 0,2 0,3

RSS 0,07 0,1 0,14

108

CASO 11.


Titolo:

Metodo:

Scopo:

pompa volumetrica a ingranaggi interni

metodo WCA e misto WCA-RSS

caso complesso di gestione di un set di tolleranze di

forma.

Cerchiamo ora l’analogia con il caso di una pompa volumetrica a

ingranaggi interni.

L’architettura consiste in un albero che trascina l’orbitale interno di n

denti, il quale ingrana con un orbitale esterno dotato di (n+1) vani.

gr1 = gioco radiale fra albero e orbitale interno

gr2 = gioco radiale fra orbitale esterno e corpo pompa

109


L’orbitale esterno ruota guidato dal foro ricavato nel corpo pompa.

Il moto relativo fra i due ingranaggi determina il trasferimento del

fluido.

Per contenere le fughe e avere un buon rendimento volumetrico, un

primo dimensionamento di tentativo prevede i seguenti

accoppiamenti:

Albero

Foro orbitale interno

110


Da cui risulta

Diametro esterno orbitale esterno

Foro carcassa

Da cui risulta

Il gioco diametrale minimo totale vale dunque:

111


Cui corrisponde un gioco radiale minimo pari a :

Riguardo le tolleranze geometriche, limitiamoci per semplicità a

considerare le seguenti:

incertezza di localizzazione del foro nel corpo pompa

(e = 0,08)

cilindricità dell’albero

(f= 0,05)

112


oscillazione dell’orbitale interno

(ti=0,05)

oscillazione dell’orbitale esterno

(te=0,06)

La tolleranza di localizzazione prevede che in ogni piano di misura

perpendicolare all’asse di rotazione preso a riferimento, il profilo

giaccia fra due cerchi concentrici i cui raggi differiscono del valore t

ed il cui centro coincide con l’asse di rotazione stesso.

113


In analogia al caso precedente, affinché la pompa si possa

assemblare e possa ruotare liberamente, risulta evidente che in

logica WCA il gioco radiale minimo (35um) deve risultare uguale o

superiore alla somma di tutte le incertezze geometriche pensate a

sfavore e al limite superiore.

Nel caso specifico, potremmo rappresentare entrambi gli errori di

oscillazione in fase fra loro e concordi con la deformazione

dell’albero (a sinistra nel disegno di seguito) mentre l’errore di

localizzazione del foro (e/2) in controfase rispetto ai precedenti (a

destra nel disegno).

114


Questa estrema deriva geometrica deve essere “recuperata” dal

gioco radiale minimo del sistema.

Nel caso specifico dovrebbe risultare:

Mentre invece :

Il dimensionamento di primo tentativo della pompa è decisamente

bocciato dall’analisi WCA.

Si noti che questa analisi non include le sedi sulle quali ruota

l’albero. Si suppone che tali sedi abbiano, rispetto all’albero, gioco

sufficiente a compensare gli errori.

115


Metodo misto RSS– WCA

In analogia al caso 10, si applica nel seguito un modello ibrido. La

pompa supera la verifica se il gioco radiale minimo (calcolato

con metodo WCA) è non inferiore al mix di errori geometrici

definito con il metodo RSS.

Con questa logica :

Nonostante l’errore geometrico complessivo da considerare per il

metodo RSS sia quasi la metà quello della WCA, la verifica risulta

ancora non soddisfatta.

116

CASO 12.


Titolo:

Metodo:

Scopo:

pompa volumetrica a ingranaggi interni

Monte Carlo

determinare l’incidenza degli scarti in un caso

complesso di gestione di tolleranze geometriche e di

forma.

Con le stesse ipotesi del caso

precedente, si determini la

percentuale di pompe da

scartare:

1) nelle condizioni

proprie del metodo

RSS.

2) Supponendo che per

le tolleranze

geometriche in gioco

si realizzi CPk=1,33 e

per quelle

dimensionali

CPk= 1,5.

117


Foglio Excel® per il primo scenario.

In un angolo del foglio, si specifichino media e deviazione (pari a un

terzo la semi tolleranza in base all’ipotesi) per gli errori di

localizzazione

Nella prima riga si simula un set di tolleranze geometriche (puntando

ai parametri di cui sopra).

Nella colonna “Somma” si calcola la somma algebrica dei 4 errori

geometrici. Realizzate 3400 righe analoghe, si può eseguire una

analisi statistica dell’errore geometrico totale (somma).

118


Non meraviglia che in media tale errore sia praticamente zero e che

tre volte la sua deviazione corrisponda ai 94 micron trovati con il

metodo RSS al caso precedente.

Si può creare ora una tabella relativa alle distribuzioni gaussiane

associate alle tolleranze dimensionali.

Si completano le 3400 righe aggiungendo “l’estrazione statistica” dei

valori specifici dei quattro diametri.

119


120


Nella colonna K si calcola il gioco diametrale:

Gd1= [Orbitale interno – albero]

Nella colonna L si calcola il gioco diametrale:

Gd2= [Foro corpo - Orbitale esterno]

Nella colonna M si calcola il gioco radiale totale:

Grad= [Gd1+Gd2]/2

Nella colonna N si scrive 1 (=scarto) nel caso risulti:

somma > Grad

ovvero se lo specifico gioco radiale di quella riga-pompa non è in

grado di compensare lo specifico errore geometrico totale

Il numero di scarti, seppure notevole, non risulta elevatissimo. In altri

termini la simulazione porta a risultati più benevoli del metodo misto

RSS-WCA, che boccia la verifica. Il metodo misto, infatti, risulta più

restrittivo di una simulazione RSS perché applica la WCA alle

tolleranze dimensionali.

121


Secondo scenario (CPk > 1).

Il foglio elettronico viene modificato rispetto ai parametri statistici.

Per le tolleranze dimensionali vale Cpk=1,33.

Il caso più critico è quello di considerare Cp=Cpk perché in questo

caso la deviazione assume il valore massimo ammissibile: 8σ

coprono l’intervallo 2t.

Di conseguenza la deviazione della somma degli errori geometrici si

riduce:

errori geometrici = 0 ± 71 micron

122


Per le tolleranze geometriche, invece, 9σ coprono la distanza fra

limite superiore e limite inferiore.

Risultano ore 138 pompe virtualmente simulate non funzionati, cioè il

4% del totale.

123


124


TOLERANCE STACK-UP BIDIMENSIONALI

Nel caso di problemi bidimensionali, occorre ricorrere a una

rappresentazione vettoriale della catena di quote tollerate per

ricondursi in definitiva a un caso monodimensionale.

125


CASO 13.

Titolo:

Metodo:

Scopo:

fissaggio di un motoriduttore

metodo WCA e RSS+Monte Carlo

estendere la simulazione a un caso bidimensionale.

Nel seguito si analizza un caso semplice.

Si intenda disegnare una piastra in zama sulla quale fissare

mediante 4 viti un motoriduttore commerciale.

126


La carcassa del riduttore è dotata di 4 fori passanti, due dei quali (nei

punti A e B) dotati di una borchia di centraggio avente diametro 8,8 0

-0,3

127


Come si nota nel disegno del riduttore, l’interasse in X vale 134 ± 0,2

mm mentre quello in Y 40 ± 0,2 mm.

La piastra abbia invece una tolleranza dimensionale ± 0,2

sull’interasse 134 e ±0,1 sull’interasse 40.

In relazione alla incertezza di localizzazione delle borchie sul

riduttore e delle poppette sulla piastra, si intende determinare quale

deve essere la maggiorazione minima del foro sulle poppette perché

il montaggio risulti sempre possibile.

128


METODO WCA

Si considerino le borchie alla massima distanza diagonale, la quale

risulta applicando il teorema di Pitagora: 140,06 mm.

Le poppette sul corpo del riduttore hanno invece distanza diagonale

minima pari a 139,59 mm.

Di conseguenza la maggiorazione dei fori delle poppette deve

essere:

(140,06-139,59)/2 = 0,47/2 = 0,235 mm

Secondo la WCA, i fori di centraggio dovranno avere diametro

MINIMO:

8,8 + 0,47 = 9,27 mm

129


METODO RSS / MONTE CARLO

Si applichi ai 4 interassi in gioco una distribuzione gaussiana

centrata nel valor medio.

Il tolerance stack consiste in questo caso di 4 vettori:

i vettori a e b considerano le tolleranze della piastra, quelli c e d le

tolleranze del corpo riduttore.

Partenza dal centro del foro A (piastra)

Vettore a. Ci si sposta secondo X di:

= INV.NORM(CASUALE(); 134; 0,2/3)

Vettore b. Ci si sposta secondo Y di :

= INV.NORM(CASUALE(); 40; 0,1/3)

130


Vettore c. Si retrocede secondo X di:

= -INV.NORM(CASUALE(); 134; 0,2/3)

Vettore d. Si retrocede secondo Y di:

= -INV.NORM(CASUALE(); 40; 0,2/3)

Il gap è rappresentato dalla distanza del punto trovato al punto di

partenza.

NB: Come deviazione standard delle distribuzioni, si è considerato

un terzo il valore della semi tolleranza della dimensione, nel rispetto

della ipotesi CP=CPk=1 (cfr pag. 64).

131


Mediamente sia DX=a+c che DY=b+d hanno valore nullo, ma quello

che a noi interessa è la deviazione standard, che possiamo

facilmente calcolare con un foglio excel.

Il “gap” nelle due direzioni, ha un valore 3 sigma che vale:

DX 0 ± (0,094 x 3) = 0 ± 0,282

DY 0 ± (0,075 x 3) = 0 ± 0,226

Applicando il teorema di Pitagora :

Secondo il metodo statistico, i fori di centraggio dovranno avere

diametro MINIMO:

8,8 + 0,36 = 9,16 mm

132


Anche su un caso di sole 4 quote, il metodo statistico si è

confermato meno restrittivo della WCA (0,36 < 0,47).

Esistono software, quali l’economico ToleranceCalc6® (cfr

https://tolerancecalc.com/index.php), che realizzano simulazioni

Monte Carlo per catene di tolleranze mono o bidimensionali.

Nel caso di cui sopra, inseriti i 4 vettori e le rispettive tolleranze, si

ottengono risultati del tutto analoghi per quanto riguarda la

deviazione standard di DX e di DY (e ovviamente il valore di DX e di

DY secondo la WCA).

133


CASO 14.

Titolo: staffa con 4 fori [5]

Metodo: Monte Carlo

Scopo: utilizzare un software commerciale

La posizione del foro B sia quotata rispetto al foro A.

La posizione del foro C sia quotata rispetto al foro B.

La posizione del foro D sia quotata rispetto al foro C.

134


Utilizzando il software Tolerance Calc®, intendiamo determinare il

“gap” fra il centro del foro A, che fa da riferimento (“Datum”), e il

centro del foro D. Si utilizzerà la cascata di quote tollerate

rappresentate dalla spezzata vettoriale (tolerance stack-up) la quale

viene importata in Calc® in formato DXF direttamente dal CAD.

In questo esempio (dimensioni in pollici) viene inserita dimensione

nominale e tolleranza del quinto vettore (in colore rosso).

135


Sia L il vettore congiungente il centro del foro A (Datum) e centro del

foro D (punto di interesse).

136


La schermata dei risultati riporta a destra i valori di L secondo la

Worst Case Analysis:

Lmax = 2,636”

Lmin = 2,465”

Lmax-Lmin = 0,171”

In base al metodo Monte Carlo, si ottiene invece una deviazione

standard pari a 0,014”.

Lmax = 2,549” + 0,014” x 3 = 2,591“

Lmin = 2,5492 – 0,014” x 3 = 2,507”

Lmax-Lmin = 0,084”

La distanza fra il punto A e il punto D secondo la simulazione Monte

Carlo ha una incertezza inferiore alla metà l’incertezza ottenuta con

la Worst Case Analysis.

137


CASO 15.

Titolo:

Metodo:

Scopo:

Ruota libera

WCA

soluzione trigonometrica applicata a un caso

bidimensionale

Si consideri una ruota libera in condizione di riposo.

Si intende valutare il range di variabilità della lunghezza della molla

precaricata che insiste sulla sfera.

138


Questa costruzione si basa sulla constatazione che essendo sfera e

anello esterno profili coniugati, la normale al punto di contatto passa

per il centro dell’anello ed è dunque coincidente con il raggio stesso

dell’anello.

Dati:

quota

quota

quota

quota

a = 40 ± 0,2 mm

b = 5 ± 0,1 mm

R = 70 ± 0,4 mm

r = 10 mm

Semplificazioni

Si è trascurata la tolleranza del raggio r della sfera perché

trascurabile rispetto alle altre tolleranze.

La distanza fra

l’estremità della sfera e il

piano di appoggio della

molla sulla sfera si

considera invariante e

pari a 2 mm.

139


È evidente che al variare della quota a e della quota R, il punto di

contatto della sfera con l’anello esterno varia.

Di conseguenza varia l’angolo φ.

Tale angolo può essere determinato in base alla considerazione che:

Da cui :

La quota di interesse vale invece:

140


Inserendo i valori nominali, si ottiene:

Al diminuire di φ, il punto di contatto sfera-anello si sposta verso

sinistra e la lunghezza diminuisce (=la molla è più caricata).

Perché questo succeda, è bene che a cresca ed R diminuisca.

Infine, è chiaro che la lunghezza della molla si riduce se b cresce.

Le condizioni di spazio minimo per la molla (=lunghezza minima)

sono dunque:

a = 40,2 mm

b = 5,1 mm

R = 69,6 mm

141


Le condizioni di lunghezza massima, al contrario, sono:

a = 39,8 mm

b = 4,9 mm

R = 70,4 mm

Si può osservare che il valore minimo e quello massimo non sono

esattamente simmetrici rispetto al valore medio della lunghezza, a

causa delle funzioni trigonometriche in gioco.

142


CASO 16.

Titolo:

Metodo:

Scopo:

Ruota libera

Monte Carlo

soluzione trigonometrica applicata a un caso

bidimensionale

Dato che la quota di interesse l0 (la lunghezza della molla

precaricata) non è semplicemente esprimibile come somma delle

dimensioni variabili, il metodo RSS non è applicabile.

143


Occorre dunque ricorrere a una simulazione Monte Carlo, per la

quale varrà l’ipotesi per cui

Cp=Cpk=1

per tutte le dimensioni in gioco.

Si utilizzi per l’analisi un foglio elettronico in cui vengano riportate per

le 3 dimensioni variabili: valor medio, semi tolleranza t, deviazione

(date le ipotesi, ovviamente risulta σ= t / 3)

Quindi per ogni dimensione variabile, si richiede al foglio Excel® di

“sorteggiare” un campione di una distribuzione gaussiana avente

come valor medio e deviazione quelli assegnati alla dimensione in

questione.

144


Nella colonna E ed F vengono invece calcolati per questo set di

variabili, i valori rispettivamente di φ e della lunghezza a disposizione

della molla.

Dopo aver clonato la seconda riga alcune migliaia di volte a simulare

migliaia di ruote libere, si può passare a studiare la grandezza

lunghezza risultante.

ATTENZIONE: il risultato non è una funzione gaussiana, dato che

non è ottenuta come somma o sottrazione di funzioni gaussiane, per

cui sarebbe improprio calcolarne la deviazione standard.

Tuttavia, è possibile verificarne i valori limite e il valore medio,

riscontrando, inutile dirlo, un range di variabilità ridotto rispetto al

caso WCA.

145


Il risultato finale è il seguente:

Confrontato con il metodo WCA, si riscontra per il metodo RSS un

range di incertezza più ridotto per la dimensione di interesse.

146


CASI NON LINEARI

CASO 17.

Titolo:

Metodo:

Scopo:

Regolatore di pressione

Monte Carlo

determinare come varia la performance in un

contesto di dipendenza non lineare.

Si supponga di dover progettare un regolatore di pressione.

A causa delle tolleranze in gioco, la reale pressione di intervento del

regolatore non sarà sempre quella nominale di progetto.

Il regolatore di pressione limita il valore di pressione nella camera A

per mezzo di un elemento di tenuta (1) mantenuto in sede da una

molla (2) precaricata.

Quando la risultante della differenza di pressione agente

sull’elemento otturatore vince la forza di compressione della molla, la

valvola si apre mettendo in comunicazione le due camere.

147


Applicando una simulazione Monte Carlo, verrà stimato quanto

possa variare la pressione di intervento.

Per determinare la pressione di intervento, ci si limiti a considerare il

seguente equilibrio statico :

[1]

Dove k ed x0 sono rispettivamente la costante elastica e il precarico

della molla, mentre d è il diametro del foro di passaggio.

148


Si supponga che:

La pressione di intervento di progetto sia :

La costante elastica della molla, in esecuzione precisa, sia

affetta da un errore del 10%:

Il foro di passaggio sia :

[N/mm]

[mm]

Il precarico minimo della molla derivi dalla somma di 4

dimensioni soggette a tolleranza, una delle quali la

lunghezza libera della molla L0:

149


Applicando i principi della WCA :

Utilizzando invece la RSS:

Applicando l’equazione [1], ai valori nominali risulta che la pressione

di intervento nominale vale:

Il metodo statistico RSS non è applicabile al problema nel suo

complesso poiché l’equazione [1] non riguarda la

somma bensì il prodotto di variabili aleatorie.

In un foglio di calcolo si simulerà un numero elevato di possibili

varianti di regolatori di pressione (oltre 1000), generando l’incontro

delle dimensioni chiave a determinare la pressione di intervento nel

rispetto di opportune distribuzioni statistiche.

150


Si dedichi una prima colonna alla costante elastica:

k: 70±7 [N/mm]

valor medio 70 deviazione 7/3=2,333

La seconda colonna al diametro d:

d: 5,006±0,006 [mm]

valor medio 5,006 deviazione 0,006/3=0,002

La terza colonna al precarico :

Valor medio 5 deviazione 0,32/3 = 0,107

151


Ricavando il valore di pressione:

Si ottiene infine stima del valor medio e della deviazione:

Per il metodo Monte Carlo la pressione minima di intervento può

variare in un intervallo ampio poco più di 40 [bar] (compreso tra 156

e 198 [bar]).

152


L’analisi WCA indica invece un ambito di variabilità di ampiezza

quasi doppia:

Una estesa campagna di test ha confermato la previsione del

metodo Monte Carlo. Il metodo WCA, al contrario, fornisce un range

di variabilità di ampiezza irrealistica.

153


CASO 18.

Titolo:

Metodo:

Scopo:

Pompa volumetrica alternativa

Monte Carlo

Scegliere, a parità di tolleranze, la soluzione più

robusta.

Si supponga di dover progettare una pompa volumetrica alternativa.

Questa macchina operatrice è composta da un motore elettrico, da

un manovellismo di spinta agente su un pistone che fa tenuta

all’interno di una canna e da una serie di valvole di aspirazione e

scarico.

154


La portata Q risulta quindi :

Con Q[lpm] se :

η rendimento volumetrico

d[dm] alesaggio ovvero diametro interno della canna

c[dm] corsa dello stantuffo

n[rpm] giri del motore

La robustezza di un progetto è la capacità di fornire una performance

stabile nonostante l’inevitabile variabilità degli input (rumore).

Nell’analisi di questo caso, si cercherà, tra 2 alternative, la soluzione

più robusta, applicando il metodo Monte Carlo.

155


ALTERNATIVA A:

Motore a 4 poli

Per tale alternativa, applicando la [1] e supponendo un rendimento

volumetrico del 90%, risulta nominalmente:

ALTERNATIVA B:

Motore a 2 poli

Per tale alternativa, applicando la [1] risulta nominalmente:

Si noti che entrambe le alternative prevedono:

la medesima tolleranza del diametro della canna d, la quale

deve subire trattamenti termici di indurimento

medesimo rendimento volumetrico pari a 0,9

medesimo valore nominale e tolleranza per la corsa

medesima incertezza sul regime di rotazione del motore

156


Nel seguito si è eseguita una simulazione per ognuno dei due

scenari, ipotizzando Cp=Cpk=1.

Per la alternativa A :

d = INV.NORM(CASUALE();40,05;0,017)

c = INV.NORM(CASUALE();30;0,03333)

n = INV.NORM(CASUALE();1500;16,6666)

Q = 0,9*PI.GRECO()*d^2*c*n/4000000

157


Analizzando i risultati statistici della funzione aleatoria risultante, si

ha per Q:

Q MEDIA 51 [lpm] DEV.ST 0,57 [lpm]

La portata ha dunque un range di incertezza pari a :

6 x 0, 57 = 3,4 [lpm]

Per la alternativa B :

d = INV.NORM(CASUALE(); 28,342; 0,014)

c = INV.NORM(CASUALE(); 30; 0,03333)

n = INV.NORM(CASUALE(); 3000; 16,6666)

Q = 0,9*PI.GRECO()*d^2*c*n/4000000

Si ottiene ora per Q:

Q MEDIA 51 [lpm] DEV.ST 0,29 [lpm]

La portata totalizza in questo caso un range di incertezza pari a :

6 x 0, 29 = 1,7 [lpm]

158


L’alternativa A realizza Q = 51 ± 1,7 [lpm] = 51 ± 3%

L’alternativa B realizza Q = 51 ± 0,9 [lpm] = 51 ± 1,7%

In altri termini, a parità di requisiti sulla portata, la capability di

processo del progetto B è quasi doppia rispetto a quella del progetto

A!

Questo sorprendente risultato deriva dal fatto che l’alesaggio ha

influenza quadratica sulla prestazione in output (la portata).

159


La soluzione B, infatti, non ricorre a costosi restringimenti del campo

di tolleranza che rimane per la canna in classe IT10. L’errore sul

raggio è del tutto paragonabile per le due canne.

Tuttavia, rispetto alla soluzione A, la soluzione B è avvantaggiata da

una minore incertezza sulla cilindrata.

ANALOGIA: Riducendo la cilindrata a favore di un regime di

rotazione più elevato, è stato possibile, nel caso di una pompa ad

ingranaggi, eliminare la necessità di suddividere i componenti

prodotti in classi prestazionali. In questo contesto, il parametro di

performance era la pressione massima.

160


CONCLUSIONE

Non esiste un metodo per eseguire il tolerance stack up superiore in

termini assoluti.

Il metodo WCA è certamente il metodo più cautelativo, ma nella

maggior parte delle applicazioni, il metodo Monte Carlo è da

preferire.

In primo luogo, la simulazione Monte Carlo fornisce

certamente risultati più realistici evitando di considerare, al

contrario della WCA, che tutte le variabili in gioco siano al

massimo della tolleranza CONTEMPORANEAMENTE.

In secondo luogo, mentre il metodo WCA porta a un risultato

deterministico (passa/non passa), il metodo Monte Carlo

permette di valutare diversi scenari, con esiti probabilistici

basati su differenti assunzioni sui metodi produttivi e di

controllo messi in atto.

In altre parole, il metodo Monte Carlo offre una visione

sfumata della realtà, nel senso che, a seconda delle mutevoli

condizioni al contorno, il risultato può variare.

Ingegneristicamente, non sempre 1+2 fa 3!

E’ altresì evidente che l’applicazione del metodo Monte Carlo

richiede una maggiore consapevolezza delle ipotesi su cui

si basa la simulazione, fornendo una straordinaria

161


opportunità di allineamento fra le diverse professionalità

coinvolte: dal progettista all’esperto del controllo qualità, dal

fornitore al tecnico di produzione.

La simulazione permette di trattare facilmente sistemi con

molte variabili e interazioni non lineari, potendo modellare

tolleranze non gaussiane e correlazioni complesse tra

variabili.

Nella pratica, il metodo WCA può portare all’adozione di tolleranze

eccessivamente stringenti che aumentano i costi di produzione

senza un reale beneficio pratico, poiché considera scenari estremi e

improbabili.

Il metodo Monte Carlo, invece, permette di identificare tolleranze

ottimali e ben bilanciate, evitando eccessi di rigore e fornendo

elementi per ridurre sprechi e variabilità, ottenendo progetti più stabili

e con performance soggette a minore variabilità (si vedano ad

esempio il CASO 17 e il CASO 18).

162


Requisiti per l'applicazione del metodo Monte Carlo:

‣ Competenze: È necessario avere competenze in statistica,

analisi dei dati e simulazioni Monte Carlo. Programmi di

formazione devono assicurare che tali competenze siano

diffuse all'interno dell'azienda.

‣ Comunicazione e allineamento: È essenziale una buona

comunicazione e allineamento tra gli attori coinvolti, sia

internamente che esternamente all'azienda. I fornitori

devono essere coinvolti nella definizione delle ipotesi di

capacità produttiva e dei controlli su cui basare il modello di

simulazione.

‣ Raccolta dati: Sono necessarie campagne di misurazione

per raccogliere dati accurati sulle dimensioni dei componenti

prodotti.

‣ Integrazione: Il metodo Monte Carlo deve essere integrato

nei processi di progettazione e sviluppo del prodotto.

‣ Verifica periodica: Le ipotesi alla base della simulazione

devono essere periodicamente riviste e verificate, poiché il

processo potrebbe subire cambiamenti.

163


‣ Strumenti software: Utilizzare software di simulazione

adeguati (Excel®, Matlab®, Minitab®, o software CAD con

moduli di analisi delle tolleranze).

Valori necessari per un uso efficace del metodo

Monte Carlo:

Approccio data-driven: Il decision-making deve basarsi su

un'accurata analisi e interpretazione dei dati.

Standardizzazione: È necessario definire e mantenere

standard di qualità per la raccolta dei dati e l'esecuzione

delle simulazioni.

Trasparenza e condivisione: Deve stabilirsi una robusta

comunicazione, collaborazione e condivisione, tra tutti i

soggetti coinvolti, inclusi i fornitori esterni.

Ciclo PDCA: Occorre implementare un sistema di feedback

che migliori la raccolta dati e la simulazione, seguendo il

ciclo PDCA (Plan-Do-Check-Act) per la retrospettiva e il

miglioramento continuo.

164


APPENDICE 1

Statistica elementare e funzioni EXCEL.

Questa appendice non ha certo la pretesa di sostituirsi a un testo di

statistica.

Lo scopo, attraverso un esempio pratico, è invece quello di:

rivedere alcune proprietà della curva gaussiana

richiamare le funzioni Excel® utili per le simulazioni Monte

Carlo.

165


VERIFICA DETERMINISTICA DI UNA MOLLA

Si supponga di dover eseguire la verifica progettuale di una molla a

compressione.

Applicando l’approccio tradizionale deterministico, il fattore di

sicurezza assume un valore ben preciso, ottenuto dal confronto fra il

valore di sollecitazione ammissibile (nominale) e il valore della

tensione massima equivalente al quale il componente è

nominalmente sottoposto.

166


Supponendo, ad esempio:

la molla sia quella di un respingente di fine corsa di un carro

ponte. La sollecitazione è talmente atipica da considerarsi

STATICA.

Il valore limite ammissibile di sollecitazione per il materiale di

cui è fatta la molla sia 680 MPa

Di aver calcolato quale valore di tensione massima 340 Mpa

Il fattore di sicurezza risultante è pari a due.

Un approccio probabilistico considera invece sia la resistenza che

la sollecitazione variabili aleatorie. Il conseguimento della crisi del

componente non è un valore digitale (0 o 1) ma piuttosto un evento

statistico caratterizzato da una probabilità che viene determinata

utilizzando metodi statistici.

167


Per prima cosa si determina la funzione statistica relativa alla

resistenza del materiale.

Si supponga di disporre di 180 molle da sottoporre a test per

determinare il limite di sollecitazione.

Il risultato di ogni test sia inserito in un foglio elettronico.

I valori risultano dispersi in un intervallo che si estende da 626 [Mpa]

(minimo) a 747 [MPa] (massimo).

Realizzando un istogramma delle frequenze, si raggrupperanno le

molle in base al loro limite di resistenza.

168


Ad esempio, 20 molle hanno registrato un valore limite di resistenza

compreso fra 650 e 660 [MPa].

Decidendo di descrivere la funzione aleatoria RESISTENZA del

materiale della molla con una funzione gaussiana, occorre

determinare due indici: la MEDIA e la deviazione STANDARD.

Una funzione gaussiana è completamente definita se si

conoscono media e deviazione standard.

169


La media rappresenta il “valore centrale” (ovvero il più frequente)

della performance della popolazione, mentre la deviazione standard

è una misura di quanto i risultati risultino dispersi attorno alla media.

La funzione gaussiana è centrata e simmetrica rispetto alla

media.

Come si nota, vi è un certo scostamento fra gli istogrammi delle

frequenze sperimentalmente determinati e quelli corrispondenti alla

distribuzione gaussiana della quale sono state calcolate media e

deviazione.

170


Una caratteristica notevole della funzione gaussiana è che il 99,73%

dei valori si trova compreso a cavallo della media (X) in un intervallo

ampio 6 volte la deviazione standard (σ).

Nel caso specifico: 681±3 x 21 = 618 ÷ 744 [MPa]

171


La funzione Excel® DISTRIB.NORM, restituisce la probabilità che la

variabile aleatoria (la resistenza della molla nel presente caso)

assuma un determinato valore.

Ad esempio, per una distribuzione avente media 680[MPa] e

deviazione standard 22[MPa], si desidera determinare la probabilità

che 1 e 1 sola molla abbia esattamente come limite di resistenza

659[Mpa]:

172


La distribuzione NORMALE restituisce una probabilità che non

dipende dalla dimensione del campione considerato. Nel caso in

esame il campione è costituito dai 180 provini.

Quindi per rispondere alla domanda:

“in una popolazione di 180 molle, quante avranno una resistenza

esattamente uguale a 659 [MPa] ?”

Occorrerà moltiplicare il risultato della distribuzione normale per la

dimensione del campione.

Nel caso di un campione di 180 molle, 2 dovrebbero avere come

limite 659[MPa], mentre nel caso di un campione più ampio di 2000

molle, sarebbero 23.

173


Se come quarto argomento della funzione Excel® DISTRIB.NORM si

inserisce un valore 1 invece di 0, si ottiene la funzione di

distribuzione cumulativa.

Ad esempio, per una distribuzione avente media 680[MPa] e

deviazione standard 22[MPa], si desidera determinare la probabilità

che 1 e 1 sola molla abbia un limite di resistenza non superiore a

659[Mpa]:

174


Se il campione di 180 molle rispondesse esattamente alla

descrizione statistica della gaussiana i cui indicatori sono stati

sperimentalmente determinati, una trentina di molle avrebbero

resistenza non superiore a 659 [MPa].

Compreso il significato statistico della distribuzione gaussiana

cumulativa, risulta di conseguenza che :

175


1) Data la simmetria della curva, il 50% della popolazione avrà

una resistenza non superiore al valore medio.

Quindi la funzione cumulativa assume valore 0,5 in

corrispondenza del valor medio.

2) Dato che il 100% della popolazione deve essere descritto,

l’area totale sottesa da una distribuzione normale gaussiana

è sempre pari a 1.

176


In conseguenza dell’osservazione 2, dovendo risultare sempre pari a

1 l’area sottesa dalla distribuzione gaussiana, all’aumentare della

deviazione standard deve di conseguenza diminuire l’altezza del

picco (=frequenza del valor medio) della curva gaussiana.

Nei modelli di simulazione si desidera spesso “sorteggiare” valori

casuali nel rispetto di una determinata gaussiana.

177


Si ricorre in questo caso alla funzione inversa della distribuzione

normale cumulativa, inserendo come primo argomento della

funzione Excel® INV.NORM un valore randomico (CASUALE())

automaticamente generato, compreso fra 0 e 1.

Nell’esempio in esame, si desidera attribuire il valore di resistenza

ad una molla nel rispetto della curva gaussiana determinata in

precedenza dal campione di 180 molle (e il foglio di calcolo lo

determina in questo esempio pari a 667 [MPa]).

178


SOMMA di funzioni gaussiane

E’ dimostrabile che la somma di due funzioni gaussiane è ancora

una funzione gaussiana avente :

come media la somma delle medie

il quadrato della deviazione standard pari alla somma dei

quadrati delle deviazioni standard

179


SOTTRAZIONE di funzioni gaussiane

E’ dimostrabile che la sottrazione di due funzioni gaussiane è ancora

una funzione gaussiana avente :

come media la sottrazione delle medie

il quadrato della deviazione standard pari alla somma dei

quadrati delle deviazioni standard

180


CASO 19:

VERIFICA PROBABILISTICA DI UNA MOLLA

Ritornando alla verifica della molla di respingente di carro ponte, un

approccio probabilistico richiede di considerare resistenza R e

sollecitazione S funzioni statistiche.

La verifica non è soddisfatta quando:

Ovvero quando:

S > R

(S-R)>0

Si supponga che la funzione di sollecitazione S sia caratterizzata da

un valore medio di 340[MPa] e da una deviazione standard di

80[MPa].

181


R è stata sperimentalmente determinata.

Quando la funzione differenza (S-R), che rappresenta la probabilità

combinata che la sollecitazione superi la resistenza, assume valori

positivi si ha cedimento del componente.

182


Il valore medio di (S-R) vale :

340-680 = -340 [MPa]

La deviazione standard di (S-R) :

=83 [MPa]

La probabilità che (S-R) sia non nulla è il complemento a 1 della

probabilità cumulativa che (S-R) sia non superiore a 0:

Mentre il modello deterministico gode di un fattore di sicurezza pari a

2, quello probabilistico prevede che ogni milione di molle (valore

irrealistico nel caso di un respingente per carro ponte), si avranno 21

cedimenti.

183


PRECISAZIONE riguardo l’approccio deterministico

Spesso si considera cautelativamente non il valore “tipico” cioè

medio di resistenza del materiale ma un valore minimo garantito.

184


APPENDICE 2

Controllo statistico di processo: CP e CPK.

La capacità di processo intende misurare quanto un processo è

“fedele” ai limiti prefissati.

Supponendo di avere un processo stabile, cioè a regime,

conoscerne la process capability consente di prevedere quanti

componenti prodotti si troveranno al di fuori del limite di specifica.

185


CP = indice della capacità di processo

LS = Limite superiore di specifica

LI = Limite inferiore di specifica

σ = deviazione standard

Nel caso CP=1, la variabilità del processo (espressa da 6σ) copre

l’intero intervallo di variabilità ammesso dai limiti di specifica (LS-LI)

e 2700 parti per milione risulteranno fuori specifica.

Ad esempio, un CP=1,66 comporta che l’intervallo ammesso abbia

una estensione pari a 10 volte σ.

186


VALORI INDICATIVI:

CP<1

PROCESSO INADEGUATO

(oltre 2700 ppm fuori specifica)

1 < CP < 1,33 PROCESSO DA MANTENERE SOTTO

CONTROLLO COSTANTE

(con CP=1,33 -> 67 ppm fuori specifica)

1,33 < CP < 1,67 PROCESSO ADEGUATO

(con CP=1,67 -> 0,57 ppm fuori specifica)

CP > 1,67

PROCESSO OTTIMO

(con CP=2 -> 0,002 ppm fuori specifica)

187


Per accrescere il valore di CP si può agire in due modi:

Aumentando il numeratore.

I progettisti devono prescrivere le maggiori tolleranze

possibili (LS-LI) compatibilmente con il profilo di missione del

componente

Riducendo il denominatore.

I tecnologi devono contenere al massimo la variabilità del

processo (espressa da 6σ) e centrare il valor medio

nell’intervallo di specifica.

188


Il limite della definizione del CP è il fatto che assume che il processo

si trovi centrato rispetto all’intervallo di tolleranza, ovvero che il valor

medio del parametro in analisi si trovi proprio ad uguale distanza dai

confini di ammissibilità.

Per rimediare a tale limite, l’indicatore CPK considera la distanza fra

il baricentro della gaussiana (valor medio) del parametro in analisi e

il limite di tolleranza ad esso più vicino, e lo divide per 3σ.

189


In termini generali, risulta sempre:

CP ≥ CPK

Nel caso del tutto improbabile che il processo sia perfettamente

centrato, risulta

CPK=CP.

Caso in cui Cp=Cpk=1

190


Si noti che per come è definito CPK, nell’improbabile caso che il

valor medio si trovi ad di fuori dei limiti di accettabilità, CPK risulta

ancora positivo !

Nel caso non si possa condurre una campagna di misurazioni e si

debba stimare il valore di CPK, disponendo di quello del CP, la

pratica più comune è quella di considerare:

CPK = CP -0,5

191


Nei casi per i quali si richiede che il fornitore mantenga sotto

controllo costante il processo, i valori di CPK sono indicati a disegno

a fianco del valore di tolleranza.

192


Significato di CP e di CPK.

Avere un CP elevato significa che il processo è caratterizzato da

elevata PRECISIONE.

Un CPK elevato comporta invece elevata ACCURATEZZA.

193


CASO 20.

Titolo:

Scopo:

Durezza di un ingranaggio sinterizzato

Dato il CPK, determinare la deviazione.

Un ingranaggio sinterizzato è assoggettato a trattamento termico di

sinterotempra.

Il requisito di durezza del componente (nel disegno è specificata la

zona di test) è: 80 ±10 HRB.

Dato che gli ingranaggi al di fuori di questo range vanno scartati, si

desidera ottenere un processo robusto, prescrivendo:

CPK ≥ 1,5

194


In previsione di condurre una campagna DOE (Design of

Experiment) di test per ottimizzare i parametri di processo, quale

dovrebbe essere il requisito di deviazione standard per il

componente?

Svolgimento

Per considerare la deriva del valore di CPK rispetto CP, ovvero del

fatto che è illusorio considerare il processo perfettamente centrato, si

applichi la regola empirica per la quale tipicamente:

CPK = CP -0,5

Da cui deriva:

CP = CPK +0,5 = 1,5 +0,5 = 2

Da cui si ricava che l’obiettivo della campagna di test dovrebbe

essere quello di ottenere una deviazione standard :

195


CASO 21.

Titolo:

Scopo:

Boccola a strisciamento

determinare CP e CPK.

Il diametro interno di una boccola a strisciamento viene verificato al

100% dal fornitore prima della consegna, ricorrendo a un calibro

passa - non passa.

Sottoponendo un campione di boccole ricevute, tutte conformi, a

misurazione, si trova:

diametro medio 32,005 [mm]

deviazione standard 4 [um]

Sapendo che a disegno il diametro vale Ø32 H7 (+0,025 -0),

determinare:

il valore di CP e di CPK

quale è la percentuale di componenti che il fornitore ha

scartato prima del controllo finale e della consegna

196


Svolgimento

Il valore medio rilevato si trova vicino al limite inferiore, per cui il CPK

sarà calcolato con riferimento a quello.

I componenti non conformi sono rappresentati dall’area della curva

gaussiana f(x) per valori inferiori a 32.

Ogni 100 pezzi realizzati il fornitore ne scarta 10.

Nonostante si siano ricevuti solo componenti conformi, l’analisi

statistica ci permette di misurare quanto il processo sia fuori

controllo.

197


CASO 22.

Titolo:

Scopo:

rischio di grippaggio di una pompa volumetrica a

ingranaggi

Stima di una probabilità combinata

In sezione è rappresentata una pompa ad ingranaggi.

La differenza fra l’altezza dell’anello distanziale (in rosso) e l’altezza

degli ingranaggi (in blu) rappresenta un gap micrometrico da tenere

sotto stretto controllo.

Valori troppo bassi di tale gap comportano rischi di

grippaggio

Valori troppo alti del gap comportano un basso rendimento

volumetrico della pompa, a causa delle fughe interne che

crescono con il cubo di tale meato in base alla legge di

Poiseuille.

198


Per il gap in altezza fra distanziale e ingranaggi si consideri:

Un limite minimo di 5 micron

Un limite massimo di 18 micron

Sia l’anello distanziale sia gli ingranaggi sinterizzati sono sottoposti a

rettifica a piani paralleli.

DISTANZIALE

Indicazione a disegno : 2,775 +0,006 -0 [mm]

Una campagna prove condotta in passato ha evidenziato CP=1.

Non si conosce il valore di CPK.

INGRANAGGI

Indicazione a disegno : 2,762 +0,007 -0 [mm]

Il fornitore, a corredo di ogni lotto fornito, esegue una misurazione

dell’altezza di 30 campioni per ricavare CP e CPK.

199


Questo il rapporto ricevuto:

Si intenda stimare il rischio di montare pompe non conformi.

Svolgimento

Nominalmente, il gap fra distanziale e ingranaggi vale:

2778-2765,5 =12,5 [um]

In realtà, tale gap è una grandezza aleatoria, risultato della

sottrazione fra due grandezze aleatorie: l’altezza del distanziale e

quella degli ingranaggi che andiamo a caratterizzare.

200


Dal report del fornitore, leggiamo per gli ingranaggi:

L’intervallo di tolleranza ammesso per i distanziali vale 6 [um].

Dato che è CP=1 ne consegue :

Dato che non si conosce il valore di CPK, si assume:

CASO 1

CPK = CP -0,5 = 1-0,5 = 0,5

Simuliamo per prima cosa, che la gaussiana che rappresenta

l’altezza del distanziale si trovi più vicina al limite inferiore.

da cui

Abbiamo tutti gli elementi per descrivere la funzione gap, e calcolare

la probabilità cumulativa che :

Abbia valore inferiore a 5 micron (=grippaggio)

201


Abbia valore superiore a 18 micron (=basso rendimento)

Il primo rischio vale 1,38 ppm mentre il secondo è trascurabile.

202


CASO 2

Nel caso invece che la gaussiana sia spostata in vicinanza del limite

superiore:

da cui

Il caso 2 si rivela più critico del primo: l’eventualità di comporre

pompe a basso rendimento vale ora 7,55 ppm.

203


APPENDICE 3

Il Teorema del Limite Centrale [6].

Il teorema del limite centrale giustifica l'uso della distribuzione

normale anche quando i dati non sono distribuiti normalmente.

La macchina di Dalton è un dispositivo composto da una serie di pioli

disposti in maniera triangolare.

204


Nessuno è in grado di prevedere in quale contenitore posto alla base

della macchina, finirà una specifica pallina lasciata cadere dalla

parte superiore della macchina.

Infatti, ogni pallina, ad ogni urto con un piolo, ha la stessa probabilità

di rimbalzare a sinistra o a destra.

Tuttavia, facendo cadere un numero sufficientemente elevato di

palline, inevitabilmente esse si dispongo nei contenitori a formare

una curva a campana, caratteristica della distribuzione normale.

La macchina di Galton illustra il principio fondamentale del teorema

del limite centrale: molte variabili casuali indipendenti sommate

insieme tendono a formare una distribuzione normale.

205


Un esempio analogo riguarda il lancio dei dadi.

Nel caso di un singolo dado a sei facce, ogni faccia ha una

probabilità uguale di uscire, quindi il risultato è imprevedibile e

distribuito uniformemente.

206


Si consideri ora di lanciare 10 dadi simultaneamente. Anche se il

risultato di ogni dado non rispetta una distribuzione normale (ma

piuttosto uniforme), la somma dei loro risultati tenderà a seguire una

distribuzione normale.

Questa circostanza, spiegata dal teorema del limite centrale, è

fondamentale in molte applicazioni pratiche, perché permette di

utilizzare la distribuzione normale per analizzare e prevedere il

comportamento di sistemi complessi composti da molte variabili

indipendenti.

207


Enunciazione del TLC Teorema del Limite Centrale:

“Se si prende una serie di campioni di dimensioni sufficientemente

grandi da una popolazione con qualsiasi distribuzione, la

distribuzione della media dei campioni si avvicinerà a una

distribuzione normale (gaussiana), indipendentemente dalla forma

della distribuzione originale della popolazione. Questo risultato si

applica a una varietà di situazioni, a patto che i campioni siano

indipendenti e presi dalla stessa popolazione.”

Trasposto nell’ambito delle catene di tolleranze, questo teorema

indica che anche quando le distribuzioni delle tolleranze individuali

non sono normali (ma ad esempio uniformi o esponenziali), il

risultato complessivo di una catena di tolleranze sarà normale,

ammesso che il numero di tolleranze sia sufficientemente grande.

208


Il TLC risulta quindi molto utile nel controllo qualità della produzione.

Nonostante i singoli componenti possano avere tolleranze che

seguono distribuzioni non normali, la tolleranza complessiva del

prodotto finale avrà una distribuzione normale se il numero di

componenti è sufficientemente grande.

I

l TLC si basa sul fatto che, indipendentemente dalla forma delle

distribuzioni individuali, la distribuzione della somma di un gran

numero di variabili aleatorie indipendenti convergerà verso una

distribuzione normale avente come valor medio la somma delle

medie individuali e come varianza, la somma delle varianze

individuali.

209


Nel caso delle catene di tolleranze, quante

dimensioni occorrono per stabilire se la distribuzione

che descrive il GAP è normale?

Non esiste una risposta universale, perché dipende dal tipo di

distribuzione delle singole tolleranze coinvolte.

Nel caso del lancio dei dadi, ad esempio, la somma del risultato di

due dadi ha distribuzione triangolare.

Tuttavia la somma di 4 o 5 dadi assume già andamento normale.

Caso per caso è dunque raccomandabile verificare con una

simulazione Monte Carlo quanto la distribuzione della quota somma

di interesse (GAP) è assimilabile ad una distribuzione normale.

210


RINGRAZIAMENTI

Questo libro è frutto di un lavoro di squadra.

Un grazie speciale va all’Ing. Cristina Panciatichi, che ha dedicato

tempo e attenzione alla revisione finale, correggendo ogni refuso e

rendendo la lettura più fluida e piacevole. La sua meticolosità ha

fatto la differenza.

Ringrazio di cuore l’Ing. Fabrizio Conti non solo per aver corretto la

bozza, ma anche per gli spunti interessanti. Fabrizio mi offre

supporto incondizionato e ispirazione fin dai tempi del liceo.

L’Ing. Nicola Lippi, che mi ha introdotto anni fa all'approccio statistico

alle tolleranze, ha contribuito con importanti integrazioni oltre che

con la prefazione.

La sua guida e la sua esperienza sono state fondamentali.

A tutti loro, il mio più sincero ringraziamento per il tempo prezioso

che mi hanno dedicato, per la loro generosità e per avermi aiutato a

dare vita e a perfezionare questo progetto.

Senza di voi, questo libro non sarebbe stato possibile.

211


BIBLIOGRAFIA

[1]

“Mechanical Tolerance Stackup and Analysis”

Bryan R. Fisher

[2]

https://www.lean.org/lexicon-terms/muda-mura-muri/

[3]

Tratto dagli appunti del corso di “Approccio statistico alle tolleranze”

realizzato da Nicola Lippi per Galgano.

[4]

“Dimensioning and Tolerancing Handbook”

Paul J. Drake, Jr. cap. 9.2.6.3

[5]

Tratto da “Tolerancance Calc 6 ® Tutorial.”

[6]

Paragrafo sviluppato grazie al contributo di Nicola Lippi.

212

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