Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

Dimostrazione. La dimostrazione fa riferimento alla distinzione tra numeri
pari e numeri dispari. Siano d ed l la diagonale ed il lato di un quadrato
e supponiamo che siano commensurabili, ossia che hanno un sottomultiplo
comune u tale che l = mu e d = nu con m ed n numeri interi positivi;
supponiamo che u sia il massimo sottomultiplo comune e cioè m ed n primi
tra loro. Applicando il teorema di Pitagora alla metà del quadrato, e dividendo
per u 2 si ottiene:
2m 2 = n 2 .
Il che implica che n 2 sia pari e dunque, per il lemma, anche n pari. Dunque
abbiamo n = 2p e quindi 2m 2 = 4p 2 da cui m 2 = 2p 2 che implica m 2 pari, ed
infine per il lemma anche m pari.
Ma stavamo supponendo che m ed n fossero primi tra loro e quindi il fatto
che siano entrambi pari porta ad una contraddizione nata dall’assumere che
lato e diagonale fossero commensurabili.
La tanto discussa diagonale è un segmento ed è li sotto i nostri occhi
ma non esiste un numero né intero né fratto che esprima la sua lunghezza.
Ecco dunque la scandalosa scoperta: un problema che non si può risolvere
con l’aritmetica, viene subito risolto dalla geometria; la geometria prende il
sopravvento.
Il teorema di Pitagora, che doveva rappresentare il vanto della scuola
pitagorica, si rivelò, invece, colpevole della crisi del pitagorismo.
La scoperta dell’incommensurabile ebbe conseguenze profonde. Da essa,
Pappo derivò una distinzione tra gli interi (che procedono per gradi, avanzano
per addizione indefinitamente partendo da un minimo) e le quantità continue
(che iniziano con un intero definito e sono indefinitamente divisibili). Se partiamo
da una frazione irriducibile ad esempio 2 : 3, possiamo costruire una
serie di frazioni equivalenti in maniera molto semplice: 2 : 3 = 4 : 6 = 6 : 9 =
... Ma se nella serie non esiste la frazione più piccola, allora non ci può essere
alcuna frazione che esprima l’intera serie. Le parole di Pappo suggeriscono
che fu questo ragionamento ad aprire gli occhi ai pitagorici. Consideriamo
ancora una volta il lato e la diagonale di un quadrato. Il tentativo di esprimerli
entrambi come multipli di una stessa quantità porta a una regressione
infinita. Per quanto piccola sia la quantità comune, bisogna prenderla ancora
più piccola, e quindi la quantità non esiste.
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