Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

supposto che, dati comunque due segmenti qualsiasi, esistesse sempre un’unità
di lunghezza ad essi comune” come scrive Niven in Numeri razionali e
numeri irrazionali. Si poneva dunque il problema di trovare un metodo che
consentisse di confrontare rapporti tra grandezze incommensurabili.
Prima della scoperta dell’incommensurabilità tra lato e diagonale del quadrato,
i Greci consideravano quattro grandezze in proporzione, a : b = c : d,
se i due rapporti a : b e c : d avevano la stessa sottrazione reciproca, cioé, in
ciascuno dei due rapporti la quantità più piccola poteva essere sottratta da
quella più grande lo stesso numero intero di volte, e il resto in ciascun caso
può venire sottratto dalla quantità più piccola lo stesso numero intero di volte
e il nuovo resto può venire sottratto dal precedente un numero intero di volte
e così via.
Facciamo un esempio con le notazioni moderne e mostriamo che 6 : 22 =
12 : 44. Si può sottrarre 3 volte 6 da 22 e avanza 4. Iterando il procedimento si
può sottrarre 1 volta il 4 dal 6 e avanza 2; si può sottrarre 2 volte il 2 dal 4 e non
avanza alcuna quantità. Il rapporto 6 : 22 si vede, dunque, come la sequenza
3, 1, 2. Svolgendo i conti per 12 : 44 si ottiene lo stesso risultato 3, 1, 2. Questo
procedimento termina quando le grandezze in esame sono commensurabili.
Se, invece, vogliamo considerare il rapporto tra il lato e la diagonale di un
quadrato il procedimento sopra illustrato non termina mai, proprio perchè
queste due grandezze sono incommensurabili.
Eudosso risponde alla necessità di un nuovo metodo per confrontare grandezze
fornendo la seguente definizione, che ci viene tramandata dal libro V
degli Elementi di Euclide.
Definizione 4.1. Si dice che delle grandezze sono nello stesso rapporto, la prima
con la seconda e la terza con la quarta, quando, se si prendono equimultipli
qualsiasi della prima e della terza, ed equimultipli qualsiasi della seconda e della
quarta, i primi due equimultipli superano ugualmente, o sono uguali, o sono
ugualmente inferiori ai secondi equimultipli presi in ordine corrispondente.
Riscriviamo con notazione moderna l’enunciato. Il rapporto tra a e b è
uguale a quello di c e d, ossia a : b = c : d, se, per qualsiasi coppia di numeri
interi m ed n, si ha:
ma>nb => mc>nd
ma=nb => mc=nd
ma mc