Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

frazioni, ossia a c
b = d se e solo se ad = bc, un processo che equivale alla riduzione
a comune denominatore. Per mostrare, per esempio, che 3
6 è uguale a
4
8 , moltiplichiamo 3 e 6 per 4 ottenendo 12 e 24, e moltiplichiamo 4 e 8 per 3,
ottenendo la stessa coppia di numeri 12 e 24. Avremmo potuto usare 7 e 13
come moltiplicatori, ed avremmo ottenuto la coppia 21 e 42 nel primo caso,
e 52 e 104 nel secondo; e come 21 è inferiore a 52, così 42 è inferiore a 104
(abbiamo qui scambiato l’uno con l’altro il secondo e il terzo termine della
definizione eudossea per conformarci alle comuni operazione solitamente usate
oggi, ma simili relazioni sussistono nell’uno o nell’altro caso).
Il nostro esempio aritmetico, tuttavia, non dà un’idea adeguata della sottigliezza
e dell’efficacia del concetto di Eudosso, giacchè l’applicazione fattane
qui ha un aspetto banale. Per poter valutare più a fondo la sua definizione
sarebbe meglio sostituire a, b, c, d con numeri irrazionali, oppure, cosa ancora
migliore, considerare a e b come sfere e c e d come cubi costruiti sui raggi delle
sfere. Qui una moltiplicazione dei medi e degli estremi diventa priva di senso
e l’applicazione della definizione di Eudosso appare tutt’altro che banale. Bisogna
dunque ammettere che la notazione moderna di a, b, c, d è fuorviante
poichè induce a pensare a dei numeri, mentre Eudosso parla sempre di “grandezze”,
non di “numeri”, sta definendo l’uguaglianza di rapporti tra grandezze
(segmenti) senza parlare di lunghezze; l’unica cosa di cui parla è il multiplo di
segmento.
Detto in altre parole, il problema che affronta non è l’irrazionalita di √ 2,
ma l’incommensurabilità della diagonale rispetto al lato di un quadrato; benchè
a prima lettura possano sembrare la stessa cosa, in realtà sono due cose
diverse. Il rapporto tra due grandezze, per i Greci, non è un numero: loro
esprimono tutto per mezzo di grandezze e quindi definiscono l’uguaglianza di
due rapporti, non il rapporto in quanto tale, proprio perchè il rapporto in
quanto tale è un numero.
Eudosso dà una definizione di uguaglianza di rapporti che comprende
ciò che noi oggi chiamiamo numeri irrazionali, senza mai definirli; la sua
teoria delle proporzioni permette quindi di confrontare tutte le grandezze
commensurabili e incommensurabili.
4.4.2 Metodo di esaustione
Abbiamo visto nella sezione precedente come fu possibile affrontare con
successo, grazie all’immaginazione di Eudosso, la crisi aperta nelle matematica
in seguito alla scoperta di grandezze incommensurabili; ma rimaneva aperto
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