Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

Viene spesso affermato che l’algebra geometrica dei greci non poteva andare al
di là del secondo grado nella geometria piana, ne al di là del terzo grado nella
geometria solida. Ma le cose non stanno esattamente così. La teoria generale
delle proporzioni avrebbe permesso di operare con prodotti di qualsiasi numero
di dimensioni: infatti un’equazione della forma x4 = abcd è equivalente a una
equazione che comporta prodotti di rapporti fra segmenti, come x x c d
a b = x x .
5.6.6 Libro VI
Dopo aver sviluppato nel Libro V la teoria delle proporzioni, Euclide ne
fa uso per dimostrare teoremi riguardanti rapporti e proporzioni relativi a
triangoli, parallelogrammi o altri poligoni simili. Notevole è la Proposizione
31, che rappresenta una generalizzazione del teorema di Pitagora:
XXXI Nei triangoli rettangoli, la figura costruita sul lato che sottende l’angolo
retto è uguale alle figure simili e similmente costruite sui lati che
contengono l’angolo retto.
Proclo attribuisce questa generalizzazione allo stesso Euclide. Questo Libro
contiene anche (nelle Prop. 28 e 29) una generalizzazione del metodo di
applicazione delle aree: infatti ora l’autore era in grado di usare liberamente
il concetto di proporzione.
In questo libro sono contenuti anche i due famosi teoremi di Euclide sui triangoli
rettangoli:
1 o Teorema di Euclide In un triangolo rettangolo il cateto è medio proporzionale
tra la sua proiezione sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa.
2 o Teorema di Euclide In un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa
è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti relative sull’ipotenusa.
5.6.7 Teoria dei numeri
Nei libri VII-VIII-IX vediamo sorgere una teoria generale dei numeri: i
temi principali trattati sono la differenza tra numeri primi e numeri composti,
le proporzioni, il massimo comune divisore, sequenze di numeri in proporzioni
geometriche, la geometria dei numeri (numeri piani e solidi, quadrati e cubi),
la dimostrazione della quantità infinita dei numeri primi, e infine la teoria
elementare dei numeri pari e dispari.
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