Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

a = k 1
1
nb e c = k nd. DEFINIZIONE VII.21: Numeri piani e solidi simili [fra loro] sono quelli che
hanno i lati proporzionali.
Ad esempio, sono simili i due numeri piani
6 = 2 · 3 e 24 = 4 · 6,
infatti i lati 2 e 3 dell’ uno e i lati 4 e 6 dell’ altro sono in proporzione:
e sono simili i due numeri solidi
infatti
2 : 4 = 3 : 6,
24 = 2 · 3 · 4 e 192 = 4 · 6 · 8,
2 : 4 = 3 : 6 = 4 : 8.
Infine nella VII.22 è definito un numero perfetto come somma dei suoi fattori
diversi dal numero stesso.
Diversamente dal libro I non ci sono postulati veri e propri, anche se si possono
notare alcune proprietà di carattere intuitivo che Euclide non enuncia
esplicitamente, ma che assume come valide: esse potrebbero anche indicarsi
come postulati inespressi.
1. Se un numero divide altri due numeri, divide anche la loro somma.
2. Se un numero divide altri due numeri, divide anche la loro differenza.
3. Se un primo numero divide un secondo, divide anche qualunque multiplo
del secondo.
La prima assunzione, ad esempio, è usata, come vedremo, nella proposizione
VII.2, le altre due nella proposizione VII.3. Inoltre la somma è data per
scontata con tutte le sue proprietà, così come l’ operazione di “misurare”, cioè
dividere, è considerata nota nella definizione VII.3 (mentre la moltiplicazione
è definita nella VII.15).
Dopo le definizioni è presentato il famoso algoritmo di Euclide, che sta alla base
della sua teoria dei numeri. Egli lo usa per determinare il massimo comune
divisore (o misura comune, nella sua terminologia). L’algoritmo consiste nell’
esecuzione ripetuta di divisioni con resto (che Euclide dà per nota):
Divisione con resto: dati due numeri naturali a e b con b > a, esistono due
interi univocamente determinati q ed r tali che:
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