Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

Nella definizione VI.3 un segmento P Q è detto diviso nel rapporto estremo e
medio da un punto R se
P Q : P R = P R : RQ.
Nella prima metà del diciannovesimo secolo al segmento P R è stato dato il
nome di “sezione aurea”. Dato il segmento P Q, il punto R è già stato trovato
due volte, nella proposizione II.1 e nella VI.30.
Le prime sei proposizioni studiano le proprietà della sezione aurea, e costituiscono
di fatto dei lemmi per la costruzione dei poliedri regolari, descritta nelle
proposizioni finali del libro.
Le proposizioni XIII.1/2 stabiliscono che, dati i punti S, P, R, Q allineati e tali
che P Q = 2SP , R divide P Q in rapporto estremo e medio ⇔ (SR) 2 = 5(SP ) 2 .
Per dimostrare questo fatto ricordiamo che l’ equazione che determina la
sezione aurea x di un segmento a (scritto in formule moderne) è
cioè
x 2 = a(a − x),
a : x = x : (a − x),
ossia la sezione aurea (che è la parte maggiore) è media proporzionale tra
l’ intero segmento e la parte residua. Ponendo a = P Q e x = P R le due
proposizioni affermano che x è la sezione aurea del segmento a se e solo se
Infatti sviluppando si ha:
cioè
(x + a
2 )2 = 5( a
2 )2 .
x 2 + ax + ( a
2 )2 = 5( a
2 )2 ,
x 2 + ax = a 2 .
PROPOSIZIONE XIII.5: Se si divide una linea retta nel rapporto estremo
e medio, e si aggiunge ad essa la parte maggiore, la retta che ne risulta è
divisa in rapporto estremo e medio, e la parte maggiore ne è la retta assunta
inizialmente.
Questo risultato si vede facilmente per mezzo delle equazioni: esso afferma che
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