Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

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6.1 Vita e morte Non sono molte le notizie certe sulla vita di Archimede. Per esempio non è certa la sua data di nascita che viene fatta risalire al 287 a.C.; questo perché Plutarco (46 d.C. - 127 d.C.) nell’opera Vita di Marcello, raccontò che al momento della sua morta avvenuta nel 212 a.C. durante il sacco di Siracusa, Archimede aveva all’incirca 75 anni. Sebbene non ci siano molti documenti storici sulla vita di Archimede, le fonti convergono verso il fatto che fosse figlio dell’astronomo Fidia dal quale avrebbe ereditato l’amore per le scienze matematiche e che abbia vissuto quasi interamente la sua vita a Siracusa che all’epoca era la più importante, ricca e popolosa colonia dorica della Magna Grecia. Inoltre secondo Diodoro Siculo (90 a.C. - 27 a.C.) durante un suo viaggio ad Alessandria, Archimede conobbe Erastotene di Cirene, terzo 198
ibliotecario della celeberrima Biblioteca di Alessandria, al quale avrebbe poi dedicato l’opera Il Metodo. La sua morte avvenne durante il Sacco di Siracusa. Durante la seconda guerra punica (218 a.C. - 202 a.C.) Siracusa aveva avuto il torto di appoggiare Cartagine contro Roma e per questo la città, venne assediata dai romani dal 214 al 212 a.C.. Al di là dell’aspetto politico, Siracusa rappresentava all’epoca, uno dei centri abitati più ricchi per produzione di olio, grano e vino della Sicilia; ovviamente per Roma era fondamentale poter controllare un porto di siffatta importanza. Secondo scritti di storici greci come Plutarco e Polibio (206 a.C. - 124 a.C.) e di storici romani come Tito Livio (59 a.C - 17 d.C.), Archimede, sebbene lungi dall’essere un uomo di armi, riuscì con le sue invenzioni (catapulte per lanciare pietre, corde, carrucole e ganci per sollevare e schiantare le navi romane, dispositivi per sviluppare incendi sulle navi) a rallentare la caduta della città. Le versioni raccontate da Plutarco sul motivo preciso dell’uccisione di Archimede sono varie, ma quella più verosimile sembra essere quella per cui un soldato addetto al suo arresto, offesosi per l’indifferenza che il “vecchio” aveva avuto nei suo confronti, concentrato com’era nei suoi studi (con la famosa frase “Noli turbare circolo meos”, cioè “Non rovinare i miei cerchi”), abbia risposto all’affronto uccidendolo. Il fatto diede rattristò il generale Marcello, che a conoscenza della scienza di Archimede, avrebbe voluto portarlo a Roma per sfruttarne le capacità. Dalle opere ritrovate e dalle varie testimonianze si è constatato che Archimede si dedicò a tutte le branche delle scienze matematiche a lui contemporanee (aritmetica, geometria piana e geometria solida, meccanica, ottica, idrostatica, astronomia ecc.) ottenendo risultati straordinari. 6.2 Archimede, Eudosso ed Euclide Archimede si sentì legato ad Eudosso (408 a.C. - 355 a.C.), il più importante matematico preeuclideo in quanto, a suo dire, li accomunava il rigore delle loro dimostrazioni; inoltre gli attribuì la prima dimostrazione rigorosa dei due teoremi sul volume del cono e della piramide, enunciati da Democrito (460 a.C. - 360 a.C.). Eudosso, aveva sviluppato il metodo di esaustione di Antifone, che poi fu usato in modo magistrale da Archimede. Tale metodo è un procedimento utile a calcolare aree di varie figure geometriche piane. Consiste nella costruzione di una successione di poligoni che converge alla figura data. L’area della figura risulta essere quindi il limite delle aree dei poligoni. Il metodo di esaustione ebbe il merito di essere il mezzo mediante il quale la 199
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Università degli studi di Padova a
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2.2.4 Sistema di numerazione . . .
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5 Euclide 159 5.1 Contesto storico
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9.2.5 Isaac Barrow . . . . . . . .
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1.2 L’aritmetica 1.2.1 Contare Co
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della storia 9 . Il papiro di Ahmes
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sistemi in cui il valore di uno ste
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Figura 1.7: Un’incisione rupestre
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Figura 1.9: I disegni di Nazca: una
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per costruire triangoli rettangoli
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usavano i numeri cardinali e non qu
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Capitolo 2 Le antiche civiltà dell
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te da preoccupazioni di ordine mist
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delle date l’ordine e l’armonia
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Il quipu non poteva essere usato co
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Prima della seconda metà del XVI s
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La prima fonte scritta giunta fino
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2.2.3 Contatti e scambi con l’Eur
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scientifico, caratteri particolari
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zero si presentò quando le bacchet
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4 9 2 3 5 7 8 1 6 La leggenda, abba
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delle bacchette era analoga a quell
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Applicando la regola di Cramer si h
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Si noti che un trattino diagonale i
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Attualmente scriveremmo questo prob
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Moista 3 , testo che ebbe pochissim
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terminata, che raggiunse un livello
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(a noi nota come equazione di Pell)
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specifici per indicare 4, 10 e 20;
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numeri che devono essere moltiplica
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“La fune tesa della diagonale di
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Molti secoli dopo, nel XV secolo, u
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2.3.10 Il concetto di infinito Se l
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Capitolo 3 La matematica nella Grec
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certezza se Talete o Pitagora ne ab
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al servizio degli aristocratici. A
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degli aristocratici. Fra queste cit
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• l’espansione verso Oriente e
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loro grandi biblioteche non fossero
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o più grandi maestri. Questo fenom
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Figura 3.3: Sistema ionico Poiché
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Mileto rappresentava un grande cent
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Purtroppo Talete non ha scritto nul
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Per quel che riguarda il teorema 4,
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Figura 3.7: Calcolo dell’altezza
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un segmento dato un rapporto fissat
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greci; non a caso Platone, uno dei
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studi medici era diffuso proprio ne
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• Gli acusmatici ( dal verbo grec
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proporzione 3 : 2 a indicare una re
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del dispari, mentre il male, il dis
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1. E’ dato un numero figurato. Fi
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esempio 11; allora: e quindi Figura
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I pitagorici collegavano la distinz
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Tabella 3.1: Rappresentazione rispe
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Figura 3.21: (a + b) 2 = (a − b)
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di cui una traduzione letteraria è
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e. Le nuove grandezze vennero chiam
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La sfida che i matematici greci si
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Bibliografia [1] Storia della Matem
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Il IV secolo si aprì con la morte
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4.2 Zenone di Elea 4.2.1 Introduzio
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Consideriamo un segmento di estremi
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Qual è la velocità di un punto de
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• Molti, come ad esempio Carl Boy
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linea e della superficie; la sua cr
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1. idee che si riferiscono ai valor
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ca e geometria tra le quattro mater
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se n e m non sono entrambi cubi di
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cioè un cubo di spigolo x equivale
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cioè AC : AP = AP : AM = AM : AB,
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Bibliografia [1] T. Heath, A histor
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È aneddoto comune che di fronte al
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8.2 La Matematica di al-Khwārizmī
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Struttura dell’al-jabr. L’opera
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8.2.3 Altri matematici di spicco. A
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8.3.1 I simboli di somma e sottrazi
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L’Italia sembra insensibile a que
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Figura 8.4: Il Teorema di Pitagora
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Capitolo 9 Da Tartaglia a Cauchy: n
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sancito il principio del cuius regi
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Si tratta quindi di risolvere un’
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- Guerra dei trent’anni (1618-164
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• problemi sulla distanza • il
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asate su assiomi arriva a delle cer
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II. Sulla natura delle linee curve
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3. il grado di questa equazione alg
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geometrici Descartes affronta il pr
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di infiniti punti C il cui luogo è
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maniera simile CD spinge DE e così
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trovare la normale ad una curva alg
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punti) e la tangente. Significativo
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Figura 9.4: Bonaventura Francesco C
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Figura 9.5: Pierre de Fermat (1601
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curve algebriche elaborò un metodo
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Figura 9.7: Dimostrazione del Teore
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fondamenti della fisica e dell’as
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Newton condivideva con il suo maest
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Figura 9.9: Gottfried Wilhelm Leibn
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di qui deriva che si debbano in pri
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Leibniz fu uno dei più grandi inve
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9.3.1 Contesto storico e matematico
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Figura 9.10: Jakob Bernoulli (1654
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allora: ∂f d ∂f ϕ + = 0 ∂y d
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Dopo aver definito cos’è una qua
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Figura 9.13: George Berkeley (1685
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tale quantità con una lettera pres
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Capitolo 10 Analisi e Fisica Matema
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predecessori e che era il suo vanto
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Egli era legato infatti al rigore a
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Riemann riuscì a legare molti risu
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10.6 Cenni storici: Fisica Matemati
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si hanno quindi in questo secolo i
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Figura 10.7: Jacobi al neoumanesimo
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un contributo dello stesso livello.
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soluzione nei complessi. Ricordiamo
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campo, magari nemmeno definito accu
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Riportiamo qui sotto una cartina de
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grado superiore al 5 ◦ è la memo
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Lagrange scrisse che Ruffini “non
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aritmetiche ripetute un numero fini
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infanzia. Compiuti gli studi a Gott
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Per semplicità, Gauss restrinse il
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La necessità di una profonda rifor
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con il loro significato originario,
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corpo a quattro dimensioni in cui v
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ij = k, jk = i, ki = j, ji = −k,
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Teorema 15. Ogni algebra divisoria
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le proprietà topologiche della map
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simbolo 1. Nello specifico Boole in
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Boole Oggi Significato + ∪ unione
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“fondiamo la teoria dei numeri co
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“Quando confrontiamo i due grandi
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Gruppi di trasformazioni geometrich
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L’algebra passa da essere studio
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Una relazione ordinale del momento
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dove a è lo step corrispondente al
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E = ϑa + A; E ′ = ϑa + E; E ′
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caso della addizione algebrica, dal
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Solamente il caso che considera lo
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di due dfferenti steps. L’idea de
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Bibliografia [1] Boyer C. B., Stori
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Figura 12.1: G. Cantor qualsiasi co
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12.2 Le opere Presentiamo qui di se
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Nella Theorie de la chaleur [8, (18
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altre serie della stessa forma che
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convergente per tutti i valori di x
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e f(x) = 1 2 a′ +∞ � 0 + n=1
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erne le tappe esula dagli scopi del
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dei numeri naturali. Tutti gli altr
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In seguito concentrò i propri sfor
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di accumulazione dei punti di accum
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12.4 La potenza di un insieme Gli s
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grande dell’insieme infinito di q
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o avranno uguale potenza M e una pa
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Figura 12.2: Numerazione dei razion
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di ogni ordine n, già aveva intuit
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[eindeutige Zuordnung] degli elemen
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a dare una risposta negativa che qu
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voi scrivete costantemente x = α1
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irrazionali dell’intervallo (0, 1
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Se a e b sono due grandezze variabi
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Basiamo la dimostrazione di (F) sul
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Per quanto affermato nel teorema (H
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“...se non si impone nessuna cond
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La biezione da prendere sarà dunqu
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nessun punto, e quindi a rigore nem
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proseguendo nello stesso modo otten
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al proprio interno punti di tale in
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li interi positivi. Io chiamo le mo
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che i punti ad esso appartenenti po
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e dell’autore (Mathem. Annalen, v
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limite inferiore delle distanze q
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un numero finito di intervalli con
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all’interno dell’intervallo (0,
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12.7 L’infinito Le prossime sezio
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concetto, che verrà poi ripreso da
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stesse sostanze create da Lui dal n
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Kroneker che sosteneva che ‘Dio h
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12.8 I numeri ordinali Per capire a
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12.8.1 Costruzione dei numeri ordin
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ma mostrarsi anche mezzo capace di
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di tutti i precedenti. Varrà dunqu
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• Si consideri un insieme ben def
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determinato da un numero di una cla
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ammette sempre e solo una soluzione
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Limitiamoci a considerare i numeri
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12.9 L’ipotesi del continuo In pr
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Bibliografia [1] CANTOR, G., Über
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Capitolo 13 La costruzione dei nume
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y + x = 0, la ricerca delle soluzio
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• [(a, b)] ≥ [(c.d)] ↔ a + d
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Usando ripetutamente il fatto che h
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dell’aritmetica. L’addizione è
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1) dati tre punti p, q, r sulla ret
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Dato un razionale a possiamo costru
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dove HK = {q ∈ Q : q = hk , h ∈
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oppositori. Muore nel 1918. A lui s
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Successioni di Cauchy Definizione 8
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per tali m, n abbiamo che |bm − b
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Siano (an) e (bn) due rappresentant
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• un minorante per A ⊆ X è un
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Dimostrazione. (a) ⇒ (b). Sia K c
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• Prodotto: per ogni S, T ∈ �
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Sia x ∈ i(S + T ), allora ∃s
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Bibliografia [1] Giovanni Sambin, a
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14.2 I paradossi “Il paradosso è
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paiano direttamente non significa c
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14.3 La crisi dei fondamenti della
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I paradossi della teoria di Cantor
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principio di comprensione. Il parad
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Bibliografia [1] Bell, Eric T., I g
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15.2 Il V postulato di Euclide L’
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Teorema 105. A seconda che il quadr
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Sembrava quindi che la dimostrazion
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euclidee. Egli le aveva già costru
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e quei teoremi della geometria ordi
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L’angolo di parallelismo permette
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vamente alla geometria sviluppata d
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non-euclidei. Nella costruzione far
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Possiamo ora passare allo spazio pr
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1. Γ 2. non-degenere e non-definit
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Bibliografia [1] Bell, Eric T., I g
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privata che offriva un curriculum m
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16.2 Hilbert ed i Fondamenti Il met
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Quindi la proposta di Frege si era
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Tuttavia non erano d’accordo con
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1. Formalizzazione: fare in modo ch
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del Programma, anche nelle prime fa
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è impossibile. I diretti interessa
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Capitolo 17 Logicismo 17.1 La nasci
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di logica abbracciava la tesi che e
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i suoi principali artefici furono q
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a una definizione che ricorreva all
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tria - che, in accordo con Kant, ri
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membri. Possiamo definire il numero
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dell’analisi il concetto stesso d
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Innanzitutto, riducendo la forma lo
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“Piero” dalla funzione “( )
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• ⊢ (p → (q → r)) → ((p
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Figura 17.3: L’equivalente signif
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Concetto ed oggetto Concetto: in se
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Critica poi anche Cantor, nonostant
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Si dimostra che R determina una par
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conosciuta qualche qualità comune,
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se stesso”. w può essere predica
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La via d’uscita di Frege Il primo
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direzione in cui lui l’aveva cerc
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Figura 17.5: La curva di Peano dell
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condotte in un linguaggio simbolico
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3... qui 0 e 3 hanno lo stesso succ
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matematica veniva presentata come u
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al minimo l’uso e indagare quanto
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tipi. L’idea di fondo della teori
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Per ovviare a questa difficoltà Ru
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• ⊢ q → p ∨ q • ⊢ p ∨
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tra matematica e logica, per Quine,
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il lavoro di Russell, che nel fratt
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una giustificazione logica della ma
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Definizione 17.1 (Assioma della sce
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17.8 Neologicismo Crispin Wright (1
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Capitolo 18 L’intuizionismo 18.1
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ente cosiddetta dell’intuizionism
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per lasciare il posto ad un nuovo p
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za di Brouwer è il legame stretto
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dei suoi obiettivi principali era q
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che si manifesta nei casi in cui il
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Bibliografia [1] Bottazzini, Umbert
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Gödel frequentò abbastanza regola
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Su sollecitazione di Menger, egli s
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Scrisse di lui Solomon Feferman: Fi
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Figura 19.3: Metamatematica, aritme
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formule, ricavate una dall’altra
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Si vede chiaramente che non ci sono
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19.3.2 Dimostrazione e Sostituzione
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∀x(¬Dim(x, Sost(n, 31, n))) Ma q
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modo aggiungendo (γP A1) agli assi
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ma che è impossibile farlo usando
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Gödel era un platonista, ma si era
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corrisponde una formula aritmetica
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Bibliografia [1] Paul Bernays, “D
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Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

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