Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

deve dare un multiplo intero di 2π, per cui: θ = 2πr
n . Di conseguenza z è uno
dei punti z1, ..., zn che vogliamo costruire.
In conclusione: il problema della costruzione di un n-gono regolare dipende
dall’equazione:
z n = 1,
e precisamente dalla ricerca delle radici di essa diverse da z = 1, cioè dalla
risoluzione dell’equazione:
z n − 1
z − 1 = zn−1 + z n−2 + ... + 1 = 0 (7.1)
Se n = p primo si dimostra che l’equazione (13.4) è irriducibile nel campo dei
razionali. Ora, affinché il poligono di p lati sia costruibile con riga e compasso
l’equazione (13.4) deve essere risolubile per radicali quadratici. Perciò p − 1
deve essere una potenza di due, e quindi:
p = 2 n + 1.
Ne deduciamo che non sono costruibili i poligoni con un numero di lati pari
a 7, 11, 13, 19, etc. Cerchiamo di capire quali sono i poligoni con un numero
primo di lati che possiamo costruire. Dimostriamo che ogni numero primo
della forma p = 2n + 1 è un numero della forma p = 22m + 1. Basta notare che
se n ammette qualche divisore dispari: n = h(2k + 1) allora il numero
2 n + 1 = 2 h(2k+1) + 1
non può essere primo. Infatti è divisibile per 2 h + 1. Mostriamolo in questo
modo, consideriamo il binomio:
x 2k+1 + 1
si annulla per x = −1 e perciò è divisibile per x + 1:
Sostituendo:
x 2k+1 + 1 = (x + 1)p(x)
x = 2 h
Si ha appunto che 2 h(2k+1) + 1 è divisibile per 2 h + 1. Alla luce di questo
risultato vediamo quali sono i poligoni costrubili per m = 0, 1, 2, 3, 4, sono
i poligoni di 3, 5, 17, 257, 65537 lati. Generalizziamo al caso di un poligono
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