Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

Per trisecare un angolo di π
4 è sufficiente, dopo
aver trisecato un angolo retto, bisecare l’angolo
che si ottiene. Con questa tecnica si pos-
di π
6
sono trisecare (col solo uso di riga e compasso)
gli angoli la cui ampiezza sia:
ϕ = mπ
2 k
k ∈ N, m ∈ Z.
Come per gli altri due problemi, i tentativi degli antichi di risolvere questo
problema con altri “strumenti” sono stati assai utili, sia per i diversi strumenti
ingegnosi inventati, sia soprattutto per le nuove teorie geometriche a
cui diedero origine. Cominciamo con una osservazione che riduce il terreno di
studio:
“ È sufficiente occuparsi solamente del caso in cui il dato angolo da trisecare
sia acuto, dato che, come abbiamo visto, un angolo retto può essere facilmente
trisecato con riga e compasso.”
Infatti, dato che abbiamo visto che i matematici greci sapevano sommare
due angoli dati, la trisezione di un angolo ottuso θ si ridurrebbe a sommare
π 1 π
6 + 3 (θ − 2 ).
Riduzione del problema di Pappo
Sia ˆ
ABC un generico angolo, e sia AC la
perpendicolare a BC disegnata. Si completi
il rettangolo ACBF e si prolunghi il lato
F A. Supponiamo che E sia un punto tale
che, se si congiungono B ed E con una retta
che interseca AC in D, il segmento DE è
uguale a 2AB. Si bisechi DE individuando
il punto G, e si colleghi A con G.
Allora DG = GE = AG = AB. Quindi, dato che F E e BC sono parallele
Quindi
ABG ˆ = ˆ AGB = 2 ˆ AEG = 2DBC. ˆ
DBC ˆ = 1
ABC ˆ
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