Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

More documents

Recommendations

Info

L’Italia sembra insensibile a queste innovazioni: nell’opera “Pratica d’Arithmetica” (1521!) Francesco Galigai usa le notazioni seguenti: (l’immagine viene da [Caj]). 8.3.4 Un simbolo riservato all’incognita. Per l’uso di simboli per le incognite e le potenze delle incognite bisogna attendere gli inizi del xvi secolo, quando gli autori si riferivano all’incognita chiamandola “radix”, “res” (cosa in latino), cosa, o coss (cosa in tedesco) per cui l’algebra prese il nome di “Ars cossica”. Cardano, nell’Ars magna, chiama l’incognita “rem ignotam”, la x 2 “q[ua]dratu” e il termine noto “numero” quindi un’equazione di II grado, ad es. x 2 = 4x+32, diventava “q[ua]dratu aequaetur 4 rebus p:32”. È curioso (almeno per la nostra intuizione del concetto) osservare che le potenze dell’incognita erano spesso indicate con dei simboli che non avevano nulla a che vedere con l’incognita stessa. Il cambiamento più significativo da questo punto di vista è stata l’opera di Francois Viète. Fu infatti lui il primo ad utilizzare le lettere anche come coefficienti generali: si rese conto che studiare un’equazione generale, cioè nella nostra scrittura ax 2 + bx + c = 0, voleva dire studiare un’intera classe di problemi e non solo un esempio numerico. Nella sua notazione, la potenza terza di un binomio (a + b) si espandeva come a cubis + b in a quadr. 3 + a in b quadr. 3 + b cubo æqualia a + b cubo. 266
Figura 8.3: Una pagina dell’al-jabr. 267
Page 1:
Università degli studi di Padova a
Page 4 and 5:
2.2.4 Sistema di numerazione . . .
Page 6 and 7:
5 Euclide 159 5.1 Contesto storico
Page 8 and 9:
9.2.5 Isaac Barrow . . . . . . . .
Page 10 and 11:
13.2.2 I razionali . . . . . . . .
Page 12 and 13:
19 Kurt Gödel 647 19.1 La vita . .
Page 14 and 15:
1.2 L’aritmetica 1.2.1 Contare Co
Page 16 and 17:
Figura 1.2: Il sistema di numerazio
Page 18 and 19:
della storia 9 . Il papiro di Ahmes
Page 20 and 21:
sistemi in cui il valore di uno ste
Page 22 and 23:
Figura 1.7: Un’incisione rupestre
Page 24 and 25:
Figura 1.9: I disegni di Nazca: una
Page 26 and 27:
per costruire triangoli rettangoli
Page 28 and 29:
usavano i numeri cardinali e non qu
Page 30 and 31:
Capitolo 2 Le antiche civiltà dell
Page 32 and 33:
te da preoccupazioni di ordine mist
Page 34 and 35:
delle date l’ordine e l’armonia
Page 36 and 37:
almeno nella forma in cui noi la in
Page 38 and 39:
Il quipu non poteva essere usato co
Page 40 and 41:
Prima della seconda metà del XVI s
Page 42 and 43:
La prima fonte scritta giunta fino
Page 44 and 45:
2.2.3 Contatti e scambi con l’Eur
Page 46 and 47:
scientifico, caratteri particolari
Page 48 and 49:
zero si presentò quando le bacchet
Page 50 and 51:
4 9 2 3 5 7 8 1 6 La leggenda, abba
Page 52 and 53:
delle bacchette era analoga a quell
Page 54 and 55:
Applicando la regola di Cramer si h
Page 56 and 57:
egistrato nella prima riga, quella
Page 58 and 59:
Si noti che un trattino diagonale i
Page 60 and 61:
Attualmente scriveremmo questo prob
Page 62 and 63:
Moista 3 , testo che ebbe pochissim
Page 64 and 65:
si trova un’approssimazione sorpr
Page 66 and 67:
terminata, che raggiunse un livello
Page 68 and 69:
tro sottesi da esse, gli autori dei
Page 70 and 71:
(a noi nota come equazione di Pell)
Page 72 and 73:
specifici per indicare 4, 10 e 20;
Page 74 and 75:
numeri che devono essere moltiplica
Page 76 and 77:
“La fune tesa della diagonale di
Page 78 and 79:
Molti secoli dopo, nel XV secolo, u
Page 80 and 81:
2.3.10 Il concetto di infinito Se l
Page 82 and 83:
Capitolo 3 La matematica nella Grec
Page 84 and 85:
certezza se Talete o Pitagora ne ab
Page 86 and 87:
al servizio degli aristocratici. A
Page 88 and 89:
degli aristocratici. Fra queste cit
Page 90 and 91:
a.C.; le due maggiori città greche
Page 92 and 93:
ed ai valori ideali ed eterni, disp
Page 94 and 95:
• l’espansione verso Oriente e
Page 96 and 97:
loro grandi biblioteche non fossero
Page 98 and 99:
o più grandi maestri. Questo fenom
Page 100 and 101:
Figura 3.3: Sistema ionico Poiché
Page 102 and 103:
Mileto rappresentava un grande cent
Page 104 and 105:
Purtroppo Talete non ha scritto nul
Page 106 and 107:
Per quel che riguarda il teorema 4,
Page 108 and 109:
Â≪ ...stupefatto del modo in cui
Page 110 and 111:
Figura 3.7: Calcolo dell’altezza
Page 112 and 113:
un segmento dato un rapporto fissat
Page 114 and 115:
greci; non a caso Platone, uno dei
Page 116 and 117:
studi medici era diffuso proprio ne
Page 118 and 119:
• Gli acusmatici ( dal verbo grec
Page 120 and 121:
proporzione 3 : 2 a indicare una re
Page 122 and 123:
3.6.4 Il numero come principio dell
Page 124 and 125:
del dispari, mentre il male, il dis
Page 126 and 127:
1. E’ dato un numero figurato. Fi
Page 128 and 129:
esempio 11; allora: e quindi Figura
Page 130 and 131:
I pitagorici collegavano la distinz
Page 132 and 133:
Tabella 3.1: Rappresentazione rispe
Page 134 and 135:
Figura 3.21: (a + b) 2 = (a − b)
Page 136 and 137:
di cui una traduzione letteraria è
Page 138 and 139:
e. Le nuove grandezze vennero chiam
Page 140 and 141:
La sfida che i matematici greci si
Page 142 and 143:
Bibliografia [1] Storia della Matem
Page 144 and 145:
Il IV secolo si aprì con la morte
Page 146 and 147:
4.2 Zenone di Elea 4.2.1 Introduzio
Page 148 and 149:
Consideriamo un segmento di estremi
Page 150 and 151:
Qual è la velocità di un punto de
Page 152 and 153:
• Molti, come ad esempio Carl Boy
Page 154 and 155:
linea e della superficie; la sua cr
Page 156 and 157:
1. idee che si riferiscono ai valor
Page 158 and 159:
ca e geometria tra le quattro mater
Page 160 and 161:
- Ogni angolo di un pentagono regol
Page 162 and 163:
4.4 Eudosso Eudosso (408-355 a.C.),
Page 164 and 165:
frazioni, ossia a c b = d se e solo
Page 166 and 167:
E poichè DG è maggiore di AH, se
Page 168 and 169:
4.5 Il concetto di infinito nel pen
Page 170 and 171:
Bibliografia [1] Ivan Niven, Numeri
Page 172 and 173:
nell’ ambito mentale, doveva esse
Page 174 and 175:
giovane dei discepoli di Platone, m
Page 176 and 177:
di qualcosa, e un problema, in cui
Page 178 and 179:
sognerà quindi dedurle da proposiz
Page 180 and 181:
• Nozioni speci che: verità che
Page 182 and 183:
estremi.” Archimede e poi Legendr
Page 184 and 185:
matematici moderni non fanno alcuna
Page 186 and 187:
accettate senza dimostrazione, e ra
Page 188 and 189:
espressi da Euclide, non garantisco
Page 190 and 191:
venivano concepite come segmenti ch
Page 192 and 193:
Viene spesso affermato che l’alge
Page 194 and 195:
a = k 1 1 nb e c = k nd. DEFINIZION
Page 196 and 197:
Siano i numeri piani a = cd e b = e
Page 198 and 199:
matico in sè concluso, risalente p
Page 200 and 201:
si hanno per resto misura la preced
Page 202 and 203:
metodi tradizionali dei matematici
Page 204 and 205:
Infatti passando dal segmento circo
Page 206 and 207:
se a ha la parte aurea x, allora il
Page 208 and 209:
Bibliografia [1] Benno Artmann, Euc
Page 210 and 211:
6.1 Vita e morte Non sono molte le
Page 212 and 213:
matematica antica proseguì le rice
Page 214 and 215:
Archimede. Lo studio della spirale
Page 216 and 217:
come P ZA, la cui somma è minore d
Page 218 and 219:
“l’area di una qualsiasi sfera
Page 220 and 221:
Archimede utilizzò con grande fine
Page 222 and 223:
nell’illustre filosofo. Il primo
Page 224 and 225:
6.3.9 Il libro dei lemmi Quest’op
Page 226 and 227:
interlocutore su alcuni risultati m
Page 228 and 229: del segmento parabolico: Dato il se
Page 230 and 231: A causa del parallelismo si ha AC :
Page 232 and 233: diverse testimonianze di storici no
Page 234 and 235: Questa volta la testimonianza ci gi
Page 236 and 237: più semplice per tali specchi è u
Page 238 and 239: 6.6 Considerazioni finali L’opera
Page 240 and 241: Capitolo 7 I problemi classici 7.1
Page 242 and 243: Una prima cosa da notare è che il
Page 244 and 245: di razionalità un insieme di numer
Page 246 and 247: (x1, y1), (x2, y2), ... (xn−1, yn
Page 248 and 249: con un numero arbitrario n di lati,
Page 250 and 251: si osserva che trovare una soluzion
Page 252 and 253: Dinostrato, servendosi di questa cu
Page 254 and 255: Sia ABC il triangolo da quadrare. S
Page 256 and 257: Per trisecare un angolo di π 4 è
Page 258 and 259: Allora, chiaramente, se lungo ogni
Page 260 and 261: se n e m non sono entrambi cubi di
Page 262 and 263: cioè un cubo di spigolo x equivale
Page 264 and 265: cioè AC : AP = AP : AM = AM : AB,
Page 266 and 267: Bibliografia [1] T. Heath, A histor
Page 268 and 269: È aneddoto comune che di fronte al
Page 270 and 271: 8.2 La Matematica di al-Khwārizmī
Page 272 and 273: Struttura dell’al-jabr. L’opera
Page 274 and 275: 8.2.3 Altri matematici di spicco. A
Page 276 and 277: 8.3.1 I simboli di somma e sottrazi
Page 280 and 281: Figura 8.4: Il Teorema di Pitagora
Page 282 and 283: Capitolo 9 Da Tartaglia a Cauchy: n
Page 284 and 285: sancito il principio del cuius regi
Page 286 and 287: Si tratta quindi di risolvere un’
Page 288 and 289: - Guerra dei trent’anni (1618-164
Page 290 and 291: • problemi sulla distanza • il
Page 292 and 293: asate su assiomi arriva a delle cer
Page 294 and 295: II. Sulla natura delle linee curve
Page 296 and 297: 3. il grado di questa equazione alg
Page 298 and 299: geometrici Descartes affronta il pr
Page 300 and 301: di infiniti punti C il cui luogo è
Page 302 and 303: maniera simile CD spinge DE e così
Page 304 and 305: trovare la normale ad una curva alg
Page 306 and 307: punti) e la tangente. Significativo
Page 308 and 309: Figura 9.4: Bonaventura Francesco C
Page 310 and 311: Figura 9.5: Pierre de Fermat (1601
Page 312 and 313: curve algebriche elaborò un metodo
Page 314 and 315: Figura 9.7: Dimostrazione del Teore
Page 316 and 317: fondamenti della fisica e dell’as
Page 318 and 319: Newton condivideva con il suo maest
Page 320 and 321: Figura 9.9: Gottfried Wilhelm Leibn
Page 322 and 323: di qui deriva che si debbano in pri
Page 324 and 325: Leibniz fu uno dei più grandi inve
Page 326 and 327: 9.3.1 Contesto storico e matematico
Page 328 and 329:
Figura 9.10: Jakob Bernoulli (1654
Page 330 and 331:
allora: ∂f d ∂f ϕ + = 0 ∂y d
Page 332 and 333:
Dopo aver definito cos’è una qua
Page 334 and 335:
Figura 9.13: George Berkeley (1685
Page 336 and 337:
tale quantità con una lettera pres
Page 338 and 339:
Capitolo 10 Analisi e Fisica Matema
Page 340 and 341:
predecessori e che era il suo vanto
Page 342 and 343:
Egli era legato infatti al rigore a
Page 344 and 345:
Riemann riuscì a legare molti risu
Page 346 and 347:
10.6 Cenni storici: Fisica Matemati
Page 348 and 349:
si hanno quindi in questo secolo i
Page 350 and 351:
Figura 10.7: Jacobi al neoumanesimo
Page 352 and 353:
un contributo dello stesso livello.
Page 354 and 355:
soluzione nei complessi. Ricordiamo
Page 356 and 357:
campo, magari nemmeno definito accu
Page 358 and 359:
Riportiamo qui sotto una cartina de
Page 360 and 361:
grado superiore al 5 ◦ è la memo
Page 362 and 363:
Lagrange scrisse che Ruffini “non
Page 364 and 365:
aritmetiche ripetute un numero fini
Page 366 and 367:
infanzia. Compiuti gli studi a Gott
Page 368 and 369:
Per semplicità, Gauss restrinse il
Page 370 and 371:
La necessità di una profonda rifor
Page 372 and 373:
con il loro significato originario,
Page 374 and 375:
corpo a quattro dimensioni in cui v
Page 376 and 377:
ij = k, jk = i, ki = j, ji = −k,
Page 378 and 379:
Teorema 15. Ogni algebra divisoria
Page 380 and 381:
le proprietà topologiche della map
Page 382 and 383:
simbolo 1. Nello specifico Boole in
Page 384 and 385:
Boole Oggi Significato + ∪ unione
Page 386 and 387:
“fondiamo la teoria dei numeri co
Page 388 and 389:
“Quando confrontiamo i due grandi
Page 390 and 391:
Gruppi di trasformazioni geometrich
Page 392 and 393:
L’algebra passa da essere studio
Page 394 and 395:
Una relazione ordinale del momento
Page 396 and 397:
dove a è lo step corrispondente al
Page 398 and 399:
E = ϑa + A; E ′ = ϑa + E; E ′
Page 400 and 401:
caso della addizione algebrica, dal
Page 402 and 403:
Solamente il caso che considera lo
Page 404 and 405:
di due dfferenti steps. L’idea de
Page 406 and 407:
Bibliografia [1] Boyer C. B., Stori
Page 408 and 409:
Figura 12.1: G. Cantor qualsiasi co
Page 410 and 411:
12.2 Le opere Presentiamo qui di se
Page 412 and 413:
Nella Theorie de la chaleur [8, (18
Page 414 and 415:
altre serie della stessa forma che
Page 416 and 417:
convergente per tutti i valori di x
Page 418 and 419:
e f(x) = 1 2 a′ +∞ � 0 + n=1
Page 420 and 421:
erne le tappe esula dagli scopi del
Page 422 and 423:
dei numeri naturali. Tutti gli altr
Page 424 and 425:
In seguito concentrò i propri sfor
Page 426 and 427:
di accumulazione dei punti di accum
Page 428 and 429:
12.4 La potenza di un insieme Gli s
Page 430 and 431:
grande dell’insieme infinito di q
Page 432 and 433:
o avranno uguale potenza M e una pa
Page 434 and 435:
Figura 12.2: Numerazione dei razion
Page 436 and 437:
di ogni ordine n, già aveva intuit
Page 438 and 439:
[eindeutige Zuordnung] degli elemen
Page 440 and 441:
a dare una risposta negativa che qu
Page 442 and 443:
voi scrivete costantemente x = α1
Page 444 and 445:
irrazionali dell’intervallo (0, 1
Page 446 and 447:
Se a e b sono due grandezze variabi
Page 448 and 449:
Basiamo la dimostrazione di (F) sul
Page 450 and 451:
Per quanto affermato nel teorema (H
Page 452 and 453:
“...se non si impone nessuna cond
Page 454 and 455:
La biezione da prendere sarà dunqu
Page 456 and 457:
nessun punto, e quindi a rigore nem
Page 458 and 459:
proseguendo nello stesso modo otten
Page 460 and 461:
al proprio interno punti di tale in
Page 462 and 463:
li interi positivi. Io chiamo le mo
Page 464 and 465:
che i punti ad esso appartenenti po
Page 466 and 467:
e dell’autore (Mathem. Annalen, v
Page 468 and 469:
limite inferiore delle distanze q
Page 470 and 471:
un numero finito di intervalli con
Page 472 and 473:
all’interno dell’intervallo (0,
Page 474 and 475:
12.7 L’infinito Le prossime sezio
Page 476 and 477:
concetto, che verrà poi ripreso da
Page 478 and 479:
stesse sostanze create da Lui dal n
Page 480 and 481:
Kroneker che sosteneva che ‘Dio h
Page 482 and 483:
12.8 I numeri ordinali Per capire a
Page 484 and 485:
12.8.1 Costruzione dei numeri ordin
Page 486 and 487:
ma mostrarsi anche mezzo capace di
Page 488 and 489:
di tutti i precedenti. Varrà dunqu
Page 490 and 491:
• Si consideri un insieme ben def
Page 492 and 493:
determinato da un numero di una cla
Page 494 and 495:
ammette sempre e solo una soluzione
Page 496 and 497:
Limitiamoci a considerare i numeri
Page 498 and 499:
12.9 L’ipotesi del continuo In pr
Page 500 and 501:
Bibliografia [1] CANTOR, G., Über
Page 502 and 503:
Capitolo 13 La costruzione dei nume
Page 504 and 505:
y + x = 0, la ricerca delle soluzio
Page 506 and 507:
• [(a, b)] ≥ [(c.d)] ↔ a + d
Page 508 and 509:
Usando ripetutamente il fatto che h
Page 510 and 511:
dell’aritmetica. L’addizione è
Page 512 and 513:
1) dati tre punti p, q, r sulla ret
Page 514 and 515:
Dato un razionale a possiamo costru
Page 516 and 517:
dove HK = {q ∈ Q : q = hk , h ∈
Page 518 and 519:
oppositori. Muore nel 1918. A lui s
Page 520 and 521:
Successioni di Cauchy Definizione 8
Page 522 and 523:
per tali m, n abbiamo che |bm − b
Page 524 and 525:
Siano (an) e (bn) due rappresentant
Page 526 and 527:
• un minorante per A ⊆ X è un
Page 528 and 529:
Dimostrazione. (a) ⇒ (b). Sia K c
Page 530 and 531:
• Prodotto: per ogni S, T ∈ �
Page 532 and 533:
Sia x ∈ i(S + T ), allora ∃s
Page 534 and 535:
Bibliografia [1] Giovanni Sambin, a
Page 536 and 537:
14.2 I paradossi “Il paradosso è
Page 538 and 539:
paiano direttamente non significa c
Page 540 and 541:
14.3 La crisi dei fondamenti della
Page 542 and 543:
I paradossi della teoria di Cantor
Page 544 and 545:
principio di comprensione. Il parad
Page 546 and 547:
Bibliografia [1] Bell, Eric T., I g
Page 548 and 549:
15.2 Il V postulato di Euclide L’
Page 550 and 551:
Teorema 105. A seconda che il quadr
Page 552 and 553:
Sembrava quindi che la dimostrazion
Page 554 and 555:
euclidee. Egli le aveva già costru
Page 556 and 557:
e quei teoremi della geometria ordi
Page 558 and 559:
L’angolo di parallelismo permette
Page 560 and 561:
vamente alla geometria sviluppata d
Page 562 and 563:
non-euclidei. Nella costruzione far
Page 564 and 565:
Possiamo ora passare allo spazio pr
Page 566 and 567:
1. Γ 2. non-degenere e non-definit
Page 568 and 569:
Bibliografia [1] Bell, Eric T., I g
Page 570 and 571:
privata che offriva un curriculum m
Page 572 and 573:
16.2 Hilbert ed i Fondamenti Il met
Page 574 and 575:
Quindi la proposta di Frege si era
Page 576 and 577:
Tuttavia non erano d’accordo con
Page 578 and 579:
1. Formalizzazione: fare in modo ch
Page 580 and 581:
del Programma, anche nelle prime fa
Page 582 and 583:
è impossibile. I diretti interessa
Page 584 and 585:
Capitolo 17 Logicismo 17.1 La nasci
Page 586 and 587:
di logica abbracciava la tesi che e
Page 588 and 589:
i suoi principali artefici furono q
Page 590 and 591:
a una definizione che ricorreva all
Page 592 and 593:
tria - che, in accordo con Kant, ri
Page 594 and 595:
membri. Possiamo definire il numero
Page 596 and 597:
dell’analisi il concetto stesso d
Page 598 and 599:
Innanzitutto, riducendo la forma lo
Page 600 and 601:
“Piero” dalla funzione “( )
Page 602 and 603:
• ⊢ (p → (q → r)) → ((p
Page 604 and 605:
Figura 17.3: L’equivalente signif
Page 606 and 607:
Concetto ed oggetto Concetto: in se
Page 608 and 609:
Critica poi anche Cantor, nonostant
Page 610 and 611:
Si dimostra che R determina una par
Page 612 and 613:
conosciuta qualche qualità comune,
Page 614 and 615:
se stesso”. w può essere predica
Page 616 and 617:
La via d’uscita di Frege Il primo
Page 618 and 619:
direzione in cui lui l’aveva cerc
Page 620 and 621:
Figura 17.5: La curva di Peano dell
Page 622 and 623:
condotte in un linguaggio simbolico
Page 624 and 625:
3... qui 0 e 3 hanno lo stesso succ
Page 626 and 627:
matematica veniva presentata come u
Page 628 and 629:
al minimo l’uso e indagare quanto
Page 630 and 631:
tipi. L’idea di fondo della teori
Page 632 and 633:
Per ovviare a questa difficoltà Ru
Page 634 and 635:
• ⊢ q → p ∨ q • ⊢ p ∨
Page 636 and 637:
tra matematica e logica, per Quine,
Page 638 and 639:
il lavoro di Russell, che nel fratt
Page 640 and 641:
una giustificazione logica della ma
Page 642 and 643:
Definizione 17.1 (Assioma della sce
Page 644 and 645:
17.8 Neologicismo Crispin Wright (1
Page 646 and 647:
Capitolo 18 L’intuizionismo 18.1
Page 648 and 649:
ente cosiddetta dell’intuizionism
Page 650 and 651:
per lasciare il posto ad un nuovo p
Page 652 and 653:
za di Brouwer è il legame stretto
Page 654 and 655:
dei suoi obiettivi principali era q
Page 656 and 657:
che si manifesta nei casi in cui il
Page 658 and 659:
Bibliografia [1] Bottazzini, Umbert
Page 660 and 661:
Gödel frequentò abbastanza regola
Page 662 and 663:
Su sollecitazione di Menger, egli s
Page 664 and 665:
Scrisse di lui Solomon Feferman: Fi
Page 666 and 667:
Figura 19.3: Metamatematica, aritme
Page 668 and 669:
formule, ricavate una dall’altra
Page 670 and 671:
Si vede chiaramente che non ci sono
Page 672 and 673:
19.3.2 Dimostrazione e Sostituzione
Page 674 and 675:
∀x(¬Dim(x, Sost(n, 31, n))) Ma q
Page 676 and 677:
modo aggiungendo (γP A1) agli assi
Page 678 and 679:
ma che è impossibile farlo usando
Page 680 and 681:
Gödel era un platonista, ma si era
Page 682 and 683:
corrisponde una formula aritmetica
Page 684 and 685:
Bibliografia [1] Paul Bernays, “D
show all

Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?