Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

Figura 9.11: il problema della brachistocrona
quindi cercare una funzione y(x) tale che sia minimo
T =
� t0
0
dt =
� t0
0
� dx 2 + dy 2
v
= 1
�
� x0 1 + (y
√
2g 0
′ ) 2
dx
x
e tale che y(0) = 0 e y(x0) = y0.
Generalizziamo il problema, e diciamo di aver trovato y(x) che minimizza
� b
a f(x, y, y′ )dt; allora ogni variazione dalla soluzione non è più minima, ossia
se prendiamo ϕ ∈ Φ = {φ ∈ C 2 (a, b) t.c. φ(a) = φ(b) = 0} risulta che:
F (t) =
ha minimo per t = 0, quindi:
0 = F ′ (0) =
� b
a
� b
f(x, y + tϕ, y
a
′ + tϕ ′ ) dt
∂f ∂f
ϕ +
∂y ∂y ′ ϕ′ � b
dt =
a
ϕ( ∂f d
ϕ +
∂y dx
∂f ∂f
) dt + (
∂y ′
∂y ′ ϕ)|b a
integrando per parti.
Dato che la formule deve valere ∀ϕ ∈ Φ e dato che l’ultimo termine è nullo
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