Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

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Riportiamo qui sotto una cartina dell’Europa subito dopo il Congresso di Vienna avvenuto nel 1815 per inquadrare i luoghi e il clima in cui avvennero tali scoperte: Waring Edward Waring (1734-1798), professore lucasiano a Cambridge, fin dal 1762, anno in cui pubblicò il libro Miscellanea analytica de aequationibus algebraicis et curvarum proprietatibus, aveva fatto circolare fra un gruppo di amici i propri lavori sulla teoria delle equazioni, che furono poi riscritte e ampliate nelle Meditationes algebraicae (1770). Nelle prime pagine Waring trattava le funzioni simmetriche delle radici di un’equazione e le permutazioni delle radici stesse; egli dimostrava inoltre le formule (che portano il suo nome) sulle potenze delle radici in funzione dei coefficienti dell’equazione. La formula di Waring per un naturale n generico risulta: a n + b n = (a + b) n f1� − Ti · a i=1 i b i · [a n−2i + b n−2i ] − f2 346
e f2 = 0; per n pari, f1 = [ n 2 − 1] e f2 = Ti · a n 2 b n 2 , con Ti i-esimo coefficiente del triangolo di Tartaglia per la potenza n, iniziando a contare da quello più a sinistra. Waring mostrava poi come eliminare i termini di grado intermedio di un’equazione completa di 4◦ grado e osservava che in generale un’equazione di grado n dipendeva dalla risoluzione di una equazione ausiliaria “risolvente” di grado n!, maggiore dunque del grado della proposta. “Sarebbe dunque inutile ricercare mediante tale riduzione la soluzione generale delle equazioni”, concludeva Waring, riconoscendo che quel tipo di approccio al problema non avrebbe portato alla soluzione. per n dispari, f1 = n 2 Vandermonde Nello stesso anno in cui uscivano le Meditationes del matematico inglese, all’Académie des Sciences di Parigi Alexandre-Théophil Vandermonde (1735- 1796) leggeva una propria memoria Sur la résolution des équations che apparve a stampa solo nel 1774. Vandermonde cominciava a presentare le usuali funzioni simmetriche delle radici e poi abbozzava una teoria delle radici n-esime dell’unità, (ossia le radici di x n = 1), che sarà successivamente completata da Gauss. Si occupò molto anche di permutazioni e ne introdusse l’operazione di composizione. Proprio sulla base di considerazioni sulle permutazioni delle radici che lasciano inalterata la funzione considerata, egli riusciva poi a trattare senza difficoltà il caso dell’equazione di 3 ◦ e 4 ◦ grado, a determinare la risolvente di 6 ◦ grado per l’equazione di 5 ◦ grado e quella di 10 ◦ e 15 ◦ per l’equazione di 6 ◦ grado. Anche il tentativo di considerare le risolventi delle risolventi non faceva procedere Vandermonde verso la soluzione dell’equazione di grado ≥ 5; inoltre la ricerca di funzioni di cinque lettere che assumessero tre o quattro valori per permutazioni delle lettere si era mostrata inutile e ciò lo portava a concludere che non ne esistessero. Lagrange Joseph-Louis Lagrange, nato Giuseppe Lodovico Lagrangia o ancora Giuseppe Luigi Lagrangia o Lagrange (Torino, 1736 - Parigi, 1813), fu un matematico e astronomo italiano per nascita e formazione e attivo nella sua maturità scientifica per ventuno anni a Berlino e per ventisei a Parigi. L’opera di Lagrange di maggiore interesse per quanto riguarda le equazioni di 347
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Università degli studi di Padova a
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2.2.4 Sistema di numerazione . . .
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5 Euclide 159 5.1 Contesto storico
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9.2.5 Isaac Barrow . . . . . . . .
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13.2.2 I razionali . . . . . . . .
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19 Kurt Gödel 647 19.1 La vita . .
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1.2 L’aritmetica 1.2.1 Contare Co
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Figura 1.2: Il sistema di numerazio
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della storia 9 . Il papiro di Ahmes
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sistemi in cui il valore di uno ste
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Figura 1.7: Un’incisione rupestre
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Figura 1.9: I disegni di Nazca: una
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per costruire triangoli rettangoli
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usavano i numeri cardinali e non qu
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Capitolo 2 Le antiche civiltà dell
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te da preoccupazioni di ordine mist
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delle date l’ordine e l’armonia
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almeno nella forma in cui noi la in
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Il quipu non poteva essere usato co
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Prima della seconda metà del XVI s
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La prima fonte scritta giunta fino
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2.2.3 Contatti e scambi con l’Eur
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scientifico, caratteri particolari
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zero si presentò quando le bacchet
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4 9 2 3 5 7 8 1 6 La leggenda, abba
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delle bacchette era analoga a quell
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Applicando la regola di Cramer si h
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egistrato nella prima riga, quella
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Si noti che un trattino diagonale i
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Attualmente scriveremmo questo prob
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Moista 3 , testo che ebbe pochissim
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si trova un’approssimazione sorpr
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terminata, che raggiunse un livello
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tro sottesi da esse, gli autori dei
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(a noi nota come equazione di Pell)
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specifici per indicare 4, 10 e 20;
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numeri che devono essere moltiplica
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“La fune tesa della diagonale di
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Molti secoli dopo, nel XV secolo, u
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2.3.10 Il concetto di infinito Se l
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Capitolo 3 La matematica nella Grec
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certezza se Talete o Pitagora ne ab
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al servizio degli aristocratici. A
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degli aristocratici. Fra queste cit
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a.C.; le due maggiori città greche
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ed ai valori ideali ed eterni, disp
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• l’espansione verso Oriente e
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loro grandi biblioteche non fossero
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o più grandi maestri. Questo fenom
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Figura 3.3: Sistema ionico Poiché
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Mileto rappresentava un grande cent
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Purtroppo Talete non ha scritto nul
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Per quel che riguarda il teorema 4,
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Â≪ ...stupefatto del modo in cui
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Figura 3.7: Calcolo dell’altezza
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un segmento dato un rapporto fissat
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greci; non a caso Platone, uno dei
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studi medici era diffuso proprio ne
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• Gli acusmatici ( dal verbo grec
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proporzione 3 : 2 a indicare una re
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3.6.4 Il numero come principio dell
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del dispari, mentre il male, il dis
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1. E’ dato un numero figurato. Fi
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esempio 11; allora: e quindi Figura
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I pitagorici collegavano la distinz
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Tabella 3.1: Rappresentazione rispe
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Figura 3.21: (a + b) 2 = (a − b)
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di cui una traduzione letteraria è
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e. Le nuove grandezze vennero chiam
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La sfida che i matematici greci si
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Bibliografia [1] Storia della Matem
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Il IV secolo si aprì con la morte
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4.2 Zenone di Elea 4.2.1 Introduzio
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Consideriamo un segmento di estremi
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Qual è la velocità di un punto de
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• Molti, come ad esempio Carl Boy
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linea e della superficie; la sua cr
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1. idee che si riferiscono ai valor
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ca e geometria tra le quattro mater
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- Ogni angolo di un pentagono regol
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4.4 Eudosso Eudosso (408-355 a.C.),
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frazioni, ossia a c b = d se e solo
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E poichè DG è maggiore di AH, se
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4.5 Il concetto di infinito nel pen
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Bibliografia [1] Ivan Niven, Numeri
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nell’ ambito mentale, doveva esse
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giovane dei discepoli di Platone, m
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di qualcosa, e un problema, in cui
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sognerà quindi dedurle da proposiz
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• Nozioni speci che: verità che
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estremi.” Archimede e poi Legendr
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matematici moderni non fanno alcuna
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accettate senza dimostrazione, e ra
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espressi da Euclide, non garantisco
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venivano concepite come segmenti ch
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Viene spesso affermato che l’alge
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a = k 1 1 nb e c = k nd. DEFINIZION
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Siano i numeri piani a = cd e b = e
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matico in sè concluso, risalente p
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si hanno per resto misura la preced
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metodi tradizionali dei matematici
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Infatti passando dal segmento circo
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se a ha la parte aurea x, allora il
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Bibliografia [1] Benno Artmann, Euc
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6.1 Vita e morte Non sono molte le
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matematica antica proseguì le rice
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Archimede. Lo studio della spirale
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come P ZA, la cui somma è minore d
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“l’area di una qualsiasi sfera
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Archimede utilizzò con grande fine
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nell’illustre filosofo. Il primo
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6.3.9 Il libro dei lemmi Quest’op
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interlocutore su alcuni risultati m
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del segmento parabolico: Dato il se
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A causa del parallelismo si ha AC :
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diverse testimonianze di storici no
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Questa volta la testimonianza ci gi
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più semplice per tali specchi è u
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6.6 Considerazioni finali L’opera
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Capitolo 7 I problemi classici 7.1
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Una prima cosa da notare è che il
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di razionalità un insieme di numer
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(x1, y1), (x2, y2), ... (xn−1, yn
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con un numero arbitrario n di lati,
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si osserva che trovare una soluzion
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Dinostrato, servendosi di questa cu
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Sia ABC il triangolo da quadrare. S
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Per trisecare un angolo di π 4 è
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Allora, chiaramente, se lungo ogni
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se n e m non sono entrambi cubi di
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cioè un cubo di spigolo x equivale
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cioè AC : AP = AP : AM = AM : AB,
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Bibliografia [1] T. Heath, A histor
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È aneddoto comune che di fronte al
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8.2 La Matematica di al-Khwārizmī
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Struttura dell’al-jabr. L’opera
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8.2.3 Altri matematici di spicco. A
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8.3.1 I simboli di somma e sottrazi
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L’Italia sembra insensibile a que
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Figura 8.4: Il Teorema di Pitagora
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Capitolo 9 Da Tartaglia a Cauchy: n
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sancito il principio del cuius regi
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Si tratta quindi di risolvere un’
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- Guerra dei trent’anni (1618-164
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• problemi sulla distanza • il
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asate su assiomi arriva a delle cer
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II. Sulla natura delle linee curve
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3. il grado di questa equazione alg
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geometrici Descartes affronta il pr
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di infiniti punti C il cui luogo è
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maniera simile CD spinge DE e così
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trovare la normale ad una curva alg
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punti) e la tangente. Significativo
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Page 314 and 315: Figura 9.7: Dimostrazione del Teore
Page 316 and 317: fondamenti della fisica e dell’as
Page 318 and 319: Newton condivideva con il suo maest
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Page 322 and 323: di qui deriva che si debbano in pri
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Page 332 and 333: Dopo aver definito cos’è una qua
Page 334 and 335: Figura 9.13: George Berkeley (1685
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Page 360 and 361: grado superiore al 5 ◦ è la memo
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Page 366 and 367: infanzia. Compiuti gli studi a Gott
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Page 382 and 383: simbolo 1. Nello specifico Boole in
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Figura 12.1: G. Cantor qualsiasi co
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12.2 Le opere Presentiamo qui di se
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Nella Theorie de la chaleur [8, (18
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altre serie della stessa forma che
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convergente per tutti i valori di x
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e f(x) = 1 2 a′ +∞ � 0 + n=1
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erne le tappe esula dagli scopi del
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dei numeri naturali. Tutti gli altr
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In seguito concentrò i propri sfor
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di accumulazione dei punti di accum
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12.4 La potenza di un insieme Gli s
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grande dell’insieme infinito di q
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o avranno uguale potenza M e una pa
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Figura 12.2: Numerazione dei razion
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di ogni ordine n, già aveva intuit
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[eindeutige Zuordnung] degli elemen
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a dare una risposta negativa che qu
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voi scrivete costantemente x = α1
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irrazionali dell’intervallo (0, 1
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Se a e b sono due grandezze variabi
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Basiamo la dimostrazione di (F) sul
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Per quanto affermato nel teorema (H
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“...se non si impone nessuna cond
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La biezione da prendere sarà dunqu
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nessun punto, e quindi a rigore nem
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proseguendo nello stesso modo otten
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al proprio interno punti di tale in
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li interi positivi. Io chiamo le mo
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che i punti ad esso appartenenti po
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e dell’autore (Mathem. Annalen, v
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limite inferiore delle distanze q
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un numero finito di intervalli con
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all’interno dell’intervallo (0,
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12.7 L’infinito Le prossime sezio
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concetto, che verrà poi ripreso da
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stesse sostanze create da Lui dal n
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Kroneker che sosteneva che ‘Dio h
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12.8 I numeri ordinali Per capire a
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12.8.1 Costruzione dei numeri ordin
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ma mostrarsi anche mezzo capace di
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di tutti i precedenti. Varrà dunqu
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• Si consideri un insieme ben def
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determinato da un numero di una cla
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ammette sempre e solo una soluzione
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Limitiamoci a considerare i numeri
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12.9 L’ipotesi del continuo In pr
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Bibliografia [1] CANTOR, G., Über
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Capitolo 13 La costruzione dei nume
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y + x = 0, la ricerca delle soluzio
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• [(a, b)] ≥ [(c.d)] ↔ a + d
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Usando ripetutamente il fatto che h
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dell’aritmetica. L’addizione è
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1) dati tre punti p, q, r sulla ret
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Dato un razionale a possiamo costru
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dove HK = {q ∈ Q : q = hk , h ∈
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oppositori. Muore nel 1918. A lui s
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Successioni di Cauchy Definizione 8
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per tali m, n abbiamo che |bm − b
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Siano (an) e (bn) due rappresentant
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• un minorante per A ⊆ X è un
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Dimostrazione. (a) ⇒ (b). Sia K c
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• Prodotto: per ogni S, T ∈ �
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Sia x ∈ i(S + T ), allora ∃s
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Bibliografia [1] Giovanni Sambin, a
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14.2 I paradossi “Il paradosso è
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paiano direttamente non significa c
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14.3 La crisi dei fondamenti della
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I paradossi della teoria di Cantor
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principio di comprensione. Il parad
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Bibliografia [1] Bell, Eric T., I g
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15.2 Il V postulato di Euclide L’
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Teorema 105. A seconda che il quadr
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Sembrava quindi che la dimostrazion
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euclidee. Egli le aveva già costru
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e quei teoremi della geometria ordi
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L’angolo di parallelismo permette
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vamente alla geometria sviluppata d
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non-euclidei. Nella costruzione far
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Possiamo ora passare allo spazio pr
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1. Γ 2. non-degenere e non-definit
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Bibliografia [1] Bell, Eric T., I g
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privata che offriva un curriculum m
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16.2 Hilbert ed i Fondamenti Il met
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Quindi la proposta di Frege si era
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Tuttavia non erano d’accordo con
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1. Formalizzazione: fare in modo ch
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del Programma, anche nelle prime fa
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è impossibile. I diretti interessa
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Capitolo 17 Logicismo 17.1 La nasci
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di logica abbracciava la tesi che e
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i suoi principali artefici furono q
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a una definizione che ricorreva all
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tria - che, in accordo con Kant, ri
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membri. Possiamo definire il numero
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dell’analisi il concetto stesso d
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Innanzitutto, riducendo la forma lo
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“Piero” dalla funzione “( )
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• ⊢ (p → (q → r)) → ((p
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Figura 17.3: L’equivalente signif
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Concetto ed oggetto Concetto: in se
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Critica poi anche Cantor, nonostant
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Si dimostra che R determina una par
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conosciuta qualche qualità comune,
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se stesso”. w può essere predica
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La via d’uscita di Frege Il primo
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direzione in cui lui l’aveva cerc
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Figura 17.5: La curva di Peano dell
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condotte in un linguaggio simbolico
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3... qui 0 e 3 hanno lo stesso succ
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matematica veniva presentata come u
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al minimo l’uso e indagare quanto
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tipi. L’idea di fondo della teori
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Per ovviare a questa difficoltà Ru
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• ⊢ q → p ∨ q • ⊢ p ∨
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tra matematica e logica, per Quine,
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il lavoro di Russell, che nel fratt
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una giustificazione logica della ma
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Definizione 17.1 (Assioma della sce
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17.8 Neologicismo Crispin Wright (1
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Capitolo 18 L’intuizionismo 18.1
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ente cosiddetta dell’intuizionism
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per lasciare il posto ad un nuovo p
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za di Brouwer è il legame stretto
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dei suoi obiettivi principali era q
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che si manifesta nei casi in cui il
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Bibliografia [1] Bottazzini, Umbert
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Gödel frequentò abbastanza regola
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Su sollecitazione di Menger, egli s
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Scrisse di lui Solomon Feferman: Fi
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Figura 19.3: Metamatematica, aritme
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formule, ricavate una dall’altra
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Si vede chiaramente che non ci sono
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19.3.2 Dimostrazione e Sostituzione
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∀x(¬Dim(x, Sost(n, 31, n))) Ma q
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modo aggiungendo (γP A1) agli assi
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ma che è impossibile farlo usando
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Gödel era un platonista, ma si era
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corrisponde una formula aritmetica
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Bibliografia [1] Paul Bernays, “D
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Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

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