Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

“Per corpo intendiamo ogni sistema di infiniti numeri reali o complessi,
che sia in sé chiuso e completo in modo tale che l’addizione,
la sottrazione, la moltiplicazione e la divisione di due qualunque
di questi numeri dia sempre come risultato un numero dello stesso
sistema”
(Dedekind 1871).
Le definizioni che diamo oggi sono:
Definizione 17. Un corpo è un anello con unità tale che ogni elemento non
nullo ha un inverso.
Definizione 18. Un anello (R, +, ∗) è un insieme dotato di due operazioni
binarie, indicate con + e ∗ tali che:
+ : R × R → R
(a, b) → a + b
∗ : R × R → R
(a, b) → a ∗ b
che prendono il nome di addizione e moltiplicazione e che rispettano le seguenti
condizioni:
A1) + è associativa, cioè (a + b) + c = a + (b + c), ∀a, b, c ∈ R;
A2) esiste un elemento 0 che è neutro rispetto a +, cioè a + 0 = 0 + a = a;
∀a ∈ R;
A3) ∀a ∈ R esiste un elemento −a, detto opposto di a, tale che a + (−a) = 0;
A4) + è commutativa, cioè (a + b) = (b + a), ∀a, b ∈ R;
A5) ∗ è associativa, cioè (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c), ∀a, b, c ∈ R;
A6) valgono le seguenti leggi distributive: a∗(b+c) = a∗b+a∗c e (a+b)∗c =
a ∗ c + b ∗ c, ∀a, b, c ∈ R.
Dedekind riportava come corpo più semplice quello dei razionali Q e quello
dei complessi C come corpo più grande. Egli studia i numeri algebrici e i campi
del tipo Q(α) con α algebrico: si tratta del più piccolo campo contenente sia
Q sia α. Ricordiamo che un elemento appartenente a R è detto algebrico se
soddisfa un’equazione polinomiale nella forma anx n + ... + a1x + a0 = 0, dove
n ∈ N e ai ∈ R.
Volendo estendere il teorema di fattorizzazione ai campi di numeri algebrici,
Dedekind definì il concetto di ideale: dato un corpo K
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