Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

precedenza, nel 1869 Cantor venne nominato Privatdozent all’Università di
Halle dove insegnava, come docante ordinario anche Heine che proprio in questo
periodo, influenzato dall’ “Habilitationsschrift” di Riemann, stava facendo
indagini sulle serie trigonometriche. Fu proprio Heine a proporre a Cantor
questo quesito:
“ Data un’arbitraria funzione rappresentata da una serie trigonometrica, è tale
rappresentazione necessariamente unica?”.
Lo stesso Heine aveva risolto parzialmente il problema per particolari classi di
funzioni e sotto speciali condizioni. In definitiva Heine, nel 1870, era riuscito
a provare il seguente:
Teorema 22. Una funzione di una variabile reale f(x) continua eccetto al
più per un numero finito di punti può essere rappresentata in uno e in un solo
modo da una serie trigonometrica della forma:
f(x) = 1
2 a0 +
+∞ �
n=1
(ancos(nx) + bnsin(nx)) (12.4)
se la serie è soggetta alla condizione di essere uniformemente convergente. La
serie rappresenta la funzione da −π a π.
Richiedendo l’uniforme convergenza della serie e la continuità della funzione
eccetto al più per un numero finito di punti, il teorema di Heine invitava
direttamente ad una generalizzazione. E proprio nel tentativo di generalizzare
il risultato di Heine, Cantor notò subito che il problema dell’unicità della
rappresentazione non poteva essere risolto come si era fatto fino ad allora.
Lavorando in questa direzione, Cantor dimostrò, nel Marzo 1870, il seguente:
Teorema 23. Siano a1, a2, . . . , an, . . . e b1, b2, . . . , bn, . . . due sequenze infinite
tali che il limite di (an sin(nx) + bn cos(nx)), per ogni valore di x in un dato
intervallo (a < x < b) è uguale a zero al crescere di n.
Allora an, così come bn, al crescere di n, converge a zero.
Questo teorema (che è noto come teorema di Cantor-Lebesgue perché dopo
che Cantor ne aveva provato la validità per serie trigonometriche che convergono
sull’intervallo (a, b), Lebesgue lo generalizzò ad un qualsiasi intervallo o
insieme di misura positiva nel senso appunto di Lebesgue) servì a Cantor per
dimostrare, nell’ Aprile del 1870, il suo teorema dell’unicità:
Teorema 24. Se una funzione di una variabile reale f(x) è data per mezzo di
una serie trigonometrica convergente per ogni valore di x, allora non ci sono
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