Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

i valori delle coordinate corrispondenti ai punti dell’insieme numerabile Q.
Se ora consideriamo l’insieme R, si può dimostrare che i valori delle coordinate
corrispondenti ai suoi punti coincidono con la totalità dei valori interni di una
successione infinita di intervalli
(c1, d1), (c2, d2), ..., (cν, dν), ... (3)
esterni l’uno all’altro e contenuti, ovviamente, in (0, l). Poiché solo i valori
interni di questi intervalli corrispondono a punti dell’insieme R, dalla relazione
(1) segue immediatamente che gli estremi cν e dν degli intervalli stessi
corrispondono a punti dell’insieme Q e quindi occorrono nella successione (2).
Sia infatti r un punto di R: allora i punti di Q non gli si possono approssimare
all’infinito, perché in tal caso r sarebbe un punto limite di P e di conseguenza
apparterrebbe a Q. Ora, devono esserci un punto c alla sinistra di r e un punto
d alla sua destra tali che all’interno dell’intervallo (c, d) non cada nessun punto
di Q, mentre se c e d non sono punti isolati di Q, al di fuori di questo intervallo
i punti di Q si possono approssimare ad essi quanto si vuole; ma poiché ogni
punto limite di Q appartiene a Q stesso, anche in quest’ultimo caso c e d sono
punti appartenenti a Q. Gli infiniti intervalli (c, d) che si formano in questo
modo sono, chiaramente, tutti esterni l’uno all’altro e perciò costituiscono, per
il lemma II, un insieme numerabile (3), come volevasi dimostrare.
La grandezza dell’intervallo (cν, dν) è, ponendo cν < dν ,
= dν − cν.
Chiamiamo σ la somma delle grandezze di tutti questi intervalli; sarà allora
∞�
(dν − cν) = σ. (4)
ν=1
Si vede subito che σ ≤ l, perché gli intervalli sono tutti esterni l’uno all’altro
e sono contenuti in (0, l). Se ora fossimo in grado di provare che σ = l,
ovvero di escludere la possibilità di σ < l, con ciò il teorema VI resterebbe
dimostrato come risulta chiaro da una semplicissima riflessione sul significato
degli intervalli (cν, dν).
Per completare la dimostrazione dovremo dunque provare che l’ipotesi σ < l
porta a una contraddizione.
A tale scopo definiamo per 0 ≤ x ≤ 1 la seguente funzione f(x): si sommino le
grandezze di tutti gli intervalli (cν, dν), per quella parte in cui questi cadono
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