Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

concetto, che verrà poi ripreso da Cantor, di insieme visto come una molteplicità
determinata esclusivamente dai suoi elementi. In particolare sostiene che
due insiemi M e N sono considerati uguali se e solo se hanno esattamente gli
stessi elementi.
Cantor rielaborò questi concetti e nella sua mente si andarono così a creare i
due concetti di infinito potenziale e attuale che sono stati definiti prima. In
generale l’infinito improprio veniva visto come un ‘cattivo’ infinito, a torto per
Cantor perché questo concetto si era rilevato uno strumento molto utile nell’analisi
infinitesimale e nel calcolo integrale; nonostante ciò però non lo vede
come un vero e proprio infinito e per questo lo chiama improprio. Esso ha
infatti una realtà fittizia essendo riferito ad un infinito attuale senza il quale
non avrebbe senso e in una lettera a Vivanti dice:
« ...è fuori dubbio che non possiamo rinunciare alle grandezze variabili
nel senso dell’infinito potenziale...ma in una osservazione
matematica deve essere conosciuto con rigore il dominio della sua
variabilità, attraverso una definizione; questo dominio, a sua volta,
non può essere variabile, perché verrebbero a mancare le basi per
l’indagine e quindi questo dominio è un insieme di valori attualmente
infiniti. Così ogni infinito potenziale presuppone un infinito
attuale per essere utilizzabile matematicamente...»
Questo infinito potenziale era già concepito e accettato fin dall’antichità; per
quasi due milleni, il problema di come trattare l’infinito veniva risolto assumendo
il principio dovuto ad Aristotele secondo cui ‘infinitum actu non datur’,
cioè non è ammissibile un’infinità data in atto, un infinito attuale. All’epoca
infatti erano note solo numerazioni finite ed è quindi naturale che con il
solo atto del contare conoscesse soltanto insiemi finiti; inoltre il filosofo greco
sosteneva che se l’infinito esisteva, allora il finito si sarebbe perso in esso, affermazione
che con la nuova teoria di Cantor non ha più validità, perché come si
vedrà in seguito ciò dipenderà solamente dall’ordine in cui il finito si pone nei
confronti dell’infinito. Cantor sostiene così che tale principio dovrebbe essere
modificato in ‘omnia seu finita seu infinita definita sunt et excepto Deo ab
intellectu determinari possunt’, quindi tranne Dio, l’intelletto umano era in
grado di definire sia il finito che l’infinito: l’intelligenza umana non ha limiti
nel concepire ed eventualmente determinare l’infinito.
Per quanto riguarda l’infinito proprio, pensa esso si presenti in tre modalità
diverse:
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