Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

ma mostrarsi anche mezzo capace di spezzare ogni limite nella formazione concettuale
dei numeri interi.
Notiamo, tuttavia, che tutti i numeri fino ad ora ottenuti e i successivi osservano
una certa condizione la quale, ogni volta che c’è bisogno di formare nuovi
numeri, si presenta come un nuovo e terzo principio che io chiamo principio
di impedimento o limitazione il quale come dimostrerò, mostra che la seconda
classe numerica risultante da esso non ha soltanto una potenza maggiore di
quella della prima classe, ma una immediatamente maggiore, cioè la seconda
potenza.
La condizione menzionata, osservata da ogni numero infinito fino ad ora definito,
come subito ci si convince, è che l’insieme di questi numeri nella successione
dei numeri precedenti è della potenza della prima classe numerica (I). Prendiamo
per esempio il numero ω ω , i numeri precedenti sono contenuti nella
forma:
ν0ω µ + ν1ω µ−1 + .... + νµ−1ω + νµ
dove µ, ν0, ν1, ..., νµ possono prendere tutti i valori finiti positivi interi con inclusione
dello zero, ma con esclusione del caso ν0 = ν1 = ... = νµ = 0.
Come si sa, questo insieme si può rappresentare nella forma di una semplice
serie infinita e dunque ha la potenza della prima classe numerica.
Poiché inoltre ogni successione di insiemi dei quali ognuno ha la prima potenza,
se ogni successione stessa è della prima potenza, ci dà sempre un nuovo
insieme il quale ha la potenza della prima classe numerica, allora è chiaro che
nella continuazione della nostra successione di numeri in realtà si ottengono
sempre e soltanto numeri tali da osservare di fatto qualsiasi condizione.
Questo è quanto spiega Cantor per arrivare ad introdurre la
Definizione 64. Si definisce la seconda classe numerica (II) come la totalità
di tutti i numeri formati con l’aiuto dei due principi di generazione, crescenti
secondo una successione determinata
ω, ω + 1, ..., ν0ω µ + ν1ω µ−1 + ... + νµ, ..., ω ω , ..., α, ...
i quali sottostanno alla condizione che tutti i numeri che precedono α, da 1 in
poi, formano un insieme della potenza della prima classe numerica.
Questa ultima parte è il principio di impedimento e quindi è quel principio
che determina i ‘confini’ delle diverse classi numeriche; infatti con l’utilizzo
di questi tre principi potremmo ora continuare a creare numeri ottenendo così
la terza classe numerica, la quarta classe numerica,...
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