Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

numerica (II) e per quanto appena detto, fra i numeri αν, se teniamo presenti
solo quelli il cui indice ν è finito, ce n’è uno minimo; se poniamo che questo
sia αρ, è evidente che, essendo αν > αν+1, la successione αν, e quindi anche
l’intera successione αβ, deve essere composta esattamente di ρ membri e quindi
è finita.
Consideriamo ora il seguente
Teorema 67. Se (α ′ ) è un qualsiasi insieme di numeri contenuto nella classe
(II), si può verificare solo uno dei tre casi seguenti:
1. (α ′ ) è una classe finita, cioè formata da un’enumerazione finita di numeri;
2. (α ′ ) ha la potenza della (I) classe;
3. (α ′ ) ha la potenza della (II) classe.
Dimostrazione: Sia Ω il primo numero della terza classe numerica (III);
allora tutti i numeri α ′ dell’insieme (α ′ ), essendo questo contenuto in (II), sono
minori di Ω. Immaginiamo ora che i numeri α ′ siano ordinati per grandezza;
sia αω il più piccolo, αω+1 il più piccolo dei rimanenti e così via. In questo
modo l’insieme (α ′ ) acquista la forma di un insieme ben ordinato αβ, dove β
percorre a partire da ω i numeri della successione naturale estesa; perciò β
resta sempre minore o uguale a αβ, ed essendo αβ < Ω sarà anche β < Ω.
Dunque il numero β non può andare al di là della classe (II) e resta sempre
all’interno del suo dominio, per cui sono possibili solo tre casi:
1. β rimane inferiore a un numero assegnabile della successione ω + ν, e
allora (α ′ ) è un insieme finito;
2. β prende tutti i valori della della successione ω + ν ma resta inferiore a
un numero assegnabile della successione (II), e allora (α ′ ) è un insieme
della prima potenza;
3. β assume valori grandi a piacere in (II), percorrendo quindi tutti i numeri
di (II), e in questo caso la classe (αβ), cioè l’insieme (α ′ ), ha la potenza
di (II).
✷
Questo teorema dimostra quanto richiesto nel Teorema2. ✷
Conseguenze del Teorema2:
477