Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

Fino a tutto il Settecento questi rami della matematica rimasero strettamente
connessi, proprio in virtù del fatto che le grandezze, cioè gli oggetti
dell’indagine geometrica, venivano identificati con le loro misure, cioè con gli
oggetti del calcolo infinitesimale. La costruzione dei numeri reali fu uno dei
progressi più importanti del pensiero matematico del XIX secolo.
L’obbiettivo di definire in modo preciso la costruzione dei reali fu contemporaneamente
raggiunto da diversi matematici con la pubblicazione tra il 1872
e il 1886 di alcuni lavori in cui venivano esposte tre diverse teorie: la costruzione
di Dedekind che fa appello alla continuità della retta; la costruzione di
Cantor, in cui i reali sono classi di equivalenza di successioni di Cauchy a valori
razionali e la teoria di Weierstrass in cui i numeri reali sono definiti attraverso
successioni monotone di intervalli.
In queste note illustreremo la costruzione degli interi e dei razionali, quindi
la costruzione dei reali di Dedekind e di Cantor per provare infine il teorema
di unicità del campo ordinato completo.
13.2 Costruzione degli interi e dei razionali
Per comprendere più a fondo la costruzione dei reali è interessante studiare
come sono stati costruiti altri insiemi numerici, in particolare gli interi e i
razionali per capire quali sono state le motivazioni e la procedura.
13.2.1 Gli interi
Sia N l’insieme dei numeri naturali, su N sono definite le operazioni di
somma e prodotto che godono delle proprietà commutativa, associativa e vale
la distributività del prodotto rispetto alla somma . Indichiamo con 0 l’elemento
neutro della somma, la struttura (N, +, 0) dal punto di vista algebrico è
piuttosto “povera”, nel senso che non è un gruppo ma solo un semigruppo,
infatti manca l’opposto di ogni elemento.
Si può dire che gli interi si ottengono da N “aggiungendo” dei numeri in
modo che l’equazione:
a + x = b a, b ∈ N (13.1)
sia sempre risolubile, ciò equivale a dire che la sottrazione b − a sia definita
per ogni a, b ∈ N. Si noti che in questa definizione non si fa uso del contetto
di numero negativo. Se b < a, b − a non è definito in N, però se poniamo
y = a − b si ha b + y = b + (a − b) = a, da cui b + y + x = a + x = b. Allora
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