Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

1) dati tre punti p, q, r sulla retta L, se p è a destra di q e q è a destra di
r, allora p è a destra di r;
2) se p e r sono due punti distinti sulla retta, allora ci sono infiniti punti
tra p e r;
3) Dato un punto p di L, tutti i punti di L si ripartiscono in due classi P1
e P2 contenenti ciascuna infiniti elementi. P1 contiene tutti i punti p1 a
sinistra di p e P2 contiene tutti i punti p2 a destra di p. Il punto p stesso
può appartenere a una delle due classi e in ogni caso la suddivisione della
retta L in due classi è tale che ogni punto di P1 è a sinistra di ogni punto
di P2.
Questa analogia dei numeri razionali con i punti della retta è una vera
e propria corrispondenza quando prendiamo sulla retta L un origine O e un
unità di misura U, allora ad ogni numero razionale a corrisponde un punto
P sulla retta L tale che le lunghezze OP e OU siano commensurabili; ma
non vale il viceversa, cioè nella retta L esistono punti che non corrispondono a
nessun numero razionale. Già i Greci avevano dimostrato che ci sono grandezze
non commensurabili, per esempio la diagonale del quadrato che ha per lato
la lunghezza unitaria, ed esistono infinite lunghezze incommensurabili come
mostra la seguente:
Proposizione 79. Per ogni p primo allora √ p è irrazionale.
Dimostrazione. Se per assurdo √ p con p primo è razionale, allora
√ m p = n con MCD(m, n) = 1, m, n ∈ N
quindi p = m2
n2 ⇒ n2p = m2 , cioè p divide m2 , ma p è primo quindi p divide
anche m, allora pm1 = m e p2m2 1 = m2
sostituendo quest’ultima in n2p = m2 si ha n2p = p2m2 1 ⇒ n2 = pm2 1 , cioè p
divide n2 , quindi p divide n. Si deduce che p divide sia m che n ed assurdo
perché MCD(m, n) = 1.
Dall’infinità delle grandezze incommensurabili si ricava il carattere incompleto,
discontinuo di Q rispetto alla continuità della retta. Ma in che cosa
consiste questa continuità della retta?
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