Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

contiene tutti i razionali di A1 e A2 contiene tutti i razionali non contenuti
in A1, ossia tutti i razionali contenuti in A2. Sia α l’elemento separatore di
(A1, A2), dobbiamo provare che è unico.
Prendiamo un altro numero β diverso da α; sappiamo che esistono infiniti
numeri compresi tra α e β e si distinguono due casi:
• se β < α, allora tra gli infiniti numeri compresi tra α e β considero un
numero qualunque c, quindi c < α, allora c ∈ A1, quindi c ∈ A1. Ma
dato che β < c allora anche β ∈ A1.
• se β > α, allora preso un elemento c compreso tra i due, sarà c > α,
allora c ∈ A2, quindi c ∈ A2. Ma dato che β > c allora anche β ∈ A2.
Abbiamo mostrato che per ogni β, β ∈ A1 o β ∈ A2, quindi α è il massimo
di A1 o il minimo di A2, cioè α è l’unico elemento separatore della sezione
(A1, A2).
Il metodo delle sezioni di Dedekind può essere generalizzato, cioè partendo
da un qualunque campo ordinato archimedeo F si può costruire un campo
ordinato ˆ F che contiene F ed è Dedekind-continuo.
Diamo ora una definizione che ci sarà utile in seguito. Poiché una sezione
è completamente determinata quando è data una delle due classi, si può
introdurre il concetto di semiretta.
Definizione 83. Una semiretta in Q è un sottoinsieme S ⊂ Q tale che
i) S �= ∅, S �= Q
ii) ∀x ∈ S , y < x ⇒ y ∈ S.
Ogni semiretta S determina la sezione (S, Q\S) e viceversa ogni sezione
(A, B) determina la semiretta aperta A.
13.4 Costruzione dei reali di Cantor
13.4.1 Accenni sulla vita
Georg Cantor nasce a Pietroburgo nel 1845, ma trascorre la maggior parte
della vita in Germania. Studia a Zurigo, Gottinga, Berlino e qui, nel 1867,
consegue il dottorato con una tesi sulla teoria dei numeri. Dal 1872 al 1905
è professore all’università di Halle, le sue idee rivoluzionano concezioni tradizionali
della matematica e della filosofia e per questo hanno incontrato molti
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