Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

i) ∀x ∈ X α ≤ x, (α è minorante)
ii) ∀α ′
∈ K con α < α ′
, ∃x ∈ X : x < α ′
, (α è il migliore)
Proposizione 98. Ogni campo ordinato completo è archimedeo.
Dimostrazione. Sia K un campo ordinato completo. Supponiamo per assurdo
che non sia archimedeo, cioè che esistano due elementi a, b, con a > 0, tali che
na ≤ b per ogni naturale n. Quindi l’insieme
Na = {na|n ∈ N}
è superiormente limitato perché b è un suo maggiorante, quindi l’insieme Na
avrà un estremo superiore che indichiamo con a ∗ .
Essendo a > 0 allora a ∗ − a < a ∗ e per la proprietà del Sup esiste un na tale
che
a ∗ − a < na
a ∗ < na + a ∗
a ∗ < a(n + 1) ∈ Na
quindi a ∗ non è un maggiorante, che è assurdo dato che lo avevamo definito
tale. L’assurdo nasce dall’aver supposto na ≤ b, quindi segue che na > b, cioè
K archimedeo.
Questa proposizione dà una condizione necessaria, cioè se un campo ordinato
non è archimedeo allora non è completo.
Per mostrare che un campo ordinato è completo se e solo se è archimedeo
e Cauchy-completo, dobbiamo introdurre una nuova
Definizione 99. Un campo ordinato K è Cantor-completo se ogni successione
di intervalli chiusi In = [an, bn] tali che I1 ⊃ I2 ⊃ · · · ⊃ In ⊃ . . . e
limn→∞(bn − an) = 0 ha come intersezione un unico punto.
Teorema 100. Per ogni campo ordinato K sono equivalenti le seguenti asserzioni:
a) K è completo;
b) K è archimedeo e Cantor-completo;
c) K è archimedeo e Cauchy-completo.
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