Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

Dimostrazione. (a) ⇒ (b). Sia K completo e sia In = [an, bn] una famiglia di
intervalli chiusi inscatolati t.c. limn→∞(bn − an) = 0. Gli estremi degli intervalli
formano due successioni an e bn rispettivamente crescente e decrescente.
L’insieme {an : n ∈ N} è superiormente limitato, quindi per ipotesi ammette
un Sup che chiamiamo a. Vediamo che a è l’elemento cercato, ossia �
n In ≡ a.
Osserviamo che ∀ j, aj ≤ bj e bj ≤ bi se i < j e pertanto aj ≤ bi ∀ i, j ∈ N; in
particolare si ha che aj ≤ a ≤ bi e quindi a ∈ �
n In. Supponiamo che esista
c ∈ K, c �= a e c ∈ �
n In. Allora aj ≤ c ≤ bi e |c − a| > 0. Per ipotesi K è
archimedeo quindi ∃n ∈ N t.c. 0 < 1
n < |c − a|; inoltre per ipotesi ∀n ∈ N ∃ i
t.c. bi − ai < 1
n quindi bi − ai < 1
n < |c − a|. Questo ci dice che esiste almeno
un intervallo Ii con ampiezza minore di [a, c] e pertanto tale intervallo non
può contenere contemporaneamente a e c. Quindi c ≡ a.
(b) ⇒ (c). Sia (an) una successione di Cauchy, t.c. ∀ i ∈ N ∃ ni : ∀ m, n > ni
risulta |am − an| < 1
i . Considero la successione di intervalli chiusi inscatolati
1 1
I1 = [a1 − 1, a1 + 1], I2 = [an1 − 2 , an1 + 2 ], . . . In
1
1
= [ann−1 − n , ann−1 + n ].
1
1
2
Ora limn→∞(ann−1 + n − (ann−1 − n )) = limn→∞ n = 0 perché K è archimedeo
ed essendo K Cantor-completo esiste un unico K ∋ a = �
i Ii. Per
ogni i, tutti i termini di (an) che hanno indice maggiore di ni appartengono a
[ai − 1
i , ai + 1
i ]. Poiché K è archimedeo (e quindi denso)1 , dato ε
2 > 0 esiste
i t.c. 1 ε
i < 2 ; allora preso nε = ni per ogni m > ni risulta |am − a| < 2
i < ε.
Pertanto limn→∞ an = a ossia K è Cauchy-completo.
(c) ⇒ (a). Sia X ⊂ K limitato, mostriamo che ammette Sup. X ha almeno
un maggiorante a; se a − 1 non è maggiorante di X 2 allora costruisco la
seguente successione, ponendo a − 1 = a0:
�
an−1 +
an =
1
2n se an−1 + 1
2n ∈ X
an−1 se an−1 + 1
2n /∈ X
Ho potuto costruire tale successione, che è di Cauchy, perché K è archimedeo;
osserviamo che an ∈ X ∀ n ∈ N. Sia c il suo limite, si ha |an − c| < 1
2n .
Allora c è un maggiorante di X, infatti se esistesse x ∈ X t.c. x > c allora
x − c > 1
2n per qualche n, in contraddizione con la definizione di (an). Inoltre
c è proprio il minimo dei maggioranti, poiché se ¯c fosse un maggiorante t.c.
1 vale infatti che ogni campo archimedeo è denso in se stesso. Non ne daremo qui una
dimostrazione.
2 se invece lo è, considero a − 2, etc. . .
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