Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

• conserva l’ordine: Se a < b allora a e tutti gli elementi minori di a stanno
in Sb, cioè Sa ⊂ Sb che significa Sa < Sb e ψ(a) < ψ(b).
Ora vediamo l’unicità del campo ordinato completo:
Teorema 102. Tutti i campi ordinati completi sono isomorfi, quindi son
isomorfi al completamento di Q.
Dimostrazione. Sia K campo ordinato completo, esiste un omomorfismo iniettivo
(immersione):
i : Q → K
tale che per ogni m
n ∈ Q si ha i � �
m m1K n = . n1K D’altra parte Q è contenuto nel suo completamento � Q = R, cioè Q ↩→ � Q.
Vogliamo dimostrare che esiste un isomorfismo
ϕ : � Q → K.
Sia S ∈ � Q, S una semiretta aperta di Q e
Per ogni S ∈ � Q definiamo:
così:
i(S) = {i(q) : q ∈ S} .
ϕ : � Q → K
ϕ(S) = Sup i(S)
e vediamo che ϕ è un isomorfismo, cioè che conserva le operazioni e l’ordine e
che è iniettiva e suriettiva.
a) ϕ conserva le operazioni: dobbiamo provare che
cioè
Vediamo che
ϕ(S + T ) = ϕ(S) + ϕ(T )
Sup i(S + T ) = Sup i(S) + Sup i(T ).
Sup i(S + T ) ≤ Sup i(S) + Sup i(T ).
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