Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

Sia x ∈ i(S + T ), allora ∃s ∈ S, t ∈ T tali che x = i(s + t) e dato che i è
omomorfismo si ha
i(s + t) = i(s) + i(t)
inoltre
quindi
e per l’arbitrarietà di x
Ora proviamo che
i(s) ≤ Sup i(S)
i(t) ≤ Sup i(T )
i(s + t) ≤ Sup i(S) + Sup i(T )
Sup i(S + T ) ≤ Sup i(S) + Sup i(T ).
Sup i(S) + Sup i(T ) ≤ Sup i(S + T ).
Sia x ∈ (i(S) + i(T )), allora ∃s ∈ S, t ∈ T tali che x = i(s) + i(t), dato
che i è omomorfismo si ha
inoltre ∀s ∈ S e ∀t ∈ T
cioè
i(s) + i(t) = i(s + t)
i(s + t) ≤ Sup i(S + T )
i(s) + i(t) = i(s + t) ≤ Sup i(S + T )
i(t) ≤ Sup i(S + T ) − i(s)
e dato che Sup i(T ) è il più piccolo dei maggioranti di i(t) otteniamo:
Facendo variare s ∈ S abbiamo
Analogamente per il prodotto.
Sup i(T ) ≤ Sup i(S + T ) − i(s)
i(s) + Sup i(T ) ≤ Sup i(S + T ).
Sup i(S) + Sup i(T ) ≤ Sup i(S + T ).
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