Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

da cui seguì il:
Teorema 108. Nell’ipotesi dell’angolo retto e nell’ipotesi dell’angolo ottuso,
è vero il V postulato di Euclide.
Dimostrazione. (La dimostrazione è quella di Saccheri)
Siano AB, CD due rette intersecate dalla retta AC come in figura.
Supponiamo che sia:
BAC ˆ + ˆ ACD < 2 angoli retti.
Allora uno degli angoli BAC, ˆ ACD, ˆ ad esempio il primo, sarà acuto. Da
C si cali allora la perpendicolare CH su AB.
Nel triangolo ACH, in forza alle ipotesi fatte, sarà:
 + ˆ
ACH + ˆ H ≥ 2 angoli retti
(poichè siamo nell’ipotesi di un angolo ottuso o retto).
Combinando queste due si ottiene:
 + ˆ ACH + ˆ H ≥ 2 angoli retti >  + ACH ˆ + ˆ HCD)
ˆH > ˆ
HCD.
Poichè ˆ H è retto, l’angolo ˆ
HCD risulta acuto. Allora, in forza delle proposizioni
XI, XII, le rette CD ed AB s’incontrano.
In particolare, quindi, Saccheri riuscì a dimostrare che assumendo l’ipotesi
dell’angolo ottuso si arriva all’ipotesi dell’angolo retto (poiché vale il V postulato,
quindi nel quadrilatero birettangolare isoscele tutti gli angoli sono retti).
Di conseguenza, l’ipotesi dell’angolo ottuso è falsa.
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