Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

teoria completa delle parallele, pubblicato tra il 1835 e il 1838.
Come scrisse nell’introduzione ai Nuovi princìpi, furono proprio i vani sforzi
compiuti dai geometri a far sospettare Lobačevskij che nei concetti primitivi
della geometria non si trovasse racchiusa la verità che essi volevano disperatamente
dimostrare. Ai fini pratici la geometria euclidea si poteva senz’altro
ritenere in accordo con l’esperienza, ma d’altra parte “nella nostra immaginazione
lo spazio può essere ampliato senza limiti” e le distanze possono essere
così grandi che tutte quelle di cui abbiamo esperienza diventano insignificanti.
Per prima cosa egli definiva come la distanza come posizione relativa di due
punti. In questo modo si ottenevano la sfera, il piano e la retta (procedendo
come Fourier), passando poi a sviluppare la geometria assoluta. Faceva inoltre
considerazioni riguardo la congruenza dei triangoli, arrivando a dimostrare che,
nell’ipotesi dell’angolo acuto (nella geometria immaginaria), triangoli simili
sono sempre uguali.
A questo punto iniziava la discussione sulla questione del parallelismo: egli
dimostrò che: “Le linee che escono da un punto o intersecano una data retta nel
medesimo piano, oppure non si incontrano mai con essa, per quanto vengano
prolungate.”
Si considerino una retta fissata r ed un punto A esterno ad essa, la retta
AH del fascio per A perpendicolare ad a e la retta del fascio per A perpendicolare
alla retta AH: nel sistema euclideo, quest’ultima è l’unica retta che
non interseca r. Nel sistema immaginario, invece, esistono altre rette che non
intersecano r: sono tutte le rette comprese negli angoli P AQ ˆ e RAS, ˆ che vengono
separate dalle rette del fascio che intersecano r dalle rette h e k, le rette
asintotiche alla rette parallele ad r, che non intersecano r.
Si definisce poi l’angolo di parallelismo relativo al segmento A di perpendicolare
(indicato con Π(A)): è l’inclinazione di una delle rette del fascio per A
scelta tra quelle che non intersecano r.
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