Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

di logica abbracciava la tesi che esse fossero generalizzazioni empiriche con un
vasto campo di applicazione ed un elevato grado di conferma.
La natura della verità matematica ha una rilevanza centrale in filosofia. Si
tratta di una questione particolarmente cruciale per il dibattito che contrapponeva
i filosofi empiristi, secondo i quali tutta la nostra conoscenza deriva
dall’esperienza sensoriale, ed i filosofi razionalisti, i quali sostenevano che gli
elementi universali e fondamentali della nostra conoscenza provenissero da
qualche fonte sovrasensibile. Cosi Mill afferma che il suo Sistema “si confrontava
con i filosofi dell’intuizione su un terreno in cui essi erano stati giudicati
precedentemente inattaccabili; e forniva una propria spiegazione, in termini
di esperienza ed associazione, del carattere peculiare di quelle che venivano
chiamate verità necessarie, quel carattere che veniva addotto come prova che
la loro evidenza dovesse provenire da una fonte più profonda della semplice
esperienza”.
Sarà in questa atmosfera che verranno a formarsi correnti fondazionali quali
il logicismo di Frege e Russell, il formalismo di Hilbert, e l’intuizionismo di
Brower. Ma prima di addentrarci nel primo di questi pensieri analizziamo due
aspetti importanti che saranno al centro della tesi logicista, ossia la nascita
della logica moderna e l’aritmetizzazione dell’analisi.
17.1.2 La nascita della logica matematica
La nascita della logica, che potrebbe essere definita come la scienza che
studia le forme e le leggi del pensiero, coincide con la nascita del pensiero filosofico.
La storia della logica si può dividere in due fasi: la logica aristotelica
e la logica moderna. La logica aristotelica, il cui primo teorizzatore fu appunto
Aristotele, si fonda prevalentemente sul sillogismo, cioè “un ragionamento
consistente di tre parti, una premessa maggiore, una premessa minore e una
conclusione”, e sulla deduzione. Con logica matematica o formale si vuole indicare
quella branca della logica moderna che rappresenta i modi del pensiero
con combinazioni di stringhe di segni e, spogliate queste di ogni significato,
riconduce lo studio del pensiero allo studio di tali stringhe e alle leggi che ne
regolano le trasformazioni. Si usa l’aggettivo “matematica” o “formale” per
distinguerla da altri tipi di logica moderna come la logica filosofica o la logica
modale (tuttavia vi è chi sostiene che si possa identificare la logica moderna
con quella matematica). La differenza fondamentale tra logica aristotelica e
logica matematica (a parte l’aspetto puramente estetico: parole nella prima,
segni nella seconda) è che a differenza della seconda, la prima concepisce una
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