Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

un elemento di w. Supponiamo allora che w non sia elemento di w. Allora,
dato che, per definizione di w tutte le classi che non elementi di se stessi appartengono
a w, se w non appartiene a w allora w non è una classe che non
è un elemento di se stessa. Ma allora w appartiene a w. Dunque dall’ipotesi
che w non sia un elemento di w se ne deduce quindi che w non è un elemento
di w. Abbiamo dunque una contraddizione.
In simbologia moderna è la seguente. Se definiamo
w = {y : y �∈ y}
allora la domanda w appartiene a se stesso? genera una contraddizione.
In altre parole, per ogni classe y, w è definito ponendo
y ∈ w ⇐⇒ y �∈ y
quindi sostituendo w ad y si ottiene la contraddizione
R ∈ R ⇐⇒ R �∈ R
In termini meno tecnici il concetto può essere espresso, non formalmente,
come segue: In un villaggio c’è un unico barbiere. Il barbiere rade tutti (e
solo) gli uomini che non si radono da s’è. Chi rade il barbiere?.
Si possono fare due ipotesi:
1. il barbiere rade sé stesso, ma ciò non è possibile in quanto, secondo la
definizione, il barbiere rade solo coloro che non si radono da sé;
2. il barbiere non rade sé stesso, ma anche ciò è contrario alla definizione,
dato che questa vuole che il barbiere rada tutti e solo quelli che non si
radono da sé, quindi in questa ipotesi il barbiere deve radere anche sé
stesso.
In entrambi i casi si giunge ad una contraddizione. Una trattazione di
tipo insiemistico semplifica l’approccio al paradosso. Innanzitutto, ci si rende
conto di trovarsi di fronte a due insiemi distinti:
A : gli uomini che si radono da soli;
B : gli uomini che si fanno radere dal barbiere.
Il problema è collocare il barbiere in uno dei due insiemi, poiché la sua inclusione
in entrambi gli insiemi creerebbe una contraddizione con la definizione
stessa degli insiemi.
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