Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

La via d’uscita di Frege
Il primo a pubblicare il paradosso di Russell fu Frege, nella “Nota finale” al
secondo volume del suo Grundgesetze der Arithmetik. Frege aveva quasi terminato
la stesura del secondo quando ricevette la lettera. Comprensibilmente
fu molto scosso dal fatto che il sistema alla cui costruzione aveva dedicato tutta
la vita portasse ad una contraddizione ma, con grande onestà intellettuale,
riconobbe il problema e aggiunse al suo libro un’appendice in cui descriveva
accuratamente il paradosso e ne tentava una soluzione. Per comprendere questa
soluzione, cominciamo brevemente a ripercorrere la strada che conduce al
paradosso. Innanzi tutto in quel ragionamento, che abbiamo esplicitato nella
sezione precedente, si fa implicitamente uso del principio secondo cui ogni proprietà
determina una classe: la classe di tutte e sole le cose che hanno questa
determinata proprietà. Riportiamo parte della risposta di Frege alla lettera:
La vostra scoperta della contraddizione mi ha causato la più grande sorpresa,
e direi quasi costernazione, poiché ha scosso la base su cui ho inteso
di fondare l’aritmetica... ciò è ancor più grave poiché in mancanza della
mia regola V, non solo i miei fondamenti dell’aritmetica, ma anche gli
unici fondamenti dell’aritmetica sembrano venir meno.
Questo principio, che pare del tutto ovvio ed era stato assunto da Russell
anche nei Principles, prende il nome di principio di comprensione illimitato
ed era derivabile nel sistema dei Grundgesetze. L’assioma cruciale, a questo
proposito è il famoso assioma V che, a parole, asserisce che due classi sono
identiche se e solo se le loro funzioni definenti sono formalmente equivalenti.
Per vedere in modo formale questa parte del lavoro di Frege si rimanda ad [1].
Frege propone quindi di scomporre l’assioma in due parti:
Va che asserisce che nessuna proprietà può dar luogo a due classi differenti,
e questo non pare a Frege suscettibile di obiezioni.
Vb invece asseriva il viceversa, cioè se due proprietà hanno estensione uguale
allora sotto di essi cadono li stessi oggetti, cioè hanno lo stesso decorso
di valori.
In modo formale se indichiamo con �z(φz) l’estensione della proprietà φ al
variare di zeta, cioè l’insieme {z : φ(z)} possiamo tradurre formalmente le due
parti in questo modo:
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