Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

condotte in un linguaggio simbolico, a partire da assiomi e regole esplicite.
Questo non perché Russell abbia mai simpatizzato con concezioni della
matematica di tipo formalista, ma per un altro motivo, che egli sintetizza
così:
Il fatto è che il simbolismo è utile perché rende le cose difficili. (Questo
non è vero per le parti avanzate della matematica, ma soltanto per gli
inizi). Quello che vorremmo sapere è che cosa può essere dedotto da cosa.
Ora, al principio, tutto è autoevidente; ed è difficilissimo rendersi conto
se una proposizione autoevidente segue da un’altra oppure no. L’ovvietà
è sempre nemica della precisione. Perciò inventiamo qualche nuovo e
difficile simbolismo, in cui niente appare ovvio. Poi stabiliamo certe regole
per operare sui simboli, e l’intera cosa diventa meccanica. In questo
modo scopriamo che cosa deve essere assunto come premessa, e che cosa
può essere dimostrato o definito. Per esempio la totalità dell’Aritmetica
e dell’Algebra si è dimostrata richiedere tre notazioni indefinibili e
cinque proposizioni indimostrabili. Ma senza simbolismo sarebbe stato
difficile scoprirlo. E’ tanto ovvio che due e due fanno quattro, che difficilmente
possiamo renderci sufficientemente scettici da dubitare che lo si
possa provare. E lo stesso vale in altri casi in cui si devono provare cose
autoevidenti.
Riprendiamo il sistema assiomatico di Peano. Naturalmente, i termini primitivi
in quanto tali non possono essere definiti formalmente, tuttavia Peano
ne spiega in modo intuitivo il signifacato. I tre termini sono:
N , che denota l’insieme dei numeri naturali
0 , che denota lo zero
s , che è un segno di funzione che significa “il successore di...”
Gli assiomi di Peano sono i seguenti:
1. 0 ∈ N, in linguaggio comune: “0 è un numero naturale”
2. x ∈ N → s(x) ∈ N, cioè: “il successore di un numero naturale è un
numero naturale”
3. ((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (s(x) = s(y))) → (x = y): “i numeri naturali
che hanno lo stesso successore sono identici”; ovvero l’iniettività della
funzione successore
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