Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

e utilizza solo concetti logici o definibili in termini puramente logici. Questa
tesi - la tesi logicista - era stata sostenuta in precedenza da Frege, ma Russell
lo ignorò fino al 1902. Riportiamo di seguito parte della prefazione alla prima
edizione:
La presente opera ha due scopi principali[...] quello di provare che tutta la
matematica pura tratta esclusivamente di concetti definibili in termini di
un numero piccolissimo di principi fondamentali[...] il secondo scopo, cui
viene dedicata la prima parte, è la spiegazione dei concetti fondamentali
che la matematica accetta come indefinibili[...] se pubblico un lavoro che
contiene tante difficoltà insolute la mia scusa è questa: che la ricerca non
ha rilevato alcuna prospettiva vicina a risolvere la contraddizione [il suo
paradosso], o di raggiungere un maggior approfondimento nella natura
delle classi.
Appena sbocciato, il progetto logicista andò tuttavia incontro ad una difficoltà
tanto terribile quanto inaspettata. Nel maggio del 1901, lavorando sul
teorema di Cantor - la cui validità non lo convinceva - Russell scoprì il paradosso
che porta il suo nome. Lo espose a Peano il quale però non gli rispose,
quindi come abbiamo visto si mise in contatto con Frege. La risposta di Frege
infine convinse Russell che il suo paradosso era qualcosa di veramente preoccupante.
Da quel momento intraprese un percorso che lo portò, a partire dal
1907, a sviluppare quella sua soluzione matura al problema dei fondamenti
della matematica che oggi è conosciuta con il nome di teoria ramificata dei
tipi
La teoria ramificata dei tipi è alla base dei Principia Mathematica, opera
scritta in collaborazione con Whitehead. La divisione del lavoro tra i due
autori viene così descritta dallo stesso Russell:
I problemi con cui dovevamo lottare erano di due tipi: filosofici e matematici.
Parlando in generale, Whitehead lasciava a me i problemi filosofici.
Quanto ai problemi matematici, Whitehead inventò la maggior parte della
notazione, eccetto quanto fu ripreso da Peano. [...] Tuttavia è difficile
dire che non vi sia una sola riga che non sia un prodotto comune.
Il successo del programma logicista, così come concepito nei Principia,
fu solo parziale, per varie ragioni, tra cui spicca la necessità di assumere il
cosiddetto “assioma di riducibilità”. Lo stesso Russell non fu mai soddisfatto
dell’assunzione di tale assioma: nell’introduzione alla seconda edizione dei
Principia l’assioma di riducibilità non viene più difeso. Russell cerca di ridurne
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