Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

tipi. L’idea di fondo della teoria dei tipi consiste nello strutturare in una
gerarchia dei tipi gli oggetti del pensiero a seconda della loro complessità
e nello stabilire la clausola che ogni proposizione ben formata deve essere
sempre di un tipo superiore a quello cui appartiene ciò su cui essa verte. In
termini di funzioni proposizionali, si richiede che una funzione proposizionale
debba essere sempre di un tipo superiore a quello cui appartengono i suoi
argomenti. Si trattava, in sostanza, di organizzare gli enti logici, ad esempio gli
enunciati, secondo una disposizione gerarchica partendo dagli enti logicamente
più semplici fino a quelli via via più complessi e ottenuti facendo riferimento
a enti già definiti. Ogni qualvolta si parla di oggetti che soddisfano ad una
determinata proposizione o proprietà, ci si riferisce ad oggetti dello stesso tipo.
Se per esempio, dico tutte le cose rosse mi riferisco a tutte le cose rosse dello
stesso tipo, mentre se dico ogni cosa rossa mi riferisco indifferentemente ad
una qualunque cosa rossa in un qualsiasi tipo. Nel primo caso la proposizione
individua una classe, nel secondo no.
Questa tipizzazione viene fatta per le classi, per le proposizioni, per le
funzioni proposizionali,ecc.
Più in dettaglio vediamo una distinzione in tipi degli individui e classi.
1 Al tipo 1 appartengono gli individui;
2 al tipo 2 appartengono le classi di individui (ovvero classi di individui del
tipo 1);
3 al tipo 3 appartengono le classi di classi di individui (ovvero classi di individui
del tipo 2);
4 ...
n al tipo n appartengono le classi di oggetti del tipo n-1.
Russell e Whitehead mostrano che con questa costruzione non si possono
raggiungere tipi infiniti.
Ora, con questa distinzione, se x n rappresenta un oggetto di tipo n, allora
è sensato scrivere x n ∈ x n+1 , ma è privo di qualsiasi significato asserire espressioni
del tipo x n ∈ x n oppure x n ∈ x n+p per p > 1. Infatti se si conviene che la
relazione di appartenenza possa sussistere solo fra enti di tipi opportunamente
diversi, non ha senso affermare o negare che x è elemento di y se x e y sono
dello stesso tipo.
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