Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

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Figura 19.3: Metamatematica, aritmetica intuitiva e formale 19.3 L’aritmetica formale Gödel rimase molto colpito dalle idee di Hilbert e cercò inizialmente di risolvere il secondo problema da lui proposto. Ed è proprio cercando la soluzione a questo problema che arrivò, invece, a dimostrare che questa dimostrazione di coerenza è impossibile, nella forma in cui la immaginava Hilbert. Pubblicò nel 1931, ancora venticinquenne, il suo risultato su una rivista scientifica 1 , con un articolo dal titolo “Uber formal unentscheidbare Satze der Principia Mathematica und verwandter systeme” (“Sulle proposizioni formalmente indecidibili dei Principia Mathematica e dei sistemi affini”). All’interno del suo articolo, Gödel presenta il suo sistema formale, che chiama P, costruito basandosi principalmente sui contenuti dei Principia Mathematica. In realtà non è fondamentale, ai fini della comprensione del teorema, utilizzare il suo sistema. Quello che è davvero importante è la struttura di base del sistema, perciò altri sistemi formali, basati sull’Aritmetica di Peano, 1 Monatshefte für Mathematik und Physik 654
possono essere ugualmente utilizzati per dimostrare il teorema. Prendiamo dunque un sistema, che chiamiamo PA (Aritmetica di Peano) e definiamolo indicando i segni da utilizzare, le formule, le regole di derivazione e gli assiomi usati. • Segni. Abbiamo bisogno, prima di tutto, di segni che ci permettano di descrivere i numeri naturali e di parlare delle operazioni su di essi. Dunque introduciamo “0” (lo zero), “s” (successore di), “+”(addizione), “×” (moltiplicazione), “(”, “)” (parentesi), “=”(uguale). Per formulare delle proposizioni abbiamo, però, bisogno anche di connettivi logici: “&” (la congiunzione), “∨” (la disgiunzione), “¬” (la negazione), “→” (l’implicazione), “∀” (il per ogni), “∃” (l’esiste). Ci servono dei simboli che rappresentino dei numeri (in pratica delle variabili numeriche) e altri che, invece, rappresentino delle formule. Indichiamo i simboli per rappresentare i numeri con le lettere minuscole “x”, “y”, “z”, ecc... Indichiamo i simboli per rappresentare le formule con le lettere greche “φ”, “ψ”, “ϕ”, ecc... • Formule. Le formule sono combinazioni di simboli accettabili nel sistema. Dunque rispettano le regole formali legate ai simboli (per esempio il segno + deve essere seguito e preceduto da numeri). Vale la regola che se φ e ψ sono formule, allora anche ¬φ, φ&ψ, φ ∨ ψ e φ → ψ lo sono. Espressioni come “φ∨”, oppure “φ¬ψ” invece non sono formule, perché manca un termine nel connettivo logico oppure due termini sono legati da un operatore (la negazione) che prende un solo argomento e non può essere usato come connettivo. • Regole di derivazione. Sono le regole che ci permettono di ottenere una formula da una o più formule che sono assiomi o a loro volta sono state ottenute dagli assiomi. Una prima regola è quella della sostituzione. Ad esempio, se abbiamo precedentemente ottenuto la formula “φ → φ”, possiamo sostituire le formula φ con ψ ∨ ϕ e ottenere una nuova formula: “(ψ ∨ ϕ) → (ψ ∨ ϕ)”. Un’altra regola che inseriamo nel nostro sistema è quella del modus ponens, cioè date le formule “φ” e “φ → ψ”, possiamo dedurre la formula “ψ”. Si può introdurre ora anche il concetto di dimostrazione all’interno del nostro sistema. Una dimostrazione altro non è che una sequenza finita di 655
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Università degli studi di Padova a
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2.2.4 Sistema di numerazione . . .
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5 Euclide 159 5.1 Contesto storico
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9.2.5 Isaac Barrow . . . . . . . .
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13.2.2 I razionali . . . . . . . .
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19 Kurt Gödel 647 19.1 La vita . .
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1.2 L’aritmetica 1.2.1 Contare Co
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Figura 1.2: Il sistema di numerazio
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della storia 9 . Il papiro di Ahmes
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sistemi in cui il valore di uno ste
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Figura 1.7: Un’incisione rupestre
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Figura 1.9: I disegni di Nazca: una
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per costruire triangoli rettangoli
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usavano i numeri cardinali e non qu
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Capitolo 2 Le antiche civiltà dell
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te da preoccupazioni di ordine mist
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delle date l’ordine e l’armonia
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almeno nella forma in cui noi la in
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Il quipu non poteva essere usato co
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Prima della seconda metà del XVI s
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La prima fonte scritta giunta fino
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2.2.3 Contatti e scambi con l’Eur
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scientifico, caratteri particolari
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zero si presentò quando le bacchet
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4 9 2 3 5 7 8 1 6 La leggenda, abba
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delle bacchette era analoga a quell
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Applicando la regola di Cramer si h
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egistrato nella prima riga, quella
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Si noti che un trattino diagonale i
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Attualmente scriveremmo questo prob
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Moista 3 , testo che ebbe pochissim
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si trova un’approssimazione sorpr
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terminata, che raggiunse un livello
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tro sottesi da esse, gli autori dei
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(a noi nota come equazione di Pell)
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specifici per indicare 4, 10 e 20;
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numeri che devono essere moltiplica
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“La fune tesa della diagonale di
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Molti secoli dopo, nel XV secolo, u
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2.3.10 Il concetto di infinito Se l
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Capitolo 3 La matematica nella Grec
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certezza se Talete o Pitagora ne ab
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al servizio degli aristocratici. A
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degli aristocratici. Fra queste cit
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a.C.; le due maggiori città greche
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ed ai valori ideali ed eterni, disp
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• l’espansione verso Oriente e
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loro grandi biblioteche non fossero
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o più grandi maestri. Questo fenom
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Figura 3.3: Sistema ionico Poiché
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Mileto rappresentava un grande cent
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Purtroppo Talete non ha scritto nul
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Per quel che riguarda il teorema 4,
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Â≪ ...stupefatto del modo in cui
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Figura 3.7: Calcolo dell’altezza
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un segmento dato un rapporto fissat
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greci; non a caso Platone, uno dei
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studi medici era diffuso proprio ne
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• Gli acusmatici ( dal verbo grec
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proporzione 3 : 2 a indicare una re
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3.6.4 Il numero come principio dell
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del dispari, mentre il male, il dis
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1. E’ dato un numero figurato. Fi
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esempio 11; allora: e quindi Figura
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I pitagorici collegavano la distinz
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Tabella 3.1: Rappresentazione rispe
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Figura 3.21: (a + b) 2 = (a − b)
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di cui una traduzione letteraria è
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e. Le nuove grandezze vennero chiam
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La sfida che i matematici greci si
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Bibliografia [1] Storia della Matem
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Il IV secolo si aprì con la morte
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4.2 Zenone di Elea 4.2.1 Introduzio
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Consideriamo un segmento di estremi
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Qual è la velocità di un punto de
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• Molti, come ad esempio Carl Boy
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linea e della superficie; la sua cr
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1. idee che si riferiscono ai valor
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ca e geometria tra le quattro mater
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- Ogni angolo di un pentagono regol
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4.4 Eudosso Eudosso (408-355 a.C.),
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frazioni, ossia a c b = d se e solo
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E poichè DG è maggiore di AH, se
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4.5 Il concetto di infinito nel pen
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Bibliografia [1] Ivan Niven, Numeri
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nell’ ambito mentale, doveva esse
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giovane dei discepoli di Platone, m
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di qualcosa, e un problema, in cui
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sognerà quindi dedurle da proposiz
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• Nozioni speci che: verità che
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estremi.” Archimede e poi Legendr
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matematici moderni non fanno alcuna
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accettate senza dimostrazione, e ra
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espressi da Euclide, non garantisco
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venivano concepite come segmenti ch
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Viene spesso affermato che l’alge
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a = k 1 1 nb e c = k nd. DEFINIZION
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Siano i numeri piani a = cd e b = e
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matico in sè concluso, risalente p
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si hanno per resto misura la preced
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metodi tradizionali dei matematici
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Infatti passando dal segmento circo
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se a ha la parte aurea x, allora il
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Bibliografia [1] Benno Artmann, Euc
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6.1 Vita e morte Non sono molte le
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matematica antica proseguì le rice
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Archimede. Lo studio della spirale
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come P ZA, la cui somma è minore d
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“l’area di una qualsiasi sfera
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Archimede utilizzò con grande fine
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nell’illustre filosofo. Il primo
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6.3.9 Il libro dei lemmi Quest’op
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interlocutore su alcuni risultati m
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del segmento parabolico: Dato il se
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A causa del parallelismo si ha AC :
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diverse testimonianze di storici no
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Questa volta la testimonianza ci gi
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più semplice per tali specchi è u
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6.6 Considerazioni finali L’opera
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Capitolo 7 I problemi classici 7.1
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Una prima cosa da notare è che il
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di razionalità un insieme di numer
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(x1, y1), (x2, y2), ... (xn−1, yn
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con un numero arbitrario n di lati,
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si osserva che trovare una soluzion
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Dinostrato, servendosi di questa cu
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Sia ABC il triangolo da quadrare. S
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Per trisecare un angolo di π 4 è
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Allora, chiaramente, se lungo ogni
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se n e m non sono entrambi cubi di
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cioè un cubo di spigolo x equivale
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cioè AC : AP = AP : AM = AM : AB,
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Bibliografia [1] T. Heath, A histor
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È aneddoto comune che di fronte al
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8.2 La Matematica di al-Khwārizmī
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Struttura dell’al-jabr. L’opera
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8.2.3 Altri matematici di spicco. A
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8.3.1 I simboli di somma e sottrazi
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L’Italia sembra insensibile a que
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Figura 8.4: Il Teorema di Pitagora
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Capitolo 9 Da Tartaglia a Cauchy: n
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sancito il principio del cuius regi
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Si tratta quindi di risolvere un’
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- Guerra dei trent’anni (1618-164
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• problemi sulla distanza • il
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asate su assiomi arriva a delle cer
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II. Sulla natura delle linee curve
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3. il grado di questa equazione alg
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geometrici Descartes affronta il pr
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di infiniti punti C il cui luogo è
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maniera simile CD spinge DE e così
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trovare la normale ad una curva alg
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punti) e la tangente. Significativo
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Figura 9.4: Bonaventura Francesco C
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Figura 9.5: Pierre de Fermat (1601
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curve algebriche elaborò un metodo
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Figura 9.7: Dimostrazione del Teore
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fondamenti della fisica e dell’as
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Newton condivideva con il suo maest
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Figura 9.9: Gottfried Wilhelm Leibn
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di qui deriva che si debbano in pri
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Leibniz fu uno dei più grandi inve
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9.3.1 Contesto storico e matematico
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Figura 9.10: Jakob Bernoulli (1654
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allora: ∂f d ∂f ϕ + = 0 ∂y d
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Dopo aver definito cos’è una qua
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Figura 9.13: George Berkeley (1685
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tale quantità con una lettera pres
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Capitolo 10 Analisi e Fisica Matema
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predecessori e che era il suo vanto
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Egli era legato infatti al rigore a
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Riemann riuscì a legare molti risu
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10.6 Cenni storici: Fisica Matemati
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si hanno quindi in questo secolo i
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Figura 10.7: Jacobi al neoumanesimo
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un contributo dello stesso livello.
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soluzione nei complessi. Ricordiamo
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campo, magari nemmeno definito accu
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Riportiamo qui sotto una cartina de
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grado superiore al 5 ◦ è la memo
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Lagrange scrisse che Ruffini “non
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aritmetiche ripetute un numero fini
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infanzia. Compiuti gli studi a Gott
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Per semplicità, Gauss restrinse il
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La necessità di una profonda rifor
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con il loro significato originario,
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corpo a quattro dimensioni in cui v
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ij = k, jk = i, ki = j, ji = −k,
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Teorema 15. Ogni algebra divisoria
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le proprietà topologiche della map
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simbolo 1. Nello specifico Boole in
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Boole Oggi Significato + ∪ unione
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“fondiamo la teoria dei numeri co
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“Quando confrontiamo i due grandi
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Gruppi di trasformazioni geometrich
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L’algebra passa da essere studio
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Una relazione ordinale del momento
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dove a è lo step corrispondente al
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E = ϑa + A; E ′ = ϑa + E; E ′
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caso della addizione algebrica, dal
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Solamente il caso che considera lo
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di due dfferenti steps. L’idea de
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Bibliografia [1] Boyer C. B., Stori
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Figura 12.1: G. Cantor qualsiasi co
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12.2 Le opere Presentiamo qui di se
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Nella Theorie de la chaleur [8, (18
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altre serie della stessa forma che
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convergente per tutti i valori di x
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e f(x) = 1 2 a′ +∞ � 0 + n=1
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erne le tappe esula dagli scopi del
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dei numeri naturali. Tutti gli altr
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In seguito concentrò i propri sfor
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di accumulazione dei punti di accum
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12.4 La potenza di un insieme Gli s
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grande dell’insieme infinito di q
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o avranno uguale potenza M e una pa
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Figura 12.2: Numerazione dei razion
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di ogni ordine n, già aveva intuit
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[eindeutige Zuordnung] degli elemen
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a dare una risposta negativa che qu
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voi scrivete costantemente x = α1
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irrazionali dell’intervallo (0, 1
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Se a e b sono due grandezze variabi
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Basiamo la dimostrazione di (F) sul
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Per quanto affermato nel teorema (H
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“...se non si impone nessuna cond
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La biezione da prendere sarà dunqu
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nessun punto, e quindi a rigore nem
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proseguendo nello stesso modo otten
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al proprio interno punti di tale in
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li interi positivi. Io chiamo le mo
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che i punti ad esso appartenenti po
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e dell’autore (Mathem. Annalen, v
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limite inferiore delle distanze q
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un numero finito di intervalli con
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all’interno dell’intervallo (0,
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12.7 L’infinito Le prossime sezio
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concetto, che verrà poi ripreso da
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stesse sostanze create da Lui dal n
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Kroneker che sosteneva che ‘Dio h
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12.8 I numeri ordinali Per capire a
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12.8.1 Costruzione dei numeri ordin
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ma mostrarsi anche mezzo capace di
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di tutti i precedenti. Varrà dunqu
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• Si consideri un insieme ben def
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determinato da un numero di una cla
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ammette sempre e solo una soluzione
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Limitiamoci a considerare i numeri
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12.9 L’ipotesi del continuo In pr
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Bibliografia [1] CANTOR, G., Über
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Capitolo 13 La costruzione dei nume
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y + x = 0, la ricerca delle soluzio
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• [(a, b)] ≥ [(c.d)] ↔ a + d
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Usando ripetutamente il fatto che h
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dell’aritmetica. L’addizione è
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1) dati tre punti p, q, r sulla ret
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Dato un razionale a possiamo costru
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dove HK = {q ∈ Q : q = hk , h ∈
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oppositori. Muore nel 1918. A lui s
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Successioni di Cauchy Definizione 8
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per tali m, n abbiamo che |bm − b
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Siano (an) e (bn) due rappresentant
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• un minorante per A ⊆ X è un
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Dimostrazione. (a) ⇒ (b). Sia K c
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• Prodotto: per ogni S, T ∈ �
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Sia x ∈ i(S + T ), allora ∃s
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Bibliografia [1] Giovanni Sambin, a
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14.2 I paradossi “Il paradosso è
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paiano direttamente non significa c
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14.3 La crisi dei fondamenti della
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I paradossi della teoria di Cantor
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principio di comprensione. Il parad
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Bibliografia [1] Bell, Eric T., I g
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15.2 Il V postulato di Euclide L’
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Teorema 105. A seconda che il quadr
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Sembrava quindi che la dimostrazion
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euclidee. Egli le aveva già costru
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e quei teoremi della geometria ordi
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L’angolo di parallelismo permette
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vamente alla geometria sviluppata d
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non-euclidei. Nella costruzione far
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Possiamo ora passare allo spazio pr
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1. Γ 2. non-degenere e non-definit
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Bibliografia [1] Bell, Eric T., I g
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privata che offriva un curriculum m
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16.2 Hilbert ed i Fondamenti Il met
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Quindi la proposta di Frege si era
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Tuttavia non erano d’accordo con
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1. Formalizzazione: fare in modo ch
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del Programma, anche nelle prime fa
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è impossibile. I diretti interessa
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Capitolo 17 Logicismo 17.1 La nasci
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di logica abbracciava la tesi che e
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i suoi principali artefici furono q
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a una definizione che ricorreva all
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tria - che, in accordo con Kant, ri
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membri. Possiamo definire il numero
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dell’analisi il concetto stesso d
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Innanzitutto, riducendo la forma lo
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“Piero” dalla funzione “( )
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• ⊢ (p → (q → r)) → ((p
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Figura 17.3: L’equivalente signif
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Concetto ed oggetto Concetto: in se
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Critica poi anche Cantor, nonostant
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Si dimostra che R determina una par
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conosciuta qualche qualità comune,
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se stesso”. w può essere predica
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Page 618 and 619: direzione in cui lui l’aveva cerc
Page 620 and 621: Figura 17.5: La curva di Peano dell
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Page 626 and 627: matematica veniva presentata come u
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Page 632 and 633: Per ovviare a questa difficoltà Ru
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Page 640 and 641: una giustificazione logica della ma
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Page 648 and 649: ente cosiddetta dell’intuizionism
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Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

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