Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

possono essere ugualmente utilizzati per dimostrare il teorema. Prendiamo
dunque un sistema, che chiamiamo PA (Aritmetica di Peano) e definiamolo
indicando i segni da utilizzare, le formule, le regole di derivazione e gli assiomi
usati.
• Segni. Abbiamo bisogno, prima di tutto, di segni che ci permettano
di descrivere i numeri naturali e di parlare delle operazioni su di essi.
Dunque introduciamo “0” (lo zero), “s” (successore di), “+”(addizione),
“×” (moltiplicazione), “(”, “)” (parentesi), “=”(uguale).
Per formulare delle proposizioni abbiamo, però, bisogno anche di connettivi
logici: “&” (la congiunzione), “∨” (la disgiunzione), “¬” (la
negazione), “→” (l’implicazione), “∀” (il per ogni), “∃” (l’esiste).
Ci servono dei simboli che rappresentino dei numeri (in pratica delle
variabili numeriche) e altri che, invece, rappresentino delle formule. Indichiamo
i simboli per rappresentare i numeri con le lettere minuscole
“x”, “y”, “z”, ecc... Indichiamo i simboli per rappresentare le formule
con le lettere greche “φ”, “ψ”, “ϕ”, ecc...
• Formule. Le formule sono combinazioni di simboli accettabili nel sistema.
Dunque rispettano le regole formali legate ai simboli (per esempio
il segno + deve essere seguito e preceduto da numeri). Vale la regola che
se φ e ψ sono formule, allora anche ¬φ, φ&ψ, φ ∨ ψ e φ → ψ lo sono.
Espressioni come “φ∨”, oppure “φ¬ψ” invece non sono formule, perché
manca un termine nel connettivo logico oppure due termini sono legati
da un operatore (la negazione) che prende un solo argomento e non può
essere usato come connettivo.
• Regole di derivazione. Sono le regole che ci permettono di ottenere
una formula da una o più formule che sono assiomi o a loro volta sono
state ottenute dagli assiomi.
Una prima regola è quella della sostituzione. Ad esempio, se abbiamo
precedentemente ottenuto la formula “φ → φ”, possiamo sostituire le
formula φ con ψ ∨ ϕ e ottenere una nuova formula: “(ψ ∨ ϕ) → (ψ ∨
ϕ)”. Un’altra regola che inseriamo nel nostro sistema è quella del modus
ponens, cioè date le formule “φ” e “φ → ψ”, possiamo dedurre la formula
“ψ”.
Si può introdurre ora anche il concetto di dimostrazione all’interno del
nostro sistema. Una dimostrazione altro non è che una sequenza finita di
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