Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

In pratica Sost(m, n, p) rappresenta il numero di Gödel della formula che
si ottiene sostituendo, all’interno della formula con numero di Gödel m, la
variabile con numero di Gödel n con il numerale p. 3
Naturalmente è possibile, usando Sost, sostituire all’interno di una formula
il suo stesso numero di Gödel. Per esempio scrivendo Sost(m, 31, m), si
sostituisce nella proposizione con numero di Gödel m, al posto della variabile
y (che ha numero di Gödel 31) il numerale m. 4
19.3.3 Io non sono dimostrabile
Si è visto che la formula ∀x(¬Dim(x, m)) indica che la formula con numero
di Gödel m non è dimostrabile all’interno del sistema e che la funzione
Sost(y, 31, y) restituisce il numero di Gödel della formula ottenuta sostituendo
nella formula con numero di Gödel y, la variabile y con il numerale y.
Scriviamo dunque la seguente formula, che indicheremo con (G):
∀x(¬Dim(x, Sost(y, 31, y)))
Il significato di tale formula è che non esiste una dimostrazione per la
formula con numero di Gödel y a cui ho sostituito, ad ogni occorrenza della
variabile y, il numerale y.
Questa formula (G), essendo esprimibile con i simboli base del nostro sistema,
ha un suo numero di Gödel, che indichiamo con n. Si tratta sicuramente di
un numero molto grande, ma a noi basta sapere che esiste.
Veniamo ora al punto chiave della questione. Vogliamo sostituire all’interno
della formula (G) la variabile y con il numerale n (cioè quello corrispondente
al numero di Gödel proprio di (G)). Per come è definita Sost, il numero di
Gödel della proposizione ottenuta da questa sostituzione è Sost(n, 31, n).
E la formula è la seguente (la chiamiamo (γ)):
3 Diamo una breve distinzione tra numero e numerale. Un numerale è un segno. Un
numero è invece qualcosa a cui il numerale dà un nome. All’interno della funzione Sost
dobbiamo allora usare un numerale e quindi una stringa del tipo sss...s0 quando si effettua
la sostituzione.
4 In realtà non sarebbe possibile costruire in questo modo funzioni all’interno di un simile
sistema, in quanto non sono esprimibili con i simboli visti. Sarebbe più appropriato considerare
la relazione tra numeri Sost(m, n, p, t) che rappresenta: t è numero di Gödel della
formula ottenuta sostituendo all’interno all’interno della formula con numero di Gödel m, la
variabile con numero di Gödel n con il numerale p. Per rendere più semplice la comprensione,
continuiamo comunque a considerarla una funzione.
661