C2. Introduzione alla cinematica del moto in una dimensione - Infn

C2. Introduzione alla cinematica del moto in una dimensione
Legge oraria di un punto materiale che si muove su una retta
Come già discusso, la legge oraria di un punto materiale che si muove su una retta è
la funzione che assegna, ad ogni istante t, il corrispondente valore dell’ascissa x del
punto P.
Il diagramma di moto in figura dà una rappresentazione minimale della legge oraria
di un punto che all’istante t1 si trova nella posizione x1 e, nell’istante t2, nella
posizione x2. Con il simbolo t1 si intende sempre indicare un istante di tempo che
precede t2. Lo schizzo indica dunque che il punto materiale si muove verso destra.
Formalmente, la legge oraria si può indicare come
x = f(t)
oppure anche
x = x(t)
La legge oraria può essere determinata sperimentalmente come segue. Fissata un’origine O sull’asse delle x, si fa partire
il cronometro nell’istante in cui P passa in O. Se si fa questa scelta, si dirà che la posizione iniziale è 1
x(0) = xo = 0
Nella relazione x = x(t), inoltre, si avrà:
t < 0 per gli istanti di tempo precedenti al passaggio di P per l’origine;
t > 0 per gli istanti di tempo seguenti al passaggio di P per l’origine.
Ovviamente, se il moto è iniziato all’istante t = 0, i valori t < 0 vanno esclusi completamente dalla descrizione, sia negli
aspetti matematici che nei grafici.
Intervallo di tempo e spostamento
La più semplice rappresentazione di una legge oraria è in forma di tabella. In effetti, questa è la forma in cui si
presentano sempre i dati di x e t raccolti sperimentalmente.
Si consideri la legge oraria x = x(t), corrispondente allo schizzo precedente, assegnata attraverso una tabella del tipo:
t (s) x (m)
0 0
… …
t1
t2
x1
x2
… …
1 Si faccia attenzione ai simboli: x(0) si legge “x di zero” e significa “x valutata all’istante 0”; xo si legge “x con zero”
ed è un simbolo di convenienza, che indica un certo valore costante. L’equazione x(0) = xo significa: x, all’istante zero,
ha valore pari alla costante xo.

La differenza
∆t
= t − t
2
1
indica il tempo trascorso perché il punto si sposti da x1 a x2 . ∆t prende il nome di intervallo di tempo.
Analogamente, la differenza
∆x
= x − x
2
1
rappresenta il cammino percorso tra gli istanti t1 a t2. ∆x prende il nome di
spostamento.
Rappresentazioni della legge oraria
Come ogni funzione, la legge oraria può essere rappresentata in forme diverse: Le determinazioni sperimentali portano
alla costruzione di tabelle; dalle tabelle possono essere ottenuti grafici nel piano x-t, nei quali a ogni coppia di
determinazioni sperimentali (t, x) è associato un punto.
t (s) x (m)
0 0
1 1
2 4
3 9
4 16
In alternativa, sulla base di modelli teorici o fenomenologici si ottengono
relazioni algebriche o espresse da funzioni elementari 2 che esprimano la funzione
x(t); da tali rappresentazioni, possono essere poi ottenuti grafici a tratto continuo
nel piano x-t.
Il grafico a fianco è la rappresentazione della funzione
2
x = k t , con k = 1 m s -2 .
2 Più in generale, si richiede che la legge oraria sia una funzione continua e derivabile almeno due volte. In modo
sintetico, nel seguito una tale funzione sarà detta “regolare”.

Velocità media
La velocità media è il rapporto tra lo spostamento ∆ x = x2
− x1
e il tempo impiegato dal punto materiale per spostarsi,
∆ t = t − t :
v
m
2
1
∆x
x
= =
∆t
t
2
2
− x
− t
1
1
Dalla definizione segue l’unità di misura che nel SI è attribuita alla velocità:
[ v ]
m
=
[ ∆x]
[ ∆t]
=
m
s
=
m s
−1
La definizione indica il significato fisico 3 della velocità media: essa è pari allo spostamento compiuto del punto
materiale nel tempo unitario.
Il segno della velocità media si interpreta come segue. Poiché t = t2
− t1
∆ x = x − x ; quindi si ha:
2
1
vm > 0 → x2 > x1
Il punto si sposta nella direzione delle ascisse curvilinee
vm < 0 → x2 < x1
Il punto si sposta nella direzione opposta alle ascisse curvilinee
∆ > 0 , il segno di vm è uguale al segno di
3 La dizione “significato fisico” assume un significato convenzionale, spesso usato per interpretare i rapporti. In questo
caso, si vuole intendere che la velocità media è numericamente uguale al numeratore (lo spostamento) se il
denominatore è pari a 1 (tempo unitario).

Significato geometrico della velocità media nel piano x-t
La definizione di velocità media ha un semplice significato geometrico
nel piano x-t. Per introdurre il concetto, si faccia riferimento al grafico
sperimentale presentato precedentemente.
La retta in azzurro interpola il grafico tra i punti (t1, x1) e (t2, x2).
L’equazione della retta 4 ed il suo coefficiente angolare sono:
x − x1
x − x
2
1
t − t1
=
t − t
2
1
;
x
m =
t
2
2
− x1
− t
1
Ne segue che la velocità media è il coefficiente angolare della retta che
passa per i punti (t1, x1) e (t2, x2).
Sulla stessa retta giace il segmento che unisce i punti (t1, x1) e (t2, x2). Tale segmento è l’ipotenusa del triangolo che ha
cateto orizzontale di lunghezza ∆t e cateto verticale di lunghezza ∆x.
Il rapporto tra la lunghezza dei cateti, in base alle regole della trigonometria, è pari alla tangente dell’angolo alla
base θ:
∆x
= tg θ
∆t
Sia ragionando in termini di coefficiente angolare, che di angolo θ, si
conclude che la velocità media è legata alla pendenza della retta
interpolante tra i punti (t1, x1) e (t2, x2).
A una velocità media maggiore corrisponde una maggiore pendenza
della retta interpolante. Nel grafico a fianco, dette v la velocità media
tra gli istanti t1 = 1 s e t2 = 2 s ; v’ la velocità media tra gli istanti t3 = 3
s e t4 = 4 s , si ha v1 > v2.
Con argomenti simili, si verifica che i tratti orizzontali corrispondono a velocità media nulla; quelli inclinati verso
l’alto, a velocità media positiva; quelli inclinati verso il basso, a velocità media negativa.
L’esempio riportato di seguito associa il grafico di una semplice legge oraria alla rappresentazione della posizione del
punto materiale, ad istanti successivi, nel sistema di riferimento posto sulla retta.
4 Per scrivere l’equazione della retta con le solite regole della geometria analitica, si operino le sostituzioni x→t e y→x.

Velocità media e media delle velocità
Si faccia attenzione a non confondere la nozione di velocità media vm con la
media aritmetica delle velocità v , definita come è v
v + v'
= . Se gli
2
intervalli di tempo considerati sono diversi, vm ≠ v .
Nel grafico a fianco, ad esempio, la velocità media tra gli istanti to = 0 e t1 = 2
s è v = 1 ms -1 ; tra gli istanti t2 = 2 s e t3 = 3 s è v’ = -1 ms -1 ; quindi v = 0.
D’altronde, la velocità media tra gli istanti to e t3 è evidentemente diversa da
zero.
Velocità istantanea
x 2 − x1
La velocità media vm
= , come si evince dalla definizione, dipende esclusivamente dai valori:
t 2 − t1
a) dell’istante iniziale t1 e della posizione corrispondente x1;
b) dell’istante finale t2 e della posizione corrispondente x2.
Ciò implica che vm non sia minimamente influenzata da come il punto
materiale si muove tra gli istanti t1 e t2.
Nel grafico a fianco, la velocità media tra gli istanti t1 = 0 e t2 = 6 s è zero.
Ciò non implica affatto che il punto materiale sia stato fermo! Infatti, esso si è
spostato nella direzione positiva dell’asse x per 3 s, per poi tornare indietro.
Ovviamente la velocità media, calcolata su intervalli di tempo più piccoli, si
rivelerebbe positiva fino a t = 3 s, negativa in seguito.
Per ovviare alla mancanza di informazione su ciò che realmente accade tra
istante iniziale e finale, è vantaggioso prendere in considerazione intervalli di
tempo più piccoli possibile.
Nella prima costruzione riportata a fianco, è mostrato graficamente come
cambia la valutazione della velocità media se si prendono istanti t2 via via più
prossimi all’istante t1.
Il secondo grafico mostra in dettaglio come aumenti l’informazione quando si
prendono in considerazione intervalli più piccoli, permettendo nel caso in
esame di determinare le velocità medie v1… v4 e di riconoscere che sono via
via crescenti; in altri termini, il punto materiale sta accelerando. La singola
valutazione di vm non permetterebbe di constatare questa circostanza.

Su base sperimentale, il minimo intervallo di tempo che può essere utilizzato dipende dalla strumentazione e dal
procedimento di misura; gli intervalli di tempo considerati saranno dunque piccoli, ma comunque finiti.
La cosa cambia se la legge oraria è rappresentata da una funzione regolare. In questo caso, si può calcolare la posizione
x2 in qualunque istante t2 nell’intorno di t1, a differenza di quanto accade per le determinazioni sperimentali. E’ allora
possibile partire dalla definizione di velocità media e considerarne il limite per ∆t → 0 .
Questa operazione definisce la velocità istantanea v del punto materiale 5 :
v
∆x
t
= lim
∆t→0
∆
Significato geometrico della velocità istantanea nel piano x-t
Dal punto di vista fisico, la definizione di v sottintende una
procedura nella quale si calcoli la velocità media su intervalli di
tempo sempre più piccoli, mantenendo il primo estremo
dell’intervallo fissato.
In modo più esplicito, la velocità v all’istante t1 si può indicare
dunque così:
v
( t )
1 = lim
t2→t
1
x
t
2
2
− x1
− t
1
Anche la definizione di velocità istantanea ha un semplice significato geometrico nel piano x-t.
La velocità media è il coefficiente angolare della retta secante il grafico della legge oraria in due punti.
Al variare di t2, la retta interseca il grafico in due punti sempre più prossimi. Intuitivamente è chiaro che, nel limite, la
retta debba intersecare il grafico in due punti coincidenti.
Se ne deduce che:
La velocità istantanea v(t1) rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla legge oraria nell’istante t1.
5 Nel seguito v sarà indicata semplicemente come velocità, omettendo l’aggettivo “istantanea”.

Calcolo della velocità istantanea
La definizione di velocità istantanea può essere riesaminata nei termini dell’analisi matematica. A tale scopo, si ricordi
che, per una funzione x = f(t):
a) la quantità ∆t = t2 – t1 prende il nome di incremento della variabile indipendente t;
b) la quantità ∆x = x2 – x1 prende il nome di incremento della funzione;
∆x
x 2 − x1
c) il rapporto = prende il nome di rapporto incrementale;
∆t
t − t
d) il limite
lim
t2 →t1
x
t
2
2
2
− x
− t
1
1
1
=
lim
∆t→0
∆x
è la derivata della funzione x = f(t) , calcolata all’istante t1.
∆t
Pertanto, introducendo nella definizione di velocità il simbolo della derivata, si ha:
dx
v =
dt
Più che come definizione di velocità, questa equazione va vista come l’algoritmo di calcolo che permette di risolvere il
problema della determinazione della velocità, una volta che sia nota la legge oraria. Precisamente, calcolando la
derivata della legge oraria, si determina la funzione v = v(t).
Accelerazione media
Nel linguaggio corrente, il termine accelerazione è associato a un aumento di velocità. In Fisica, si dice che il punto
materiale accelera, o che subisce un’accelerazione, tanto se la sua velocità aumenta, quanto se essa diminuisce.
Per definizione, l’accelerazione media è il rapporto tra la variazione di velocità ∆ v = v2
− v1
e il tempo impiegato dal
punto materiale per ottenere tale variazione, ∆ t = t 2 − t1:
a
m
∆v
v
= =
∆t
t
2
2
− v
− t
1
1
Dalla definizione segue l’unità di misura che nel SI è attribuita all’accelerazione:
[ a ]
m
=
[ ∆v]
[ ∆t]
m
= =
2
s
m s
−2
Il significato fisico di accelerazione media è il seguente: am è pari alla variazione della velocità del punto materiale nel
tempo unitario.

Accelerazione istantanea
L’accelerazione media presenta limiti e inconvenienti del tutto simili a quelli della velocità media. Si definisce quindi
l’accelerazione istantanea 6 :
a
lim
∆v
t
=
∆t→0
∆
;
a =
dv
dt
Accelerazione media e accelerazione istantanea rappresentano, rispettivamente, il coefficiente angolare di una retta
secante e della retta tangente al grafico della funzione v = v(t), come mostrato dai grafici in basso.
Significato del segno dell’accelerazione
Per analizzare il significato del segno, conviene considerare l’accelerazione media am. Supponendo che sia sempre
t = t − t
∆ v = v − v .
∆ 2 1>
0 , il segno di am resta uguale al segno di 2 1
La situazione è comunque un po’ più complicata rispetto al caso della velocità; esistono infatti 4 diverse possibilità,
come si vede dalla tabella seguente.
6 Nel seguito a sarà indicata semplicemente come accelerazione, omettendo l’aggettivo “istantanea”.

1) Il punto si muove nella direzione positiva dell’asse delle ascisse; quindi v1 , v2 > 0.
a)
v2 > v1
↓
am > 0
b)
v2 < v1
↓
am < 0
2) Il punto si muove nella direzione negativa dell’asse delle ascisse; quindi v1 , v2 < 0.
c)
v2 > v1
↓
am > 0
d)
v2 < v1
↓
am < 0
Dall’analisi dettagliata delle quattro situazioni, si può concludere che è utile studiare il segno del prodotto v am:
− se il segno è positivo, il corpo va sempre più in fretta (cioè, il valore assoluto di v aumenta);
− se il segno è negativo, il corpo rallenta (cioè, il valore assoluto di v diminuisce).

Analisi comparata dei grafici x(t), v(t), a(t)
Partendo dalla legge oraria, come precedentemente discusso, si possono determinare tanto la velocità, quanto
l’accelerazione, in ogni istante. Nel seguito sono riportati due esempi. Nel primo, il calcolo procede dai dati di una
tabella sperimentale; nel secondo, da una relazione matematica.
a) Nella tabella a fianco, le prime due colonne rappresentano
determinazioni sperimentali della posizione di un punto materiale
in certi istanti di tempo.
La colonna delle velocità è costruita utilizzando la definizione di velocità media. Ad esempio, ponendo to = 0,
x1
− xo
−1
t1 = 1 s; xo, x1 le posizioni corrispondenti; si trova vo
= = 1 m s . A quale istante di tempo attribuire
t1
− to
questo valore di velocità? La scelta fatta nella tabella è stata di allineare vo all’istante to, e così via per gli altri dati;
le freccette rosse indicano la corrispondenza tra le coppie (t, x) e le corrispondenti velocità calcolate. Tuttavia,
considerando che la velocità media è caratteristica di tutto l’intervallo di tempo compreso tra to e t1, sarebbe stato
altrettanto corretto allineare vo all’istante t1, o creare una nuova tabella in cui vo è allineata a un qualunque altro
istante compreso tra to e t1.
In ogni caso, da n coppie (t, x) si ricavano (n-1) dati di velocità.
Procedendo in modo simile, dalle coppie (t, v) si calcolano le accelerazioni medie, collocate in tabella secondo lo
schema indicato dalle freccette rosse (ancora una volta, non univoco). Ripercorrendo all’indietro le freccette, si vede
che per determinare un valore di accelerazione sono richieste 3 coppie (t, x).
Da n coppie (t, x) si determinano n-2 valori di accelerazione.

) A titolo di esempio, si consideri la legge oraria data
dall’equazione:
x = A e
t
−
τ
Come si vede dal diagramma a fianco, questa legge oraria descrive
il moto di un punto che si muove nel verso negativo dell’asse x.
Funzioni esponenziali di questo tipo occorrono nella descrizione di
fenomeni fisici molto diversi tra loro.
Il grafico della legge oraria ha l’andamento riportato a destra.
Si noti che le costanti A, τ hanno unità di misura date rispettivamente
da [A] = m , [τ] = s.
Il significato fisico di A si determina osservando che per t = 0
l’esponenziale vale 1, sicché x(0) = A; pertanto A rappresenta la
posizione iniziale del punto materiale.
Il significato fisico di τ si determina osservando che per t = τ,
1
l’esponenziale vale e
3
1 −
1
≈ , sicché x( τ ) ≈ A . Analogamente,
3
1
1
x( 2τ
) ≈ A ; x( 3τ
) ≈ A ecc.
9
27
Il coefficiente τ prende il nome di costante di tempo, o tempo
caratteristico.
La velocità è la derivata della legge oraria:
dx A
v = = − e
dt τ
t
−
τ
L’accelerazione, a sua volta, è la derivata della velocità:
= =
2
τ
e
dv A
a
dt
t
−
τ
I grafici di v(t), a(t) sono ancora di tipo esponenziale, come mostrato in figura. Come si poteva anticipare dal
diagramma del moto, la velocità è sempre negativa. L’accelerazione, sempre positiva, ha un effetto frenante (il
prodotto a v è negativo).
E’ interessante porsi questa domanda: dopo quanto tempo si ferma il punto materiale?
Dall’analisi della funzione v(t), si vede che la velocità non è mai esattamente nulla. Tuttavia, se si attende un tempo
pari a 2 o tre volte la costante di tempo τ, la velocità diventa molto piccola. Spesso ci si esprime dicendo che il
punto si ferma in un tempo caratteristico τ.

Si faccia attenzione alle associazioni qualitative che emergono dal confronto tra i grafici:
crescenza, decrescenza del grafico x(t) velocità positiva, negativa
crescenza, decrescenza del grafico v(t) accelerazione positiva, negativa
convessità, concavità del grafico x(t) accelerazione positiva, negativa
Costruzione qualitativa dei grafici v(t) e a(t) a partire dalla legge oraria
Le associazioni precedentemente riscontrate sono fondamentali tanto per la corretta interpretazione qualitativa dei
grafici, quanto per la costruzione qualitativa del grafico della velocità a partire dal grafico della legge oraria (cioè,
senza conoscere le espressioni funzionali, ma esclusivamente su base grafica), e del grafico dell’accelerazione a partire
da quello della velocità.
Per costruire qualitativamente il grafico della velocità si procede così:
a) Si costruisce il diagramma per la v(t) sulla stessa verticale di quello
della x(t), con gli stessi estremi e la stessa scala dei tempi, aiutandosi
con le linee tratteggiate in nero.
b) Si riportano le linee in blu, a partire dai massimi e dai minimi della
legge oraria.
Con l’aiuto di queste linee si individuano le zone (segnate in azzurro chiaro
nel grafico della legge oraria) in cui x(t) è una funzione crescente
(significato fisico: il punto materiale si muove nel verso positivo dell’asse).
Negli intervalli di tempo corrispondenti, la velocità deve essere positiva.
Quando x(t) è decrescente, la velocità deve essere negativa; infine, nei
massimi e minimi la velocità è nulla.
Con questo criterio, si eliminano le regioni a tratteggio blu scuro dal grafico
della v(t) e se ne traccia il grafico probabile.
Per costruire qualitativamente il grafico dell’accelerazione:
a) Si costruisce un terzo diagramma sulla stessa verticale, con gli stessi
estremi e la stessa scala dei tempi.
b) Si riportano le linee in verde, a partire dai massimi e dai minimi della
velocità (e dai flessi della legge oraria).
Con l’aiuto di queste linee si individuano le zone (segnate in giallo chiaro
nel grafico della velocità) in cui v(t) è una funzione crescente. Negli
intervalli di tempo corrispondenti, l’accelerazione deve essere positiva.
Quando v(t) è decrescente, l’accelerazione deve essere negativa; infine,
nei massimi e minimi l’accelerazione è nulla.
Con questo criterio, si eliminano le regioni a tratteggio verde scuro dal
grafico della a(t) e se ne traccia il grafico probabile.
Si noti che, nei grafici qualitativi, l’asse verticale non riporta le scale, in considerazione del fatto che le funzioni non
sono state valutate in modo quantitativo.