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C9. Cinematica del moto vario #2
Il vettore accelerazione nel moto vario
Nei diagrammi seguenti è ripresa l’osservazione che nel moto vario sono diverse da zero tanto l’accelerazione
r r r
tangenziale quanto l’accelerazione centripeta. Per la corretta interpretazione, si ricordi che a // ∆ v = v2
− v1
.
Nel disegno a sinistra, v2 > v1; in quello a destra, v2 < v1.
Accelerazione tangenziale e accelerazione angolare
L’espressione dell’accelerazione tangenziale può essere scritta in modo diverso, se si ricorda che la relazione v = ω r
vale anche nel moto vario, a patto che r rappresenti il raggio di curvatura. Si ha dunque:
a t
=
dv
dt
=
d
dt
( ω r)
dω
= r
dt
dω
Il termine prende il nome di accelerazione angolare α:
dt
dω
=
dt
α ; at = r α
L’unità di misura di α è [α] = s -2
In base alla definizione e alle proprietà di ω, il segno di α è determinato come segue:
− se il punto si muove sempre più rapidamente in verso antiorario, α > 0 ;
− se il punto si muove sempre più lentamente in verso antiorario, α < 0 ;
− se il punto si muove sempre più rapidamente in verso orario, α < 0 ;
− se il punto si muove sempre più lentamente in verso orario, α > 0 ;
Si può studiare allora il segno del prodotto α ω:
α ω > 0 → la velocità angolare aumenta
α ω < 0 → la velocità angolare diminuisce

In tabella, le relazioni cinematiche del moto vario sono poste a confronto con quelle del moto rettilineo. 1
velocità
accelerazione
Il moto circolare uniformemente accelerato
Moto rettilineo Moto vario
dx
v =
dt
r
v = v tˆ
v r ds
= ; v = ω r
dt
a a t tˆ ac
nˆ + =
dv
a =
dt
dv
dt
r
2
v
2
ac
= ; ac
= ω
r
a t = ; at = α r r
Per definizione, nel moto circolare uniformemente accelerato è costante l'accelerazione angolare: α = αo.
Da questa condizione, seguono le relazioni cinematiche espresse per le variabili angolari 2 :
θ =
= ω
1
2
α
α = α
α
o
o
o
t
2
t ω +
+ ω
o
t + θ
o
Moltiplicando membro a membro per r le equazioni precedenti, si ha:
1 2
s = ao
t + vo
t + s
2
v = a t + v
at = ao
o
o
o
− Il simbolo ao = r αo indica il valore costante dell’accelerazione
tangenziale;
− L’accelerazione vettoriale a r non è costante. Infatti, solo la
componente tangenziale è costante; la componente centripeta è
proporzionale a v 2 e, dunque, varia nel tempo:
a
c
2
v
=
r
=
( v + a t)
o
r
o
2
1 L’espressione dell’accelerazione centripeta, determinato per il caso del moto circolare uniforme, vale anche nel caso
di un moto vario (cioè, quando la velocità angolare non è costante).
2 Tecnicamente, le relazioni per le variabili angolari sono ottenute integrando la relazione α = αo. Però, è utile ancora
una volta ragionare in modo induttivo, per confronto con le equazioni del moto rettilineo uniformemente accelerato.