Correnti a pelo libero - I blog di Unica

HEC-RAS
Il software HEC-RAS è stato sviluppato dall’Hydrologic Engineering
Center dell’US Army Corps of Engineers.
Hydraulic Reference Manual SCHEMA 1D
Moto permanente
Moto vario

Supercritical
Subcritical
Tim McCabe, IA NRCS
Subcritical
Critical
Hydraulic Jump
Supercritical
Subcritical
Critical
Hydraulic Jump
Subcritical

HEC-RAS
Eq. energia meccanica
WS (water surface) la quota della superficie libera,
WS=Y+Z, con Y quota del pelo libero rispetto al punto più
profondo della sezione (invert) e Z quota di quest’ultimo
rispetto alla linea di riferimento (datum) e Δhe le perdite di
carico continue e localizzate per allargamento o
restringimento di sezione
WS

WS
HEC-RAS
Δhe

Sf rappresenta la pendenza della linea dei carichi totali (friction
slope) = j nel tratto, lungo L, fra le due sezioni 2 e 1, valutata con
una delle 4 formule opzionali
Per le perdite di carico localizzate per allargamento e restringimento
di sezione sono consigliati valori del coefficiente c pari a 0.1 ÷ 0.2
nel caso di corrente rapida, mentre per moti subcritici:

La quota
idrometrica WS
incognita è
determinata
risolvendo col
metodo della
secante
l’equazione del
bilancio
energetico.

HEC-RAS usa integrazione
standard step
Esempio direct step:

Profili di moto permanente determinati da HEC-RAS in
regime misto (linea continua), in regime di corrente lenta
(linea con triangoli) e in regime di corrente rapida (linea
con cerchi); i tratti in cui questi ultimi due profili
concidono con l’altezza critica non sono accettabili.
Il profilo corretto è quello a cui corrisponde la spinta minima!

HEC-RAS

Schema 1D:
suddivisione
della sezione
media pesata
(rispetto alle
Q)dell’altezza
cinetica per
calcolare
l’energia
specifica della
sezione
HEC-RAS

HEC-RAS (come gli altri modelli 1D)
isotachie
Non può riprodurre
la distribuzione delle velocità
nelle sezioni né il profilo verticale
di velocità

HEC-RAS (come gli altri modelli 1D)
Non può riprodurre pattern di circolazione trasversale

HEC-RAS (come gli altri modelli 1D)
Non può riprodurre il comportamento di una CPL
dovuto alla presenza di una curva!!!
(vedi Marchi-Rubatta pag. 651 –658)
Correnti lente:
Sopraelevazione del pelo libero nella sponda esterna
e depressione in quella interna
Correnti veloci:
Situazione più complicata, corrente non “sente”
la presenza della curva, urta contro la parte esterna della
curva, si producono perturbazioni che si propagano verso
valle lungo la parete. Trattazione analitica più complessa
rispetto alle correnti lente
Possibile sormonto di un argine in curva!!!!

HEC-RAS
unsteady
flow

Incognite:2N
Equazioni (cont e
dinamica) : 2(N-1)
Condizioni al
contorno: 2
Idrogramma di
piena: Q(1,t) t>0

HEC-RAS

HEC-RAS

Moto vario nelle CPL
ESEMPI: Onde di piena generate da afflussi meteorici, dal crollo di
opere di ritenuta, onde create negli estuari dalle oscillazioni di
marea, onde prodotte artificialmente, in seguito a manovre sulle
paratoie delle luci di scarico.
Le onde dei moti a pelo libero possono essere classificate in base al
rapporto fra il tirante y e la lunghezza d’onda λ in
– onde di traslazione che si propagano in acque basse (shallow
water waves y/λ → 0) con disturbi estesi all’intera sezione
trasversale del corpo d’acqua, essendo associato alla
propagazione uno spostamento delle particelle liquide nella stessa
direzione;
– onde di oscillazione che si propagano in acque profonde (deep
water waves y/λ → ∞) con disturbi limitati esclusivamente agli
strati superficiali; le particelle liquide compiono delle traiettorie
chiuse o quasi chiuse, oscillando praticamente intorno a punti
fissi (onde del mare).

Onde di traslazione nei canali
– onde lunghe: (λ >> a e ) o λ >> (a + y ) aventi lunghezza
d’onda λ di gran lunga maggiore dell’ampiezza a (e del
tirante locale y = a+y o , essendo l’ampiezza a piccola o
grande rispetto al tirante indisturbato y o ); esse sono onde
che si propagano su fondali bassi, ossia con y/λ→ 0, moto
gradualmente variato, distribuzione idrostatica delle
pressioni lungo le sezioni trasversali al moto, sono
governate dalle eq di de Saint Venant
– onde a fronte ripido caratterizzate da una discontinuità del
pelo libero. Non possono essere studiate con le equazioni di
de Saint Venant, per la parte che comprende la
discontinuità occorre scrivere l’equazione di bilancio della
quantità di moto in forma integrale.

Modelli per la propagazione delle
onde di piena
Modelli idrologici: concettualizzazioni dei fenomeni fisici,
non rispettano rigorosamente le leggi, ossia le PDE, che
governano tali fenomeni. (es Metodo Muskingum (1938),
Metodo Cunge (1969))
Modelli idraulici: risolvono le equazioni differenziali
(derivanti dai principi fondamentali di conservazione della
massa e della quantità di moto o dell’energia).
Modelli 1D: eq di de Saint Venant, ma anche i modelli
cinematico e parabolico, dedotti trascurando solo alcuni
termini dell’equazione dinamica.

Schema 1D: equazioni per le
Eq continuità
Eq de Saint Venant
∂U
∂t
+ U
correnti (q e = q u = 0)
∂U
∂s
∂Q
∂s
+
g
+
∂y
∂s
∂Ω
∂t
−
Limiti di validità dello schema 1D
=
gi
f
0
+
gj
=
0

∂U
∂t
+ U
∂U
∂s
Eq de Saint Venant
acc acc effetto effetto eff.
locale convettiva pressione gravità resist.
+
g
∂y
∂s
−
gi
f
+
gj
=
0
Sistema completo
(onda dinamica)
Modello parabolico
(diffusivo) Trascuro
termini inerziali
Modello cinematico
(onda cinematica)
Trascuro termini inerziali
e gradiente della
pressione

Sistema completo
Riscritto in termini delle coppie di variabili (U,h)
o (Q,h)
Sistema di eq. alle derivate parziali:
- metodo delle equazioni caratteristiche
- metodi numerici diretti

Metodo delle caratteristiche

Metodo delle caratteristiche

Metodo delle caratteristiche

Metodo delle caratteristiche

Metodo delle caratteristiche

Modelli semplificati

∂Q
∂s
∂U
∂t
+
+ U
∂Ω
∂t
∂U
∂s
Modello cinematico
=
0
+
g
∂y
∂s
−
gi
Si trascurano i termini
inerziali e gradiente
della pressione
f
+
gj
il moto si assume rappresentabile attraverso una
successione lentamente variabile nello spazio e nel
tempo di moti localmente e istantaneamente uniformi
m
=
5
3
−
2
3
Ω
b
⎛
⎜
⎝
db
dΩ
⎞
⎟
⎠
≈
⎡3 ⎢
−
⎣2
5⎤
3⎥
⎦
=
0
i f =
Scala di delle
portate:
Relazione univoca tra Ω e Q
Q = kΩ
j
m

c
=
∂Q
∂t
∂Ω
∂Q
= −
∂t
∂s
∂Q
∂Q
+ c(
Q)
∂t
∂s
ds
= c(
Q)
dt
dQ = 0
Modello cinematico
dQ Q
= m = c(
Q)
= mU
dΩ
Ω
dQ ∂Ω
∂Ω
= = c(
Q)
dΩ
∂t
∂t
=
dall’equazione di continuità
0
Equazione caratteristica (unica perché
l’eq diff di de S.V. è stata sostituita con
una eq algebrica)
C indica la velocità di propagazione di uno stesso valore di portata

Modello cinematico
dQ Q
c = = m = c(
Q)
= mU
dΩ
Ω
∂Q
dQ ∂Ω
∂Ω
= = c(
Q)
∂t
dΩ
∂t
∂t
∂Ω
dQ ∂Ω
+ = 0
∂t
dΩ
∂s
∂Ω
∂Ω
+ c = 0
∂t
∂s
ds
= c
dt
dΩ
= 0
dall’equazione di continuità
Equazione caratteristica (unica perché
l’eq diff di de S.V. è stata sostituita con
una eq algebrica)
C indica la velocità di propagazione di uno stesso valore di
Ω

Modello cinematico
fase crescente della piena: la celerità
cresce e la pendenza delle linee
caratteristiche diminuisce convergenza
linee caratteristiche irripidimento del
fronte dell’onda;
fase decrescente della piena: la celerità
decresce e la pendenza delle linee
caratteristiche cresce, divergenza linee
caratteristiche appiattimento della coda
dell’onda.
Il procedimento cessa di essere valido a partire dalla prima sezione in cui
due linee caratteristiche si intersecano: qui dovrebbero verificarsi
simultaneamente due valori dell’area della sezione allo stesso istante.
Tale condizione corrisponde fisicamente al fatto che l’onda si è irripidita al
punto da presentare un fronte in cui la tangente è localmente verticale:
ciò equivale all’incipiente frangimento dell’onda.

Secondo il modello cinematico livelli idrici e portate si spostano
da una sezione ad un’altra, a valle, rimanendo inalterati.
L’onda si propaga senza attenuarsi, ma modifica la sua forma,
diventando il fronte sempre più ripido e la coda più piatta.

Modello cinematico
Importanza dell’eq cinematica di continuità
Il modello dell’onda cinematica riproduce il carattere propagatorio
delle onde di piena nei corsi d’acqua e la loro tendenza ad
irripidirsi nel corso della propagazione.
Il modello ha però forti limiti legati all’approssimazione
fondamentale su cui è basato: quella per cui il moto si assume
rappresentabile attraverso una successione lentamente variabile
nello spazio e nel tempo di moti localmente e istantaneamente
uniformi. Tale schema:
i) trasforma l’equazione del moto (che, nella forma completa, è
un’equazione differenziale) in un’equazione algebrica;
ii) trascura gli effetti del non parallelismo fra superficie libera e
fondo;
iii) trascura gli effetti dell’inerzia.

Modello cinematico
- l’approssimazione i) fa sì che il problema della
propagazione sia retto da un’equazione differenziale del I
ordine cui è possibile associare soltanto una condizione al
contorno, per esempio quella di monte (che assegna un
idrogramma nella sezione iniziale):
- non è possibile imporre anche una condizione al contorno
di valle, tener cioè conto del fatto che a valle possono
esistere vincoli che influenzano il fenomeno della
propagazione (per esempio, la presenza del mare che può
imporre un livello fissato della superficie libera o una sua
oscillazione forzata dalla marea);
- rimuovendo l’approssimazione ii) si ha un effetto di
attenuazione dell’onda

Modello parabolico (o diffusivo)
∂Q
∂s
∂U
∂t
+
+ U
∂Ω
∂t
=
∂U
∂s
0
+
g
∂y
∂s
Si trascurano i termini inerziali
Approssimazione valida per la maggior parte
delle condizioni della corrente in presenza di
onde di piena in corsi d’acqua naturali.
−
gi
f
+
Combinando le due eq si ottiene un’equazione differenziale alle derivate
parziali (PDE) del 2° ordine in una sola variabile dipendente
vantaggi nella risoluzione numerica
In tale equazione la distribuzione spaziale delle caratteristiche
geometriche e di scabrezza di un corso d’acqua sono aggregate in due
parametri globali, la celerità di propagazione ed il coefficiente di
diffusione
Questi parametri compaiono nella PDE del 2° ordine che viene
denominata ADE (advective-diffusive equation) modello diffusivo!
gj
=
0

Modello parabolico (o diffusivo)
La PDE del 2° ordine è di tipo parabolico:
un piccolo disturbo introdotto in una sezione si propaga
immediatamente sull’intero fiume con celerità infinita e non uguale a
gy come succede nella realtà.
U +
m
Questa approssimazione discende dalle ipotesi di base del modello
parabolico, per ricavare il quale si sono trascurati i termini inerziali
dell’equazione dinamica.

Modello parabolico: Il cappio di piena
In moto vario la relazione fra portata Q e tirante h non è più univoca
come nel moto uniforme (scala delle portate), ma assume un
andamento tipico a cappio, più o meno largo secondo la ripidità
dell’onda:
mostra che, durante il fluire del fronte dell’onda, è Q > Q*
essendo j> if , mentre, durante il passaggio della coda, essendo j
< if , si ha Q

y
Modello parabolico: Il cappio di piena
Scala delle portate a cappio in una
sezione con indicazione delle
situazioni di massimo locale della
pendenza motrice (A), della velocità
(B), della portata (C) e dell’area
liquida (D).
Il punto E, intersezione del cappio con
la scala delle portate del moto
uniforme, indica che Q = Q* ossia la
pendenza motrice j coincide con quella
del fondo if .
Nella sezione considerata le coppie (Q, h) si succedono nel verso
antiorario, poiché, quando fluisce il fronte, si verificano valori Q
maggiori di Q* e viceversa, quando fluisce la coda dell’onda.
Il cappio di piena è percorso in senso antiorario