Serenus von Antissa über den Schnitt des ... - Wilbourhall.org

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1. Wenn die Durchmesser zweier gleichen und parallelen Kreise beständig parallel bleiben,während sie in den Ebenen ihrer Kreise um ihren unbewegten Mittelpunkt herumgeführt werden, undwenn zugleich mit ihnen eine gerade Linie, welche die an einerlei Seite liegenden Endpunkte derselbenverbindet, herumgeführt wird,bis die Durchmesser ihre erste Stelle wieder erhalten haben: so soll dievon der herumgeführten geraden Linie bescliriebene Fläche eine cylindrische Fläche (Cylindermantel)heissen. Sie kann ins Unendliche erweitert werden, in so fern ihre beschreibende gerade Linie insUnendliche verlängertwird.2. Cylinder aber soll der körperliche Raum heissen, welcher von den parallelen Kreisenund dem zwischen ihnen enthaltenen Cylindermantel umschlossen wird.3. Grundflächen des Cylinders heissen jene Kreise.4. Axe aber die gerade Linie, welche durch ihre Mittelpunkte gezogen ist5. Seite des Cylinders heisst eine gerade Linie, welche in dem Mantel des Cylinders sich befindetund beide Grundflächen trifft. Wir sagen auch, dass sie herumgeführt den Cylindermantelbeschreibe.6. Unter den Cylindern heissen diejenigen gerade, deren Axe senkrecht auf den Grundflächensteht.7. Schief aber heissen die, deren Axe nicht senkrecht auf den Grundflächen steht.Nach Apollonius sindauch folgende Erklärungen aufzustellen.8. Bei jeder krummen Linie in einer Ebene soll Durchmesser eine gerade Linie heissen,welche von der krummen ausgehend alle innerhalb derselben parallel mit einer geAvissen Linie gezogenengeraden Linien in Hälften theilt.9. Scheitel der krummen Linie heisse das Ende dieser geradenLinie in der krummen.10. Von jeder der Parallelen sagt man, sie sei als Ordinate zu dem Durchmesser gezogen.11. Conjugirte Durchmesser sollen diejenigen heissen, welche von der Curve ausgehend undzu einander als Ordinaten gezogen, sich gegenseitigin Hälften theilen.12. Wenn man solche Curven auch In den Querschnitten des Cylinders sich vorstellt, so sollder Halbtheilungspunkt des Durchmessers Mittelpunkt des Schnittes heissen.13. Die Linie aber vom Mittelpunkte bis zur Curve heisse Halbmesser der Curve.14. Eine Linie aber, welche durch den Mittelpunkt einer Curve parallel einer Ordinate geführtund von der Curve begränzt Ist ,heisse zweiter Durclunesser. Es wird nämlich bewieset! werden, dasser alle in dem Schnitt parallel dem Durchmesser gezogenen Linien In Hälften theilt.15. Endlich sei auch die Erklärung vorausgeschickt, dass ähnliche Ellipsen diejenigen sind,deren conjugirte Durchmesser einander proportlonlrt sind, und sich unter gleichen Winkeln schneiden.
Satz LWenn zwei gerade sich treffende Linien zwei geraden sich treffenden parallel und gegenseitigpaarweise gleich sind, so sind die Verbindungslinien ihrer Endpunkte auch selbst gleich und parallel.Es sei AB^DE, BCÊF und man ziehe AC, DF, ich behaupte, es sei AC^^DF. F. 1.Man ziehe die verbindenden ^D, BE, CF. Da nun AB^DE, so ist BEÂJ). Eben soist aber auch CF^BE, folglich AD^CF und mithin auch AC^DF.Satz 2.Wenn ein Cylinder von einer Ebene durch die Axe geschnitten wird, so wird der Schnitt einParallelogramm sein.Es sei ein Cylinder ,dessen Grundflächen , die Kreise um die Mittelpunkte A, B, dessen Axe F. 2.aber die gerade AB ist, und durch AB sei eine den Cylinder schneidende Ebene gelegt, so wird siein den Kreisen die geraden CD, EF als Durchmesser, in dem Cylindermantel die Linien EGC, FDbilden ; ich behaupte, dass jede der beiden Linien EGC, DF eine gerade sei.Denn, wenn möglich, so seien sie nicht gerade und es sei die gerade Verbindungslinie EHCgezogen. Da nun die Linie EGC und die gerade EHC sich in der Ebene ED befinden und in denPunkten E, C zusammentreffen, auch die Lfaiie EGC in dem Mantel des Cylinders sich befindet, sowird die gerade EHC nicht in dem Mantel des Cylinders sein. Da nun die Kreise A, B gleich undparallel sind, und Ton der Ebene ED geschnitten werden, so sind ihre Durchschnittslinien parallel;auch sind sie gleich, denn sie sind Durchmesser gleicher Kreise. Wenn wir uns demnach vorstellen,während die Punkte A, B beharren, dass die Halbmesser AC^ BE die gerade Linie EHC um dieKreise A, B herumführen, bis sie wieder die erste Lage eingenommen haben, so wird die gerade EHCden Mantel des Cylinders beschreiben ,und der Punkt H wird auf dem Mantel sich befinden. Er befandsich aber ausserhalb desselben ,und das ist unmöglich ; folglich ist EGC eine gerade, und ebenso mchFD; auch verbinden sie die geraden und parallelen jB/'^ CZ>, mithin ist £Z) ein Parallelogramm.Satz 3.Wenn ein Cylinder von einer Ebene parallel dem Parallelogramm durch die Axe geschnittenwird, so wird der Schnitt ein Parallelogramm sein, welches gleiche Winkel hat mit dem Parallelogrammdurch dieAxe.Es sei ein Cylinder, dessen Grundflächen die Kreise um die Mittelpunkte A, B, dessen Axe die F. 3.gerade AB und dessen Axenparallelogramm CD sei; auch sei der Cylinder geschnitten von einerandern Ebene durch die Punkte Ey F, G, H, parallel dem Parallelogramm CD, welche in den Grundflächenals Durchschnitt die geraden EF, GH, in dem Mantel des Cylinders aber die Linien EG, FHbilde; ich behaupte, die Figur EGF'H sei ein mit CD gleichwinkliges Parallelogramm.Man fälle aus dem Mittelpunkte B die senkrechte BK auf EF und lege eine Ebene durchdie geraden KB, BA, so mögen AL, KL die gemeinschaftlichen Durchschnitte sein,und man verbindeBF, AH. Weil nun der Kreis A dem Kreise B und die Ebene EH der Ebene CD parallel ist,
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