algirdas ambrazeviˇcius i˛vadas i˛ kokybin ˛e paprastu˛ju ...

1.1. SPRENDINIŲ EGZISTAVIMAS, VIENATIS, PRATESIMAS ˛
7
Tegu D = {(t, x) : a ≤ t ≤ b, −∞ < x < ∞} ir yra teisinga nelygybė
|f x (t, x)| ≤ L, ∀(t, x) ∈ D.
Tada ∀(t 0 , x 0 ) ∈ D egzistuoja vienintelis aprėžtas (1.1), (1.3) Koši uždavinio sprendinys,
apibrėžtas visame segmente [a, b] (žr. 1.4 teoremą). Iš pastarosios nelygybės išplaukia,
kad funkcija f kintamojo x atžvilgiu auga ne greičiau už tiesinę funkciją. Tuo
atveju, kai funkcija f kintamojo x atžvilgiu auga greičiau už tiesinę funkciją, situacija
gali iš esmės pasikeisti. Tiksliau, gali atsitikti taip, kad sprendinio negalima pratęsti
į visą intervala (a, b) arba pratęstas į visą intervalą (a, b) sprendinys nėra aprėžtas.
Pavyzdžiui, funkcija f(t, x) = x 2 yra apibrėžta ir diferencijuojama visoje plokštumoje
R 2 . Todėl per kiekvieną šios plokštumos tašką eina lygiai viena lygties
ẋ = x 2
integralinė kreivė. Iš pirmo žvilgsnio atrodo, kad nėra jokiu˛ kliūčiu˛ sprendinį neribotai
pratęsti tiek į kairę, tiek į dešinę. Tačiau taip nėra. Šiuo atveju funkcija f kintamojo
x atžvilgiu auga kaip kvadratinė. Todėl negalime tvirtinti, kad egzistuoja pastarosios
lygties sprendinys, apibrėžtas visame intervale (−∞, ∞) ir tenkinantis laisvai
pasirinktą pradinę sąlygą x(t 0 ) = x 0 . Iš tikru˛ju˛, ši lygtis turi sprendinį x(t) ≡ 0,
apibrėžtą visame intervale (−∞, ∞). Likusius sprendinius galima apibrėžti formule
x = (C − t) −1 ;
čia t > C arba t < C, C – laisva konstanta. Tegu x 0 ≠ 0. Tada iš sąlygos x(t 0 ) = x 0
randame, kad C = t 0 + x −1
0 . Vadinasi, sprendinys
x =
1
t 0 + x −1
0 − t
yra apibrežtas arba intervale (−∞, t 0 + x −1
0 ), arba intervale (t 0 + x −1
0 , ∞). Taigi
maksimalus sprendinio egzistavimo intervalas nesutampa su visa tiese. Be to, kai t
artėja į intervalo (−∞, t 0 +x −1
0 ) arba intervalo (t 0 +x −1
0 , ∞) kraštinius taškus, taškas
(t, x(t)) artėja į begalybę.
Visi šie teiginiai apie sprendiniu˛ egzistavimą, vienatį ir pratęsimą, išlieka teisingi ir
normaliajai paprastu˛ju˛ diferencialiniu˛ lygčiu˛ sistemai. Vektoriniu pavidalu ją galima
užrašyti taip:
ẋ = f(t, x), (t, x) ∈ D; (1.7)
čia f = (f 1 , . . . , f n ) – žinoma vektorinė funkcija, x = (x 1 , . . . , x n ) – ieškoma vektorinė
funkcija, D – sritis erdvėje R n+1 , f∈ C(D) .
Tiesinę nehomogeninę paprastu˛ju˛ diferencialiniu˛ lygčiu˛ sistemą patogu užrašyti
taip:
ẋ = A(t)x + q(t), (t) ∈ (a, b); (1.8)
čia A = {a ij } – žinoma n×n eilės matrica, q = colon(q 1 , . . . , q n ) – žinoma vektorinė
funkcija, x = colon(x 1 , . . . , x n ) – ieškoma vektorinė funkcija, a ij , q i ∈ C(a, b) .
A p i b r ė ž i m a s . Sakysime, funkcija ϕ : 〈a, b〉 → R n yra (1.7) sistemos
sprendinys, jeigu: