skyrius 3 Stygos svyravimo lygtis - techmat.vgtu.lt

16 SKYRIUS 3. STYGOS SVYRAVIMO LYGTIS
ρ(x) – stygos linijinis tankis taške x:
x+∆x ∫
x
ρ(x)dx ≈ ∆xρ(x) – stygos atkarpos
[x,x + ∆x] masė;
T(x) taške x veikianti liestinės kryptimi įtempimo jėga;
α – stygos liestinės kampas su x ašimi;
F(t,x) – stygos elementą veikianti išorinė jėga (linijinis jėgos tankis).
Kampą α imsime mažą: sinα ≈ tgα = ∂u(t,x)
∂x
, cos α ≈ 1;
∂u(t,x)
– stygos taško x judėjimo greitis;
∂t
∂ 2 u(t,x)
∂t 2 – stygos taško x judėjimo pagreitis.
Remiantis antruoju Niutono dėsniu užrašome
ρ(x)∆x ∂2 u(t,x)
∂t 2
Iš čia gauname:
= T(x + ∆x)sin α ′ − T(x)sin α + F(t,x)∆x.
ρ(x)∆x ∂2 u(t,x)
∂t 2
∂u(t,x + ∆x)
= T(x + ∆x) − T(x) ∂u(t,x) + F(t,x)∆x.
∂x
∂x
Padaliję abi lygybės puses iš ∆x ir perėję prie ribos, kai ∆x → 0, gauname
skersinių stygos svyravimų lygtį
ρ(x) ∂2 u
∂t 2 = ∂ (
T(x) ∂u )
+ F(t,x). (3.1)
∂x ∂x
Jei stygos neveikia išilginė išorinė jėga (F ≡ 0) ir styga yra homogeninė:
ρ ≡ ρ 0 , T ≡ T 0 , užrašome (3.1) lygties atskirą atvejį
čia a =
√
T 0
ρ 0
.
u tt − a 2 u xx = 0, (3.2)
3.1.2 Kraštinės ir pradinės sąlygos
Styga itvirtinta taškuose x = X 1 ir x = X 2 . Todėl galime užrašyti kraštines
sąlygas:
u(t,X 1 ) = 0, u(t,X 2 ) = 0. (3.3)