skyrius 6 Kintamųjų atskyrimo metodas

skyrius 6
Kintamųjų atskyrimo
metodas
6.1 Hiperbolinių lygčių sprendimas kintamųjų atskyrimo
metodu
Spręsime kraštinį uždavinį
u tt = a 2 u xx , u(0,x) = ϕ(x), u t (0,x) = ψ(x), u(t,0) = u(t,l) = 0. (6.1)
Ieškome atskirų sprendinių tokiu pavidalu:
Iš (6.1), (6.2) gauname
u(t,x) = T(t)X(x). (6.2)
T ′′ (t)
a 2 T(t) ≡ X′′ (x)
X(x) = λ.
Matome, kad funkcijos X(x) turi būti šio uždavinio nenuliniai sprendiniai
X ′′ = λX, X(0) = X(l) = 0.
Atitinkamos λ reikšmės vadinamos uždavinio tikrinėmis reikšmėmis, o
atitinkamos funkcijos X(x) – tikrinėmis funkcijomis.
Kai λ 0 tikrinių funkcijų nėra. Neigiamas konstantas pažymėkime
(−λ 2 ). Tada tikrinės reikšmės ir tikrinės funkcijos yra:
λ = nπ
l , X n(x) = sin nπx , n = 1,2,3,... . (6.3)
l
49

50 SKYRIUS 6. KINTAMŲJŲ ATSKYRIMO METODAS
Iš čia gauname
Taigi
u(t,x) =
T n (t) = A n cos nπat
l
∞∑
n=1
+ B n sin nπat .
l
(
A n cos nπat + B n sin nπat )
sin nπx ,
l l l
u(0,x) =
u t (0,x) =
∞∑
n=1
∞∑
n=1
A n sin nπx
l
nπa
l
B n sin nπx
l
6.2 Elipsinių lygčių sprendimas
= ϕ(x),
= ψ(x).
6.2.1 Laplaso lygties sprendimas apskritime
Tarkime, kad γ yra apskritimas, kurio centras yra taške O(0,0) ir spindulys
lygus a. Spręsime uždavinį
∆u = 0, u| (x,y)∈γ = f(x,y).
Perrašome Laplaso operatorių polinėse koordinatėse (žr. ??, ?? p.):
∂ 2 u
∂ρ 2 + 1 ∂u
ρ ∂ρ + 1 ∂ 2 u
ρ 2 ∂ϕ 2 = 0, u(ρ,ϕ)| ρ=a
= F(ϕ). (6.4)
(6.4) lygties sprendinio ieškome pavidalu
Tada
u(ρ,ϕ) = R(ρ)Φ(ϕ).
u ρρ = R ′′ Φ, u ρ = R ′ Φ, u ϕϕ = RΦ ′′ .
Įrašę šiuos reiškinius į lygtį, gauname
(R ′′ + 1 ρ R′ )
Φ + R ρ 2 Φ′′ = 0.
Atskiriame kintamuosius:
1
R(ρ)
(
ρ 2 R ′′ (ρ) + ρR ′ (ρ) ) = − Φ′′ (ϕ)
Φ(ϕ) .

6.2. ELIPSINIŲ LYGČIŲ SPRENDIMAS 51
Ieškome periodinių sprendinių:
Tada α = λ 2 > 0 ir turime
Φ ′′ (ϕ) = −αΦ(ϕ).
Φ(ϕ) = Acos λϕ + B sinλϕ.
Iš antrosios lygybės išplaukia Oilerio tipo lygtis
ρ 2 R ′′ (ρ) + ρR ′ (ρ) − λ 2 R(ρ) = 0.
Lygtis turi atskirus sprendinius R(ρ) = ρ s . Gauname s = λ, s = −λ.
Aprėžtą skritulyje ρ a sprendinį gauname, kai s = λ 0. Periodinį su
periodu 2π sprendinį gausime, kai
cos(λϕ + λ2π) = cos λϕ, sin(λϕ + λ2π) = sinλϕ.
Todėl λ = 0,1,2,.... Taigi gauname uždavinio sprendinį
u(ρ,ϕ) =
∞∑
(A n cos nϕ + B n sin nϕ) ρ n .
n=0
Koeficientus A n , B n pasirinkime taip, kad patenkinti pradines sąlygas
∞∑
(A n cos nϕ + B n sin nϕ) a n = F(ϕ).
n=0
Skleidžiame funkciją F(ϕ) Furjė eilute:
F(ϕ) = 1 2 fc 0 +
f c n = 1 π
f s n = 1 π
∫ 2π
0
∫ 2π
0
∞∑
(fn c cos nϕ + fn s sin nϕ),
n=0
f(acos ϕ,asin ϕ) cos nϕdϕ,
Gauname A n = 1
a
f c n n , B n = 1
a
f s n n ir todėl
u(ρ,ϕ) = 1
2π
f(acos ϕ,asin ϕ) sin nϕdϕ.
∫ 2π
0
f(acos ϕ,asin ϕ)dϕ+

52 SKYRIUS 6. KINTAMŲJŲ ATSKYRIMO METODAS
1
π
⎛
∞∑ ( ρ
) n
⎝cos nϕ
a
n=1
sin nϕ
∫ 2π
0
∫ 2π
0
f(acos ϕ,asin ϕ) cos nϕdϕ+
⎞
f(acos ϕ,asin ϕ) sin nϕdϕ⎠ .

skyrius 7
Šturmo ir Liuvilio uždavinys
7.1 Bendroji kintamųjų atskyrimo metodo schema
7.1.1 Tiesinis diferencialinis operatorius
Pažymėkime
Lu ≡
(A(t) ∂2 ∂2
− B(x)
∂t2 ∂x 2 + C(t) ∂ ∂t + D(x) ∂
)
∂x + (E(t) + F(x)) u,
(7.1)
čia A(t) A 0 > 0, B(x) B 0 >.
Homogeninės lygties
Lu = 0, t ∈ [0,+∞], x ∈ [a,b] (7.2)
netrivialių (nenulinių) spendinių ieškosime pavidalu
u(t,x) = T(t)X(x). (7.3)
Nagrinėsime (7.1), (7.2) lygtį esant kraštinėms sąlygoms:
(
αu(t,x) + βu
′
x (t,x) )∣ ∣
x=a
= 0,
(
δu(t,x) + γu
′
x (t,x) )∣ ∣
x=b
= 0. (7.4)
Gauname diferencialines lygtis funkcijoms T ir X rasti:
A(t)T ′′ (t) + C(t)T ′ (t) + E(t)T(t)
T(t)
B(x)X ′′ (x) − D(x)X ′ (x) − F(x)X(x)
X(x)
= (7.5)
= const
53

54 SKYRIUS 7. ŠTURMO IR LIUVILIO UŽDAVINYS
ir kraštines sąlygas:
αX(a) + βX ′ (a) = 0, δX(b) + γX ′ (b) = 0. (7.6)
Pažymėkime (7.5) lygčių konstanta (−λ) ir užrašome diferencialinę lygtį
funkcijai X:
−B(x)X ′′ + D(x)X ′ + F(x)X = λX.
Padauginę abi lygybės puses iš
1
B(x) e− R D
B dx ir pažymėję
p(x) = e − R D
B dx , q(x) = F(x)
B(x) e− R D
B dx ,r(x) = 1
B(x) e− R D
B dx ,
gauname diferencialinę lygtį, priklausančią nuo parametro λ:
L[X] ≡ d (
p(x) dX )
− q(x)X = −λr(x)X. (7.7)
dx dx
Pastebėkime, kad
p(x) > 0, q(x) > 0,r(x) > 0.
7.2 Šturmo ir Liuvilio uždavinys
(7.7), (7.6) uždavinį, kai α 2 + β 2 ≠ 0 ir δ 2 + γ 2 ≠ 0 vadiname Šturmo ir
Liuvilio uždaviniu. Reikia rasti tokias parametro λ reikšmes (jos vadinamos
tikrinėmis), kad uždavinys turėtų netrivialių (nenulinių) sprendinių -
tikrinių funkcijų.

skyrius 8
Apibendrintosios funkcijos
8.1 Pagrindinės ir apibendrintosios funkcijos
8.1.1 Bendrosios sąvokos
Tarkime, kad mažo spindulio ε rutulyje yra materialus taškas, kurio masė
lygi 1. Užrašykime masės tankio funkciją
f ε (x) =
{ 3
4πε 3 , kai |x| ε,
0, kai |x| > ε.
Pastebėkime, kad ∫∫∫
f ε (x 1 ,x 2 ,x 3 )dx 1 dx 2 dx 3 = 1.
|x|ε
Kai ε → 0, gauname
{ +∞, kai x = 0,
δ(x) = lim f ε (x) =
ε→0 0, kai x ≠ 0.
(8.1)
Tačiau taip apibrėžta funkcija δ(x) netenkina reikalavimo masės tankiui:
∫
V
δ(x)dx =
{ 1, kai 0 ∈ V,
0, kai 0 /∈ V.
Paimkime bet kurią tolydžiąją funkciją ϕ(x) ir apskaičiuokime silpnąją
ribą
∫
lim f ε (x)ϕ(x)dx = ϕ(0).
ε→0
Įrodykime šią lygybę. Paimkime bet kurį ν > 0. Kadangi ϕ(x) yra tolydžioji
55

56 SKYRIUS 8. APIBENDRINTOSIOS FUNKCIJOS
funkcija, egzistuoja toks ε ν > 0, kad ∀|x| ε ν : |ϕ(x) − ϕ(0)| < ν. Taigi
∣ ∫
∣∣∣∣∣∣ f ε ϕ(x)dx − ϕ(0)
= 3 ∫
4πε
∣
∣
3 (ϕ(x) − ϕ(0))dx
∣
|x|ε
ν 3
4πε 3 ∫
|x|ε
|x|ε
dx = ν.
Matome, kad silpnoji riba yra funkcionalas: kiekvieną tolydžiąją funkciją
ϕ(x) atitinka jos reikšmė ϕ(0). Šis funcionalas žymimas δ ir vadinamas
Dirako δ-funkcija. Žymėsime
∫
f ε (x)ϕ(x)dx = (δ,ϕ).
lim
ε→0
Jei taške x = 0 sukoncentruota masė m, tai tankį galima išreikšti taip:
mδ(x). Bendruoju atveju, kai taškuose x 1 , x 2 , ..., x N sukoncentruotos
masės m 1 , m 2 , ..., m N , tankio funkcija užrašome taip:
N∑
m j δ(x − x j ).
j=1
8.1.2 Apibendrintų funkcijų erdvė D ′
Žymėsime D = D (R n ) visų finitinių (turinčių baigtinę atramą – supp) be
galo daug kartų diferencijuojamų funkcijų aibę (žymime C ∞ ). Šias funkcijas
vadiname pagrindinėmis.
Tarkime, kad U R = {⃗x = (x 1 ,x 2 ,...,x n ) ∈ R n : ‖⃗x‖ R},
D α u(x) =
∂ |α| u(x)
∂x α 1
1 ∂xα 2
2 · · · ∂xαn n
, α = (α 1 ,... ,α n ) , α j 0, |α| = α 1 +· · ·+α n .
Apibrėžkime konvergavimą pagrindinių funkcijų aibėje D. Tarkime, kad
1) ϕ 1 , ϕ 2 , ... ∈ D;
2) ∃R > 0 (∀k ∈ N) supp ϕ k ⊂ U R ;
3) ∀ε > 0 ∃k ε ∈ N : ∀α, k k ε
Rašysime
max |D α ϕ k (x) − D α ϕ(x)| < ε.
x∈U R
lim ϕ k = ϕ arba ϕ k → ϕ, k → +∞.
k→+∞

8.1. PAGRINDINĖS IR APIBENDRINTOSIOS FUNKCIJOS 57
8.1 apibrėžimas. Apibendrintąja funkcija f vadinsime bet kurį
tiesinį tolydųjį funkcionalą f : D → C. Čia C – kompleksinių skaičių
aibė.
Funkcionalo f reikšmes žymėsime (f,ϕ). Šios reikšmės yra (kompleksiniai)
skaičiai. Apibendintoji funkcija yra tiesinis funkcionalas:
(f,λ 1 ϕ 1 + λ 2 ϕ 2 ) = λ 1 (f,ϕ 1 ) + λ 2 (f,ϕ 2 ).
Apibendrintoji funkcija yra tolydusis funkcionalas:
lim ϕ k = ϕ ⇒
k→+∞
lim (f,ϕ k) = (f,ϕ) .
k→+∞
Apibendrintųjų funkcijų aibė yra tiesinė: jei f ir g yra tiesiniai tolydieji
funkcionalai D → C, tai (∀λ,µ ∈ C) λf + µg irgi yra tiesinis tolygusis
funkcionalas.
Apibrėžkime silpnąjį konvergavimą apibendintojų funkcijų aibėje. Sakysime,
kad apibendrintoji funkcija f yra apibendrintojų funkcijų f 1 , f 2 , · · ·
sekos riba, jei (∀ϕ ∈ D) lim (f k,ϕ) = (f,ϕ).
k→+∞
8.2 apibrėžimas. Visų apibendrintųjų funkcijų aibę su apibrėžtu silpnuoju
konvergavimu žymėsime D ′ .
8.1 teorema. Aibė D ′ yra pilnoji erdvė: jei seka f n ∈ D ′ silpnai
konveguoja f n → f, tai f ∈ D ′ .
Pratimai
Įrodykite, kad (ε → +0)
1.
2.
3.
1
2 √ x2
e− 4ε → δ(x);
πε
1
πx sin x ε → δ(x);
1
π
ε
x 2 + ε 2 → δ(x).
8.1.3 Apibendrintųjų funkcijų diferencijavimas
Tarkime, kad f(x) ∈ C 1 [a,b], ϕ ∈ D [a,b]. Tada
(f ′ ,ϕ) =
∫ b
a
f ′ (x)ϕ(x)dx =
∫ b
a
b
ϕ(x)df(x) = f(x)ϕ(x)
∣ −
a
∫ b
a
f(x)ϕ ′ (x)dx.

58 SKYRIUS 8. APIBENDRINTOSIOS FUNKCIJOS
Kadangi ϕ(a) = ϕ(b) = 0, gauname
(f ′ ,ϕ) = −(f,ϕ ′ ).
Taigi galime apibrėžti apibendintosios funkcijos išvestinę
(D α f,ϕ) = (−1) |α| (f,D α ϕ) .
Pastebėkime, kad differencijuojamai funkcijai f ∈ C n gauname, kad
∫
(D α f,ϕ) = D α (f(x)) ϕ(x)dx.
R n
8.1 pavyzdys. Hevisaido funkcijos H(x) =
išvestinė
H ′ (x) = δ(x).
{ 0, kai x 0,
1, kai x > 0.
Delta funkcijos δ(x) pirmykštė funkcija yra H(x) + C, čia C – bet kuri
konstanta.