02.05.2013 Views

Curiosa Mathematica

Curiosa Mathematica

Curiosa Mathematica

SHOW MORE
SHOW LESS

Create successful ePaper yourself

Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.

30. Vermoeden van Erdős-Straus<br />

Fibonacci beschrijft een methode om rationale getallen om te zetten naar een som van stambreuken in<br />

zijn beroemde werk Liber Abaci. Hij besefte echter ook dat zijn algoritme niet altijd een optimale oplossing<br />

biedt (doordat het een “greedy” algoritme betreft, dat in elk lokaal stadium de optimale keuze<br />

maakt, maar niet per se globaal); daarom bood hij deze methode aan voor noodgevallen, wanneer zijn<br />

andere technieken faalden. Het algoritme herhaalt deze substitutie, totdat alle termen stambreuken zijn.<br />

Toegepast op bijvoorbeeld 7<br />

15<br />

geeft dit 1<br />

3<br />

x<br />

y<br />

1 (−y) mod x<br />

= y +<br />

x y · y x<br />

. Voor bepaalde voorbeelden echter levert het algoritme<br />

onbruikbare resultaten: 31<br />

1 1 1 1<br />

311 is relatief eenvoudig uit te drukken als 12 + 63 + 2799 + 8708 , terwijl Fibonacci’s<br />

methode een expansie zou geven in tien termen, waarvan de noemer van de laatste meer dan 500 decimalen<br />

lang is.<br />

+ 1<br />

8<br />

+ 1<br />

120<br />

Gottfried Stratemeyer wist in 1930 een benaderingsmethode op te stellen voor nulpunten van polynomen<br />

gebaseerd op Fibonacci’s algoritme.<br />

Egyptische hiërogliefen werden niet uitsluitend gebruikt voor tekst, maar ook voor getallen. Het systeem<br />

is gebaseerd op machten van 10 tot een miljoen; zie de tabel en het voorbeeld hieronder.<br />

1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000<br />

| 2 3 4 5 6 7<br />

554 3 22 2 ||||<br />

|||<br />

= 21.237<br />

Op deze manier konden de Egyptenaren voor het dagelijks leven voldoende grote natuurlijke getallen weergeven.<br />

Optellingen en aftrekkingen werden genoteerd met de volgende symbolen. Wanneer de voetjes in<br />

de leesrichting wezen stelden ze een optelling voor, anders een aftrekking.<br />

L ofL<br />

Breuken werden zoals gezegd weergegeven als een som van stambreuken: het volgende symbool (de mond)<br />

boven een getal genoteerd, stelt het omgekeerde ervan voor; letterlijk betekent het “deel”.<br />

Bijvoorbeeld:<br />

r<br />

r<br />

333 22<br />

2|<br />

30 Vermoeden van Erdős-Straus<br />

= 1<br />

331<br />

In 1948 uitten Paul Erdős en Ernst Straus het vermoeden dat voor elk geheel getal n ≥ 2, het rationaal<br />

getal 4<br />

n steeds kan worden geschreven als de som van juist drie stambreuken. Met andere woorden,<br />

volgende vergelijking zou steeds oplossingen hebben:<br />

∀n ∈ N\{0,1} : ∃x,y,z ∈ N0 : 4 1 1 1<br />

= + +<br />

n x y z<br />

Er zijn enkele patronen bekend voor evennen voorncongruent met 3 modulo 4, en computerberekeningen<br />

verifieerden alle natuurlijke getallen tot 10 14 , maar het probleem is nog niet algemeen opgelost.<br />

16

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!