MATE 111 VAC

ONDERWYSWISKUNDE: FUNKSIES 

STUDIEGIDS EN HANDLEIDING VIR 

MATE 111 VAC 

*MATE111VAC* 

SKOOL VIR OPVOEDINGSWETENSKAPPE 

VAALDRIEHOEKKAMPUS

Studiegids saamgestel deur: 

Me HH Coetzee 

Hantering van drukwerk en verspreiding deur Departement Logistiek (Verspreidingsentrum). 

Gedruk deur Ivyline Technologies (018) 293 0715/6. 

Kopiereg 2012-uitgawe. Hersieningsdatum 2013. 

Noordwes-Universiteit, Potchefstroomkampus. 

Geen gedeelte van hierdie boek mag in enige vorm of op enige manier sonder skriftelike 

toestemming van die publiseerders weergegee word nie. 

ii

INHOUDSOPGAWE 

Woord van verwelkoming .................................................................................................... v 

Rasionaal ........................................................................................................... v 

Bibliografie ........................................................................................................... v 

Studiemateriaal .......................................................................................................... vi 

Hoe om alle studiegidse te gebruik ................................................................................... vi 

Hoe om hierdie studiegids te gebruik .............................................................................. vii 

Bestudering van die leerinhoud ........................................................................................ vii 

Waarskuwing teen plagiaat ................................................................................................. x 

Studie-ikone .......................................................................................................... xi 

Aksiewerkwoorde vir wiskunde ........................................................................................ xii 

Modulebeplanner ........................................................................................................ xiv 

Uitkomste van hierdie module ........................................................................................ xvii 

Leereenheid 1 Funksies en modelle ......................................................................... 1 

1.1 Die Begrip: Funksie ............................................................................. 3 

1.2 Grafieke Van Funksies ...................................................................... 12 

1.3 Stygende en Dalende Funksies; Gemiddelde Veranderingstempo .. 18 

1.4 Transformasies Van Funksies ........................................................... 21 

1.4.1 Translasies: ....................................................................................... 24 

1.4.2 Refleksies ......................................................................................... 26 

1.4.3 Rek/krimp m.b.t. die vertikale as:....................................................... 28 

1.4.4 Rek/krimp m.b.t. die horisontale as: .................................................. 30 

1.4.5 Ewe en onewe funksies (simmetrie) .................................................. 33 

1.5 Wiskundige Modelle .......................................................................... 39 

1.5.1 Lineêre Funksies ............................................................................... 43 

1.5.2 Absolute Waarde ............................................................................... 64 

1.5.3 Polinome ........................................................................................... 74 

1.5.4 Magsfunksies .................................................................................. 109 

1.5.5 Rasionale Funksies ......................................................................... 120 

1.5.6 Eksponensiële Funksies .................................................................. 127 

1.5.7 Logaritmiese Funksies .................................................................... 152 

1.5.8 Algebraïese Funksies ...................................................................... 153 

1.5.9 Trigonometriese Funksies ............................................................... 157 

1.5.10 Hiperboliese Funksies ..................................................................... 194 

1.6 Strategieë Vir Keuse Van Wiskundige Modelle ................................ 202 

Leereenheid 2 INVERSE FUNKSIES .................................................................... 205 

2.1 Definisie .......................................................................................... 206 

iii

iv 

2.2 Bekende Inverse Funksies .............................................................. 212 

2.2.1 Inverse Van Lineêre Funksies ......................................................... 212 

2.2.2 Inverse Van Absolute Waarde: ........................................................ 214 

2.2.3 Inverse Van Polinome: .................................................................... 215 

2.2.4 Inverse Van Magsfunksies .............................................................. 219 

2.2.5 Inverse van Rasionale Funksies ...................................................... 220 

2.2.6 Inverse van Algebraïese Funksies ................................................... 221 

2.3 Inverse Van Eksponensiële Funksies Ook Genoem Logaritmiese 

Funksies .......................................................................................... 222 

2.4 Inverse Van Trigonometriese Funksies .......................................... 234 

2.5 Inverse Hiperboliese Funksies......................................................... 242 

Leereenheid 3 NUWE FUNKSIES UIT OU FUNKSIES.......................................... 255 

3.1 Transformasies Van Funksies ......................................................... 256 

3.2 Kombinasies Van Funksies ............................................................. 257 

3.3 Samestelling Van Funksies ............................................................. 266 

Leereenheid 4 TEMPO VAN VERANDERING EN LIMIETE ................................. 283 

4.1 Raaklyn- en Snelheidsprobleme ...................................................... 284 

4.2 Die Limiet Van ‘n Funksie ................................................................ 298 

BYLAAG ........................................................................................................ 304 

LEESBUNDEL ........................................................................................................ 317

WOORD VAN VERWELKOMING 

Baie welkom by die vak Wiskunde! Geluk met jou keuse van wiskunde as ’n hoofvak! Om 

hierdie spesifieke module suksesvol af te handel, is dit noodsaaklik dat jy voorbereid na 

elke klas (kontaksessie) kom en elke opdrag na die beste van jou vermoë uitvoer. Op hierdie 

wyse verseker jy sinvolle gesprekke met jou fasiliteerder en ander leerders tydens 

kontaksessies. 

RASIONAAL 

In hierdie module word een van die mees fundamentele begrippe in wiskunde, naamlik 

funksies, bespreek. Enersyds behoort hierdie module oor elementêre funksies jou voor te 

berei vir verdere modules soos MATE 211 (Kegelsnedes) en MATE 312 (Analise). 

Andersyds word geleenthede geskep om noodsaaklike kennis, begrip en vaardighede met 

betrekking tot funksies te bemeester sodat jy dit effektief kan toepas en onderrig as 

wiskundeonderwyser. 

Hierdie module fokus op verskillende voorstellings van elementêre funksies, die formulering 

van wiskundige modelle, die verkryging van nuwe funksies uit ou funksies, limiete van 

funksies, sowel as inverse funksies. Ons lê ook baie klem daarop om aan te toon waar 

hierdie funksies in lewenswerklike situasies voortspruit. 

BIBLIOGRAFIE 

Asp, Gary; Dowsey, John; Stacey, Kaye; Tynan, David. 2004. Graphic Algebra. Key 

Curriculum Press 

Baxter, et al. 1993. Functions. The School Mathematics Project. Cambridge: University 

Press. 

Baxter, et al. 2001. SMP 16-19. Functions and Calculus. Cambridge: University Press. 

Chanan, Steve et al. Exploring Algebra with The Geometer`s Sketchpad. 2002. Key 

Curriculum Press 

De Wet, Brenda; Trollope, Madeline. 2003. Mathematics N3. Heinemann 

Exley, Linda L; Smith, Vincent K. 1993. College Algebra and Trigonometry. Prentice Hall 

Foerster, Paul A. 2007 . Precalculus with Trigonometry Concepts and Applications. Key 

Curriculum Press. 

Haeussler, Ernest F Jr. ; Paul, Richard S. 2002 Introducing Mathematical Analysis for 

Business, Economics, and the Life and Social Sciences. Revised Edition. Prentice Hall 

Murdock, Jerald; Kamischke, Ellen and Eric 2002. Discovering Algebra An Investigative 

Approach. Key Curriculum Press. 

Murdock, Jerald; Kamischke, Ellen and Eric 1998. Advanced Algebra Through Data 

Exploration A Graphing Calculator Approach. Key Curriculum Press. 

Poulter, Bryony; Reeler, Lesley. 2001. Mathematics HG 12.Maskew Miller Longman. 

Stewart, James. 2003. Single Variable Calculus International Student Edition. Thomson 

Brooks/Cole 

Van de Walle, John A. 2004 Elementary and Middle School Mathematics Teaching 

Developmentally Fifth Edition. Pearson Education, Inc 

v

Van Dyke, Frances. 2002 A Visual Approach to Functions Key Curriculum Press 

http://math.rice.edu/~pcmi/sphere/drg_txt.html 

Washington, Allyn J 2000 Basic Technical Mathematics with Calculus. Seventh Edition. 

Addison Wesley Longman, Inc. 

http://www.medford.k12.ma.us/math/images/book.gif 

STUDIEMATERIAAL 

Stewart, James et al. 2012. Precalculus Mathematics for Calculus. 6th Edition. Pacific 

Grove: Brooks/Cole Publishing Company. 

The Geometer`s Sketchpad ('n rekenaarprogram) 

Geheuestokkie “USB flash drive”. 

HOE OM ALLE STUDIEGIDSE TE GEBRUIK 

uitkomsgebaseerde onderrigleer (benadering en kritieke uitkomste) 

ŉ Uitkomsgebaseerde onderrigleerbenadering kan beskryf word as ŉ verskuiwing van die 

klem vanaf onderrig na leer; van wat die dosent doen, na wat die leerder doen. Dit 

veronderstel selfstandige leer en berus nie op die beginsel van “lepelvoer” wat impliseer dat 

die dosent al die werk vir die leerder doen, nie. UGO is nie bevoegdheidsgebaseerde 

opleiding waar slegs van leerders verwag word om ŉ minimum vlak van bevoegdheid te 

demonstreer nie. In UGO doen die leerders self die werk omdat die uitkomste en 

verwagtinge helder en duidelik gestel is en die onderrig- en leeraktiwiteite so deur die dosent 

georganiseer word dat die leerders meer geleenthede het om die werk self te doen. UGO 

beklemtoon die leerderperspektief deur: 

die duidelike identifisering van dit wat ŉ leerder kan verwag om te weet, verstaan en te 

doen as resultaat van die leerproses (sg. uitkomste); 

assessering wat op deursigtige en verdedigbare wyse in lyn is met die uitkomste; 

onderrig- en leeraktiwiteite wat die spesifieke uitkomste bemoontlik; 

gedetailleerde assesseringstake wat konsistent gemerk word aan die hand van 

onderstaande duidelik gespesifiseerde kriteria. (University of Western Australia – internet 

artikel). 

THE UNIVERSITY’S BROAD TEACHING APPROACH 

The teaching-learning approach adopted by this University, is one of guided, progressively 

more independent, outcomes-based study within a flexi-learning environment. The lecturer 

guides the student personally and by means of a study guide, enabling her/him to attain 

learning outcomes through progressively more independent self-activity. The lecturer serves 

partly as manager, partly as facilitator of the student’s learning, providing continuous 

formative and summative assessment and oral and written feedback on his or her study 

progress through various assessment methods, applicable to the nature of each specific 

module. In the execution of such assessment, the focus is on specific exit level outcomes, 

which take into account the idiosynccratic nature of each subject group, school, and faculty. 

Outcomes-based education and training (approach and critical outcomes) 

vi

An outcomes-based teaching-learning approach can be described as moving the focus from 

teaching to learning; from what the lecturer does, to what the learner does. It implies 

independent study and denies the principle of spoonfeeding which implies that the lecturer 

does all the work for the student. OBE is not competency-based training where learners are 

only expected to demonstrate a minimum level of competency. With OBE learners are 

expected to do the learning themselves since the outcomes and expectancies are clearly 

stated and the teaching and learning activities are organised by the lecturer to afford learners 

more opportunities for mastering the outcomes themselves. OBE emphasises the learner 

perspective through 

the clear identification of what a learner can expect to know, understand and do as a 

result of the learning process (the so-called outcomes); 

assessment done transparently and justifiably in line with the outcomes; 

teaching and learning activities that enable the specific outcomes; 

detailed assessment tasks that are marked consistently in accordance with clearly 

specified criteria (University of Western Australia – internet artikel). 

HOE OM HIERDIE STUDIEGIDS TE GEBRUIK 

Die studiegids bevat instruksies wat jou behoort te help om die leermateriaal doeltreffend te 

gebruik. Sekere moeilike gedeeltes word verduidelik en vrae gestel om jou in staat te stel om 

jou kennis en begrip van die leerinhoud te bepaal. Die leer van wiskunde berus in ŉ groot 

mate op die doen daarvan. Gevolglik word 'n aantal geleenthede in hierdie studiegids geskep 

om jou in staat te stel om wiskunde te doen, te leer en te verstaan. In die bestudering van 

MATE 111 moet jy: 

die uitkomste op alle vlakke (module, leereenheid, leergedeelte) intensief bestudeer; 

die modulebeplanner raadpleeg sodat jy 'n idee kan vorm ten opsigte van die 

organisering van leerinhoude en verdeling van tyd; 

die leerinhoud bestudeer volgens die leeruitkomste en die instruksies in die studiegids; 

al die leeraktiwiteite (voorbeelde en oefeninge) van elke leereenheid uitvoer; 

al die opdragte van elke leereenheid voltooi; 

goed voorbereid wees vir kontaksessies deur alle dele ontbrekende dele (bv. ......... of 

tabelle of grafieke) in te vul ; 

ten volle voltooide opdragte ingee op datums en tye deur die dosent gespesifiseer 

BESTUDERING VAN DIE LEERINHOUD 

Indien moontlik, bestudeer leereenhede in groepe van twee of meer studente. Groepwerk 

verskaf geleenthede om werk te bespreek en aan mekaar te verduidelik om sodoende die 

leerinhoud beter te verstaan. Tydens kontaksessies word probleme wat deur die groep of 

deur die fasiliteerder geïdentifiseer is, bespreek en verduidelik. 

vii

ASSESSERING VAN HIERDIE MODULE 

Assessering sal soos volg gedoen word: 

ASSESSERING VAN DIE INHOUD 

Voltooiing van klasopdragte (in klein groepies) en inhandiging op datum deur dosent 

verskaf vir gedeeltelike assessering. 

Voltooiing van huiswerkopdragte (individueel) en inhandiging op datum soos deur dosent 

verskaf vir gedeeltelike assessering. 

Die skryf van onvoorbereide en voorbereide klastoetse. 

Opdragte wat gedeeltelik deur dosent of assistent nagesien is, moet verder self nagesien 

word met behulp van memorandums op eFundi. 

viii 

Fakulteitsbesluit vir penalisering vir laat inhandiging van referate – voltydse studente: 

Daar is besluit dat referate/werkopdragte wat een dag tot en met ŉ week na die 

vasgestelde datum ingehandig word, wel nagesien word, maar dat die punt wat die 

student verwerf deur 2 gedeel word. Byvoorbeeld sal ŉ student wat laat ingehandig het 

en ŉ punt van 90% behaal gevolglik net 45% verwerf. ŉ Week na die 

inhandigingsdatum word die memorandum (waar van toepassing) beskikbaar gestel en 

word geen referate meer aanvaar nie. Geldige menslikheidsfaktore sal wel na die 

dosent se eie oordeel aanvaar word 

TERUGVOER 

NOTASIE BY MERK VAN OPDRAGTE: 

XR Rekenfout 

XM Verkeerde Metode 

XB Beginselfout 

XN Verkeerde Notasie 

XBV Beantwoord die vraag 

XF Verkeerde Formule 

XS Skryffout 

XT Taal- of spelfout 

XBW Verkeerde Bewoording 

Sommige opdragte sal gedeeltelik of volledig deur die dosent of assistent nagesien word. 

Memorandums van gedeeltelik nagesiende opdragte sal op eFundi verskyn. Die student 

moet dit dan self nasien. 

Ander opdragte sal tydens die kontaksessies self of deur ŉ medestudent nagesien word 

vanaf memorandums deur die dosent verskaf. 

Terugvoering sal tydens die kontaksessies geskied wanneer opdragte teruggegee word.

DEELNAMEBEWYS 

Gereelde klasbywoning, inhandiging van opdragte en die skryf van toetse op die 

geskeduleerde datums vorm alles deel van jou deelnamebewys. 

DEELNAMEPUNT: 

Die deelnamepunt word saamgestel uit die punte wat behaal is in klastoetse en/of 

werksopdragte soos bepaal deur die betrokke dosent. 

EKSAMEN 

Jy het toelating tot die eksamen in hierdie module as jy ŉ deelnamepunt van ten minste 

40% opgebou het en daarmee 'n deelnamebewys verwerf het. 

Aan die einde van die module word twee eksamenvraestelle geskryf. Die subminimum vir 

beide vraestelle is 40%. 

Jou modulepunt vir MATE 111 word met behulp van die deelnamepunt en die 

eksamenpunt in die verhouding 50:50 bereken. Die slaagsyfer vir die module is 50%. 

ix

WAARSKUWING TEEN PLAGIAAT 

WERKSTUKKE IS INDIVIDUELE TAKE EN NIE GROEPAKTIWITEITE NIE (TENSY DIT 

UITDRUKLIK AANGEDUI WORD AS ‘N GROEPAKTIWITEIT) 

Kopiëring van teks van ander leerders of uit ander bronne (byvoorbeeld die studiegids, 

voorgeskrewe studiemateriaal of direk vanaf die internet) is ontoelaatbaar – net kort 

aanhalings is toelaatbaar en slegs indien dit as sodanig aangedui word. 

U moet bestaande teks herformuleer en u eie woorde gebruik om te verduidelik wat u 

gelees het. Dit is nie aanvaarbaar om bestaande teks/stof/inligting bloot oor te tik en die 

bron in 'n voetnoot te erken nie – u behoort in staat te wees om die idee of begrip/konsep 

weer te gee sonder om die oorspronklike skrywer woordeliks te herhaal. 

Die doel van die opdragte is nie die blote weergee van bestaande materiaal/stof nie, maar 

om vas te stel of u oor die vermoë beskik om bestaande tekste te integreer, om u eie 

interpretasie en/of kritiese beoordeling te formuleer en om 'n kreatiewe oplossing vir 

bestaande probleme te bied. 

Wees gewaarsku: Studente wat gekopieerde teks indien sal 'n nulpunt vir die opdrag 

ontvang en dissiplinêre stappe mag deur die Fakulteit en/of die Universiteit teen 

sodanige studente geneem word. Dit is ook onaanvaarbaar om iemand anders se werk 

vir hulle te doen of iemand anders in staat te stel om u werk te kopieer – moet dus nie 

u werk uitleen of beskikbaar stel aan ander nie! 

x

STUDIE-IKONE 

Toets die stand van u 

kennis/insig. 

Belangrike inligting. 

Bestudeer nou die 

volgende gedeelte/ 

verduideliking / 

bespreking, aandagtig. 

Bestudeer die aangetoonde 

materiaal in die 

addendum: 

Werksopdrag. 

Verkry internettoegang 

en voer die meegaande 

opdrag uit. 

Bestudeer Precalculus 

Selfstudie: Alle 

Oefeninge oor Grafieke 

in die Addendum pp. ? 

Neem u antwoorde saam 

na die kontakgeleentheid 

/ groepbyeenkoms vir 

bespreking 

Individuele oefening. 

Praktiese voorbeeld. 

Antwoorde/oplossings. 

Uitkomste. 

Voorbereiding vir die kontaksessie/groepbyeenkoms. 

CD-ROM. 

Individuele PC-opdrag / 

PowerPoint 

xi

AKSIEWERKWOORDE VIR WISKUNDE 

Toepas 

Om in staat te wees om wat jy in een situasie geleer het, in ŉ ander situasie te kan gebruik. 

VOORBEELD: Pas differensiasie toe op maksimeringsprobleme. 

Aflei 

Om ŉ reël /eienskap te bewys deur logiese redenering. 

VOORBEELD: Lei die eienskap: a.0 = 0 af deur gebruik te maak van die basiese eienskappe 

van die reële getalle. 

Definieer 

Om presies te sê wat ŉ wiskundige begrip of bewerking beteken. 

VOORBEELD: Definieer ŉ funksie. 

Demonstreer 

Om jou kennis ten opsigte van ŉ wiskundige bewerking te toon. 

VOORBEELD: Demonstreer dat ŉ rasionale getal geskryf kan word óf as ŉ eindige óf as ŉ 

repeterende desimale getal. 

Illustreer 

Om jou kennis van ŉ begrip of ŉ stelling te demonstreer met behulp van die teken van ŉ 

grafiek of ŉ diagram. 

VOORBEELD: Illustreer die kontinuïteit van ŉ funksie deur gebruik te maak van die grafiek 

van die funksie. 

Voorstel 

Om ŉ wiskundige begrip op ŉ ander manier te beskryf. 

VOORBEELD: Gee ŉ meetkundige voorstelling van die komplekse getal z = 2 + 2i. 

Stel/noem 

Om spesifieke eienskappe neer te skryf sonder bespreking. 

VOORBEELD: Stel die assosiatiewe eienskap vir optelling. 

Bereken/bepaal 

Om die antwoord van ŉ bewerking te kry. 

VOORBEELD: Bereken: 

Bewys 

xii 

lim 

x 0 

x 

2 

2x 

. 

x 

Om aan te toon dat ŉ bewering waar is. 

VOORBEELD: Bewys dat 5 n - 1 deelbaar is deur 4 vir alle natuurlike getalle n. 

Los op 

Om ŉ oplossing te verkry vir ŉ gegewe probleem of vergelyking. 

VOORBEELD: Ek wil graag ŉ hok bou uit 20 m heining materiaal. Wat moet die lengte en 

breedte van die hok wees sodat die oppervlakte ŉ maksimum sal wees?

Formuleer 

Om ŉ stelling of reël neer te skryf sonder enige bewys. 

VOORBEELD: Formuleer die stelling van Pythagoras. 

xiii

MODULEBEPLANNER 

xiv 

LEEREENHEID LEERGEDEELTE LEERONDERDEEL 

OP- 

DRAGTE 

URE DATUM 

Klastoets 1 1.1-1.4 3 22/02/13 

Klastoets 2 1.5.1-1.5.3 3 08/03/13 

Klastoets 3 1.5.4-1.5.8 3 20/03/13 

Klastoets 4 Sketchpad en 1.6 3 03/05/13 

Klastoets 5 1.5.9 3 10/05/13 

Klastoets 6 2 3 17/05/13 

Klastoets 7 3 3 24/05/13 

1 Funksies en 

Modelle 

1.1 Die begrip: Funksie 1 6 07/02/13 

1.2 Grafieke van 

Funksies 

1.3 Stygende en 

dalende Funksies; 

Gemiddelde tempo 

van Verandering 

2 3 11/02/13 

3A 

3B 

1.4 Transformasies 1.4.1 Translasies 6 

1.5 Wiskundige 

Modelle 

1.4.2 Refleksies 

1.4.3 Rek/krimp 

m.b.t. die 

vertikale as 

1.4.4 Rek/krimp 

m.b.t. die 

horisontale as 

1.4.5 Ewe en onewe 

funksies 

1.5.1 Lineêre 

funksies 

1.5.2 Absolute 

Waarde 

3 12/02/13 

13/02/13 

4 15/02/13 

1 

5B 11 20/02/13 

6A 

6B 

1.5.3 Polinome 7A 

8B 

9 26/02/13 

27/02/13 

9 01/03/13 

04/03/13 

1.5.4 Magsfunksies 9 3 05/03/13 

1.5.5 Rasionale 

Funksies 

1.5.6 Ekspo – 

nensiële 

Funksies 

1.5.7 Logaritmiese 

Funksies 

1.5.8 Algebraïese 

Funksies 

11A 

0 

12 11/03/13 

0 

12B 3 12/03/13

2: Inverse 

Funksies 

3: Nuwe 

funksies uit 

Ou Funksies 

4: Tempo van 

Verandering 

en Limiete 

Finale eksamen 

Voorbereiding 

1.6 Strategieë vir 

Keuse van 

Wiskundige 

Modelle 

1.5.9 Trigonometriese 

Funksies 

1.5.10 Hiperboliese 

Funksies 

13A 15 19/03/13 

0 

14 3 (15/03) 

18/03/13 

22B WIL 

2.1: Definisie 15 2 30/04/13 

2.2: Bekende Inverse 

Funksies 

2.3: Logaritmiese en 

eksponensiële 

funksies as 

inverses 

2.4: Inverses van 

Trigonometriese 

funksie 

2.5: Inverses van 

Hiperboliese 

funksies 

3.1: Transformasies 

2.2.1 Lineêre 

Funksies 

2.2.2: Absolute 

Waarde 

2.2.3 Polinome 2 

2.2.4 Magsfunksies 16 1.5 02/05/13 

2.2.5 Rasionale 

funksies 

2.2.6 Algebraïese 

funksies 

1 

1 

17 1.5 02/05/13 

18 3 06/05/13 

19A 

19D 

3.2: Kombinasies 23B 

23C 

6 08/05/13 

09/05/13 

20B 12 14/05/13 

0 

3 16/05/13 

16/05/13 

3.3: Samestellings 24A 6 21/05/13 

4.1: Raaklyn- en 

snelheidsprobleme 

4.2: Die limiet van 'n 

funksie 

25 

26 

6 23/05/13 

27/05/32 

27 3 29/05/13 

Let wel: Finale Afhandelings- / Inhandigingsdatums sal deur jou dosent voorsien word. 

10 

xv

VERTALING VAN WISKUNDIGE TERME 

(In)dependent variable (On)afhanklike veranderlike 

Acceleration Versnelling 

Adjacent Aangrensend 

Catenary Kettingboog 

Combination Kombinasie 

Composition Samestelling 

Decreasing Dalend 

Domain Definisieversameling / gebied 

Hyperbola Hiperbool 

Hyperbolic Hiperbolies 

Hypotenuse Skuinssy 

Image function Beeldfunksie 

Increasing function Stygende funksie 

Instantaneous Oombliklike 

Interception Snyding 

Opposite Teenoorstaande 

Parent Moederfunksie 

Perpendicular Loodreg 

Power function Magsfunksie 

Range Waardeversameling / Terrein 

Rate of change Veranderingstempo 

Secant Snylyn 

Segment Lynstuk 

Speed Spoed 

Tangent Raaklyn 

Velocity Snelheid 

Vertex Toppunt / Draaipunt 

xvi


PowerPoint 

universiteitswiskunde.ppt op eFundi 

UITKOMSTE VAN HIERDIE MODULE 

Na voltooiing van die module behoort leerders... 

- basiese kennis, begrip en insig demonstreer ten opsigte van die volgende funksies: 

lineêre funksies, kwadratiese funksies, polinoomfunksies, absolute waardefunksies, 

rasionale funksies, trigonometriese funksies, eksponensiële funksies, 

logaritmiese funksies en hiperboliese funksies. 

- vaardigheid besit om lewenswerklike situasies en werklikheidsgetroue probleme 

deur middel van die bogenoemde funksies te modelleer deur gebruik te maak 

van pen-en-papier-metodes sowel as toepaslike rekenaarprogrammatuur. 

- bevoeg wees om die oplossings wat uit bogenoemde prosesse voortvloei te 

interpreteer. Ook moet leerders bevoeg wees om basiese bewerkings met 

funksies uit te voer, saamgestelde funksies te hanteer en om waar moontlik die 

inverse van funksies te bepaal. 

- funksies te gebruik om lewenswerklike situasies en probleme te modelleer en die 

geldigheid van die wiskundige oplossings te evalueer. 

Bogenoemde module-uitkomste is bereik indien die leerder in staat is om die volgende te 

doen: 

Teorie (definisies, stellings, kenmerkende eienskappe en verduidelikings) akkuraat en 

betekenisvol weer te gee; 

Bogenoemde kennis met begrip toe te pas in die uitvoer van korrekte prosedures om 

wiskundige oplossings te genereer; 

Bogenoemde kennis en vaardighede, asook toepaslike tegnologiese hulpmiddels, 

effektief binne werklikheidsgetroue kontekste kan toepas en fasiliteer; 

Die geldigheid en toepaslikheid van wiskundige oplossings binne die konteks van 

werklikheidsgetroue situasies te evalueer en ŉ waardeoordeel uit te spreek 

aangaande die plek van die bestudeerde inhoude binne die breër raamwerk van 

wiskunde. 

xvii

xviii

FUNKSIES EN MODELLE 

Jy benodig ongeveer 81 uur om die leereenheid suksesvol te voltooi. 

UITKOMSTE: 

Na voltooiing van hierdie leereenheid moet jy in staat wees om : 

'n funksie op verskillende maniere voor te stel; 

Leereenheid 1 

te verstaan dat verwantskappe wat in die werklike lewe waargeneem word, gemodelleer 

kan word deur die gebruik van verskillende funksies; 

die eienskappe van ’n funksie te ken en te kan gebruik. 

Studiemateriaal wat jy gaan benodig: Precalculus hoofstuk 2 wat jy moet aankoop; 

Stewart hoofstuk 1 en 7 (ingebind in gids as addendum) en Geometer’s Sketchpad (hierna 

verwys ons slegs as GSP) 

Inleiding: 

Bestudeer Precalculus: 

p. 141 

Funksies is verwantskappe of reëls wat elke element uit ŉ versameling op ’n unieke wyse 

assosieer met ’n element uit ŉ ander versameling. 

Funksies ontstaan wanneer een hoeveelheid afhanklik is van 'n ander hoeveelheid, 

byvoorbeeld die koste om 'n posstuk weg te stuur, is afhanklik van die gewig daarvan. 

Funksies word ook gebruik om verwantskappe wat in die werklike lewe waargeneem word, te 

modelleer. 'n Voorbeeld hiervan is 'n lineêre model wat geformuleer word deur die 

temperatuur van opstygende lug se afhanklikheid van die hoogte bokant grondvlak. 

Die bestudering van funksies is dus die studie van hoe verandering in een veranderlike die 

ander veranderlike beïnvloed. Dit is die studie van gesamentlike verandering van 

veranderlikes. 

In hierdie eenheid word die verskillende wyses waarop 'n funksie voorgestel word, bespreek. 

1

Leereenheid 1 

Funksies ontstaan as een veranderlike van ’n ander een afhanklik is. Die volgende 

voorbeeld illustreer dit ook: 

Beskou ’n kubus met sylengtes x en volume 

3 

V . Ons kan skryf V x . Dan is x die 

onafhanklike veranderlike en V die 

afhanklike veranderlike. 

3 

Verander ons die formule na x V , dan 

is V die onafhanklike veranderlike en x die 

afhanklike veranderlike. 

2

1.1 DIE BEGRIP: FUNKSIE 

Jy benodig ongeveer 6 uur om die leergedeelte suksesvol te voltooi. 

UITKOMSTE: 

Na voltooiing van hierdie leergedeelte moet jy in staat wees om : 

'n funksie op verskillende maniere voor te stel; 

Leereenheid 1 

te verstaan dat verwantskappe wat in die werklike lewe waargeneem word, gemodelleer 

kan word deur die gebruik van verskillende funksies; 

die definisie- en waardeversamelings van ’n gegewe funksie te bepaal; 

versamelings in beide interval- en versamelingkeurdernotasie te kan beskryf; 

’n gegewe funksie op verskillende maniere voor te stel; 

stuksgewyse funksies te herken en kan gebruik; 

die korrekte wiskundige taal te gebruik. 

Studiemateriaal wat jy gaan benodig: Precalculus hoofstuk 2. 


pp. 142 – 152 

Op p. 143 word ’n funksie as ’n reël gedefinieer. Hoe rym dit met jou definisie van ’n 

funksie? ............................................................................................................................ 

.................................................................................................................................................... 

Beskryf of definieer die definisie- en waardeversamelings van 'n funksie. 

.................................................................................................................................................... 

.................................................................................................................................................... 

.................................................................................................................................................... 

.................................................................................................................................................... 

.................................................................................................................................................... 

3

Leereenheid 1 

In voorbeeld 3 op p. 145 behoort u waar te neem dat sommige funksies verskillend 

gedefinieer word vir verskillende gedeeltes van hul definisieversamelings. Ons kan dit 

beskou as verskillende funksies, elkeen op 'n eie stukkie definisieversameling. Hierdie 

funksies word stuksgewys gedefinieerde funksies genoem. 

Maak seker dat jy die notasie vir ’n stuksgewyse funksie verstaan. 

In voorbeeld 6 moet u waarneem dat die definisieversameling 'n baie belangrike rol speel 

by funksies waarin vierkantswortels en noemers voorkom. Maak seker dat u beide 

intervalnotasie en versamelingkeurdernotasie korrek kan gebruik. 

Betekenis: veranderlike x 

is nie minder as 2 nie en 

veranderlike x is kleiner 

as 5 

4 

Intervalnotasie Versamelingkeurdernotasie 

x 2 ; 5 

word gelees as: veranderlike 

x is ‘n element van die linksgeslote, 

regs-oop interval 

vanaf 2 tot net kleiner as 5 

Opmerking: Die kleinste getal moet altyd 

links staan, gevolg deur ‘n 

kommapunt, gevolg deur die 

grootste getal. 

Grafies: 

Die oop-hakie ( of ) word 

gebruik as die getal nie 

ingesluit word in die interval 

nie 

[ of ] word gebruik as die getal 

ingesluit word in die interval. 

2 

x 2 x 5 

x : 2 x 5 

wat die deursnede is van 

2 

en / and 

word gelees as: x is ‘n 

element van die versameling 

reële getalle sodat of : 

met die beperking wat daarop 

volg. 

Alhoewel 5 x 2 dieselfde 

betekenis het as bogenoemde 

beperking, is dit nie goed om 

in die skoolsituasie te gebruik 

nie, want dit maak sommige 

leerders deurmekaar. 

Gebruik ‘n vertikale strepie of 

dubbelpunt vir “sodat”. 

5 

5

Deursnede van 

versameling A en 

versameling B: 

Opmerking: 

Vereniging word aangedui 

deur die simbool 

tussen intervalle of 

versamelings en die 

woord ”of” word tussen 

beperkings gebruik. 

Grafies: 

Vereniging van 

versameling A en 

versameling B: 

x 2 ; 5 ; 5 2 ; x : 2 x 5 

; 3 2 ; 

x 

Daar is nie ‘n korter skryfwyse 

nie. 


pp. 6 – 8 (Sets and Intervals) 

of / or 

-3 2 

Leereenheid 1 

x x 2 en / and x 5 

 

x : x 3 of / or x 2 

5

Leereenheid 1 

Funksies kan op verskillende maniere voorgestel word. Sommige van hierdie voorstellings 

behoort reeds duidelik te wees uit ons vorige besprekings. Dit is die meeste van die tyd 

moontlik om een voorstelling met ’n ander een te vervang, om sodoende meer insig in die 

funksie te verkry. 

Een enkele funksie kan op vier (Precalculus p. 147) verskillende maniere voorgestel word, 

naamlik: 

mondelings (deur die funksie te beskryf) 

numeries (getalle in 'n tabel) 

visueel (met behulp van 'n grafiek) 

algebraïes (deur 'n formule). 

Werk noukeurig deur die volgende voorbeelde: 

Voorbeeld 1: 

Om te verduidelik beskou ons die volgende lewenswerklike geval: 

Brian probeer geld maak om te help betaal vir sy kollege-opleiding deur worsbroodjies vanaf 

’n worsbroodjiewaentjie voor ’n gebou te verkoop. Hy betaal die eienaar van die waentjie 

R35,00 per dag vir die gebruik van die waentjie en verkoop worsbroodjies vir R4,50 elk. Sy 

koste vir die broodjie, worsie, sous en servet is gemiddeld R2,20 per worsbroodjie. Die wins 

met die verkoop van een worsbroodjie is dus R2,30. 

Die funksie begin met ’n verband: verkoop van worsbroodjies en wins as gevolg. Ons stel 

belang in Brian se wins in terme van die aantal worsbroodjies wat verkoop word: hoe 

meer worsbroodjies hy verkoop, hoe groter die wins. Hy begin nie onmiddellik wins maak 

nie, want hy moet R35 huur betaal vir die waentjie. Brian se wins is nogtans afhanklik van 

(’n funksie van) die aantal worsbroodjies wat hy verkoop. [Jy behoort die gebruik van 

funksies in die werklike lewe beter te verstaan nadat jy die vier lewenswerklike situasies 

op bladsy 11 deurgelees het.] 

Die taal van funksies: Brian se wins is afhanklik van die aantal worsbroodjies wat hy 

verkoop. In funksie-taal kan ons sê: “Wins is ’n funksie van die aantal worsbroodjies wat 

verkoop word.” Die frase “ is ’n funksie van” dui op ’n afhanklike verwantskap of verband. 

Die wins is afhanklik van – is ’n funksie van – die verkope van worsbroodjies. 

Numeries: Brian kan moontlike verkoopsyfers bereken en tabuleer om ’n idee te kry van 

die gelykbreekpunt en moontlike wins. As hy niks verkoop nie, maak hy ’n verlies van 

R35 of wins van –R35. As hy 50 worsbroodjies verkoop is sy wins 

50 2,30 – 35 = 115 – 35 = 80. ’n Tabel met soortgelyke waardes sal soos volg lyk: 

6 

Aantal worsbroodjies verkoop Wins 

0 -R 35,00 

50 R 80,00 

100 R 195,00 

200 R 425,00 

10000 R 22965,00 

Die aantal worsbroodjies verkoop is ’n saak van eie keuse. Die lewenswerklike verband 

moet in gedagte gehou word, anders word onrealistiese berekeninge soos met die 

10000 gedoen.

Leereenheid 1 

’n Prentjie sê meer as duisend woorde. Dit is veral waar in die geval van ’n funksie wat 

grafies (visueel) voorgestel word. As ons nou 'n grafiek teken m.b.v. die gegewens in die 

tabel, lyk dit soos volg: 

Die horisontale as stel die aantal worsbroodjies wat verkoop is voor en die vertikale as 

die wins. Die grafiek toon ’n lineêre (reguit lyn) verband tussen verkope en wins en dat 

dit stygend is. Om egter te weet hoeveel worsbroodjies hy moet verkoop voordat hy 'n 

wins begin maak is te moeilik om akkuraat af te lees. Ons het die vergelyking van die 

funksie wat geteken is, nodig. 

Formule of vergelyking: Gestel ’n letter, sê N , stel die aantal worsbroodjies voor wat 

verkoop word. Dan is die inkomste R 2 , 3 N . Die wins word gegee deur die 

huurinkomste af te trek: R 2, 3 N 35 . Om ’n vergelyking te maak, gebruik ons ’n ander 

veranderlike, sê W , vir die wins: W 2, 3N 

35W. 

Dit is dieselfde as die vergelyking 

y 2, 3x 

35 in die xy-vlak. 

Bespreek bogenoemde grafiese voorstellings en noem minstens twee tekortkominge / foute: 

.................................................................................................................................................... 

.................................................................................................................................................... 

Voorbeeld 2: (Erkenning: Mnr. RJ van de Venter) 

ŉ Voorbeeld van ŉ funksie sou wees: Die wet van Ohm. 

V I R waar R 'n konstante waarde, sê maar 30 , besit. 

V 30I 

W 

wins 

in 

Rand 

400 

350 

300 

250 

200 

150 

100 

50 

-50 

 

 

50 100 150 200 

N aantal verkoop 

Die waarde van V is afhanklik van die waarde van I; om V te bereken, moet ons I se 

waarde weet en dit dan met 30 vermenigvuldig om V te lewer en dus is V die afhanklike 

veranderlike en I die onafhanklike veranderlike. 

ŉ Tabel van gemete waardes wat tydens ŉ eksperiment met Ohm se Wet (vir die geval waar 

die weerstand 30 Ω is) opgestel is, sou byvoorbeeld soos volg kon lyk: 

 

 

7

Leereenheid 1 

8 

Stroom I in Ampère 0 0,5 1,0 1,5 2 

Spanning V in Ohm 0 15 30 45 60 

Die grafiese voorstelling van funksies is veral belangrik aangesien dit ons ŉ visuele manier 

gee om die gedrag van ŉ funksie te ondersoek (dit wil sê, hoe die waardes wat betrokke is, 

deur mekaar beïnvloed word). ŉ Grafiese voorstelling van ŉ funksie of proses is dikwels 

wenslik aangesien ŉ numeriese beskrywing (tabel van gemete waardes) dikwels op sigself 

nie veel sê nie. 

ŉ Grafiek van V teen I sou dan vanaf die tabel hierbo geteken kon word; Stip die 5 pare 

waardes as punte, en probeer die punte verbind dmv ŉ kromme (in hierdie geval duidelik ŉ 

reguit lyn): 

70 

V 

(Volt) 

60 

50 

40 

30 

20 

10 

V=30I 

O 

0. 5 1 1. 5 2 

I 

2.5 

-10 

(Ampere) 

Deur net na die grafiek te kyk, is dit moontlik om onmiddellik te sien dat wanneer I verdubbel, 

dan verdubbel V ook; wanneer I verdriedubbel, dan verdriedubbel V ook, ens. 

So ŉ verwantskap word ŉ direkte eweredigheid genoem en impliseer dat V direk eweredig is 

aan I indien R konstant bly (dit is ŉ verbale beskrywing vir die funksie of proses) 

Soos uit hierdie elementêre voorbeeld blyk, is die vier maniere om ŉ lewenswerklike proses, 

(of die funksie wat daardie proses beskryf) voor te stel, onlosmaakbaar met mekaar in 

wisselwerking. Om ŉ volledige beeld te kry van hoe ŉ proses of wetenskaplike wet werk, 

moet al vier maniere om dit voor te stel, beskou word. 

Dit is hoe ons funksies en grafieke in hierdie module hanteer – as maniere om 

lewenswerklike prosesse of wetenskaplike wette te beskryf. 

So ook is logaritmiese en eksponensiële funksies nuttig om sekere prosesse waar groei of 

afname betrokke is, voor te stel en te beskryf. Die gedrag van elektriese stroom in ŉ 

kapasitor, die potensiaalverskil oor die kapasitor en die manier waarop die pH-waarde van ŉ 

batterysuuroplossing afhang van die konsentrasie waterstofione in die oplossing is 

voorbeelde van sulke prosesse.

Voorbeeld 3 en 4: 

Leereenheid 1 

Die volgende voorstelling kom uit twee Powerpoint-aanbiedinge (Direkte eweredigheid 1.ppt 

en Direkte eweredigheid 2.ppt ) wat u op eFundi sal vind en moet deurwerk. 

Definisieversameling T 

Selfstudie: Alle Oefeninge oor Grafieke in die Addendum pp. 224 – 26 

Neem u antwoorde saam na die kontakgeleentheid/ groepbyeenkoms vir 

bespreking 


Voltooi die volgende opdrag: 

Opdrag 1: Precalculus Oefening 2.1 

No. 2 

6 

(ure) 

11 

-3 

-2 

-1 

0 

1 

2 

3 

Onafhanklike (bepalende) 

Veranderlike t 

Skematiese voorstelling van 'n funksie 

c=f(t) met f(t)= -3 + 2t 

Funksie 

c= -3 + 2t 

Afbeelding 

van x op y 

Waardeversameling C 

(mg/l) 

Afhanklike Veranderlike c 

9

Leereenheid 1 

10 

18 

21 

29 

32 

44 

47 

50 

55 

65 

72 

73 

79 

83 

Opdrag 1 (Opsioneel): Precalculus Oefening 2.1 

No. 7 

8 

16 

22 

23 

24 

28 

33 

34 

36 

38 

39 

45 

46 

49 

56 

59 

61 

63 

77 

80

81 

82 

Het u sommige van die oefeninge met The Geometer’s Sketchpad gekontroleer? 

Sien assessering en teugvoering op p. viii 

Leereenheid 1 

CD-ROM. 

SBO: Skakel CD aan en kliek op B (Inleiding tot Geometer’s Sketchpad) 

Residensieel: Inleiding tot Geometer’s Sketchpad sal in klas gegee word. 

(Archive - Ex Alg – 4Funct - Dynagraphs) 

11

Leereenheid 1 

1.2 GRAFIEKE VAN FUNKSIES 

Jy benodig ongeveer 3 uur om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi. 

UITKOMSTE: 

Na voltooiing van hierdie leergedeelte moet jy in staat wees om 

funksies grafies voor te stel met 'n sketsfiguur; 

stuksgewyse funksies te herken en te kan gebruik; 

The Geometer’s Sketchpad te gebruik om eenvoudige funksies te skets 

die vertikale lyntoets te formuleer en toe te pas 

Studiemateriaal wat jy gaan benodig: Precalculus hoofstuk 2 

12 


pp. 152 – 162 

Hoe weet jy of ’n gegewe kromme in die xy-vlak die grafiek van ’n funksie is? 

Wenk: Dink aan die definisie van ’n funksie – dit word in die vertikale lyntoets gebruik (kyk 

figuur 10, bl. 15764). 

.................................................................................................................................................... 

.................................................................................................................................................... 

.................................................................................................................................................... 

Selfstudie: Alle Oefeninge oor Grafieke in die Addendum pp. 27 - 29 


bespreking



Opdrag 2: Precalculus Oefening 2.2 

4 

7 

12 

16 

21 

38 

49 (Wenk: Beskou dit as drie afsonderlike grafieke op een assestelsel) 

52 

75 

82 


5 

30 (Gebruik GSP en stuur via eFundi. Lewer ook ‘n hardekopie in.) 

38 

45 (Wenk: Beskou dit as drie afsonderlike grafieke op een assestelsel) 

47 (Gebruik GSP en stuur via eFundi. Lewer ook ‘n hardekopie in.) 

50 

53 

56 

63 

67 

70 

76 

77 

84 



Leereenheid 1 

13

Leereenheid 1 

Die volgende aksies in The Geometer’s Sketchpad sal u deur die loop van die 

module moet bemeester. Merk alles af soos wat u dit onder die knie kry. 

14 

AKSIE Verduideliking Merk af 

Selection Arrow Tool Selekteer of “sleep” figure 

Point Tool Teken punte 

Construct -segment Teken ’n lynstuk(ke) 

Indien op “wit” kliek, word niks geselekteer. 

Hierdie “Tool” moet altyd gekies word, anders 

sal jy aanhou met punte plot of doen dit wat jy 

laaste gekies het. as iets nie wil werk nie, kyk 

eers of die regte voorwerpe geselekteer is. 

Measure-Angle Meet die hoek by die middelste hoekpunt van 

drie hoekpunte wat in volgorde geselekteer 

word. 

Measure-Calculate Vir berekeninge, waar vorige metings as 

veranderlikes geselekteer kan word. 

Measure-Length Meet lengte van ’n geselekteerde lynstuk 

Measure -Distance Meet afstand tussen twee geselekteerde 

punte 

Display-Animate point Selekteer ’n punt wat onwillekeurig moet 

beweeg. 

Straightedge Tool Konstrueer lynstukke (Punt moet verlig wees 

om lynstukke aan mekaar te bind.) 

Construct- 

Perpendicular Line 

Construct-Intersection 

Construct-(Triangle) 

Interior 

Measure-Perimeter 

(Area) 

Punt waardeur loodlyn moet gaan en lyn(stuk) 

waarop die loodlyn getrek moet word moet 

beide geselekteer wees. 

Selekteer twee meetkundige voorwerpe en 

verkry dan die snypunt of 

Kliek met muis naby snyding of 

Plaas punt met Point Tool op snyding as 

beide voorwerpe verlig is. (Laasgenoemde is 

’n onveilige metode) 

Selekteer hoekpunte van veelhoek en kies 

hele veelhoek hiermee. 

Met veelhoek geselekteer (fyn rooster) kan jy 

nou die omtrek of oppervlakte meet. 

File-New Sketch Gaan na skoon dokument.

Graph-Grid Form- 

Square Grid 

Graph-Grid Form- 

Rectangular Grid 

Vir vierkantige grafiekpapier. 

Sleep die oorsprong om meer of minder van 

’n spesifieke kwadrant te sien. 

Plaas die muis op ’n getal op die asse. As die 

muis-pyltjie na of verander, kan jy die 

muis kliek en sleep en beide asse se skaal 

verander, maar bly steeds vierkantig. 

Vir grafiekpapier met verskillende skale op die 

asse. 

Plaas die muis op ’n getal op die asse. As die 

muis-pyltjie na verander, kan die skaal op 

die horisontale as onafhanklik van die 

vertikale as verander. As die muis-pyltjie na 

verander, kan die skaal op die vertikale as 

verander word sonder dat die horisontale as 

beïnvloed word. 

Graph-Hide(Show) Grid Om die rooster weg te steek om weer na vore 

te bring. 

Graph-Snap Points Punte naby die rooster-kruisings word presies 

op die snyding geplot. 

Display-Hide Axis(Axes) Selekteer ’n as(se) en steek dit weg. 

Display-Hide Points (of 

ander figure) 

Display-Line 

Width(dashed, Thin, 

thick) 

Selekteer eers die figuur en steek dit dan 

weg. 

Selekteer ’n lyn(stuk) of funksie en verander 

die voorkoms. 

Display-Color Selekteer ’n voorwerp en verander dan die 

kleur daarvan. 

Graph-Plot New 

Function 

sin 

cos 

tan 

arcsin 

arccos 

arctan 

abs 

sqrt 

ln 

log 

Sorg dat niks vooraf geselekteer is nie. 

^ vir eksponente 

* vir vermenigvuldiging 

en e is by “Values” 

By Equation kan jy kies tussen f x f y y en 

x . Laasgenoemde is nodig om 

vertikale lyne as funksies te teken; bv. x 3 . 

Oppas vir die trigonometriese funksies. Indien 

jy in grade werk, moet jy die asse vooraf reg 

rek of krimp. 

Jy kan nie ’n sirkel soos x y 25 direk 

teken nie, want dit is nie ’n funksie nie. Teken 

dus y 

2 

25 x 

f x . 

en daarna 

2 

2 

Leereenheid 1 

15

Leereenheid 1 

16 

Edit Function Regs-kliek op die vergelyking van die funksie 

om korreksies of wysigings aan te bring 

sonder om alles weer oor in te sleutel. 

Properties- Plot-Domain Regs-kliek op ’n grafiek om die 

definisieversameling te stel. 

Measure- Coordinates Meet ’n geselekteerde punt se koördinate 

Measure-Abscissa Meet slegs die x koördinaat van ’n 

geselekteerde punt. 

Measure-Ordinate Meet slegs die y koördinaat van ’n 

geselekteerde punt. 

Edit-Merge Point to 

Function Plot 

Selekteer ’n punt baie na aan ’n grafiek en die 

grafiek om die punt op die grafiek te plaas. As 

die grafiek verkleur as jy die punt daarop 

plaas, is die “merge” onnodig. Die punt kan 

nou op die grafiek gesleep word. 

Text Tool Benoem punte met naam daaraan gekoppel 

deur met handjie (wat swart word) op punt te 

kliek. Verander die naam deur met handjie 

met A binne-in te dubbelkliek. 

Edit-Select All 

Edit-Copy 

Edit-Paste of 

Edit- Paste Special – 

Picture (vir beter 

kwaliteit) 

Selekteer eers alles en kliek op dit wat jy nie 

wil selekteer. Plaas dit dan op die “Clipboard”. 

Dit kan dan in WORD of enige ander 

dokument ingetrek word. 

Trek in WORD in. 

Kan prent net rek of krimp deur met in een 

van die hoeke met ’n diagonale pyltjie te 

sleep. 

File-Save As Stoor as ’n .gsp lêer op ’n plek van jou keuse. 

File-Document Options- 

Add Page- 

Blank/Duplicate 

File-Document Options- 

Add Page- 

Blank/Duplicate-Page 

name. 

File-Print Preview-Fit to 

Page 

Voeg verskillende bladsye by in dieselfde 

dokument. Dit help om sketse wat saam hoort 

onder een lêernaam te stoor. 

Benoem die bladsye sinvol in die boonste van 

die twee wit dele. 

Druk skets om op ’n A4-bladsy in te pas. Dit 

werk goed vir die skep van transparante. 

Edit-Preferences Stel jou eenhede en noukeurigheid. 

Measure-Slope Selekteer reguit lyn en meet die helling. 

Measure-Equation Selekteer ’n lyn en bepaal die vergelyking 

daarvan. 

Graph-Plot Points- 

Plot/Done 

Sleutel ’n punt se koördinate in wat nie sal 

verander as jy aan die asse stel nie.

Edit-Paste Picture Dupliseer iets (soos ’n prent of Equation 

Editor-vergelyking ) vanuit ’n ander program. 

Nog vele ander. Eksperimenteer gerus en leer by mekaar. 

Onthou die beste van alles .. 

Edit Undo Maak ’n glipsie ongedaan. 

Graph – New 

Parameter 

Om ‘n parameter te definieer. [‘n Parameter is 

‘n konstante in ‘n vergelyking wat verander in 

ander vergelykings van dieselfde formaat, bv. 

die helling van ‘n reguit lyn.] 

Leereenheid 1 

17

Leereenheid 1 

1.3 INLIGTING VANUIT DIE GRAFIEK VAN ‘N FUNKSIE 


UITKOMSTE: 


funksies as stygend of dalend te definieer 

funksies as stygend of dalend te klassifiseer oor 'n gegewe interval 

die lokale minima en maksima van funksies grafies te bepaal 

gemiddelde veranderingstempo te definieer, bereken en grafies te interpreteer 

Studiemateriaal wat jy gaan benodig: Precalculus hoofstuk 2 

18 


pp. 163 – 168 

Definieer ŉ stygende funksie: ................................................................................................ 

.................................................................................................................................................... 

Definieer ŉ dalende funksie: ............................................................................................ 

.................................................................................................................................................... 



Opdrag 3A: Precalculus Oefening 2.3 

3

7 

8 

20 

28 (gebruik GSP en stuur via eFundi) 

31 


43 

49 

[Onthou om ook u drukstukke aan te heg.] 

Opdrag 3A (Opsioneel): Precalculus Oefening 2.3 

4 



19 

21 

23 

45 

46 

55 




pp. 172 – 176 

Leereenheid 1 

Definieer die gemiddelde veranderingstempo van die funksie y f x tussen x a en x b. 

.................................................................................................................................................... 

.................................................................................................................................................... 

19

Leereenheid 1 

20 


Opdrag 3B: Precalculus Oefening 2.4 

4 

5 

8 

9 

12 

17 

22 

24 

27 

Opdrag 3B (Opsioneel): Precalculus Oefening 2.4 

3 

11 

13 

18 

20 

21 

23 

26 a en b 

28 

31 





bespreking

1.4 TRANSFORMASIES VAN FUNKSIES 


Uitkomste 


Leereenheid 1 

nuwe funksies te vorm deur middel van transformasies van die grafieke van bekende 

funksies; 

funksies met behulp van GSP te transformeer 

transformasies van bekende funksies te kan identifiseer. 

Jy gaan die volgende studiemateriaal nodig kry: Precalculus hoofstuk 2 en Addendum 

hoofstuk 1. 

Transformasies is ŉ versamelnaam vir translasies (skuiwe), refleksies, strekke en krimpe. 

Hier volg 'n voorbeeld: 

Verkry internettoegang en voer die meegaande opdrag uit. 

Gebruik die volgende adres: http://www.animationfactory.com/ , kliek op 

“animation” onder “HOME” en daarna op enige onderafdeling om te kyk na 

rekenaaranimasie. Die figuur word gedefinieer deur baie (baie!!) individuele 

koördinate. Animasie van die figuur word verkry deur al hierdie koördinate 

bietjie vir bietjie op die skerm rond te beweeg met ŉ reeks skyfies. Wanneer 

jy na die reeks skyfies kyk, lyk dit asof die figuur beweeg. 

21

Leereenheid 1 

Wanneer ons 'n figuur in skuif, beweeg of verander staan dit in wiskunde bekend as 'n 

transformasie. M.a.w. elke skyfie van 'n animasie is 'n transformasie 

22 

Die volgende prentjie kan: 

vertikaal gekrimp 

of vertikaal gestrek

of horisontaal gekrimp 

of horisontaal gestrek 

word. 

Dit kan ook gereflekteer word m.b.t. die vertikale-as: 

of m.b.t. die horisontale-as: 

Leereenheid 1 

23

Leereenheid 1 

1.4.1 Translasies: 

Tydens aardbewings transleer die aardkors dikwels horisontaal of vertikaal langs 'n breuk. 

As jy meer wil lees oor rekenaaranimasie of aardbewings, gebruik die adres 

http://www.keymath.com/DA/links/ch09.html 

24 

CD-ROM. 

SBO: Skakel CD aan en kliek op H: 

Residensieel: Tydens die kontaksessie sal transformasie van 'n 

driehoek m.b.v. GSP verduidelik word. (Disc Alg p.476) 


pp. 179 – 182 (tot Example 3) 

BESTUDEER VOORBEELD 1: Beskou die moederfunksie f x x . Dan is 

g x f x 3 'n afwaartse skuif van 3 eenhede van f ; en h x f x 2 

skuif f 2 

eenhede na regs. Moenie met die teken deurmekaar raak nie. [Sê vir jouself: as x 2 is 

x 2 0 , so by x 2 lyk h soos f by x 0 ] 

h 

y 

6 

4 

2 

-5 5 10 

x 

-2 

-4 

g 

f

Leereenheid 1 

2 

VOLTOOI VOORBEELD 2: Beskou die moederfunksie y f x x . Probeer die beeld, g 

se vergelyking vind. 

Omdat f , 2 eenhede na regs skuif word die uitdrukking: ……………………….. 

Omdat dit dan ook 4 eenhede af skuif word die vergelyking: g x ……………………….. 

Maak 'n opsomming van die verskillende soort translasies: 

Vertikale en Horisontale Skuiwe Gestel c 0 . Om die grafiek te verkry van 

x c 

y f 

fx = x2 y 

 

(2; -4) 

Dit is baie belangrik dat jy hierdie werk goed verstaan, want in MATE 211 gaan ons by 

kegelsnedes die middelpunt transleer en dan maak ons van beide ŉ horisontale en vertikale 

skuif gebruik. 

Selfstudie: Alle Oefeninge oor Grafieke in die Addendum pp. 33-35 


bespreking 

g 

x 

25

Leereenheid 1 

1.4.2 Refleksies 

VOLTOOI VOORBEELD 3: 

26 


pp. 182 - 183 (tot Example 4) 

Wat is die vergelyking van die beeld ( g ) van die moederfunksie f ? 

g x …………………………… 


A 

A: (-7.00, 2.00) 

g 


y 

5 

4 

3 

Teken van x- koördinaat verander 

2 

1 

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8 

B 

B: (-3.00, -2.00) 

-1 

-2 

-3 

-4 

-5 

5 

4 

3 

2 

1 

C 

D: (7.00, 2.00) 

f x 

= x-5 

C: (3.00, -2.00) 

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8 

B: (-1.00, -4.00) 

y 

-1 

-2 

-3 

-4 

-5 

A: A 

(3.00, 3.00) 

C: (3.00, -3.01) 

D: (3.00, -4.00) 

D 

x 

x

Leereenheid 1 

Reflekteer f m.b.t. x-as (A na C): ........................................................................................... 

Skuif 1 eenheid af (C na D): ..................................................................................................... 

Skuif 4 eenhede links (D na B): ................................................................................................. 



..................................................................................................... 

..................................................................................................... 

..................................................................................................... 

..................................................................................................... 

Maak 'n opsomming van die verskillende soort refleksies: 

Reflekteer y f x fx = x2 m.b.t. die om 

8 

6 

4 

2 

-10 -5 5 10 15 

-2 

-4 

-6 

-8 



bespreking 

g 

27

Leereenheid 1 

1.4.3 Rek/krimp m.b.t. die vertikale as: 

28 


pp. 183 – 184 (tot Example 6) 

(Verduideliking van rek en krimp) 

CD-ROM. 


SBO: Skakel CD aan en kliek op I 

Residensieel: Tydens kontaksessie sal “rek en krimp” 

verduidelik word. 


g 

..................................................................................................... 

..................................................................................................... 

..................................................................................................... 

..................................................................................................... 

..................................................................................................... 

4 

3 

2 

1 

-4 -2 2 4 6 

fx = 0.1xx+4x-2 

y 

-1 

-2 

-3 

-4 

-5 

-6 

-7 

A: (1.00, -0.50) 

B: (1.00, -1.25) 

x

Maak 'n opsomming van vertikale strek en krimp: 

Vertikale Strek of Krimp 

x y f met c 0 

Leereenheid 1 



bespreking 

29

Leereenheid 1 

1.4.4 Rek/krimp m.b.t. die horisontale as: 


30 


pp. 184– 185 


g 

fx = x2 ..................................................................................................... 

..................................................................................................... 

..................................................................................................... 

..................................................................................................... 

..................................................................................................... 

Dieselfde transformasie kan ook anders gedoen word. 

y 

14 

12 

10 

8 

6 

4 

2 

-6 -4 -2 2 4 6 8 

-2 

(2; 4) 

(3; 9) 

 

 

 

(6; 9) 

(4; 4) 

 

x

..................................................................................................... 

..................................................................................................... 

..................................................................................................... 

..................................................................................................... 

Leereenheid 1 

Eers het ons ’n horisontale ............ met faktor ............. en daarna dieselfde grafiek verkry 

deur ’n vertikale .................. met faktor ............ 

Maak 'n opsomming van horisontale strek en krimp: 

Horisontale Strek en Krimp: 

x 

y f met c 1 

c 

g 

fx = x2 G: (-2.00, 4.00) 

F: (-2.00, 1.00) 

 

f word horisontaal gestrek met ‘n faktor c 

x 

Bv. y f strek f horisontaal met ‘n faktor 3 

3 

x 

y f met 0 c 1 

f word horisontaal gekrimp met ‘n faktor 

c 

1 

c 

Bv. 

y 

14 

12 

10 

8 

6 

4 

2 

-6 -4 -2 2 4 6 8 

-2 

(3; 9) 

 

 

(3; 2,25) 

x 

y f 

 

f 4x 1 

krimp f horisontaal met ‘n faktor 4 

4 

x 

31

Leereenheid 1 

Opsomming van transformasies: 

Moederfunksie: y f x x 

y g x mf t q 

u 

32 

x n 

y g x mf q 

p 

of 

x n x n 

y g x c f v cf cv 

p p 

m : f word vertikaal gestrek ( m 1 

) met ‘n faktor m of 

1 

f word vertikaal gekrimp ( 0 m 1 

) met ‘n faktor voordat die vertikale translasie 

m 

van q eenhede plaasvind. 

c : f word vertikaal gestrek ( c 1) 

met ‘n faktor c of 

1 

f word vertikaal gekrimp ( 0 c 1 

) met ‘n faktor nadat die vertikale translasie 

c 

van v eenhede plaasgevind het. 

u : f word horisontaal gestrek ( u 1 

) met ‘n faktor u of 

1 

f word horisontaal gekrimp ( 0 u 1) 

met ‘n faktor nadat die horisontale 

u 

translasie van t eenhede plaasvind. 

p : f word horisontaal gestrek ( p 1) 

met ‘n faktor p of 

1 

f word horisontaal gekrimp ( 0 p 1 

) met ‘n faktor voordat die horisontale 

p 

translasie van n eenhede plaasgevind het. 

t : f word t eenhede horisontaal na regs ( t 0 ) of horisontaal na links ( t 0 ) 

getransleer voordat dit horisontale gestrek/gekrimp is 

n: f word n eenhede horisontaal na regs ( n 0 ) of horisontaal na links ( n 0) 

getransleer nadat dit horisontaal gestrek/gekrimp is 

q : f word q eenhede vertikaal opwaarts ( q 0 ) of vertikaal na onder ( q 0 ) 

getransleer nadat dit vertikaal gestrek/gekrimp is 

v : f word v eenhede vertikaal na bo ( v 0 ) of vertikaal afwaarts ( v 0 ) getransleer 

voodat dit vertikaal gestrek/gekrimp is. 



bespreking 

of

1.4.5 EWE EN ONEWE FUNKSIES (SIMMETRIE) 


p. 186 

Leereenheid 1 

Skryf die definisies neer vir 'n funksie f wat ewe is: ................................................................ 

.................................................................................................................................................... 

Skryf die definisie neer vir 'n funksie g wat onewe is: .............................................................. 

.................................................................................................................................................... 

Voltooi: 

Die funksie f x cosx 

is ’n ……………… funksie en simmetries m.b.t. die ……………….. 

Die funksie f x sin x is ’n ……………… funksie en simmetries m.b.t. die ……………….. 

Is alle funksies altyd ewe of onewe? ……………. (Wenk: Dink aan 'n funksies wat 

simmetries is m.b.t. die x-as.) 



bespreking 



Opdrag 4: 

7 (p. 207 Review) 

Precalculus Oefening 2.5 

4 

7 

11 

33

Leereenheid 1 

34 

15 

20 

38 

44 

45 

48 

62 

64 [Klasopdrag: Gebruik GSP en stuur via eFundi [Doen eerste een met “plot 

points”, “construct segment” en die ander elkeen op ŉ nuwe bladsy in dieselfde 

dokument en gebruik “reflect” of “translate”] 

77 

Doen ook figure A,B,C en E wat volg: 

Rekonstrueer die volgende sketse d.m.v. GSP. Stel eers die asse soos op die sketse. 

Identifiseer die moederfunksie (in “BOLD”). Teken daarna ook die ander grafieke 

(beeldfunksies) m.b.v. transformasies. Skryf die vergelykings van die grafieke neer in jou 

antwoordskrif volgens die formaat in die studie gids. Benoem ook die tipe transformasie(s). 

Stoor elke skets op jou geheuestokkie. 

FIGUUR A: 

Gebruik die volgende formaat om die antwoorde in jou opdrag te skryf (nie in die gids nie): 

Moederfunksie: ........................................................ 

Beeldfunksies: ........................................................ 

........................................................ 

........................................................ 

3 

2 

1 

-4 -2 2 4 

-1 

-2 

-3

........................................................ 

........................................................ 

........................................................ 

Tipe transformasie(s): ........................................................ 

FIGUUR B 

........................................................ 



........................................................ 

........................................................ 

........................................................ 

........................................................ 


........................................................ 

4 

3 

2 

1 

-3 -2 -1 1 2 3 

-1 

-2 

-3 

-4 

Leereenheid 1 

35

Leereenheid 1 

FIGUUR C: 



36 

........................................................ 

........................................................ 


........................................................ 

15 

10 

5 

-15 -10 -5 5 10 15 

-5 

-10 

-15

FIGUUR E 

2 

Moederfunksie: f x 32x 


........................................................ 

........................................................ 

........................................................ 

........................................................ 

........................................................ 

........................................................ 

........................................................ 

........................................................ 

........................................................ 

........................................................ 

........................................................ 

………………………………………. 


........................................................ 


Sien assessering en terugvoering op p. viii. 

30 

20 

10 

-6 -4 -2 2 4 6 

-10 

-20 

-30 

Leereenheid 1 

37

Leereenheid 1 


38 

5 

6 

8 

9 

10 

13 

14 

25 

30 

43 

51 

53 

55 

59 

60 

61 

66 

77 (Toon berekeninge, maar moenie skets nie) 



83 

89 


Sien assessering en terugvoering op p. viii

1.5 WISKUNDIGE MODELLE 


UITKOMSTE: 


Leereenheid 1 

verwantskappe wat in die werklike lewe waargeneem word te modelleer deur die gebruik 

van lineêre funksies, absolute waarde funksies, polinome, magsfunksies, eksponensiële 

funksies, rasionale funksies, algebraïese funksies, trigonometriese funksies en 

hiperboliese funksies 

The Geometer’s Sketchpad te gebruik om eenvoudige funksies te skets 

onderrig van funksies op skoolvlak te kan fasiliteer 

ŉ tweede taal te gebruik in handboeke en Internet 

ŉ verskeidenheid van bronne te gebruik (bv. boeke, Internet) 

probleemgebaseerde take uit te voer as individue en as groepe (Residensieel) 

verskillende leerstyle te kan identifiseer uit die voorbeeld wat gestel word deur die dosent 

selfdissipline te ontwikkel omdat voorbereiding vir elke kontaksessie vereis word in 

hierdie gids 

media en bronne uit die werklike lewe te kan gebruik aangesien hierdie gids se wiskunde 

in konteks bespreek word; 

duidelik en oortuigend te kan skryf in die wiskundige taal; 

die beginsels van UGO te verstaan en toe te pas en die probleme verbonde aan UGO te 

ervaar 

sensitief te wees vir kulturele- , ras- en geslagsverskille 

numeries, tegnologies en media geletterd te wees 

die beginsel van akademiese integriteit toe te pas 

gemeenskaplike bronne soos die Internet te gebruik 

ŉ verskeidenheid assesseringsmetode te gebruik 

te verstaan hoe belangrik terugvoer is 

assesseringsuitslae te interpreteer om die leerproses te verbeter 

wiskunde in ander leerareas te integreer 

te verstaan watter belangrike rol wiskunde in die lewe van Suid-Afrikaners speel 

39

Leereenheid 1 

Studiemateriaal wat jy gaan benodig: Precalculus hoofstuk 2 en Addendum hoofstuk 1 en 

7 

INLEIDING 

’n Wiskundige model is ’n wiskundige beskrywing (deur middel van ’n funksie of ’n 

vergelyking) van ’n lewenswerklike situasie. Die doel van so ’n model is om die 

lewenswerklike situasie te verstaan en, indien moontlik, toekomstige gedrag te voorspel. 

In ’n woordprobleem word die wiskundige beskrywing nie vir jou gegee nie. Jy moet self die 

vergelyking vind. Hierdie proses om woorde te “vertaal” in wiskunde word wiskundige 

modellering genoem. Dit is baie belangrik om die probleem meer as een keer te lees sodat 

jy presies weet watter gegewens gegee word en wat gevra word. 

Die lengte van ’n vliegtuig se aanloopbaan kan nie eksperimenteel bepaal word nie, want 

mense se lewens en miljoene rande is op die spel. Ons benodig ’n veilige en goedkoop 

metode – dié van ’n wiskundige model. 

Watter van die volgende grafieke sou die beste pas by elk van die volgende lewenswerklike 

situasies? Beantwoord die vraag met die oog op bespreking tydens die volgende 

kontaksessie: 

40 

Situasie A: Die aantal bokke op ’n eiland neem gedurende 

die eerste paar jaar stelselmatig toe. Soos die kos minder 

word, neem die aanteeltempo af, totdat die aantal 

geboortes en sterftes min of meer dieselfde is. 

Situasie B: In die suidelike halfrond neem die hoeveelheid 

daglig stadig toe vanaf Julie tot Augustus, vinniger tot 

middel November en dan stadiger tot die maksimum teen 

middel Desember bereik word. Dan neem dit stadig af 

gedurende Januarie, vinniger vanaf Februarie tot middel- 

Mei en stadiger tot middel Junie. 

Situasie C: As jy ’n vaste hoeveelheid heiningdraad het, 

word die oppervlakte van jou reghoekige tuin deur die 

wydte bepaal . Met die wydte klein, is die oppervlakte klein. 

As die wydte toeneem, word die oppervlakte groter. Die 

oppervlakte word al hoe stadiger groter tot op ’n 

maksimum. As die wydte verder vergroot word, word die 

oppervlakte vinniger kleiner totdat dit 0 is. 

Situasie D: Jou koppie tee is baie warm. Die verskil tussen 

tee-temperatuur en kamer-temperatuur veroorsaak dat die 

temperatuur van die tee aanvanklik vinnig afkoel. Wanneer 

die twee temperature na aan mekaar kom, neem die 

afkoelingstempo af. Dit neem eintlik lank vir die tee om tot 

kamer-temperatuur af te koel.

A 

B 

C 

D 

Grafiek 2 

Grafiek 1 

Grafiek 3 

Grafiek 4 

Leereenheid 1 

41

Leereenheid 1 

42 

Bestudeer die aangetoonde materiaal in die addendum: 

Lees p. 1. Die wiskundige modelleringsproses word aan die hand van Figuur 1 beskryf. 

Lees dit deur as agtergrond vir die volgende leeronderdele. Maak 'n skets van die proses 

van modellering in die volgende blok: 


PowerPoint 

Fisika en Twfunksies.ppt op eFundi 

Verskillende soort funksies word gebruik om verwantskappe wat in die werklike lewe 

waargeneem word, te modelleer. Dit word in die volgende leeronderdele bespreek.

1.5.1 LINEÊRE FUNKSIES 

Jy benodig ongeveer 11 uur om hierdie leeronderdeel suksesvol te voltooi. 

Los die volgende probleem volledig op vir die volgende kontaksessie: 

Matilda begin haar oefenprogram deur gimnasium toe te draf. 

Volgens haar afrigter verbrand sy 250 kalorieë met hierdie 

aktiwiteit. In die gimnasium trap sy ŉ stilstaande oefenfiets. Hierdie 

aktiwiteit verbrand 5 kalorieë per minuut. 

Gebruik ŉ sakrekenaar om hierdie lewenswerklike situasie te modelleer: 

Stap 1: 

Stap 2: 

Stap 3: 

Gebruik ŉ sakrekenaar om die totale aantal 

kalorieë te bereken wat Matilda na elke minuut 

verbrand. Onthou om die 250 kalorieë van die 

drawwery in te sluit. 

Voltooi die tabel. 

Hoeveel kalorieë is na 20 minute se fietstrap 

verbrand? 

………….. 

Hoe lank duur dit voor sy 550 kalorieë 

verbrand het? ………. 

Leereenheid 1 

Matilda se oefenprogram. 

Traptyd 

in 

(minute) 

x 

Totale 

kalorieë 

verbrand 

y 

0 250 

1 

2 

20 

30 

45 

60 

43

Leereenheid 1 

Ontwikkel ŉ vergelyking wat dieselfde waardes as die bewerkings met die sakrekenaar sal 

lewer. 

Stap 4 Skryf ŉ uitdrukking (met getalle) om die totale 

aantal kalorieë te bereken wat Matilda verbrand 

na 20 minute se trap: 

44 

………………………………………………………… 

Maak seker dat die uitdrukking se waarde die in 

die tabel is. 

Stap 5 Skryf en bereken ŉ uitdrukking wat die totale aantal kalorieë gee wat 

Matilda na 38 minute verbrand: 

………………………………………………………… 

Stap 6 Laat x die traptyd in minute voorstel en y die totale aantal kalorieë wat 

Matilda verbrand. Skryf ŉ vergelyking neer wat die verband tussen tyd en 

totale kalorieë weergee: 

………………………………………………………… 

Stap 7 Maak seker dat die vergelyking die ooreenstemmende waardes in die tabel 

lewer. 

Nou gaan ons die verband tussen die lineêre vergelyking en sy grafiek ondersoek. 

Stap 8: Teken en verbind die punte van die tabel duidelik op die volgende 

assestelsel. Dui ook die x- en y -as aan: 

600 

500 

400 

y in 

kalorieë 

300 

200 

100 

10 20 30 40 50 60 

x in minute

Leereenheid 1 

Stap 9 Vervang y met 475 in die vergelyking om uit te vind na hoeveel minute 

Matilda 475 kalorieë verbrand het: 

…………………………………………………………… 

Stap 10 

…………………………………………………………… 

…………………………………………………………… 

…………………………………………………………… 

…………………………………………………………… 

…………………………………………………………… 

Toets die waarde op die grafiek. Dui met ŉ A aan waar en hoe dit afgelees 

is. 

Wat word deur die beginwaarde (eerste y -waarde) in die tabel voorgestel 

in die vergelyking? …………………………………………….. 

Watter is die betekenis van hierdie waarde op die grafiek? 

…………………………………………………… 

Die vergelyking van Matilda se oefenprogram beskryf ŉ lineêre (afgelei van die reguit lyn) 

verband tussen die totale aantal kalorieë verbrand en die minute getrap op die oefenfiets. 

Die vorm 

y mx 

word die gradiënt-afsnit-vorm genoem. Die waarde van c is die y-afsnit; dit is die waarde 

van y as x nul is. Die y -afsnit is die plek waar die grafiek oor die y -as kruis. Die getal m 

waarmee x vermenigvuldig word, is die koëffisiënt van x. Dit is die tempo waarteen haar 

liggaam kalorieë verbrand. Dit is ook die helling/gradiënt van die reguit lyn. Die helling is die 

tangens van die hoek wat die reguit lyn met die positiewe x-as maak. 

Terloops: Gradiënt is afgelei van ŉ Franse 

woord wat berg beteken. 

c 

45

Leereenheid 1 

Lineêre funksies (ook genoem “eerstegraadse funksies”) (Erkenning: Mnr. RJ van de 

Venter) 

Funksies is formules wat ŉ werklike situasie of proses wiskundig beskryf; ons 

gebruik funksies om wiskundige modelle saam te stel. 

Wat is ŉ wiskundige model? Wel, dit is ŉ wiskundige voorstelling van ŉ fisiese situasie of 

probleem. Die werklike lewe (en die meeste tegnologiese toepassings in fabrieke, 

werkswinkels of laboratoriums) het met ingewikkelde probleme en situasies te doen. Tog 

kan sulke situasies wiskundig vereenvoudig word deur slegs na twee of miskien drie 

meetbare aspekte daarvan op ŉ keer te kyk. Hierdie meetbare aspekte word veranderlikes 

genoem. Die manier waarop die een veranderlike van die ander afhanklik is, word in die 

vorm van ŉ formule (wiskundige vergelyking) geskryf. Hierdie formule word ŉ wiskundige 

model genoem. 

Om bogenoemde begrippe en idees te verduidelik, kan ons na ŉ voorbeeld kyk waar ons ŉ 

werklike situasie het en ŉ wiskundige model (wiskundige prentjie) daarvan wil ontwikkel. 

Om die druk onder die oppervlakte van ŉ reservoir (diep watertenk) as funksie van 

diepte onder die oppervlak te bepaal 

Beskou ŉ diep tenk, 20 meter diep en ŉ drukmeter wat onder die oppervlak van die water 

laat sak word sodat elke 4 meter ŉ druklesing geneem word: 

Let daarop dat die druklesing afhang van hoe diep onder die oppervlak van die water die 

lesing geneem word. Die druk verander namate die diepte verander. Uit hierdie 

waarneming kan ons sê dat die druk op elke diepte ŉ sekere waarde het en dat die druk dus 

46

Leereenheid 1 

afhang van die diepte waarop dit gemeet word. Daar is dus twee veranderlikes betrokke, 

naamlik druk en diepte. Die druk P word die afhanklike veranderlike genoem en die diepte 

d word die onafhanklike veranderlike genoem. 

Ons kan nou probeer om die verband (dit is die manier waarop P van d afhanklik is) 

tussen die twee veranderlikes wiskundig uit te druk. Daarvoor gebruik ons ŉ formule of 

vergelyking. Om hierdie vergelyking of formule in die hande te kry, verg gewoonlik ŉ bietjie 

wetenskaplike of wiskundige insig – maar met ons bestaande kennis van grafieke (reguit 

lyne, parabole, hiperbole, derdegraadse krommes, ensovoorts) kan ons tog deur middel van 

ŉ heuristiek (ŉ logiese, buigbare metode of strategie) by die formule wat ŉ wiskundige 

verband beskryf, uitkom. 

ŉ Goeie manier om die verband tussen die afhanklike en die onafhanklike veranderlike te 

ondersoek, is om ŉ tabel van metings op te stel: 

Diepte d (meter) 0 4 8 12 16 20 

Druk P (kPa) 101,3 140,5 179,7 218,9 258,1 297,3 

Die inligting vorm ses stelle waardes, waar elke stel waardes uit ŉ diepte en ŉ bybehorende 

druk bestaan. Die volgende stap is om die inligting grafies te gaan voorstel. 

Om dit te doen, moet ons besluit waar ons die definisieversameling (Engels: “domain”) 

en waardeversameling (Engels: “range”) gaan plaas (hoe ons die asse gaan kies). 

Ons spreek af om die definisieversameling (dit is die waardes wat die 

onafhanklike veranderlike aanneem) altyd op die horisontale as te plaas. Dus sal 

ons in hierdie geval die diepte d op die horisontale as voorstel. 

Net so spreek ons af om die waardeversameling (dit is die waardes wat die 

afhanklike veranderlike aanneem) altyd op die vertikale as voor te stel. Dus sal 

ons in hierdie geval die druk P op die vertikale as voorstel. 

Indien ons die grafiek met die hand op papier gaan teken, moet ons vervolgens aan die 

skaal van die asse aandag gee. Die gedagte is dat ons grafiek akkuraat genoeg moet wees 

dat ons goeie aflesings daarvan af kan maak. Grafiekpapier kom dus handig te pas; so nie 

kan ons ŉ gewone vel papier gebruik en op soortgelyke wyse te werk gaan. 

Probeer altyd om soveel as moontlik van die beskikbare oppervlakte vir die grafiek te 

gebruik. Hoe groter die voorstelling, hoe meer akkuraat kan u aflesings vanaf u grafiek 

maak. Kyk dus dat die grootste waarde van die onafhanklike veranderlike (grootste diepte) 

so ver as moontlik na regs op die horisontale as pas. (Net so probeer ons die grootste 

waarde van die afhanklike veranderlike (hoogste druk) so hoog as moontlik op die vertikale 

as pas.) Kies dus ŉ gerieflike waarde (“ronde getal”) naby of gelyk aan die grootste waarde 

wat op ŉ as voorkom en merk dit af (sien onderstaande assestelsel). 

47

Leereenheid 1 

Dit is nie nodig om ŉ klomp kleiner merkies (in Engels: “ticks” op die asse te maak nie; dit 

help egter om ons ŉ gevoel vir die skaal op elke as te gee. Maar die grootste waardes op 

elke as moet op ŉ gerieflike (“ronde”) sentimeter- of millimeterafstand vanaf die 

oorsprong (kruispunt van die asse) af lê. 

Die skaal van elke as kan dan bepaal word. 

Met “skaal van elke as” bedoel ons dat ons wil vasstel wat 1 cm of 10 mm (of watter afstand 

ook al op elke as) werklik in terme van die as se eenhede beteken. 

Die skaal op onderstaande grafiek is op die horisontale as 200 mm 20 meter wat beteken 

dat 10 mm 1 meter . Ons kan dit natuurlik ewe goed skryf as 1 mm 0, 1 meter . 

Net so is die skaal op die vertikale as 150 mm 300 kPa wat beteken dat 10 mm 20 kPa . 

Ons kan dit natuurlik ewe goed skryf as 1 mm 2 kPa . 

Sodra ons die skaal van die asse bepaal het, is ons gereed om die inligting in die tabel as 

punte op die plat vlak wat deur die asse gevorm word, voor te stel. Ons noem hierdie 

tweedimensionele plat vlak wat deur die asse van ŉ grafiek gedefinieer word, die 

Cartesiese vlak. 

(sien onderstaande skets) 

Om die punte op die Cartesiese vlak te stip (in Engels: “plotting the points”), beskou ons 

elke stel waardes in die tabel as ŉ stel koördinate. Ons hanteer elke waarde van die 

onafhanklike veranderlike as ŉ vertikale stippellyn wat die horisontale as loodreg sny; net 

so hanteer ons die bybehorende waarde van die afhanklike veranderlike as ŉ horisontale 

stippellyn wat die vertikale as loodreg sny. Waar die twee stippellyne mekaar sny, stip ons 

ŉ punt. 

48

Leereenheid 1 

; , . 

Ons noem die eerste getal in die hakie (dit is ŉ element van die definisieversameling) 

die diepte-koördinaat en ons noem die tweede getal in die hakie (dit is ŉ element van die 

waardeversameling) die druk- koördinaat. (op skool het hulle van die x- en die y - 

koördinate gepraat – die X-as was altyd horisontaal en die Y-as altyd vertikaal. Al wat ons 

hier doen, is om op presies dieselfde manier as op skool te werk te gaan; al wat nou anders 

is, is dat ons die asse en veranderlikes name en simbole gee wat by ons spesifieke 

probleemsituasie pas). 

Byvoorbeeld: Die tweede punt wat ons uit die tabel hierbo verkry, is dus die punt 4 140 5 

(Sien onderstaande skets) 

Deur die proses vir elke stel waardes in die tabel te herhaal, verkry ons die volgende punte: 

49

Leereenheid 1 

Die volgende stap is nou om te besluit watter soort kromme (reguit lyn, parabool, 

hiperbool, derdegraadse kromme, ens) die beste deur die punte getrek kan word; ons wil ŉ 

kromme bo-oor die punte teken sodat ons die kromme kan gebruik om afleidings en 

voorspellings te maak omtrent die werklike situasie waarmee ons besig is. 

Dit is met die eerste aanblik duidelik dat die punte in ŉ reguit lyn lê (ons kan dit toets deur ŉ 

liniaal oor die punte te plaas). Dus kan ons nou ŉ reguit lyn deur die punte trek – en ons 

doen dit op so ŉ wyse dat die lyn “so goed as moontlik” deur al die punte gaan: 

50

Leereenheid 1 

Ons noem hierdie lyn wat ons so goed as moontlik deur die data-punte trek, ŉ regressie-lyn. 

Ons kan die regressie-lyn gebruik om afleidings en voorspellings te maak omtrent die 

werklike situasie waarmee ons besig is – dit is die hoofdoel van die hele oefening. 

Voorbeeld 1: 

Wat sou die druk wees op ŉ diepte van 10 m onder die oppervlak van die water? 

Oplossing: 

Trek ŉ vertikale stippellyn loodreg op die diepte-as opwaarts tot teen die regressie-lyn; 

projekteer dan loodreg na regs tot teen die druk-as. Waar hierdie stippellyn die druk-as sny, 

lees u die druk af wat op ŉ diepte van 10 m sou heers, 

Die druk sou dus ongeveer 200,8 kPa wees op ŉ diepte van 10 meter. (afleiding) 

51

Leereenheid 1 

Voorbeeld 2: 

Hoe diep onder die water sou die dieptemeter ŉ druk van 160 kPa meet? 

Oplossing: 

Trek ŉ horisontale stippellyn loodreg op die druk-as na regs tot teen die regressie-lyn; 

projekteer dan loodreg afwaarts tot teen die diepte-as. Waar hierdie stippellyn die diepte-as 

sny, lees u die diepte af waar ŉ druk van 160 kPa sou heers: 

Dit is duidelik dat die diepte ongeveer 6 m sal wees, waarop ŉ druk van 160 kPa gemeet sou 

word. (afleiding) 

Bogenoemde twee voorbeelde is goeie voorbeelde van interpolasie. Interpolasie is 

wanneer ons ŉ regressie-lyn gebruik om af te lei wat die metings sou gewees het onder 

omstandighede waarvoor ons nie werklike metings het nie. Dit kom daarop neer dat u 

aflesings maak met behulp van die regressie-lyn aangaande punte wat op die regressie- 

lyn lê. 

Ons kan selfs voorspellings maak oor die druk indien die reservoir (opgaartenk) dieper as 20 

m was. 

52

Voorbeeld 3: 

Wat sou die druk wees op ŉ diepte van 100m? 

Oplossing: 

Leereenheid 1 

ŉ Diepte van 100 m is ŉ waarde wat nie op ons grafiek se horisontale as val nie (100 is nie ŉ 

element van die definisieversameling nie). Dus moet ons die regressie-lyn verleng totdat dit 

lank genoeg is dat ons by 100 m op die diepte-as opwaarts en na links kan projekteer om ŉ 

aflesing te maak: 

Dit is duidelik dat die druk 1081,3 kPa sou wees op ŉ diepte van 100 m. (voorspelling) 

Voorbeeld 4: 

By watter diepte sou die druk 700 kPa wees? 

Oplossing: 

ŉ Druk van 700 kPa is ŉ waarde wat nie op ons grafiek se vertikale as val nie (700 is nie ŉ 

element van die definisieversameling nie). Dus moet ons die regressie-lyn verleng totdat dit 

lank genoeg is dat ons by 700 kPa op die druk-as horisontaal na regs en afwaarts kan 

projekteer om ŉ aflesing te maak: 

53

Leereenheid 1 

Dit is duidelik dat die diepte ongeveer 61,1 m sou wees waar die druk 700 kPa sou wees. 

(voorspelling) 

Bogenoemde twee voorbeelde is goeie voorbeelde van ekstrapolasie. Ekstrapolasie is 

wanneer ons ŉ regressie-lyn gebruik om te voorspel wat die metings sou gewees het onder 

omstandighede wat buite die omstandighede val waarvoor ons metings geneem het (sien die 

tabel hierbo, etlike bladsye gelede). Dit kom daarop neer dat u aflesings maak met behulp 

van die regressie-lyn aangaande punte wat buite die regressie-lyn lê. Dus moet die 

regressie-lyn verleng word wanneer ons ekstrapolasie doen. 

Die vraag ontstaan nou: kan ons die antwoorde op die vrae in bogenoemde 4 

voorbeelde bereken, in plaas van aflees? Is daar ŉ manier om die antwoorde op die vier 

vrae hierbo algebraïes uit te reken? 

Die antwoord is: JA – definitief. Ons benodig net die vergelyking van die reguit lyn wat 

ons deur die punte getrek het (die vergelyking van die regressie-lyn, dus). 

Om dit te doen, benodig ons voorkennis uit Hoërskool-algebra: 

Die vergelyking van enige reguit lyn is altyd y mx c waar m die gradiënt van die lyn is en 

c die afsnit op die vertikale as is. y en x is die groothede wat onderskeidelik op die 

vertikale en die horisontale as voorgestel word. 

Nou, deur na die grafieke hierbo te kyk, is dit duidelik dat die afsnit op die vertikale as 

101, 3 kPa is; dus is c 101, 3 . 

Net so kan ons die gradiënt van die regressie-lyn verkry deur enige reghoekige driehoek op 

die regressie-lyn te konstrueer en gewoon die lengte van die teenoorstaande sy deur die 

lengte van die aangrensende sy te deel: 

54

P 

vertikale verskil tussen twee punte 

m Altyd: gradiënt 

d 

horisontale verskil tussen twee punte 

196 

 

20 

9, 8 kPa/m 

Die vergelyking van die regressie-lyn is dus: 

y mx c 

So vir enige reguit lyn 

P 9, 8d 101, 3 Vervang die toepaslike simbole en waardes 

Leereenheid 1 

Let daarop dat P 9, 8d 101, 3 die wiskundige model is wat die werklike situasie beskryf: 

Dit is ŉ funksie (formule, dus) waarmee ons die druk P kan uitreken vir enige gegewe 

waarde van d . 

Laat ons nou die wiskundige model (dit is in gees en in wese die vergelyking van die 

regressie-lyn) gebruik om die druk te bereken wanneer die diepte 10 m is: 

55

Leereenheid 1 

56 

P 9, 8d 101, 3 

 

P 9, 8 10 101, 3 Die skryfwyse P beteken P wanneer d 10 m 

d 10 m d 10 

m 

199, 3 kPa 

Let op dat dit baie naby is aan die afgelese waarde wat ons hierbo verkry het. 

Hier het ons interpolasie gedoen met behulp van ons wiskundige model. 

Laat ons nou die wiskundige model (dit is in gees en in wese die vergelyking van die 

regressie-lyn) gebruik om die diepte te bereken waarop die druk 700 kPa sou wees: 

P 9, 8d 101, 3 

700 9, 8d 101, 3 

9, 8d 700 101, 3 Manipuleer die formule; dit is eerstejaarswerk 

598, 

7 

d 

9, 

8 

61, 092 m 

Let op dat dit baie naby is aan die afgelese waarde wat ons op p. 10 hierbo verkry het. 

Hier het ons ekstrapolasie gedoen met behulp van ons wiskundige model. 

Iets meer oor definisieversameling en waardeversameling 

Noudat ons die vergelyking van die regressie-lyn het, kan ons na die funksie P 9, 8d 101, 3 

verwys en vrae vra soos: 

Wat is die definisieversameling van die funksie? 

Wat is die waardeversameling van die funksie? 

Die definisieversameling van die funksie is die werklike gemete waardes wat tussen 

die kleinste werklike diepte en die grootste werklike diepte lê waarby werklik metings 

gemaak is en wat die kleinste diepte en die grootste diepte insluit. (sien onderstaande 

skets op p. 14) 

Ons skryf dit as d 

0 d 20 

D f 

. 

Dit beteken letterlik in woorde: “Die definisieversameling van die funksie is die 

versameling van alle d -waardes sodat d lê tussen 0 en 20 m, maar d kan ook gelyk wees 

aan 0 of 20 m; d kan enige reële getal wees binne die interval vanaf en insluitende 0 tot by 

en insluitende 20 m).” 

Die waardeversameling van die funksie is die werklike gemete waardes wat tussen die 

kleinste werklike druk en die grootste werklike druk wat gemeet is lê waarvoor werklik 

metings gemaak is en wat die laagste druk en die hoogste druk insluit. (sien 

onderstaande skets ) 

Ons skryf dit as P : 

101, 

3 P 297, 

3 

W f 

.

Leereenheid 1 

Dit beteken letterlik in woorde: “Die waardeversameling van die funksie is die versameling 

van alle P -waardes sodat P lê tussen 101,3 en 297,3 kPa, maar P kan ook gelyk wees aan 

101,3 kPa 297,3 kPa; P kan enige reële getal wees binne die interval vanaf en insluitende 

101, 3 kPa tot by en insluitende 297,3 kPa).” 

Ten slotte 

Die bespreking op die voorafgaande 14 bladsye illustreer stap vir stap die heuristiek 

waarmee ons die formule waarmee aspekte van ŉ werklike situasie of proses beskryf kan 

word, bepaal kan word. 

Ons som die stappe van die heuristiek op: 

1. Verkry twee stelle waardes (data) deur meting. (Die een stel waardes is die onafhanklike 

veranderlike; die ander stel waardes is die afhanklike veranderlike) 

2. Stel die waardes (gewoonlik metings) in ŉ tabel voor 

3. Gebruik die tabel om ŉ akkurate grafiek te verkry 

4. Gebruik die patroon waarin die data-punte op die grafiek voorkom en trek ŉ beste lyn of 

kromme deur die punte. 

5. Gebruik hierdie “beste lyn” of kromme om interpolasie en ekstrapolasie te doen deur 

middel van aflesings. 

6. Indien akkurate inter- en ekstrapolasie verlang word, verkry die vergelyking van die 

“beste lyn” of kromme wat u in Stap 4 verkry het. Hierdie vergelyking is die funksie 

(wiskundige model) wat die probleemsituasie wat u ondersoek, beskryf. 

57

Leereenheid 1 

7. Sodra u die vergelyking van die regressie-lyn of regressie-kromme het, kan u dit gebruik 

om inter- en ekstrapolasie te doen, deur middel van vervanging en berekening. 

8. Die gedrag van die funksie kan nou vanaf die grafiek en vanaf die vergelyking (formule 

vir die grafiek) beskryf word in terme van begrippe soos: 

Stygend/ dalend 

Maksimumwaarde/ minimumwaarde(s) 

Asimptote (ons bespreek dit later – dis waar die grafiek “spronge” maak 

Definisieversameling 

Waardeversameling 

Ons sal bogenoemde heuristiek gebruik om enige eksperiment of ondersoek of gepaste 

probleemsituasie of fisiese proses uit die tegnologiese studieveld te ontleed. Soos uit Stap 8 

gesien kan word, kan ons ŉ ongelooflike goeie begrip van die situasie of proses kry – dit stel 

ons in staat om interpretasies en evaluasies omtrent die situasie of proses te maak. 

Byvoorbeeld: 

1. Wat is die waarde van atmosferiese druk? (dit is die druk op die oppervlakte van die 

water in die tenk) 

2. Probeer uitvind wat die waarde van atmosferiese druk in werklikheid is (soek sommer op 

Google “atmospheric pressure”). Wat lei u af? 

3. In handboeke gee hulle die formule vir die druk P onder die oppervlakte van ŉ vloeistof 

as P gh 

Patmosferies 

. Vergelyk hierdie formule met die wiskundige model wat ons hierbo 

58 

2 

ontwikkel het. Indien die waarde van g 9, 8 m/s , bepaal die waarde van (dit is die 

digtheid van water, gemeet in 

3 

kg/m ) 

4. Wat is die werklike digtheid van suiwer vars water? (soek sommer op Google “density of 

fresh water”.) 

5. Sou u sê dat ons wiskundige model akkuraat is? Gee soveel redes as moontlik. 

CD-ROM 

SBO: Skakel CD aan en kliek op C. 

Residensieel: Line Up.gsp ?; Slope; Rise Run.gsp ; ║& Lines; 

Slope Intercept.gsp; Point Slope.gsp; Standard.gsp; sal in klas 

behandel word.

Leereenheid 1 

Maak hier ŉ opsomming van die verskillende vorme van die reguit lyn soos jy dit op skool 

geleer het: 

Gradiënt-afsnit vorm: 

Standaardvorm: 

Gradiënt-punt vorm: 

Dubbelafsnit vorm: 



bespreking 



Opdrag 5A: 

1. Wat het die familie lineêre funksies f x mx 

3 1 

in gemeen? (Wenk: Teken 'n 

paar grafieke met Sketchpad op dieselfde assestelsel. Gebruik beide positiewe en 

negatiewe waardes vir m.) 

59

Leereenheid 1 

2. Die volgende figuur stel die hoeveelheid badwater in liter voor as funksie van die tyd in 

minute as Susan gaan bad. 

60 

2.1 Hoeveel water het Susan ingetap? 

2.2 Teen watter tempo het die water ingeloop? 

2.3 Beskryf wat gebeur vanaf B na C. 

2.4 Beskryf wat gebeur vanaf C na D. 

2.5 Op watter tydstip het Susan uit die bad geklim? 

2.6 Beskryf in besonderhede wat gebeur vanaf G na H. 

2.7 Bereken die vergelyking van die stuksgewyse funksie wat die proses beskryf: 

V 

V 

A 

t B 

.. 

2. 

7. 

1. 

 

 

 

.. 2. 

7. 

2.. 

.. 

2. 

7. 

3.. 

.. 

2. 

7. 

4.. 

 

 

.. 2. 

7. 

5.. 

D 

C 

as 

as 

as 

as 

as 

A: (0.00, 0.00) 

B: (5.00, 100.00) 

C: (7.00, 100.00) 

D: (7.00, 130.00) 

E: (25.00, 130.00) 

tyd in minute / time in minutes 

0 t 5 

5 t 7 

7 t 25 

25 t 28 

28 t 35 

2.8 Oor watter interval is die funksie dalend? 

F: (25.00, 100.00) 

G: (28.00, 100.00) 

H: (35.00, 0.00) 

2.9 Gee die waardeversameling in versamelingkeurdernotasie. 

F 

E 

G 

H 

http://www.the-directgroup.co.uk/product_images/DG9010Bath.JPG 

t

3. Clara is al vir 20 minute besig om ŉ 

geskiedenisopdrag te lees en is huidiglik op 

bladsy 56 in die boek. Sy lees teen ŉ 

(relatief) konstante tempo van 0,6 bladsye 

per minuut. 

(Precalculus Foerster adapted) 

Leereenheid 1 

http://www.bristol.ac.uk/university/gallery/homepage-pics/girlreading-book.jpg 

3.1 Gebruik die punt-helling vorm en bereken die spesifieke vergelyking van 

die bladsynommer waar sy lees as ŉ funksie van tyd, t in minute. 

3.2 Herlei u antwoord in 3.1 na die gradiënt-afsnit-vorm. 

3.3 Op watter bladsy het Clara aan die opdrag begin lees? 

3.4 Clara moet lees tot op bladsy 63. Wanneer voorspel jy dat sy klaar gelees 

sal wees? 

4. Die verwantskap tussen ŉ persoon se 

aanbevole maksimum hartkloptempo, h , 

(gemeet in hartkloppe per minuut) en die 

persoon se ouderdom, t , (gemeet in jare) 

was vir ŉ lang tydperk beskryf deur die 

formule h f t 220 t 

. 

Volgens onlangse navorsing moes die 

formule ietwat gewysig word. Die nuwe 

formule is h gt 

208 0, 

7t 

. 

[Second Handbook of Research on Mathematics Teaching 

and Learning – Lester] 

http://www.wushu-leda.com/images/jimphoto/one-armleglift.jpg 

4.1 Skets die grafieke van beide funksies op dieselfde assestelsel. 

Gebruik [0; 75] as definisieversameling. 

4.2 Watter funksie(s) is stygend? 

4.3 Gee die waarde versameling van g in versamelingkeurdernotasie. 

4.4 ŉ Artikel in ŉ koerant lui: “ ŉ Gevolg van die nuwe formule in plaas van die 

ou een is dat die aanbevole maksimum harttempo vir jong mense effens 

afneem en vir ouer persone effens toeneem”. 

Van watter ouderdom af neem die aanbevole hartkloptempo toe as gevolg 

van die gebruik van die nuwe formule? Toon alle berekeninge. 

4.5 Navorsing toon ook dat fisiese oefening die effektiefste is wanneer die hart 

teen 80% van sy maksimum tempo klop. Gee ŉ formule waarvolgens die 

hartkloptempo vir die effektiefste fisiese oefening bereken kan word in 

terme van ouderdom. Gebruik die nuwe formule. 

4.6 Watter tipe transformasie het u gebruik om die formule in 4.5 te verkry? 

61

Leereenheid 1 

Opdrag 5B: 

1. Wanneer die temperatuur t (gemeet in C) van ŉ kat 

afneem, daal sy hartkloptempo r (in slae per minuut). Onder 

laboratorium-omstandighede het ŉ kat met temperatuur 37C 

ŉ hartkloptempo van 220 en by ŉ temperatuur van 32C ŉ 

harttempo van 150. As t tussen 26 en 38 is, is r en t 

lineêr afhanklik. 

62 

1.1 Bepaal ŉ vergelyking van r in terme van t 

1.2 Bereken die kat se hartkloptempo as sy temperatuur 28C is. 

1.3 Gee die definisieversameling van die funksie. 

1.4 Is die funksie stygend of dalend oor die definisieversameling? 

2. Jy stap in 'n hysbak in die kelder van 'n gebou. Die 

kontrolepaneel dui “0” vir die verdieping. Die getalle neem in 

ene toe op die kontrolepaneel soos wat jy boontoe ry. Die 

hysbak styg 4 meter vir elke vloer. In die tabel kry jy die 

verdiepingnommers en die hoogte van die (bokant van die) 

hysbak bokant die grond. 

http://www.scrabble-assoc.com/images/2003/csc/dir/elevator-h.jpeg 

2.1 Skets die grafiek wat hierdie beweging modelleer. 

2.2 Maak dit sin om die punte te verbind? 

2.3 Bepaal ŉ vergelyking wat hierdie situasie modelleer. 

Nommer 

van 

verdieping 

Hoogte 

(m) 

0(kelder) -1 

1 3 

2 7 

3 11 

4 15 

2.4 Watter verdieping is 51 meter bokant die grond? [Moenie die kelder bytel nie] 

2.5 Gee die lewenswerklike betekenis van die gradiënt. 

2.6 Wat is die definisieversameling van hierdie kromme as die gebou 20 verdiepings 

het. [Hier is 'n vangplek!] 

2.7 Bepaal grafies hoe hoog die hysbak bokant die grondvlak is op die sewende 

verdieping. Dui dit op die grafiek aan met ŉ A. 

... 

20 

... 

79

3. 

Leereenheid 1 

Daar is 'n lineêre verwantskap tussen die 

lugtemperatuur buite 'n vliegtuig en die hoogte van die 

vliegtuig in meter. Die temperatuur by seevlak is 

14,7C. Die temperatuur daal met 7 grade vir elke 

1000-meter toename in hoogte. Gestel x stel die 

hoogte in meter en y die temperatuur in C voor. 

3.1 Skryf 'n vergelyking in gradiënt-afsnit vorm wat 

hierdie verband weergee. 

3.2 Wat is die lewenswerklike betekenis van 

3.2.1 m en 

3.2.2 c in hierdie geval. 

3.3 Op watter hoogte is die temperatuur 0C? 

3.4 Wat is die lewenswerklike betekenis van 

bogenoemde koördinaat? 

3.5 Wat sal die buite temperatuur op 'n hoogte van 

5 km wees? 

3.6 Teken 'n sketsgrafiek en dui afsnitte aan. 

4. ŉ Swembad met 250 m 3 water word leeggemaak. Die volgende tabel gee die 

hoeveelheid water in die swembad na ŉ sekere aantal ure. 

Ure Water in 

m 3 

250 

5 200 

10 150 

20 50 

4.1 Skets die grafiek op grafiekpapier. 

4.2 Bepaal ŉ vergelyking wat hierdie situasie modelleer. 

4.3 Na hoeveel ure sal die swembad leeg wees? 

4.4 Gee die lewenswerklike betekenis van die gradiënt. 

4.5 Wat is die definisieversameling van hierdie kromme. 

http://www.poolpainters.com.au/images/large/pool-02.jpg 

4.6 Bepaal grafies hoeveel water na 15 ure in die swembad is. Dui dit op die grafiek 

aan met ŉ A. 

4.7 Is hierdie grafiek stygend of dalend oor die definisieversameling? 


Sien assessering en terugvoering op p. viii 

63

Leereenheid 1 

1.5.2 ABSOLUTE WAARDE 

Jy benodig ongeveer 9 ure om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi. 

INLEIDING: 

Pieter en Paul woon beide 5 km van die skool af, maar in teenoorgestelde rigtings. Op ŉ 

getallelyn kan ons die skool met 0 aandui en Pieter se huis met -5 en Paul sin met +5 of 5. 

Die absolute waarde van ŉ getal is sy grootte, maak nie saak of die getal positief of 

negatief is nie. Dit is dus die afstand vanaf die oorsprong of 0. 

Ons gebruik die notasie x om die absolute waarde van x aan te toon. 

64 


pp. 8 - 9; 54 voorbeeld 14; 78; 87 voorbeeld 6; 156 voorbeeld 5. 

Werk deur die voorbeelde en maak seker dat jy die definisie ken en verstaan. 

2 (Onthou x x ) 

Definieer die absolute waarde funksie: 

...................................................................... 

......................................................................

Voltooi die volgende voorbeeld: 

Leereenheid 1 

Gestel Pieter ry langs ŉ reguit straat skool toe op sy fiets teen ŉ konstante spoed van 

500m/min. Daar gekom, onthou hy sy wetenskapprojek is nog by die huis. Hy ry onmiddellik 

teen 500m/min terug om dit te gaan haal. Gestel x verteenwoordig die tyd in minute en y 

die afstand vanaf sy huis in meter. Voltooi die volgende tabel. (Wenk: 

snelheid of spoed en s afstand of verplasing en t tyd) 

x of t 

y of s 

0 0 

1 500 

2 

3 

4 

5 

8 

10 

11 4500! (hoekom?) 

12 

13 

15 

20 0 

Teken hierdie punte op die volgende assestelsel: 

s 

v , met v 

t 

65

Leereenheid 1 

Hieruit kan ons aflei dat: 

66 

y 

5000 

5000 

x as x 10 en y x c as x 10 

10 

10 

Deur enige koördinaat wat op die tweede been van die grafiek lê in te vervang of uit 

simmetrie kan ons sien dat c = 10 000. 

Die linkerbeen se vergelyking is dus y 500x 

en die regterbeen y 500x 10 

000 . 

Om die knakpunt (10; 5000) se koördinate in die vergelyking in te bring, gaan ons soos volg 

te werk: 

 

y 

y 

y 500x 

10 000 

y 500x 

5000 5000 

 

 

500 

x 10 

5000 

500 x 10 

5000 

Toets en maak seker dat hierdie vorm van die vergelyking ook waar is vir die linkerbeen van 

die grafiek. 

Hieruit volg die definisie van die absolute waarde funksie: 

ŉ Funksie van die vorm y = ax - h + k 

word die absolute waarde funksie genoem. 

Die grafiek is ŉ V met toppunt (h; k). Die V maak oop na bo (soos ŉ V) as a > 0, en 

afwaarts as a < 0. 

Opmerking: Dis makliker om te onthou dat die teken van a ooreenstem met die 

helling-tipe van die regterbeen van die grafiek. 

In transformasie-terminologie: Die moederfunksie y x word met ’n faktor a 

vertikaal gestrek; k eenhede vertikaal opwaarts getransleer en h eenhede 

horisontaal na regs getransleer. Die strek vind plaas voor die translasies. 

Algebraïese metodes: 

f ( x) 

20 dit beteken f(x) is nie verder as 20 eenhede van die oorsprong af nie 

-20 f(x) 20 

f ( x) 

15 

onmoontlik (afstand kan nie negatief wees nie) 

f ( x) 

10 dit beteken f(x) is verder as 10 eenhede van die oorsprong af 

f(x) > 10 of f(x) < -10

f( x) 

g( 

x) 

f( x) 

g( 

x) 

Leereenheid 1 

omdat g(x) veranderlikes bevat kan nie een van bogenoemde kortpad 

metodes gevolg word nie, maar sal jy die definisie moet toepas 

gebruik die definisie of kwadreer beide die linker- en regterkant (onthou om jou 

antwoorde te toets as jy kwadreer) 

CD-ROM. 

SBO: Skakel CD aan en kliek op D. 

Residensieel: Vgrap.gsp sal tydens kontaksessie vertoon word. 

Bespreek ook die inhoud van bottel. 



OPDRAG 6A: 

1. Voltooi die volgende: 

1.1 15 = 

1.2 -303= 

1.3 3x= 

1.4 0 = 

1.5 6 + -6= 

1.6 -5 - -5 = 

2. Precalculus Oefening 2.1 no. 15 



5. Gegee: f x x 2 1. 

5.1 Gee die koördinate van die knakpunt. 

5.2 Skets die vorm. 

67

Leereenheid 1 

68 

5.3 Wat is die helling van elke been? 

5.4 Bereken die y -afsnit(te). 

5.5 Bereken die x-afsnit(te). 

5.6 Skets die grafiek van f . Dui alle afsnitte en die toppunt se koördinate aan. 

6. Gee die vergelyking van die volgende skets: 

y 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

7. Los die volgende vergelyking 

7.1 algebraïes en 

(2; 2) 

1 2 3 4 5 

x 

7.2 grafies op (skets die linkerkant en regterkant van die vergelyking afsonderlik): 

12 x 7

8. Beskryf die beweging wat deur die volgende skets voorgestel word: 

9. Los die volgende algebraïes op: 

9.1 2x 5 3 

9.2 2x 1 

3 

9.3 x 2 4 

9.4 x 1 

3 

9.5 x 1 

3 (dink!!) 

9.6 x 2 2x 

1m.b.v. 

die definisie 

9.7 x 2 2x 

1 

m.b.v. kwadrering 

OPDRAG 6B 

5 

Afstand s in 

meter vanaf `n 

bewegingsensor 




6 

5 

4 

3 

2 

1 

-2 2 4 6 8 

-1 

(4; 1) 

Tyd t in sekondes 

Leereenheid 1 

69

Leereenheid 1 

4. Die volgende figuur stel die hoogte bo seespieël (in meter) van ŉ duikboot voor as 

funksie van tyd (in ure). 

70 

y 

10 

-10 

-20 

-30 

-40 

-50 

-60 

-70 

-80 

-90 

-100 

-110 

 

4.1 Bepaal die vergelyking wat hierdie situasie modelleer. [Onthou die beperking op 

die definisieversameling. 

4.2 Na hoeveel uur sal die duikboot op ŉ diepte van 48 m wees? 

4.3 Gee die lewenswerklike betekenis van die toppunt. 

4.4 Teen watter tempo styg die boot die eerste agt uur? (Onthou om die eenheid by 

te voeg. ) 

4.5 Oor watter interval is die funksie stygend? 

5. In ŉ eksperiment in ŉ donkerkamer word 

die bekende wet dat ŉ invalshoek gelyk 

is aan die weerkaatsingshoek 

gedemonstreer. Vanaf ŉ bron O word ŉ 

ligstraal na ŉ spieël gestuur en hoeke 

en word gemeet. Die loodregte 

afstand tussen die ligbron en die spieël 

is 30 cm en die lig beweeg 50 cm tot by 

die spieël. 

Lei ŉ formule af waarmee die pad van 

die lig gemodelleer kan word. 

6. (FIGUUR D) 

(8; 4) 

5 10 15 

 

t 



(beeldfunksies) m.b.v. transformasies. Skryf die vergelykings van die grafieke neer volgens 

die formaat in die studie gids. Benoem ook die tipe transformasie(s). Stoor elke skets op jou 

geheuestokkie. 

y 

30 cm 

O 

50 cm 

 

 

x



........................................................ 

........................................................ 


........................................................ 

Leereenheid 1 

7. Anna stap langs ’n pawiljoen op soek na haar vriendin. Die volgende tabel weerspieël 

haar verplasing s , in meter, vanaf die eerste sitplek na t sekondes. 

t (tyd in sekondes) 

t (time seconds) 

4 

2 

-4 -2 2 4 

-2 

-4 

-6 

s (verplasing in meter) 

s (displacement in meters) 

0 0 

10 25 

20 50 

30 75 

40 100 

50 75 

60 50 

70 25 

80 0 

7.1 Maak ’n sketsgrafiek van die beweging. [U hoef hoogstens drie punte te plot.] 

71

Leereenheid 1 

72 

7.2 Wat doen Anna na 40 sekondes? 

7.3 Gee die definisieversameling van Anna se beweging in versamelingkeurdernotasie. 

7.4 Gee die waardeversameling van Anna se beweging in intervalnotasie. 

7.5 Bepaal ’n vergelyking wat Anna se beweging sal beskryf. 

7.6 Wat is Anna se gemiddelde spoed gedurende die eerste 40 sekondes? [Geen 

berekening word benodig nie.] 

7.7 Wat is Anna se oombliklike snelheid op die 50ste sekonde? [Geen berekening 

word benodig nie.] 

7.8 Wat lei u af uit u antwoord in 7.7? 

8 Precalculus Oefening 2.2 no. 4 (sonder Sketchpad) 

9. Precalculus Oefening 2.2 no. 28 (sonder Sketchpad) 

Opdrag 6C 



3. Gee die betekenis van 2x 1 4 . 

4. Soos in Opdrag 6B no. 5 

5. Gestel die hoogte x (in voet) van ’n swembadmuur word wiskundig beskryf deur die 

ongelykheid x 4 , 5 1, 

5 . 

5.1 Maak op een assestelsel sketsgrafieke van f x x 4, 5 en gx 1, 5 . 

5.2 Bepaal die koördinate van die snypunte van f en g grafies. 

5.3 Los die ongelykheid grafies op. 

5.4 Los die ongelykheid algebraïes op. 

5.5 Gebruik u antwoord en beskryf die beperking op die hoogte van swembadmure 

woordeliks soos deur wetgewing bepaal.

6. 

6.1 Precalculus Oefening 2.1 no. 25 

Leereenheid 1 

6.2 Maak ŉ sketsgrafiek van y f x 

as jy sukkel) 

x 

x 

sonder Sketchpad. (Wenk: gebruik ŉ tabel 

Gestel g word verkry deur f 4 eenhede horisontaal na regs te transleer. 

Gestel h word verkry deur g vertikaal met ŉ faktor 3 te strek. 

Gestel k word verkry as h met 5 eenhede vertikaal te transleer. 

6.3 Bereken die vergelyking van k en maak ŉ sketsgrafiek daarvan. (Wenk: Bereken 

en skets elke transformasie van f ) 

7. 

x 

Maak ŉ sketsgrafiek van y f x 

2 

x 

sukkel) 

sonder Sketchpad. (Wenk: gebruik ŉ tabel as jy 



73

Leereenheid 1 

1.5.3 POLINOME 


PARABOLE (Polinome van graad 2) 

74 

CD-ROM. 


SBO: Skakel CD aan en kliek op E 

Residensieel: PowerPoint – Parabole in praktyk 

pp. 215 (vanaf Guidelines for Modeling with Functions) - 218 

Kwadratiese vergelykings of paraboliese beweging is wiskundige modelle om die beweging 

te beskryf van enige voorwerp wat teen ŉ hoek die lug in geprojekteer word; bv. Sokkerballe 

wat geskop word, ŉ “baseball” wat gegooi word, ŉ atleet wat verspring, vuurwerke of 

waterspuitfonteintjies. Galileo was die eerste persoon wat projektielbeweging akkuraat 

beskryf het. Hy het gewys dat ŉ mens die horisontale en vertikale komponente afsonderlik 

moet beskou. 

Verkry internettoegang en voer die meegaande opdrag uit: 

Hierdie inligting is ook op die NWU se webtuiste gereserveer. Kliek op: 

nwu.ac.za – eFundi – MATE 111 – Webcontent 

Gaan na die web-adres en Lees vinnig deur die artikel in die volgende 

internet-adres en beantwoord dan die twee vrae: 

http://www.bsharp.org/physics/stuff/shotput.html [Opmerking: Hierdie adres is 

gevind na die soektog “parabola projectile” op Google] 

1. Hoekom volg die gewig ŉ paraboliese baan? ………………………………………………. 

2. Projektiel beweging is die kombinasie van ………………………. horisontale snelheid en 

…………………………… a.g.v. gravitasiekrag. 




Eksperimenteer met projektielbeweging op die volgende adres en 

beantwoord dan die vrae: 

http://galileo.phys.virginia.edu/classes/109N/more_stuff/Applets/ProjectileMoti 

on/jarapplet.html

Leereenheid 1 

1. Watter invloed het die massa van die projektiel? ............................................................. 

2. Watter invloed het die snelheid as jy die hoek dieselfde hou? ........................................ 

........................................................................................................................................... 

3. Watter hoek veroorsaak die grootste trefafstand as die snelheid konstant gehou word? 

........................................... 

CD-ROM. 


pp. 224 – 229 (hersiening van skooluitkomstes) 

SBO: Skakel CD aan en kliek op F 

Residensieel: Gewone gsp; Vertex Form.gsp; Factored 

Form.gsp; Standard Form.gsp sal tydens kontaksessie 

behandel word. 

75

Leereenheid 1 


Burger Lambrechts het Suid-Afrika gedurende 2004 by die Olimpiese spele verteenwoordig 

in gewigstoot. Die gewig verlaat sy hand op ŉ hoogte van ongeveer 2 m bokant die grond 

teen ŉ spoed van 15 m/s en ŉ hoek van 45 met die horisontaal. ŉ Wiskundige model om 

die hoogte ( y in meter) van die gewig bokant die grond te beskryf is ontwikkel en word 

 

gegee deur: y x 

x 2 , 

20 

76 

1 2 

waar x (in meter) die horisontale afstand is wat die gewig beweeg het. 

Voltooi die volgende tabel en dui die waardes aan op die gegewe assestelsel. Verbind dan 

die punte om die parabool (grafiek van hierdie kwadratiese vergelyking) te kry. 

x 

0 

2 

4 

6 

8 

10 

12 

14 

16 

18 

20 

y

Beantwoord die volgende vrae: 

1 2 

 

1. Waarom word y x 

x 2 ŉ kwadratiese vergelyking genoem? 

20 

........................................................................................................... 

Leereenheid 1 

2. Die hoogte waarop die gewig Burger se hand verlaat is 2 m. Dui dit met ’n A op die 

skets aan en bewys dat die vergelyking die hoogte korrek weergee deur x 0 in die 

vergelyking te vervang: 

........................................................................................................... 

........................................................................................................... 

........................................................................................................... 

3. Gee die hoogte van die gewig as x 6 m. Dui dit met ŉ B aan op die skets. 

........................................................................................................... 

4. Hoe ver is die gewig van Burger af as die hoogte 6,8 m is? Dui dit met C en D aan op 

die skets. 

........................................................................................................... 

........................................................................................................... 

5. Verduidelik wat die betekenis is van enige koördinaat / punt (a; b) in hierdie 

lewenswerklike situasie. 

........................................................................................................... 

........................................................................................................... 

........................................................................................................... 

6. Trek die simmetrie-as in op die skets. 

7. Wat is die vergelyking van die simmetrie-as? 

........................................................................................................... 

8. Wat is die koördinate van die hoogste punt wat die gewig bereik? Dui dit met E op die 

skets. 

........................................................................................................... 

9. Watter spesiale naam het hierdie punt? 

........................................................................................................... 

10. Hoe word hierdie punt se koördinate bereken? Gee twee metodes. 

........................................................................................................... 

........................................................................................................... 

77

Leereenheid 1 

11. Hoe ver stoot Burger die gewig? Dui dit met F aan op die skets. Doen dit grafies en 

gee ŉ benaderde waarde. 

........................................................................................................... 

12. Bereken noukeurig hoe ver Burger die gewig stoot. 

78 

........................................................................................................... 

........................................................................................................... 

........................................................................................................... 

........................................................................................................... 

........................................................................................................... 

........................................................................................................... 

........................................................................................................... 

........................................................................................................... 

........................................................................................................... 

........................................................................................................... 

........................................................................................................... 

........................................................................................................... 

........................................................................................................... 

...........................................................................................................

Voltooi die volgende: (Gebruik ŉ skoolhandboek indien nodig) 

Die standaardvergelyking van ŉ parabool is: 

........................................................................................................... 

Vorm van parabool as a 0 : 

Vorm van parabool as a 0 : 

Hoe ................................... die waarde van a, hoe nader kom die bene na mekaar. 

As b verander, skuif die parabool ........................................................... 

Die y -afsnit word gegee deur die vergelyking: .............................. 

of die koördinaat (.......; ......) 

Die vergelyking van die simmetrie-as: .......................................... 

Die kwadratiese formule vir die wortels: 

........................................................................................................... 

Die koördinaat van die draaipunt is: (.......; ............) en word soos volg bereken: 

........................................................................................................... 

........................................................................................................... 

........................................................................................................... 

........................................................................................................... 

........................................................................................................... 

Die vergelyking van ’n parabool in wortelvorm: 

........................................................................................................... 

Die vergelyking van die parabool in toppunt p; q 

vorm: 

........................................................................................................... 

Leereenheid 1 

79

Leereenheid 1 

VOLTOOI VOORBEELD 2: Maksimum inkomste 

Wanneer produkte verkoop word, word die inkomste deur 2 faktore beïnvloed: 

Prysverhoging beteken jy ontvang meer geld vir elke item wat jy verkoop ( jou totale 

inkomste mag styg) 

Prysverhoging beteken ook dat jy minder items sal verkoop ( jou totale inkomste mag daal) 

Gestel die aanvraagfunksie om ’n sekere boek te druk is: p 1000 2q 

80 

met p die prys in rand en q die aantal boeke wat per dag benodig word. 

Dan word die totale inkomste gegee deur 

I 

pq 

 

1000 2q 

1000q 

2q 

2q 

2 

q 

2 

1000q 

Bereken hoeveel boeke per dag verkoop moet word vir maksimum inkomste. 

........................................................................................................... 

........................................................................................................... 

........................................................................................................... 

........................................................................................................... 

........................................................................................................... 

........................................................................................................... 

Bereken ook die maksimum inkomste: 

........................................................................................................... 

........................................................................................................... 

........................................................................................................... 

........................................................................................................... 

Maak ’n rowwe skets van die inkomste as funksie van aantal boeke per dag verkoop. 

I

Wat gebeur as meer as 250 boeke per dag verkoop word.? 

........................................................................................................... 

Wanneer sal daar geen inkomste wees nie? 

........................................................................................................... 

........................................................................................................... 

........................................................................................................... 

Wanneer sal die uitgawes die inkomste oorskry? 

........................................................................................................... 

........................................................................................................... 

........................................................................................................... 

Leereenheid 1 

BESTUDEER DIE VOLGENDE VOORBEELD 3: (Erkenning: Mnr. RJ van de Venter) 

Wat is ŉ wiskundige model? Wel, dit is ŉ wiskundige voorstelling van ŉ fisiese situasie of 

probleem. Die werklike lewe (en die meeste tegnologiese toepassings in fabrieke, 

werkswinkels of laboratoriums) het met ingewikkelde probleme en situasies te doen. Tog 

kan sulke situasies wiskundig vereenvoudig word deur slegs na twee of miskien drie 

meetbare aspekte daarvan op ŉ keer te kyk. Hierdie meetbare aspekte word veranderlikes 

genoem. Die manier waarop die een veranderlike van die ander afhanklik is, word in die 

vorm van ŉ formule (wiskundige vergelyking) geskryf. Hierdie formule word ŉ wiskundige 

model genoem. 

Om ŉ rubberbal wat opwaarts gegooi word, wiskundig te modelleer 

Ons het as voorbeeld in die klas vandag gekyk na ŉ rubberbal wat vertikaal opwaarts gegooi 

word en terugval grond toe (om miskien weer opwaarts te bons, of op die grond tot stilstand 

te kom). Ons wou hierdie situasie, dit is die beweging van die bal, wiskundig voorstel. Die 

rubberbal het natuurlik baie meetbare eienskappe, byvoorbeeld volume, massa, digtheid, 

kleur en posisie bokant die grond (hoogte). Die manier waarop die bal egter beweeg indien 

dit gewoon opwaarts gegooi word en weer terugval grond toe, het egter min of niks met 

bogenoemde eienskappe te doen nie – enige voorwerp wat gewoon vertikaal opwaarts 

gegooi word en terugval grond toe, beweeg maar op ongeveer dieselfde manier. 

(behalwe voorwerpe met spesiale vorms, soos valskerms en vliegtuie of sekere tipe sade – 

die vorm van hierdie voorwerpe laat hulle grond toe sweef en dan speel die lug ŉ rol). Al 

hierdie gewone voorwerpe (soos balle, klippe, bakstene, kanonkoeëls, ens.) het egter 

minstens een saak in gemeen, naamlik dat hulle hoogte tydens die beweging gedurig 

verander totdat hulle tot rus kom (of vir praktiese doeleindes ophou bestaan, soos in die 

geval van ŉ kanonkoeël). 

81

Leereenheid 1 

Uit hierdie waarneming kan ons sê dat die voorwerp op elke tydstip ŉ sekere hoogte het en 

dat die hoogte van die voorwerp dus afhang van die tydstip waarop dit gemeet word. Daar is 

dus twee veranderlikes betrokke, naamlik hoogte en tyd. Die hoogte h word die afhanklike 

veranderlike genoem en die tyd t word die onafhanklike veranderlike genoem. 

Ons kan nou probeer om die verband (dit is die manier waarop h van t afhanklik is) tussen 

die twee veranderlikes wiskundig uit te druk. Daarvoor gebruik ons ŉ formule of vergelyking. 

Om hierdie vergelyking of formule in die hande te kry, verg gewoonlik ŉ bietjie wetenskaplike 

of wiskundige insig – maar in die meeste tegnologie-toepassings waarmee u te doen sal kry 

is die formules of vergelykings egter bekend en hoef u dit nie self af te lei nie. 

Die volgende paar paragrawe verduidelik hoe ons kennis wat uit Fisika kom, kan 

gebruik om ŉ formule vir die hoogte van die bal in terme van tyd op te stel. Dit is ŉ 

stukkie toegepaste wiskunde. Die mense wat Wetenskap op skool gehad het, sal die 

redenasies herken. Ter wille van almal wat nie op skool Wetenskap gehad het nie, sit 

ek die argumente en redenasies wat gevolg word om die formule saam te stel, so 

volledig as moontlik uit. 

By voorwerpe wat gewoon opwaarts gegooi word sonder dat lugweerstand ŉ rol daarby 

speel (soos balle, klippe, bakstene, kanonkoeëls, ens. maar nie valskerms, vliegtuie en 

ballonne nie) geld daar sekere bewegingsvergelykings (wat ons in u derde jaar sal aflei). 

Hierdie bewegingsvergelykings sou sommige van u op skool teëgekom het, byvoorbeeld die 

1 2 

vergelyking s s0 v0t at . 

2 

Let daarop dat die formule uit simbole bestaan, waar elke simbool ŉ sekere fisiese betekenis 

het. Sekere simbole het vir elke situasie ŉ sekere vaste waarde. Ons noem sulke simbole 

konstantes. 

In die geval van ŉ voorwerp wat opwaarts gegooi word, speel die hoogte waarvan die 

voorwerp gegooi word, die snelheid waarmee dit begin beweeg en die versnelling waarmee 

dit beweeg ŉ belangrike rol, want dit sal bepaal hoe hoog die voorwerp kan beweeg voordat 

dit terugval grond toe en ook hoe gou die voorwerp ŉ sekere hoogte bereik. Daarom noem 

1 2 

ons hierdie eienskappe konstantes. In die bewegingsvergelyking s s0 v0t at stel die 

2 

simbool s die afstand voor wat ŉ bewegende voorwerp op ŉ sekere tydstip t sekondes 

nadat die beweging begin het vanaf ŉ verwysingspunt af is, s 0 stel die afstand voor tussen 

die voorwerp en die verwysingspunt op die oomblik dat die beweging begin het, v 0 stel die 

beginsnelheid van die voorwerp voor en a stel die versnelling van die voorwerp voor. By 

skoolwetenskap-probleme was die aanvangsposisie van die voorwerp gewoonlik op die 

1 2 

verwysingspunt, sodat s0 0 en dat het die vergelyking soos volg gelyk: s v0t at . 

2 

Sommige handboeke het ook die simbool u in plaas van v 0 gebruik en dan het die formule 

1 2 

soos volg gelyk: s ut at . 

2 

82

Leereenheid 1 

Nou, aangesien ons ŉ rubberbal vertikaal opwaarts gooi, is die afstand wat die bal bokant die 

grond is eintlik sy hoogte, so in plaas van s kan ons h skryf: 

1 

h h0 v0t at 

2 

2 

Maar aangesien die persoon wat die bal gooi, se arms tog nie tot op die grond hang nie, 

beweeg die bal op die oomblik wanneer dit opwaarts gegooi word nie vanaf grondvlak nie, 

maar wel vanaf ŉ hoogte van omtrent een meter bokant die grond, tensy hy die bal vanaf 

skouerhoogte (omtrent 1,5 m bo die grond) opwaarts gooi. Kom ons neem vir die doel van 

die bespreking dat die bal se hoogte op die oomblik dat dit die hand verlaat, een meter bo 

die grond is. Dan is die aanvangshoogte h0 1: 

1 

h 1 v0t at 

2 

2 

Kom ons neem aan dat die spoed waarteen die bal die persoon se hand verlaat, 12 m/s is; 

dan is v0 12 : 

1 

h 1 12t at 

2 

2 

Alle voorwerpe naby die oppervlak van die aarde word egter deur swaartekrag (gravitasie) 

na benede versnel teen ongeveer -9,8 m/s 2 . Die negatiewe teken wat soms gebruik word, 

beteken maar net dat die versnellende krag teen opwaartse beweging werk en na onder 

werk. (Hierdie waarde word swaartekragversnelling genoem en word soms met ŉ simbool 

g in plaas van a aangedui). Nietemin, vir alle voorwerpe wat vry naby die aarde beweeg, 

geld dan dat a 9, 8 : 

1 

h 1 12t 9,8 t 

2 

2 

Die formule wat die rubberbal se hoogte bo die grond op enige tydstip t gee, lyk dus so: 

h 1 12t 4,9t 

2 

Ons kan wiskundig sê dat h ŉ funksie van t is; sommige wiskundiges skryf dit so: 

h f t wat maar net beteken dat h bereken kan word as ons ŉ waarde vir t het deur 

 

bloot net die t -waarde in die formule te vervang. 

Opmerking: Let daarop dat alle posisies (afstande en hoogtes) in meter uitgedruk word, alle 

snelhede in m/s, alle versnellings in m/s 2 en alle tydwaardes in sekondes – dit 

geld altyd wanneer ons met bewegingsvergelykings werk. 

Dit is interessant dat die wiskundige model 

2 

2 

h 1 12t 4,9t 

geskryf kan word as 

h 4,9t 12t 1. 

Let daarop dat hierdie formule in die standaardvorm vir ŉ parabool 

2 

staan, naamlik y ax bx c . In hierdie situasie het ons net nie vir y en x nie, maar in 

plaas daarvan vir h en vir t . Dus lyk dit soos volg: 

83

Leereenheid 1 

2 

h at bt c waar a 4, 9 en b 12 en c 1 

Natuurlik kan ons nou ŉ grafiek teken van hoogte teenoor tyd. Dit beteken ons plaas die 

afhanklike veranderlike h op die vertikale as en die onafhanklike veranderlike t op die 

horisontale as. U het op skool geleer hoe om grafieke te skets; in MATE 221 gee ons weer 

aan die skets van grafieke aandag. Ons kan egter van enige van ŉ aantal nuttige metodes 

2 

gebruik maak om ŉ grafiek van h 4,9t 12t 1 te skets; wat ons verkry sal soos volg lyk: 

Let daarop dat die grafiek NIE die baan van die bal toon nie; dit toon die hoogte van die bal 

op elke oomblik vanaf t 0 tot by t 2, 530 . So gee die draaipunt van die kromme se 

horisontale koördinaat die tyd wat dit die bal neem om sy maksimumhoogte te bereik en die 

vertikale koördinaat van die draaipunt gee die maksimumhoogte. 

Dit is interessant dat die definisieversameling van die funksie h 4,9t 12t 1 geskryf kan 

D t 0 t 2, 530; t R en dat die waardeversameling geskryf kan word as 

word as f 

W f h 0 h 8, 347; h R 

verkry? 

84 

. Onthou u nog wat dit beteken en hoe ons dit uit die grafiek 

Nou kan ons die hoogte van die bal op enige tydstip binne die definisieversameling 

0 t 2,530 bereken. 

Voorbeeld: Hoe hoog is die bal na 2 sekondes? 

Oplossing: 

2

2 

2 

 

 

Stel t 2 in die formule h 4,9t 12t 1: h 4, 9 2 12 2 1 

h 4, 9 4 12 2 1 

5, 4 m 

Let daarop dat enige woordprobleem se antwoord ŉ korrekte eenheid MOET hê. 

Let ook op dat u hierdie waarde van die grafiek af sou kon aflees: 

Leereenheid 1 

Ons kan ook die tyd uitreken wat dit die bal neem om enige hoogtewaarde binne die 

waardeversameling 0 h 8,347 te bereik. 

Voorbeeld: Hoe lank neem dit die bal om ŉ hoogte van 7 m te bereik? 

Oplossing: 

85

Leereenheid 1 

Stel h 7 in die formule h 4,9t 12t 1 

en los op vir t: 

86 

2 

7 4,9t 12t 1 

0 4,9t 12t 6 

2 

2 

b b 4ac 

t waar a 4,9 b 12 c 6 

2a 

12 2 

12 4 4,9 6 

2 4,9 

 

t 

12 144 117,6 

t 

9,8 

12 26,4 

t 

9,8 of 

12 26,4 

t 

9,8 

t 1,749 sekonde of t 0,7 sekonde 

2 

Dit 

is 'n kwadratiese vergelyking wat ons deur middel van 

 

2 

 

b b 4ac 

 

die formule t 

kan oplos, mits die 

2a 

 

vergelyking 

natuurlik in die 

standaardvorm vir 'n 

kwadratiese 

vergelyking geskryf is, dit wil sê die 

 

2 

vergelyking moet in die vorm at bt c 0 geskryf 

 

wees. 

Ons 

het alle terme aan die een kant van die vergelyking 

 

geskryf 

sodat die een kant van die vergelyking nul is; 

 

nou 

is die vergelyking in die standaardvorm en kan die 

 

formule 

volkome sonder insident toegepas word. 

Maak 

altyd seker van die berekening binne die vierkants- 

 

wortel; 

veral die teken tussen die twee terme. MOENIE 

 

AAN 

DIE SLAAP GEVANG WORD NIE. Een fout, en 

 

die 

hele som is verder in sy peetjie in! 

Let daarop dat enige woordprobleem se antwoord ŉ korrekte eenheid MOET hê. 

Interessant dat daar twee tydstippe is waarop die bal 7 m hoog is; en tydstip is terwyl die bal 

besig is om tot sy maksimumhoogte te styg; die ander tydstip is wanneer die bal besig is om 

na benede te daal en weer op ŉ hoogte van 7 m kom op pad grond toe. 

Let ook op dat u hierdie waarde van die grafiek af sou kon aflees:

Leereenheid 1 

Opmerking: Die bal val grond toe; die persoon wat dit opwaarts gegooi het, vang dit nie uit 

die lug uit nie. Kan u uit die grafiek sien waarom ek dit kan sê? 

Daar kan nog baie interessante vrae oor die bal gevra word, soos: 

Voorbeeld: Bereken die tyd wat die bal neem om sy maksimumhoogte te bereik en bereken 

ook hierdie maksimumhoogte. (sien die eerste grafiek hierbo waarop hierdie waardes reeds 

afgelees en aangetoon is) 

Oplossing: 

Daar is verskeie maniere om dit te doen. Miskien ken sommige van u differensiasietegnieke 

om dit te doen; vir die res kan ons die volgende wenk gee: 

Bepaal die koördinate van die draaipunt van die parabool. 

2 

b 

Vir die parabool h at bt c is die draaipunt altyd op die vertikale lyn, t , wat ons 

2a 

die simmetrie-as noem, geleë. Dit gee die horisontale koördinaat van die draaipunt. 

b 

t 

2a 

met a 4,9 en b 12 

t 

2 

12 

4,9 

 

 

1, 224 sekondes 

87

Leereenheid 1 

Om die vertikale koördinaat van die draaipunt te kry, vervang gewoon vir t 1, 224 in die 

formule 

88 

2 

h 4,9t 12t 1 en bereken h : 

2 

 

h 4,9 1,224 12 1,224 1 

8,347 meter 

(U kan ook die haatlike formule 

oplewer) 

2 b 4ac 

 

h gebruik, wat gewoonlik ŉ yslike gemors 

4a 

Dit neem die bal dus 1,224 sekondes om sy maksimumhoogte van 8,347 m te bereik. 

(die waardes stem goed ooreen met die waardes op die grafiek hier bo op p. 87 – die klein 

verskilletjies wat u sien is maar omdat die waardes op die grafiek AFGELEES is) 

Voorbeeld: Bepaal die totale vlugtyd van die bal (hoe lank dit in die lug was) 

Oplossing: 

Bereken gewoon hoe lank die bal neem om die grond te bereik, met ander woorde hoe lank 

dit neem voordat h 0. 

Stel h 0 in die formule h 4,9t 12t 1 

en los op vir t: 

2 

0 4,9t 12t 1 

2 

b b 4ac 

t waar a 4,9 b 12 c 1 

2a 

12 2 

12 4 4,9 1 

2 4,9 

 

t 

12 144 19,6 

t 

9,8 

12 163,6 

t 

9,8 of 

12 163,6 

t 

9,8 

t 2,530 sekonde of t 0,081 sekonde 

2 

Maak 

altyd seker van die berekening binne die vierkants- 

 

wortel; 

veral die teken tussen die twee terme. MOENIE 

 

AAN 

DIE SLAAP GEVANG WORD NIE. Een fout, en 

 

die 

hele som is verder in sy peetjie in! 

Tyd kan nie negatiewe waardes aanneem nie, dus is die negatiewe wortel wat ons nou net 

verkry het, ŉ ongeldige oplossing (dit val in elk geval buite die definisieversameling van die 

funksie). Slegs die positiewe wortel is dus ŉ geldige oplossing.

Leereenheid 1 

Die bal neem dus 2,530 sekondes om die grond te bereik vanaf die oomblik wat dit die 

gooier se hand verlaat het; dit is dus die totale vlugtyd. 

U kan gerus op die grafieke hierbo nagaan of ons berekende waarde met die parabool se 

snypunt op die tyd-as ooreenstem. 

CD-ROM. 

Residensieel: Quadratic Graphs.gsp sal tydens die kontaksessie 

bespreek word. 



bespreking 



OPDRAG 7A: PARABOLE 

Vraag 1 en 2: Rekonstrueer die volgende sketse d.m.v. GSP. Stel eers die asse soos op die 

sketse. Identifiseer die moederfunksie (in “BOLD”). Teken daarna ook die ander 

grafieke (beeldfunksies) m.b.v. transformasies. Skryf die vergelykings van die grafieke 

neer volgens die formaat in die studie gids. Benoem ook die tipe transformasie(s). 

Stoor elke skets op jou geheuestokkie. 

89

Leereenheid 1 

1. (FIGUUR F) 

Moederfunksie: ....................................................... 


90 

........................................................ 

........................................................ 

........................................................ 

........................................................ 

........................................................ 

........................................................ 

........................................................ 

........................................................ 

........................................................ 

........................................................ 

........................................................ 

………………………………………. 


........................................................ 

10 

5 

-6 -4 -2 2 4 6 

-5 

-10 

-15 

-20

2. FIGUUR G 



........................................................ 

........................................................ 

........................................................ 







8. Precalculus p. 219 no. 7 

........................................................ 

25 

20 

15 

10 

5 

-6 -4 -2 2 4 6 

-5 

Leereenheid 1 

91

Leereenheid 1 

9. Precalculus p. 222 no. 30 [Klaswerk] 

10. ’n Model vuurpyl word 3m bokant die grond afgevuur. Die beginsnelheid is 49 m/s. 

Aanvaar dat die vuurpyl loodreg opwaarts beweeg en dat gravitasie die enigste krag is 

wat dit afwaarts trek. In die metrieke stelsel is die versnelling a.g.v. gravitasiekrag 

9,8m/s 2 . Die projektielbeweging word beskryf deur die kwadratiese funksie 

92 

1 2 

t 9, 

8t 

49t 

3 

h . 

2 

10.1 Definieer elke veranderlike en gee die eenheid van elkeen in hierdie probleem. 

10.2 Wat is die lewenswerklike betekenis van h 0 3 ? 

10.3 Watter term in die vergelyking verteenwoordig die versnelling a.g.v. gravitasie ? 

10.4 Hoe weet jy vanuit die vergelyking dat die krag afwaarts werk? 

10.5 Skets die parabool en dui alle belangrike punte aan. (Bereken eers die h-afsnit, 

wortels, simmetrie-as, vorm, draaipunt) 

10.6 Hoe hoog styg die vuurpyl voordat dit terugval aarde toe? 

10.7 Op watter tydstip word die hoogste punt bereik? 

10.8 Hoe lank is die vuurpyl in vlug? 

10.9 Watter vergelyking moet jy oplos om uit te vind op watter tydstip die vuurpyl 

50,5 m hoog is? 

10.10 Los bogenoemde vergelyking op tot 3 desimale syfers. 

10.11 Dui bogenoemde antwoord(e) aan op jou skets. 

10.12 Hoekom is daar twee antwoorde? 

11. 'n Muntstuk val uit 'n man se sak vanuit ŉ baie hoë toring. 

Die muntstuk se hoogte, in meter, na t sekondes word 

gegee deur 5 151, 

25 

2 h t t . 

 

11.1 Bereken h 

0 en gee die betekenis hiervan in die 

werklike lewe. 

11.2 Skets die grafiek. 

11.3 Los h t 50 algebraïes en grafies op. 

11.4 Beteken bostaande antwoord dat die muntstuk 

tweekeer op ŉ hoogte van 50 meter bokant die grond 

is? Verduidelik jou antwoord. 

11.5 Gedurende watter interval is die muntstuk minder as 

50 m bokant die grond? 

11.6 Wanneer tref die muntstuk die grond? Doen dit 

algebraïes en toon dit ook grafies aan.

Leereenheid 1 

12. Die pad van ŉ krieketbal nadat dit die kolf getref het, word beskryf deur 

2 

y x 0, 

02x 

30 

20 , waar x die horisontale afstand in meter en y die vertikale 

hoogte in meter beteken. (Die grafiek is die vlug van die bal en nie die bal se hoogte 

t.o.v. tyd nie!) 

12.1 Bereken y 2 en gee die lewenswerklike betekenis 

hiervan. 

12.2 Bereken die x-waardes as y x 2 en beskryf die 

lewenswerklike betekenis hiervan. 

12.3 Hoe hoog is die bal as dit die kolf verlaat? 

12.4 Wat is die hoogste punt wat die bal bereik? 

12.5 Wat is die horisontale afstand wat die bal beweeg 

voordat dit die grond tref? 

2 

13. Die kwadratiese vergelyking y 0, 

0064x 

0, 

16x 

beskryf die verband tussen 'n 

voertuig se stopafstand en spoed. In die vergelyking verteenwoordig y die afstand in 

meter en x die spoed in km/h. 

13.1 Bereken die stopafstand as die voertuig teen 100 km/h beweeg. 

13.2 Teen watter spoed sal dit die voertuig 50 m neem om te stop. Gee die 

vergelyking en toon die berekening. 

14. ŉ Boer wil vir natuurbewaring ŉ gebied teen ŉ rivier afkamp vir bewaringsdoeleindes. 

Die ekologie vereniging skenk aan hom 2000 m heining. Die boer kamp 'n reghoekige 

gebied af met die wal van die rivier een van die sye. (Onthou dat 'n mens nie draad 

span langs 'n rivier nie – dit sal wegspoel met 'n vloed of skeef trek – die rivier self 

vorm 'n natuurlike grens) 

Rivier 

Lengte 

Breedte 

14.1 Hoeveel heining is oor vir die lengte as die boer 300 m as breedte gebruik? Skets 

die situasie. Wat is die oppervlakte? 

14.2 As die breedte b meter is, hoeveel heining is oor vir die lengte, l? 

93

Leereenheid 1 

94 

14.3 Gebruik die vorige antwoord om 'n vergelyking in wortelvorm te skryf vir die area 

van die kamp. 

14.4 Toets jou vergelyking met die lengte en breedte van 14.1. 

14.5 Gee twee verskillende wydtes waarvoor die area gelyk sal wees aan nul. 

14.6 Maak ŉ rowwe skets van die grafiek. 

14.7 Watter breedte lewer 'n maksimum area? 

14.8 Bereken die maksimum area. 

OPDRAG 7B 

Vrae 1 tot 3: Rekonstrueer die volgende sketse d.m.v. GSP. Stel eers die asse soos op 

die sketse. Identifiseer die moederfunksie (in “BOLD”). Teken daarna ook die ander grafieke 




1. FIGUUR H 

60 

50 

40 

30 

20 

10 

Wenk: (p;q) vorm 

5 10 15 20 25 30 



........................................................ 

........................................................ 

........................................................ 

........................................................


2. FIGUUR I 

50 

40 

30 

20 

10 

Wenk: wortelvorm 

........................................................ 



5 10 15 20 

........................................................ 

........................................................ 

........................................................ 

........................................................ 


........................................................ 

Leereenheid 1 

95

Leereenheid 1 

3. FIGUUR J 

(Wenk: wortelvorm) 



96 

........................................................ 

........................................................ 

........................................................ 

........................................................ 

........................................................ 






8. Precalculus Oefening 3.1: 68 

........................................................ 

30 

20 

10 

-15 -10 -5 5 10 15 

-10 

-20 

-30

9. Precalculus p. 222 no 31 Klaswerk 

10. Beskou die volgende diagram van ŉ sekere radioteleskoop: 

d 

Y 

O 

Leereenheid 1 

Indien die profiel van die 

radioteleskoop se antenna 

gegee word deur die 

vergelyking 

2 

y 0,25x 

x , maak 

ŉ netjiese skets van 

die profiel en gebruik 

u grafiek om die 

radius r en 

diepte d van die 

skottel neer te skryf. 

Die eenhede is in 

meter. 

11. Bioloë bestudeer die effek van voeding op rotte op ‘'n dieet met 10% proteïene. Die 

proteïene bestaan uit brouersgis en koringmeel. Deur die persentasie, p, van gis in die 

proteïenmengsel te wissel, het die navorsers gevind dat die gemiddelde 

gewigstoename (in gram) oor ‘'n periode gegee kon word deur 

1 2 

f ( p ) p 2p 

20, 

0 p 100. 

50 

11.1 Bereken die maksimum gewigstoename. 

r 

11.2 Wat is die gewigstoename van 'n rot wat geen gis inkry nie? 

11.3 Teken 'n sketsgrafiek. (Jy hoef nie die wortels te bereken nie) 

6m 

X 

97

Leereenheid 1 

12. 'n Klimtol (yo-yo) Maatskappy modelleer die verband tussen totale inkomste en 

verkoopprys vir een klimtol soos volg: 

98 

y 

1000 

900 

800 

700 

Inkomste 

600 

in rand 

500 

400 

300 

200 

100 

-100 

 

12.1 Op watter interval is die funksie stygend? 

12.2 Gee die waardeversameling van die funksie in versamelingkeurdernotasie. 

12.3 Watter betekenis het die vorm van die grafiek m.b.t. die verkope van klimtolle? 

12.4 Gee die lewenswerklike betekenis van die toppunt. 

12.5 Die verkoopprys moet binne sekere grense gehou word om nie 'n verlies te ly nie. 

By watter verkooppryse is die inkomste nul? 

12.6 Bereken die vergelyking van die grafiek 

in wortelvorm 

en 

1 2 3 4 5 6 7 

12.7 toppunt (p; q) vorm.[Onthou die 

beperking op die definisieversameling] 

[Werk tot 4 desimale syfers noukeurig.] 

12.8 Gee ook die vergelyking van die grafiek 

in standaardvorm. 

12.9 Is hierdie ŉ ewe of onewe funksie? 

Toon alle berekeninge. 

(3,25; 897,8125) 

 

A 

Verkoopprys in rand 

http://office.microsoft.com/clipart/results.aspx?lc=engb&Scope=MC%2CMM%2CMP%2CMS&Q 

uery=yo-yo 

 

x

13. Deur die proses van fotosintese gebruik 

plante sonenergie, CO2 (koolsuurgas) 

en water om hulle eie voedsel te 

vervaardig en suurstof vry te stel. 

Verskeie faktore soos die ligintensiteit, 

golflengte van die lig, 

koolsuurgaskonsentrasie en temperatuur 

beïnvloed die tempo waarteen 

fotosintese plaasvind. Die meegaande 

figuur vertoon die verband tussen 

temperatuur en die tempo van 

fotosintese vir ŉ spesifieke plant. 

(Aanvaar dat al die ander faktore 

konstant gehou word.) 

100 

90 

80 

70 

60 

50 

40 

30 

20 

10 

-10 

 

B(8; 64) 

Temperatuur (C) 

Leereenheid 1 

http://www.gfparks.org/images/Autumn%20Trees.jpg 

Gedurende die winter verdof die chlorofil en die blare 

verander van kleur. Die blare vertoon rooi en pers omdat 

glukose in die blare vasgevang word en van kleur verander 

deur die blootstelling aan sonlig en koel nagte. 

10 20 30 40 x 

13.1 Beskryf die algemene vorm van die grafiek. Watter betekenis het die vorm van 

die grafiek m.b.t. fotosintese? 

13.2 Gee ŉ benaderde waarde vir die optimale temperatuur vir fotosintese in hierdie 

plant en 

13.3 wat is die fotosintese tempo vir hierdie waarde? 

13.4 Die temperatuur moet binne sekere grense gehou word vir fotosintese om plaas 

te vind. As dit te warm word, word die ensieme in die chlorofil vernietig en 

fotosinteseproses hou op. As dit te koud word, hou die ensieme ook op om te 

funksioneer. By watter temperature is die tempo van fotosintese nul? 

13.5 Bereken die vergelyking van die grafiek in wortelvorm 

en 

13.6 toppunt (p; q) vorm.[Onthou die beperking op die definisieversameling] [Werk tot 

3 desimale syfers noukeurig.] 

 

40 

99

Leereenheid 1 



100

POLINOME (van graad hoër as 2) 


pp. 213 – 214, 232 – 243 

Leereenheid 1 

Maak seker dat jy die betekenis van die terme: polinome, koëffisiënte, graad van die 

polinoom, leidende koëffisiënt, leidende term, konstante term en kwadratiese funksie 

verstaan. 


'n Houer (reghoekige prisma) word vervaardig uit 'n reghoekige stuk karton van 20 x15 cm. 

Vier ewe groot vierkante word uit die hoeke van die karton uitgesny en dan word die sye 

boontoe gevou. Gestel die sylengtes van die vierkante is x cm. 

Wat is die lengte van die houer? ....................................................... 

Wat is die breedte van die houer? ....................................................... 

Wat is die hoogte van die prisma? ....................................................... 

Gebruik bostaande drie antwoorde en skryf ŉ formule neer vir die volume van die houer (in 

wortelvorm): ............................................................................................................. 

............................................................................................................. 

Herlei die formule tot standaardvorm: 

.......................................................................................................... 

.......................................................................................................... 

.......................................................................................................... 

Gevolgtrekking: Ons vind 'n werklike voorbeeld van 'n derdegraadse vergelyking waarvan die 

skets soos volg lyk: 

101

Leereenheid 1 

Hieruit kan ons aflei dat die maksimum volume van ongeveer 380 cm 3 verkry word as 

x 2,8 cm. [Omdat die breedte 15 cm is, moet x 7. 

5; 

wat beteken dat die 

definisieversameling in hierdie geval net (0; 7,5) en nie alle waardes soos in die grafiek nie.] 

VOORBEELD 5: 

Gestel ons wil die vergelyking bepaal van die skets hieronder: 

Omdat -1; 0 en 2 wortels is sal die vergelyking van die vorm: 

102 

500 

450 

V 

volume 

in cm3 400 

350 

300 

250 

200 

150 

100 

50 

-50 

2 4 6 8 10 12 

x in cm 

-6 -4 -2 2 4 

y a 

y 

y 

2 

1 

-1 2 

-1 

-2 

-3 

-4 

x 0x 

1x 

2 

axx 

1 

x 2 

wees. 

(1; -4) 

x

Leereenheid 1 

As die punt (1; -4) hierin vervang word, kry ons a = 2.( Kontroleer dat dit reg is.) Die 

y 2x x 1 

x 2 in wortelvorm of as die hakies verwyder word: 

vergelyking is dus : 

.......................................................................................................... 

.......................................................................................................... 

3 2 

y 2x 

2x 

4x 

, in standaardvorm. 


Indien die grafiek ŉ wortel raak by die x-as en nie die x-as sny nie, is dit ŉ dubbelwortel, 

of wortel van multiplisiteit 2. Beskou die volgende grafiek: 

Die vorm van die vergelyking is dus: 1 2 

2 

a x x 

y . Bereken nou self die vergelyking in 

wortelvorm en in standaardvorm. Belangrik: omdat die grafiek by x 1 die x-as raak, word 

x 1 

gekwadreer. As jy dit nie verstaan nie, gaan teken 

die faktor 

4 3 

2 

x 1 

; y x 1 

; y x 1 

; y x 1 

y ens. m.b.v. GSP. 

.......................................................................................................... 

.......................................................................................................... 

.......................................................................................................... 

.......................................................................................................... 

.......................................................................................................... 

.......................................................................................................... 

.......................................................................................................... 

.......................................................................................................... 

1 

-4 -2 2 4 x 

-2 

(-1; -4) 

y 

-1 

-2 

-3 

-4 

1 

103

Leereenheid 1 

104 

CD-ROM. 

Residensieel: Cubic Graphs.gsp en Quartic Graphs.gsp sal tydens 

die kontaksessie bespreek word. 



bespreking 



OPDRAG 8A: 

1. Is die volgende uitdrukkings polinome? Gee 'n rede indien jy nee antwoord. 

1.1 16 x 

2 

1.2 4, 

6x 

14 

2 1 

1.3 2x 

4x 

18 

x 

1.4 2 3x 

7 

32 

1.5 25 

x 

1.6 3x 5 6x 

1.7 

1.8 

3 

x 

 

x 

10 

2 

3x . 2x 




4

Leereenheid 1 

5. Vind 'n vergelyking vir die volgende grafiek in wortel- en standaardvorm (neem a as die 

koëffisiënt van 3 

x ): 

6. Vind 'n vergelyking vir die volgende grafiek in wortel- en standaardvorm: 

7. Skets (sonder GSP) die grafieke van die volgende vergelykings en dui alle x- en y - 

afsnitte aan: 

7.1 y xx 

3x 2 

7.2 2 s t t 1 

t 2 

7.3 y 1 xx 

2x 

3 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

-2 -1 1 2 

-1 

x 

y 

3 

y 

8 

6 

4 

2 

-2 -1 1 2 

-0.2 

-0.4 

-0.6 

-0.8 

x 

105

Leereenheid 1 

8. Die vorm van die hoofkabel van 'n hangbrug word gegee deur 

106 

waar x 1 2 1 

y x 

x 

5 , 

500 250 

met 100 x 100 

, 

y die hoogte van die kabel (in meter) bokant die pad en x die horisontale 

afstand (in meter) vanaf die middelpunt van die brug is. 

8.1 Skets die grafiek. (Bereken die draaipunt en hoogtes van die kabel se eindpunte) 

8.2 Vind die waardeversameling. 

8.3 Wat is die hoogte van die laagste punt van die kabel bokant die pad? 

9. Die verplasing, s in meter, van ŉ voorwerp op tydstip t sekondes word gegee deur : 

3, 2 16 26, 

8 

2 

s t t . 

9.1 Vir watter waarde van t is die verplasing 'n minimum? (Wenk: Waar vind 'n mens 

die minimum / maksimum punt by kwadratiese vergelykings?) 

9.2 Wat is die minimum verplasing? 

10 Precalculus Oefening 3.2 no. 83 m.b.v. The Geometer’s Sketchpad 

OPDRAG 8B 






6. Precalculus Oefening 3.2 no. 81

7. ŉ Rivier kronkel oor 

die pad R21 wat ooswaarts 

loop. Daar is drie brûe oos 

van die kruising van R21 

met ŉ ander pad D36, wat 

noordwaarts loop. Die brûe 

is op afstande 2,5 km, 

6,1 km en 8,8 km oos vanaf 

die twee paaie se kruising. 

7.1 Gebruik ŉ polinoom 

in wortelvorm 

(met a = 1) 

om die rivier te 

modelleer. 

7.2 Wat is die y - 

afsnit van bogenoemdevergelyking? 

7.3 Wat is die lewenswerklike betekenis van die y -afsnit in 7.2? 

Leereenheid 1 

7.4 Dit is bekend dat die rivier die pad D36 6,71 km noord van die kruising van die 

paaie sny. Bereken die korrekte waarde van die koëffisiënt a om hierdie rivier te 

modelleer. 

7.5 Wat is die lewenswerklike betekenis van die teken van die koëffisiënt van a? 

7.6 Maak ŉ sketsgrafiek van die funksie. 

7.7 Watter vergelyking moet jy oplos om te bereken hoe ver oos van die kruising van 

die paaie die rivier 13 km suid van roete R21 sal wees? [Skryf net die vergelyking 

neer; moet dit nie oplos nie.] 

7.8 Watter vergelyking moet jy oplos om te bereken hoe ver suid van roete R21 die 

rivier sal wees 1 km oos van die brug by 2,5 km? [Skryf net die vergelyking neer; 

moet dit nie oplos nie.] 

8. Gestel ŉ valk vlieg na 1 sekonde vanaf die grond. 

Die valk styg vir ŉ rukkie en daarna duik hy 

afwaarts vir ŉ rukkie en daarna vlieg hy weer 

boontoe. Die meegaande figuur skets sy hoogte as 

funksie van die tyd. Gestel die posisiefunksie 

s = f(t) = t 3 - 13t 2 + 52t – 40 beskryf die voël se vlug , 

met t in sekondes en s in meters gemeet. 

12 

y 

10 

8 

6 

4 

2 

-2 

-4 

-6 

-8 

-10 

-12 

D36 

kruising 

2,5 km 

 

2 4 6 8 10 12 14 

6,1 km 

8,8 km 

 

Noord 

 

R21 

http://www.pennington.charitydays.co.uk/pic 

s05/Gyr%20Falcon%20004.jpg 

x 

107

Leereenheid 1 

108 

y 

die 

hoogte 

in 

meter 

70 

60 

50 

40 

30 

20 

10 

-10 

-20 

8.4 Wat is die meetkundige betekenis van die antwoord in 8.2? 


y = f(t) 


tyd in sekondes t 

8.1 Bereken die gemiddelde 

snelheid tydens die 

interval [2; 2,1]. 

8.2 Bereken vanuit 

grondbeginsels die 

snelheid (oombliklike 

veranderingstempo van 

verplasing met betrekking 

tot tyd) as t = 2 s. 

8. 3 Beskou die teken van die 

antwoord in 8.2 en lei af of 

die valk besig is om te 

styg of duik op tydstip 2 

sekondes. 



1.5.4 MAGSFUNKSIES 


Leereenheid 1 

ŉ Funksie van die vorm f(x) = ax n , waar a ŉ positiewe getal is en n enige reële getal, word 

ŉ magsfunksie genoem. Let op dat die onafhanklike veranderlike die basis is. 


pp. 154 voorbeeld 1 tot 3 (hersiening), 358 - 361 

In Calculus onderskei Stewart tussen 3 soorte magsfunksies: 

n 

f x x met n 'n natuurlike getal 

Hierdie tipe funksie maak deel uit van die terme van polinome. 

Maak seker dat jy weet hoe hulle te teken (byvoorbeeld dat die algemene vorm van die 

grafiek van f(x) = x n afhanklik is van die feit of n ewe of onewe is). 

Gebruik Geometer`s Sketchpad om nog 'n paar te skets totdat jy seker is van die invloed van 

ewe en onewe magte. 

1 

n 

f x x , met n ’n natuurlike getal 

Die grafieke van f(x) = x n , met n ŉ positiewe rasionale getal, is moeiliker om te voorspel. 

f 

x 

x 

1 

 

Jy ken die grafiek van f(x) = x n , met n gelyk aan –1. Dit is die bekende hiperbool met die 

koördinaat-asse as asimptote. Hierdie funksie kom in fisika voor. 

109

Leereenheid 1 

Bestudeer Voorbeeld 1: 

Gestel A (1,41; 5,96) en B (1,91; 10,94) is punte in 'n model van 'n magsfunksie. 

Om die magsfunksie te vind, stel ons beide A en B in funksie van die vorm: 

n 

y ax 

110 

 

n 

1, 91 

n 

 

n 

 

Deur A: 5, 96 a 1, 41 1 

n 

 

Deur B: 10, 94 a 1, 91 2 

10, 94 

2 1 Substitusie 

word nie aanbeveel nie 

5, 96 1, 41 

10, 94 1, 91 

 

5, 96 

 

1, 41 

 

 

n 

n 

10, 94 1, 91 10, 94 

log log of n log 

5, 96 

 

1, 41 

 

5, 96 

per definisie 

 

10, 94 1, 91 

log n log 

5, 96 

 

1, 41 

 

 

10, 94 

log 

5, 96 

 

n 

 

1, 91 

log 

1, 41 

 

 

2, 00 

 

 

2 

Model: y ax 

3 

Stel A in (3): 

5, 96 a 1, 41 

5, 96 

a 2 

1, 41 

3 

Model: y 3x 

2 

As ons dit toets met GSP, kry ons die volgende: 

y 

12 

10 

8 

6 

4 

2 

2 

fx = 3x2 A: (1.41, 5.95) 

B: (1.91, 10.95) 

 

A 

0.5 1 1.5 2 

1, 91 

 

1, 41 

of (gaan na volgende stap met wet 6) 

 

B 

x 

2 

Die model y 3x is eers geskets 

en daarna is die koördinate van 

twee punte op die grafiek gemeet 

en A en B lê wel op hierdie grafiek.

VOLTOOI DIE VOORBEELD 2: 

Vir 'n liggolf geld die vergelyking: f = c, 

Leereenheid 1 

met f die frekwensie van die vibrasie van 'n spesifieke kleur lig, die golflengte en 

c = 3X10 8 m/s 'n konstante , naamlik die spoed van lig. 

As die golflengte van violet- tot rooi-lig wissel van 400nm tot 700 nm, voltooi die volgende 

tabel: 

(nm) 400 500 600 700 

f (THz) 750 

Die eerste kolom beteken dus violetlig se frekwensie is 750 THz en golflengte 400 nm. 

(Wenk: T staan vir Tera of 10 12 en n staan vir nano of 10 -9 .) 

Toon een van jou berekeninge volledig met alle eenhede korrek: 

....................................................................... 

....................................................................... 

....................................................................... 

....................................................................... 

....................................................................... 

....................................................................... 

....................................................................... 

....................................................................... 

Teken die punte op die volgende assestelsel en trek 'n kromme daardeur: 

800 

f 700 

(THz) 

600 

500 

400 

300 

200 

100 

200 400 600 800 1000 1200 

golflengte in nm 

Watter tipe grafiek word verkry? .......................................................... 

Wat is die afhanklike veranderlike? .......................................................... 

Wat is die onafhanklike veranderlike? .......................................................... 

111

Leereenheid 1 

Skryf die funksie in die vorm f = .......................................................... 

Wat is die afsnitte? ........................................................... 

Gee die definisieversameling. ........................................................... 

Gee die waardeversameling. ........................................................... 

Bestudeer Voorbeeld 3: (Erkenning: Mnr. RJ van de Venter) 

Die volume van ŉ bol hang af van sy radius alleenlik. Daarom kan ons sê dat die volume ŉ 

funksie is van radius. (onthou tog dat π ŉ konstante is). Dit beteken volume is die 

afhanklike veranderlike en radius is die onafhanklike veranderlike. 

Ons kan dit nou wiskundig skryf: 

4 

V r r 

3 

112 

3 

Ons kan ŉ wiskundige funksie maklik grafies voorstel (u het dit duisende male op skool 

gedoen). Die gebruik is om die afhanklike veranderlike op die vertikale as te plaas en die 

onafhanklike veranderlike op die horisontale as. (Op skool het u so gewerk met x en y.) 

4 3 

ŉ Groot aantal eienskappe van die volumefunksie V r r kan nou uit die grafiek afgelei 

3 

word (ons noem hierdie grafiek ŉ derdegraadse magsfunksie): 

Wanneer die radius nul is, is die volume nul (dan bestaan die bol nie) 

Wanneer die radius ŉ maksimum is, is die volume ook ŉ maksimum 

4 3 

Die funksie V r r is stygend (die hoogte van ŉ punt op die kromme neem 

3 

altyd toe indien die punt van links na regs langs die kromme skuif)

Leereenheid 1 

Indien die bol se radius gelykmatig toeneem, neem die volume baie vinnig (skerp) 

toe; dus ŉ daar nie ŉ reglynige (lineêre verband) tussen volume en radius nie (dan 

sou die grafiek ŉ reguit lyn gewees het) 

Indien ek ŉ sekere radiuswaarde het, kan ek die ooreenkomstige volume-waarde op 

die vertikale as aflees (byvoorbeeld, as die radius 5 m is, dan is die volume ongeveer 

500 m 3 . Stem u saam? Kyk self). 

Indien ons ŉ sekere volume-waarde het, kan ons op die horisontale as aflees wat die 

radius van die bol sal wees wanneer dit daardie volume besit (byvoorbeeld, as die bol 

ŉ volume van 3000 m 3 het, dan sal die radius omtrent 9 m moet wees. Stem u 

saam? Kyk self) 

4 3 

Die definisieversameling van die funksie V r r is r 0 r 10; 

r R 

. Ons 

3 

sien dit deur die horisontale as van die grafiek te bestudeer. Verstaan u wat die 

r 0 r 10; 

r R beteken? 

skryfwyse 

V r 

4 

r 

3 

kan geskryf word as 

V 0 V 4189; 

V R . Ons sien dit deur die vertikale as te bestudeer. 

Die waardeversameling van die funksie 3 

 

Die skryfwyse V 0 V 4189; 

V R 

beteken in wese dat die waarde van die 

volume nooit kleiner as nul of groter as 4189 is nie en enige waarde tussenin mag 

aanneem. 

As jy met hierdie voorbeelde gesukkel het, werk deur Magsfunksies-Liggolwe.ppt op 

eFundi. 


PowerPoint 

Magsfunksies – Boyle se wet.ppt op eFundi 

Power Functions Graphs. gsp sal tydens kontaksessie behandel word. 



bespreking 

113

Leereenheid 1 

114 



Opdrag 9 

1. Gebruik die data in tabel 2 op p. 359 in Precalculus en bereken die model van die 

magsfunksie. Gebruik Pluto en Mercurius en werk so noukeurig as moontlik. 

2. Die persentasie verlies aan ŉ 

L x , is ongeveer 

koringoes, 

x 0, 

52 

3, 

2x 

L , met x die aantal 

wildehawer plante (’n soort 

onkruid) per vierkante meter van 

’n land. 

2.1 Watter tipe funksie is L ? 

2.2 Beskryf hoe x [Precalculus – Foerster adapted p. 58] 

http://www.gardenorganic.org.uk/assets/organicweeds/wild_oats11.jpg 

L verander met betrekking tot x en lei daaruit af watter tipe 

funksie L is. 

2.3 Bepaal L 150 . 

2.4 Verduidelik die betekenis van u antwoord in 2.3. 

2.5 Gestel Lx 

1 

y . Bepaal die vergelyking van y L x . 

1 

2.6 Wanneer sal u eerder y L x as Lx 

1 

2.7 Bepaal 100 L . 

y gebruik? 

2.8 Verduidelik die lewenswerklike betekenis van u antwoord in 2.7. 

2.9 Waaruit kan u aflei dat die inverse relasie wel ŉ funksie is? 





geheuestokkie.

FIGUUR Q 



........................................................ 

........................................................ 

........................................................ 

........................................................ 

Tipe transformasie: ...................................................... 

....................................................... 

3 

2 

1 

-3 -2 -1 1 2 3 

-1 

-2 

-3 

Leereenheid 1 

115

Leereenheid 1 

FIGUUR R 



116 

........................................................ 

........................................................ 

........................................................ 


....................................................... 

3 

2 

1 

-3 -2 -1 1 2 3 

-1 

-2 

-3

FIGUUR S 

Moederfunksie: 

1 

f ( x) 

 

x 


........................................................ 

........................................................ 

........................................................ 

........................................................ 

........................................................ 

……………………………………….. 


........................................................ 

15 

10 

5 

-3 -2 -1 1 2 3 

-5 

-10 

-15 

Leereenheid 1 

117

Leereenheid 1 

FIGUUR T 




118 

4 

3 

2 

1 

-2 -1 1 2 3 4 

-1 

-2 

-3 

.......................................................

FIGUUR U 



........................................................ 

........................................................ 

........................................................ 

........................................................ 

........................................................ 


....................................................... 



5 

4 

3 

2 

1 

-4 -2 2 4 

-1 

-2 

-3 

-4 

-5 

Leereenheid 1 

119

Leereenheid 1 

1.5.5 Rasionale Funksies 

Jy benodig ongeveer 5 minute om hierdie leergedeelte suksesvol te voltooi. 

Hierdie leeronderdeel is opsioneel en word, behalwe vir die definisie en die praktiese werk, 

na MATE 221 oorgeplaas. 

120 


Definieer 'n rasionale funksie: 

pp. 277 – 288 

Gee veral aandag aan die definisie, afsnitte, definisieversameling en 

vertikale asimptote. Dit moet algebraïes bereken kan word. Die ander 

eienskappe moet uit grafieke afgelees kan word. 

Is y 2x 3 'n rasionale funksie? ................................................ 

Motiveer jou antwoord: ................................................ 

Baie lewenswerklike toepassings kan met rasionale funksies gemodelleer word. Werk die 

volgende interessante voorbeeld deur:

BESTUDEER VOORBEELD1 

Leereenheid 1 

121

Leereenheid 1 

Rasionale funksies se definisieversamelings is dikwels beperk a.g.v. die terme in die 

noemer. Maak seker dat jy weet hoe om die definisieversameling te bepaal. Daarby het 

rasionale funksies dikwels asimptote. 'n Asimptoot is 'n lyn waarheen die funksie nader. Die 

korrekte wiskundige bepalings van die asimptote word eers in die module MATE 312 

behandel. 

BESTUDEER VOORBEELD 2 

Gestel y f x 

. 

122 

x 

2 

x 

2 

4x 

4x 

3 

Dan is f 'n rasionale funksie wat soos volg geskryf kan word: 

f 

x 

xx 

4 

x 3x 

1 

Die noemer word 0 by x 1 en by x 3 ; wat beteken dat f nie daar gedefinieer is nie. 

Die definisieversameling is dus x 1 

x 3 

x en of ; 1 

1; 3 

3; 

. 

Die vermoede dat x 3 en x 1 vertikale asimptote is, word bevestig deur die funksie in 

Geometer's Sketchpad te teken. Dan kan ons ook sien dat y 1 

'n horisontale asimptoot is.

Leereenheid 1 

Opmerking: Die hiperbool (spesiale magsfunksie) en resiprook funksies is ook rasionale 

funksies. 

PRAKTIESE WERK: 

8 

6 

4 

2 

-5 5 10 

-2 

-4 

Staaf antwoorde met 'n voorbeeld(e) wat in Sketchpad geteken is. Stoor die werk op jou 


1. Watter effek het die het die konstante r in die grafiek van die resiprook funksie: 

r 

f x ? 

x 

............................................................................................................................ 

............................................................................................................................ 

............................................................................................................................ 

2. Hoe beïnvloed die konstante h die grafiek van die resiprook funksie: 

f 

x 

1 

? 

x h 

............................................................................................................................ 

............................................................................................................................ 

123

Leereenheid 1 

3. Hoe beïnvloed die konstante k die grafiek van die resiprook funksie: 

124 

1 

f 

x 

x k ? 

............................................................................................................................ 

............................................................................................................................ 

4. Watter spesiale rol speel die punt h; k in die grafiek van die resiprook funksie: 

1 

f 

x h 

x 

k 

............................................................................................................................ 

Voltooi die volgende: 


OPDRAG 10A: RASIONALE FUNKSIES 

Gee die definisieversameling van die volgende rasionale funksies: 

1 

1. y 

2 

4 x 

3 

2. gx x 2x 

3. f x 4. g x 

 

4x 

2 

x 1 

9x 

2 

9 

6x 

8 

5. Gestel jy het 'n 1000 ml oplossing bestaande uit 20% suur en 80% water. 

5.1 Watter vergelyking van die vorm P x sal die persentasie suur beskryf as x 

ml suur by die oplossing bygevoeg word? 

5.2 Hoeveel ml suur moet bygevoeg word sodat die oplossing 60% suur bevat? 


5.4 Kan die oplossing ooit 100% suur bevat? 

5.5 Skets die grafiek van P x m.b.v. GSP en lewer die drukstuk in. 

?

6. Beskou die grafiek van y = f(t). 

6.1 Watter soort funksie is f? 

6.2 Gee die definisieversameling van f. (Toon alle bewerkings) 

6.3 Gee die vergelyking van die vertikale asimptoot van f. 

6.4 Bereken die y -afsnit. 

6.5 Is hierdie funksie een-eenduidig? Motiveer u antwoord. 

Gestel f modelleer die populasie y (in duisende) van ŉ kolonie 

bakterieë na t ure. 

6.7 Gee nog ŉ beperking wat u op t moet plaas sodat dit 

aanpas by die lewenswerklike konteks. 

6.8 Wat is die lewenswerklike betekenis van die y -afsnit? 

6.9 Is die funksie wat die lewenswerklike geval modelleer 

stygend of dalend? 

OPDRAG 10B: RASIONALE FUNKSIES 

Gee die definisieversameling van die volgende rasionale funksies: 




5000 

4500 

y 

4000 

3500 

3000 

2500 

2000 

1500 

1000 

500 

-500 

-1000 

y = 2500 

t+12 y = 

0,0004t+0,024 -300 -200 -100 100 200 300 400 500 600 

t 

Leereenheid 1 

www.el-bulbo.com 

125

Leereenheid 1 

3 

4. hx x 4x 

5. Precalculus Oefening 3.7 no. 84 (m.b.v. GSP en stuur via eFundi) 

6. Gestel jy het 'n 1000 ml oplossing bestaande uit 15% suur en 85% water. 

7. 

126 

6.1 Watter vergelyking van die vorm x P sal die persentasie suur beskryf as x ml 

suur by die oplossing bygevoeg word? 



6.4 Kan die oplossing ooit 100% suur bevat? 

6.5 Skets die grafiek van P x m.b.v. GSP en lewer die drukstuk in. 

Beskou die grafiek van y = f(t) en beantwoord die volgende vrae: 

7.1 Watter soort funksie is f ? 

7.2 Gee die definisieversameling van f. (Toon alle bewerkings) 

7.3 Gee die vergelyking van die vertikale asimptoot van f. 

7.4 Bereken die y -afsnit. 

www.el-bulbo.com 

y 

Gestel f modelleer die populasie y (in duisende) van 'n 

kolonie bakterieë na t ure. 

7.5 Gee nog ŉ beperking wat u nou op t moet plaas. 

7.6 Wat is die lewenswerklike betekenis van die y -afsnit? 

7.7 Is die funksie stygend of dalend? 



y = 

6t + 12 

2t + 1 

-5 5 10 15 20 

t

1.5.6 Eksponensiële funksies 


VOLTOOI VOORBEELD 1 VIR DIE VOLGENDE KONTAKSESSIE: 

Neem 'n enkele bladsy papier. (Geen voue beteken 1 deel) 

Vou die bladsy in die helfte. (Een vou lewer 2 gedeeltes) 

Vou die gevoude bladsy weer in die helfte. (Twee voue lewer 4 dele) 

'n Derde vou lewer 8 gelyke dele soos in die skets: 

Leereenheid 1 

Voltooi die volgende tabel waarin y die aantal gelyke dele papier en x die aantal voue 

weergee: 

Aantal voue x 0 1 2 3 4 5 6 

Aantal dele y 1 2 4 8 

Probeer nou 'n reël vir y(x) uitwerk: 

Aantal dele na 0 voue = y(0) = 1 

Aantal dele na 1 vou = y(1) = 2 = 1X2 = 1X2 1 

Aantal dele na 2 voue = y(2 = 4 = 1X2X2 = 1X2 2 

Aantal dele na 3 voue = .............. = ............. = ............ 

 

Aantal dele na x voue = ............. = ............. = 1X2 x = 2 x 

Die funksie 2 x 

y x is 'n voorbeeld van 'n eksponensiële funksie 

Die onafhanklike veranderlike x is die eksponent en die konstante 2 is die basis. [Moenie 

deurmekaar raak met die magsfunksies waar die basis die onafhanklike veranderlike is nie.] 

As die basis groter is as 1, staan dit ook bekend as die groeifaktor, want dan is die funksie 

stygend. As die basis kleiner is as 1, daal die funksie. As x = 0, is y = 2 0 en ons weet ook dat 

y = 1. Dus is 2 0 = 1. 

127

Leereenheid 1 

Teken die punte op die volgende assestelsel: 

Gebruik jou skets om die aantal dele na 7 voue te bepaal. Toon aan waar en hoe jy dit 

aflees. 

.................................................................................................................................................... 

Bereken y(3,4) met jou sakrekenaar: …………………… 

Hoekom maak y(3,4) nie sin in hierdie geval nie? 

.................................................................................................................................................... 

.................................................................................................................................................... 

Indien ons 'n kromme deur die punte trek, sou y 'n kontinue funksie wees en dan sou y(3,4) 

wel sin maak. 

128 

y 

140 

120 

100 

80 

60 

40 

20 

-2 2 4 6 8 10 x 12 

-20 


pp. 302 – 307

Leereenheid 1 

Voorbeeld 2 Belegging teen saamgestelde rente (Erkenning: Mnr. RJ van de Venter) 

Indien u ŉ bedrag P by ŉ bank gaan belê vir t jare teen r % rente per jaar, jaarliks bereken, 

dan gebruik die bank die volgende formule om die eindbedrag A te bereken: 

r 

A P1 100 

 

 

t 

(dit is ŉ wiskundige model – ŉ formule wat ŉ werklike proses beskryf) 

Soos u kan sien, hang die waarde van die eindbedrag A van baie sake af, naamlik die 

grootte van die aanvanklike deposito P , die rentekoers r en die tyd t wat die geld in die 

bankrekening bly voordat u dit gaan opvra. Maar in die werklike lewe is P ŉ vaste bedrag 

(byvoorbeeld R3000) wat u inbetaal en die rentekoers r (byvoorbeeld 10%) gee die bank vir 

u op skrif. Dus is die tyd t die enigste veranderlike wat op die proses inspeel terwyl die geld 

in die bank lê en rente verdien (tensy die bank op enige tyd die rentekoers aanpas, of ek een 

of ander tyd van die geld gaan onttrek – maar vir die doel van ons bespreking laat ons sulke 

interessanthede vir eers buite rekening). 

Dus, met die bedrag R3000 en die rentekoers van 10%, kan ons die wiskundige model 

r 

(formule) A P1 100 

 

 

t 

soos volg skryf: 

Natuurlik vereenvoudig dit tot: 3000 11 t 

A , 

10 

A 30001 

100 . 

Let op dat die eindbedrag A dus in werklikheid vir ŉ sekere belegging slegs afhanklik is van 

die veranderlike t (die aantal jaar); daarom kan ons sê dat A ŉ funksie is van t : 

300011 t 

 

A t , 

Let nou op dat die regterkant van die funksie uit ŉ koëffisiënt (naamlik 3000) bestaan, asook 

ŉ grondtal (naamlik 1,1) en ŉ simboliese eksponent of onafhanklike veranderlike , 

naamlik t . Die regterkant is dus ŉ eksponensiële uitdrukking. Dit is waarom ons hierdie 

funksie 3000 11 ŉ eksponensiële funksie noem. 

t 

A t 

, 

 

Laat ons nou kyk hoe die grafiek van hierdie funksie lyk, vir die eerste 10 jaar: 

t 

129

Leereenheid 1 

Gestel ons kyk na die waardeverminderingsprobleem. 

Voorbeeld 3 Waardevermindering op ŉ voertuig: (Erkenning: Mnr. RJ van de Venter) 

Indien u ŉ voertuig nuut koop teen ŉ bedrag P en u besit die voertuig vir t jare, dan vind 

waardevermindering plaas teen ŉ koers van r % rente per jaar. Die waarde van r hang hier 

af van ekonomiese faktore soos inflasie, maar ook die duursaamheid van die voertuig en 

hoeveel u dit gebruik. Voertuighandelaars gebruik gewoonlik die volgende formule om die 

waarde A van u voertuig na t jare te bereken: 

r 

A P1 100 

 

 

130 

t 

(dit is ŉ wiskundige model – ŉ formule wat ŉ werklike proses beskryf) 

Soos u kan sien, hang die eindwaarde A van baie sake af, naamlik die grootte van die 

verkoopprys P wat u vir die voertuig betaal het, die waardeverminderingskoers r en die tyd 

t wat die voertuig in u besit was. Neem nou aan dat die prys P ŉ bedrag van R110 000 was 

en dat die waardeverminderingskoers r 10% per jaar was. Dan is die tyd t die enigste 

veranderlike wat op die proses inspeel terwyl die voertuig in u besit is en waarde verloor 

(tensy u op ŉ stadium verbeterings aan die voertuig aangebring het, of skade aan die 

voertuig gehad het, of die voertuig meer gereeld begin gebruik het – maar vir die doel van 

ons bespreking laat ons sulke interessanthede vir eers buite rekening). 

Dus, met die prys van R110 000 en die verminderingskoers van 10%, kan ons die 

r 

wiskundige model (formule) A P1 100 

 

 

Natuurlik vereenvoudig dit tot: 110 000 0 9 t 

A 

, 

t 

soos volg skryf: 

10 

A 110 0001 

100 . 

Let op dat die eindwaarde A dus in werklikheid vir ŉ sekere voertuig slegs afhanklik is van 

die veranderlike t (die aantal jaar); daarom kan ons, soos voorheen, sê dat A ŉ funksie is 

van t : 

Let nou op dat die regterkant van die funksie uit ŉ koëffisiënt (naamlik 110 000) bestaan, 

asook ŉ grondtal (naamlik 0,9) en ŉ simboliese eksponent of onafhanklike veranderlike , 

naamlik t . Die regterkant is dus ŉ eksponensiële uitdrukking. Dit is waarom ons ook 

110 000 0 9 t 

A t , ŉ eksponensiële funksie noem. 

hierdie funksie 

110 0000 9 t 

 

A t , 

Laat ons nou kyk hoe die grafiek van hierdie funksie lyk, vir die eerste 10 jaar: 

t

Leereenheid 1 

Deur nou bogenoemde twee gevalle te vergelyk, kan ons interessante opmerkings maak; dit 

is onder meer duidelik dat ŉ eksponensiële funksie met ŉ grondtal groter as 1 ŉ stygende 

funksie is (dink: “belegging teen saamgestelde rente”), terwyl ŉ eksponensiële funksie 

met ŉ grondtal kleiner as 1 ŉ dalende funksie is (dink: “waardevermindering op ŉ 

voertuig”). 

Onthou net dat die eksponent t altyd groter of gelyk aan 0 moet wees – tyd kan nie 

negatiewe waardes aanneem nie. 

Ons kan hierdie gedagtes nou van toepassing maak op enige eksponensiële funksie van die 

kx 

vorm y a b waar a ŉ positiewe getal en kx ŉ positiewe getal is. 

Indien b 1, 

daal 

Indien b 1, 

styg 

kx 

y a b 

kx 

y a b 

Om egter lekker maklik berekeninge met eksponensiële funksies en eksponensiële 

vergelykings te kan doen, benodig ons nog een stuk gereedskap – en dit is die idee van ŉ 

logaritme. 


p. 305 voorbeeld 5 

131

Leereenheid 1 

Die baie spesiale natuurlike basis e: 

132 




Gaan na die web-adres: 

http://en.wikipedia.org/wiki/E_%28mathematical_constant%29 om die 

volgende vrae te beantwoord: 

Wie het die natuurlike basis, e, ontdek? ....................................................................... 

Gee die waarde van e tot 6 desimale syfers: ....................................................................... 

Gee die definisie van e: e = lim ............................... 

Watter waarde moet n (tot die naaste duisend) in hierdie definisie wees om tot 3 desimale 

syfers noukeurig te wees? 

Volgens watter (Taylor) reeks kan e bereken word? 

................................................................................... 

e = ...................................................................................................................... 

Bereken e vir 6 terme in die reeks: 

e = ...................................................................................................................... 

...................................................................................................................... 

...................................................................................................................... 

[Wenk: Die notasie 4! beteken 4 x 3 x 2 x 1 en word uitgespreek as “die fakulteit van 4 “. 

Kyk op “google” wat is 0!] 

0! = ................. 

Dit lyk na 'n baie snaakse basis om te gebruik, maar hierdie grafiek het unieke eienskappe: 

Dit is die enigste funksie waarvan die helling van die raaklyn aan enige punt (afgeleide) 

presies die waarde van die funksie in daardie punt is, m.a.w. 

d 

dx 

x 

x 

dy 

x 

e e of y y e 

dx 

Soos die volgende skets aantoon is: 

e 0 = 1 en die helling van die raaklyn by (0; 1) is ook 1

fx = ex 

A: (0.00, 1.00) 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

-1 

A 

-4 -2 2 4 6 8 10 12 


pp. 310 - 312 

y = e x 

x = 3 

y = 3 


PowerPoint 

Hersiening van Eksp funksies.ppt op eFundi 

Leereenheid 1 

133

Leereenheid 1 

Verskillende tipes eksponensiële vergelykings: 

1. Eksponensiële groei: 

134 

y = ab cx met b > 1 die groeifaktor. 

Voorbeelde is bevolkingsaanwas, saamgestelde rente en die groei van bakterieë. 

2. Eksponensiële verval: 

y = ab -cx met b > 1 of y = 

1 

a 

b 

Die eksponent is negatief of die grondtal is 'n breuk. 

Voorbeelde is radio-aktiewe verval en depresiasie. 

3. Beperkte eksponensiële groei: 

y =a(1 – b -cx ) met b > 1 en c > 0. 

cx 

. 

Voorbeelde is groei van bakterieë in 'n beperkte medium en by laai van 

kapasitors. 

4. Logistiese groeifunksie 

c 

 

1 ae 

t bt 

f 

met a, b en c positiewe konstantes. 

Voorbeelde is populasies waarvan die groei beperk word deur beskikbaarheid van 

bronne. 

Opmerking: U hoef nie laasgenoemde twee modelle te memoriseer nie. 

Rente as Eksponensiële groei: 

Enige konstante persentasie groei a.g.v. saamgestelde rente kan deur die vergelyking: 

 

1 % x 

y A r -------------(1) 

gemodelleer word, met A die beginwaarde, r die rentekoers, x die aantal tydperiodes 

verloop en y die finale waarde. 

r 

M.a.w. b = 1 + r% = 1 is die groeifaktor. 

100 


PowerPoint 

Eksp verval.ppt op eFundi

Leereenheid 1 

Verkry internettoegang om ekstra opsionele voorbeelde deur te werk. 



Gebruik die adresse: 

www.purplemath.com/modules/expoprob2.htm 

en 

www.purplemath.com/modules/expofcns4.htm 

VOLTOOI VOORBEELD 4 (Eksponensiële groei): 

In die volgende tabel word die bevolkingsyfers vir Engeland en Wallis vanaf 1841 tot 1901 

gegee: 

Jaar 1841 1851 1861 1871 1881 1891 1901 

Bevolking 

(in miljoene) 

Verhoudings - 1,126 

15,9 17,9 20,1 22,7 26,0 29,0 32,5 

Teken die punte (neem 1841 as 0 jare) op die volgende assestelsel: 

35 

y 

30 

Bevolking 

in 

25 

miljoene 

20 

15 

10 

5 

1841 

-10 10 20 30 40 50 60 

-5 

Jare na 1841 

Dit lyk na onbeperkte eksponensiële groei. Daarom kies ons die vergelyking: y = ab x . 

Stel x = 0 in hierdie vergelyking om a te bereken: ............................................... 

............................................... 

............................................... 

x 

135

Leereenheid 1 

Metode 1 (eerste punt en gemiddeld van verhoudings) om b te bereken: 

Voltooi die tabel deur die verhoudings van die opeenvolgende bevolkingsyfers tot 3 desimale 

syfers uit te werk. [Beskou die bevolking as terme in 'n meetkundige reeks en probeer die 

konstante verhouding bepaal. Daarom kan hierdie metode slegs gebruik word as die 

waardes van die onafhanklike veranderlike van die beginwaarde in konstante intervalle 

gegee word.] 

17, 

9 

1, 

126 

15, 

9 

136 

20, 

1 

 

17, 

9 

.......... . 

Omdat ons nie 'n konstante verhouding kry nie, word die gemiddeld van hierdie (6) 

verhoudings bereken ................................................ 

Neem nou hierdie waarde vir b. 

b = ....................................... 

Die eksponensiële model wat hierdie situasie kan beskryf, word dus gegee deur: 

y = 15,9(……..) x 

Bereken y(10) = …………………….. = …………………. 

Is hierdie model honderd persent akkuraat? …………… 

Metode 2 (eerste en laaste punte) [soos by die reguit lyn]: 

Ons het reeds die waarde van a bereken deur die eerste punt in te stel. 

Nou gebruik ons die laaste punt om b te bereken. 

32,5 = 15,9(b) 60 Hoekom die 60? .................................................. 

60 32, 

5 

b 

15, 

9 

 

1 

60 

32, 5 

b = .................................. 

15, 

9 

Bereken: y(10) = ......................................... = ................................................... 

y(20) = ......................................... = ................................................... 

Is hierdie model honderd persent akkuraat? .................... 

Watter model het die beste resultate gelewer? ....................

Leereenheid 1 

Metode 3 (enige twee punte wat nie die eerste een insluit nie) om beide a en b te 

bereken 

Gestel die vorige tabel het net die volgende inligting verskaf en ons weet die model het die 

x 

vorm: y ab . 

Jaar 1841 1851 1861 1871 1881 1891 1901 

Bevolking 

(in miljoene) 

Vervang (20; 20,1) en (50; 29,0) in die model: 

20, 

1 ab 

29 ab 

2 1 

 

50 

20 

1 2 29 ab 

: 

 

20, 

1 ab 

29 30 

b 

20, 

1 

29 

b 

20, 

1 

1, 

012 

 

20 

1 

30 

Vervang b 1, 012 in ( 1) 

: 

20, 1 a 1, 012 

20, 1 

a 20 

1, 012 

15, 834 

50 

20 

grondtal moet positief 

 

Vergelyking 15 834 1 012 x 

: y , , 

20,1 29,0 

wees 

Waarskuwing: Metode 1 kan slegs gebruik word indien daar konstante interval by die 

onafhanklike veranderlikes se waardes voorkom. 

Kan jy die verband tussen metode 1 en ŉ meetkundige ry insien? 

137

Leereenheid 1 

Voltooi Voorbeeld 5: 

Die half-leeftyd van koolstof-14 is 5730 jaar. Gestel daar is aanvanklik (op tydstip t = 0) a 

gram koolstof-14 in 'n fossiel. 

Wat beteken half-leeftyd? ..................................................................................................... 

138 

................................................................................................................................. 

Ontwikkel 'n vergelyking m(t) wat die massa van koolstof-14 na t jare modelleer. 

Omdat 

................................................................................................................................. 

................................................................................................................................. 

................................................................................................................................. 

................................................................................................................................. 

................................................................................................................................. 

................................................................................................................................. 

................................................................................................................................. 

x 

y 2 'n stygende funksie is, kan ons die volgende afleidings maak: 

As a < b, sal 2 a < 2 b 

en omgekeerd 

as 2 c < 2 d , sal c < d. 

Omdat 

y 0, 5 

x 

'n dalende funksie is, kan ons die volgende afleidings maak: 

As a < b, sal 0,5 a > 0,5 b 

en omgekeerd 

as 0,5 c < 0,5 d , sal c > d. 

Opmerking: Daar is nêrens sprake van grondtalle uitkanselleer nie!!! By ŉ stygende funksie 

is daar dieselfde verband tussen die afhanklike en ooreenstemmende onafhanklike 

veranderlikes, maar by die dalende funksie nie.

Leereenheid 1 

Werk ook deur die volgende voorbeelde uit Baxter: Toon die berekeninge by nommers 2c en 

3d en e. 

139

Leereenheid 1 

140 


PowerPoint 

Beperkte Eksp groei.ppt op eFundi


OPDRAG 11A: 

Leereenheid 1 



bespreking 











10. Gebruik jou Geometer’s Sketchpad en teken die volgende lede van die familie van 

eksponensiële funksies op dieselfde assestelsel in verskillende kleure en diktes. Heg 

aan in eFundi en lewer ook ‘n hardekope in. 

10.1 y 1 y 2 y 3 y 4 y 10 

10.2 

x x x x x 

x x x x 

1 1 1 1 

y y y y 

2 3 4 5 

[Onthou om die asse en grafieke te benoem.] 

10.3 Gebruik u grafieke om af te lei wanneer ‘n eksponensiële funksie 

of dalend sal wees. 



x 

y b stygend 

141

Leereenheid 1 

Vir vraag 13 tot 15. Rekonstrueer die volgende sketse d.m.v. GSP. Stel eers die asse 

soos op die sketse. Identifiseer die moederfunksie (in “BOLD”). Teken daarna ook die 

ander grafieke (beeldfunksies) m.b.v. transformasies. Skryf die vergelykings van die 

grafieke neer volgens die formaat in die studie gids. Benoem ook die tipe 

transformasie(s). Stoor elke skets op jou geheuestokkie. 

13 FIGUUR K 

Moederfunksie: f(x) = 2 x 


142 

-4 -3 -2 -1 1 2 3 

........................................................ 

........................................................ 

........................................................ 

........................................................ 

........................................................ 


........................................................ 

4 

3.5 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

-0.5 

-1

14 FIGUUR N 



........................................................ 

........................................................ 

........................................................ 

........................................................ 

........................................................ 


5 

4 

3 

2 

1 

-3 -2 -1 1 2 3 

-1 

-2 

Leereenheid 1 

143

Leereenheid 1 

15. FIGUUR L 



144 

........................................................ 

........................................................ 


...................................................... 

16. Ruan koop 'n motor vir R 50 000. Die waardevermindering per jaar is 15%. 

16.1 Wat sal die waarde van die motor oor 2 jaar wees? 

16.2 Bereken die oorspronklike prys van die motor as dit nou 7 jaar oud is. 

16.3 Hoeveel was die motor 3 jaar gelede werd? 

(Wenk: jy mag ook negatiewe eksponente gebruik) 

y 

1 

C B 

A: (1.00, 0.50) 

B: (1.00, 2.00) 

C: (0.50, 2.00) 

A 

x

17. 'n Pendulum word 80 cm horisontaal vanaf die 

rusposisie getrek en dan gelos. Die maksimum afstand 

van die swaaie word vir 5 minute aangeteken in die 

t 

volgende tabel. Neem s ab as vergelyking om die 

aksie te modelleer. 

Tyd in minute 0 1 2 3 4 5 

Maksimum afstand in cm 80 66 55 46 38 32 

Leereenheid 1 

17.1 Gestel t is die onafhanklike veranderlike vir tyd en s die afhanklike veranderlike 

vir die maksimum afstand (amplitude). Gebruik die metode van gemiddelde van 

verhoudings tussen opeenvolgende afstande om 'n vergelyking te vind wat die 

situasie modelleer. 

17.2 Bereken die amplitude vanaf die rusposisie na 9 minute. 

17.3 Na hoeveel minute sal die amplitude minder as 5 cm wees? 









26. 'n Radio aktiewe element verval op so 'n manier dat na t dae die massa in milligram 

gegee word deur: 

 

N t 100 e 

 

0, 062t 

26.1 Hoeveel mg van die element was daar oorspronklik? (t = 0) 

26.2 Hoeveel mg sal na 10 dae oor wees? 

26.3 Wat is die half-leeftyd van die element? (Doen eers in opdrag 19B ) 

26.4 Maak 'n skets van die grafiek. 

145

Leereenheid 1 

27. Die waarskynlikheid dat 'n telefoonoperateur presies x 

oproepe gedurende 'n bepaalde tydperk sal ontvang, 

word gegee deur: 

146 

P 

3 

x 

e 3 

. 

x! 

Bereken die waarskynlikheid dat die operateur presies 

drie oproepe sal ontvang. Rond die antwoord af tot vier 

desimale syfers. 




OPDRAG 11B: 











10. Gebruik jou Geometer’s Sketchpad en teken die volgende lede van die familie van 

eksponensiële funksies op dieselfde assestelsel in verskillende kleure en diktes. Heg 

aan in eFundi en lewer ook ‘n hardekope in. 

10.1 y 1 y 2 y 3 y 4 y 10 

10.2 

x x x x x 

x x x x 

1 1 1 1 

y y y y 

2 3 4 5 

[Onthou om die asse en grafieke te benoem.]

10.3 Gebruik u grafieke om af te lei wanneer ‘n eksponensiële funksie 

of dalend sal wees. 



Leereenheid 1 

x 

y b stygend 

Vir vraag 13 tot 15. Rekonstrueer die volgende sketse d.m.v. GSP. Stel eers die asse 

soos op die sketse. Identifiseer die moederfunksie (in “BOLD”). Teken daarna ook die 

ander grafieke (beeldfunksies) m.b.v. transformasies. Skryf die vergelykings van die 

grafieke neer volgens die formaat in die studie gids. Benoem ook die tipe 

transformasie(s). Stoor elke skets op jou geheuestokkie 

13. FIGUUR O 

-6 -4 -2 2 4 

Moederfunksie: f(x) = 6 x 


........................................................ 

........................................................ 

........................................................ 

........................................................ 

........................................................ 


........................................................ 

5 

4 

3 

2 

1 

147

Leereenheid 1 

14. FIGUUR M 



148 

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 

........................................................ 

........................................................ 

........................................................ 

........................................................ 

........................................................ 


........................................................ 

9 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

-1

15. FIGUUR P 




........................................................ 

16. Die aantal bakterieë in 'n kweking word na t minute bereken deur die formule: 

4 

N 400 

3 

16.1 Hoeveel bakterieë is aanvanklik in die kweking? 

16.2 Hoeveel bakterieë sal na 4 minute teenwoordig wees? 

17. Elke musieknoot word geassosieer met 

'n frekwensie wat in hertz (Hz) gemeet 

word. Hz beteken die aantal vibrasies 

per sekonde. In die volgende tabel is 

die benaderde frekwensies van die 

oktaaf note vanaf middel-C op 'n klavier 

opwaarts tot by die volgende C . 

As jy 'n klavier oopmaak behoort jy te 

kan sien dat die snare 'n eksponensiële 

kurwe vorm van lank tot kort. 

t 

Leereenheid 1 

149

Leereenheid 1 

150 

Klaviernote 

Nootname Note bokant middel-C Frekwensie (Hz) Verhoudings 

Middel-C 0 262 

C# 1 277 

D 2 294 

D# 3 311 

E 4 330 

F 5 349 

F# 6 370 

G 7 392 

G# 8 415 

A 9 440 

A# 10 466 

B 11 494 

C 12 523 

17.1 Teken hierdie punte m.b.v. GSP (gebruik plot points) 

17.2 Vind ‘n model wat deur hierdie punte pas (met die verhoudings-metode) deur tot 

vier desimale syfers noukeurig te werk. 

17.3 Kontroleer met die eerste- laaste punt metode. 

17.4 Gebruik die note E en B om met ‘n derde metode die model te vind. 

17.5 Lewer die drie modelle ‘n verskil? 

17.6 Teken jou modelle m.b.v. GSP op dieselfde grafiek as 17.1. 

17.7 Gebruik die model in 17.2 om die frekwensie te bepaal van ‘n noot twee oktawe 

bokant middel-C. (noot 24) 

17.8 Watter noot het ‘n frekwensie van 600 Hz? 

17.9 Die gemiddelde menslike oor kan frekwensies tussen 20 en 

20 000 Hz waarneem. Indien die klavier uitgebrei sou word, wat is die laagste 

17.10 en hoogste tone wat die menslike oor kan waarneem t.o.v. middel-C? 

17.11 Is hierdie 'n voorbeeld van 'n meetkundige ry? Motiveer jou antwoord. 










27. Die geprojekteerde populasie P van 'n stad word gegee deur: 

P e 

0, 005t 

100000 , 

waar t die aantal jare na 1990 is. Voorspel die populasie in 2010. 

Leereenheid 1 

28. 'n Hemositometer is 'n telkamer wat in vierkante verdeel is om mikroskopiese strukture 

in 'n vloeistof te bestudeer. In 'n bekende eksperiment is suurdeegselle verdun en 

deeglik gemeng in 'n vloeistof. Die mengsel is in 'n hemositometer geplaas. 

Die aantal selle op elke vierkant is met 'n mikroskoop getel. Die waarskynlikheid dat 

daar presies x suurdeegselle in 'n vierkant getel word, word gegee deur die bekende 

 

x 

e 

model van 'n Poisson distribusie funksie f x , met = 1,8. Bereken die 

x! 

waarskynlikheid (tot 3 desimale syfers) dat daar presies 4 selle op 'n bepaalde vierkant 

gevind is. 

[Die antwoord beteken dat daar byvoorbeeld uit 400 vierkante 

400X(jou antwoord) …………………….. selle gevind word.] 



151

Leereenheid 1 

1.5.7 Logaritmiese Funksies 

Die logaritmiese funksie is die inverse van die eksponensiële funksie en word verder as deel 

van die inverse funksies in leergedeelte 2.3 hanteer. 

152

1.5.8 Algebraïese Funksies 


Leereenheid 1 

Algebraïese funksies word saamgestel deur die gebruik van algebraïese bewerkings. 

Onthou dat hierdie groep ook die rasionale funksies en dus ook polinome insluit. 

’n Voorbeeld van ’n algebraïese funksie vind ons in relawitietsteorie. Die massa m van ’n 

deeltjie met snelheid v is 

m 

f 

v 

m 

o 

v 

1 

c 

met mo die massa van die deeltjie in rus en s km 

c / 10 3 

5 

die spoed van lig in ’n vakuum. 


Opdrag 12A : 

2 

2 



bespreking 





5x 

2 

4. Teken f x en bepaal die interval waarop die funksie dalend is. 

2 

x 

153

Leereenheid 1 

x 

5. Bepaal die funksie met f x Ca as 

154 

model en meegaande grafiese 

voorstelling: 


2 

x 

7. Gebruik GSP en teken grafieke van f x x en gx 2 op dieselfde assestelsel. 

Plaas 'n punt op elke grafiek en ”measure” die koördinate. Skuif die punte sodat die xkoördinate 

12 is. “Measure” die y - koördinate. “Calculate” die verhouding tussen die 

2 

x 

y -koördinate van f x x en gx 2 . Stuur via eFundi. 

8. Soos in Opdrag 12B. 

Opdrag 12B: 

Klassifiseer die volgende funksies: 

1. f x 1 x 

2. g x 2x 2 

2x 

3 

3x 

3. hx 

10e 

20 3 

 

j x . 

x 6 

4. 

k m 3m 

5. 6 

s t 10t 9, 

8t 

6. 2 

(-1 ; 15) 

7. Precalculus Oefening 4.1 no. 40. (Moenie die funksiewaardes uitwerk nie. Plaas punte 

op beide grafieke en gebruik “measure coordinates” om die funksie-waardes te 

bereken.) 

8. Bestudeer die volgende grafieke en beantwoord die vrae deur geen, een of twee 

moontlike antwoorde te gee: 

y 

5 

x

-3 

y 

10 y=f(x) 

4 

2 

20 

10 

-6 -4 -2 2 4 6 

8 

6 

2 

y 

-10 

-20 

-30 

-40 

y = m(x) 

-5 5 10 

y=w(x) 

-5 

y 

4 4 

-2 

-2 

y=p(x) 

-1 

y 

4 

1 

-2 

2 

2 

5 

Leereenheid 1 

8.1 Watter funksie sal die volgende situasie die beste beskryf? “As jy ’n vaste 

hoeveelheid heiningdraad het, die oppervlakte van jou reghoekige tuin deur die 

wydte bepaal word. Met die wydte klein, is die oppervlakte klein. As die wydte 

toeneem, word die oppervlakte groter. Die oppervlakte word al hoe stadiger 

groter tot op ’n maksimum. As die wydte verder vergroot word, word die 

oppervlakte vinniger kleiner totdat dit 0 is. 

8.2 Gee die definisieversameling van p in versamelingkeurdernotasie. 

8.3 Gee die waardeversameling van p in intervalnotasie. 

8.4 Gee die definisieversameling van w in intervalnotasie. 

x 

8.5 Gee die waardeversameling van w in versamelingkeurdernotasie. 

x 

x 

x 

20 

15 

10 

5 

-3 -2 -1 1 2 3 4 

2 

y 

-5 

-10 

-15 

-20 

-25 

y 

2 

1 

-1 

-2 

1 

y=h(x) 

-300 -200 -100 100 200 300 

y 

y=v(x) 

2 

y 

3 

2 

1 

3 

y=g(x) 

-4 -2 2 4 

1 

-1 -1 

-2 

-3 

y=q(x) 

x 

500 x 

x 

x 

155

Leereenheid 1 

156 

8.6 Watter grafiek(e) is stuksgewyse funksies? 

8.7 Watter grafieke is die van ewe funksie(s)? 

8.8 Watter grafieke is die van onewe funksie(s)? 

8.9 Watter grafieke is nie ŉ ewe of onewe funksie nie? 

8.10 Op watter interval is f stygend? 

8.11 Gee die “rise” van q. 

8.12 Gee die “run” van q: 

8.13 Gee die vergelyking van q. 

8.14 Gee die vergelyking van f. 

8.15 Gee die vergelyking van p in wortelvorm. 

8.16 Gee die vergelyking van h in wortelvorm as gegee is dat a=2. 

8.17 Gee die vergelyking van die vierdegraadse polinoom m in wortelvorm as gegee 

is dat a=1. 



1.5.9 Trigonometriese Funksies 


Leereenheid 1 

Die oplos van vergelykings, veral in trigonometrie, word dikwels slegs algebraïes gedoen met 

behulp van tegnieke wat aangeleer word. Indien vergelykings grafies opgelos sou word, word 

dit slegs ter wille van die oplossing gedoen - die verband met lewenswerklike probleme word 

meestal geïgnoreer of buite rekening gelaat. Gevolglik word in hierdie module aandag gegee 

aan die opstel van vergelykings uit lewenswerklike situasies en die oplos daarvan op 

algebraïese sowel as grafiese wyse, asook die interpretasie van oplossings. 


pp. 400 – 415 

Weet jy waar die trigonometriese funksies vandaan kom? 

'n Groot aantal fisiese verskynsels of prosesse in die werklike lewe het te doen met 

harmoniese gedrag (dit is gedrag wat reëlmatig periodies herhaal word). 

Kan u aan voorbeelde van sulke prosesse dink? 

Enkele voorbeelde hiervan is die meeste vibrasies, golfbeweging, rotasiebeweging, 

wisselstrome en wisselspannings en selfs die getye van die oseane. 

Die vraag is hoe ons dan nou te werk kan gaan om sulke verskynsels of prosesse wiskundig 

voor te stel. 

Ons kan aanvoel dat 'n sekere tipe wiskundige funksie, wat 'n reëlmatig-herhaalde gedrag 

voorstel, hiervoor nodig sal wees. 

Ken u 'n voorbeeld van so 'n funksie? 

Die antwoord lê, heel verrassend, in die manier waarop die trigonometriese funksies y=sin θ 

en y=cos θ gedefinieer is. 

Vir die meeste mense is hierdie twee basiese trigonometriese funksies iets wat uitsluitlik met 

driehoeke en sye en binnehoeke geassosieer word. 

Dit is egter so dat y=sin θ en y=cos θ vir heeltemal ander sake ook nuttig is. 

Dit sal eers duidelik blyk wanneer ons ondersoek instel na 'n eenvoudige voorbeeld van 

reëlmatig-herhaalde beweging, naamlik die beweging van 'n punt P op die rand van 'n 

roterende sirkelskyf met radius van een eenheid. 

Kom ons ondersoek hierdie situasie: 

Voer die volgende drie aktiwiteite self uit: 

157

Leereenheid 1 

158

Doen ook aktiwiteit nr. 2: 

Leereenheid 1 

159

Leereenheid 1 

Doen ook aktiwiteit nr. 3: 

Wat is die verband tussen die sinus- en cosinusgrafiek? ....................................................... 

.................................................................................................................................................... 

160

U resultate kan as volg opgesom word: 

En ook: 

y= sin x 

y= cos x 

amplitude=1 

amplitude=1 

-1 

-1 

O 

O 

Leereenheid 1 

Dit is insiggewend dat die beweging van 'n punt op die omtrek (rand) van 'n roterende 

sirkelskyf met radius a gebruik kan word om die krommes van die funksies y= a sin θ 

en y= a cos θ te genereer. 

Indien slegs die horisontale posisie van die punt beskou word, dan vind mens dat terwyl die 

sirkel roteer, dit lyk asof die punt heen-en-weer beweeg tussen a en -a. 

Indien slegs die vertikale posisie van die punt beskou word, dan vind mens dat terwyl die 

sirkel roteer, dit lyk asof die punt op-en-af beweeg tussen a en -a. 

Die sinus- en kosinusfunksie kom dus "vanself" na vore waar harmoniese prosesse soos 

byvoorbeeld rotasiebeweging plaasvind! 

Y 

1 

Y 

1 

90 

90 

360 

360 

180 

270 

180 

270 

360 

360 X 

X 

161

Leereenheid 1 

Die voorafgaande gee ons 'n manier om enige reëlmatig-herhaalde proses wiskundig voor te 

stel as 'n sinus- of kosinusfunksie. 

Werk deur die volgende om weer die gevoel te versterk dat die sinus-grafiek verkry word 

deur die hoogte (teenoorstaande sy in die driehoek met skuinssy 1 eenheid) van 'n 

reëlmatige beweging. 

As jy met 'n eenheidsirkel (radius 1) werk, is 

162 

teenoorstaande sy vertikale verplasing 

sin hoogte (bo of onder x as) . 

skuinssy 1 

Die hoogte word as positief geplot bokant die x-as en negatief onderkant die x-as. 

Netso is 

aangrensende sy horisontale verplasing vanaf oorsprong 

cos horisontale verplasing 

skuinssy 1 

x; y cos ; sin 

in ‘n eenheidsirkel. 

Ek gebruik die woord ”verplasing” i.p.v. afstand, want verplasing is 'n vektor wat grootte en 

rigting het. Verplasing is positief in die rigting van die positiewe x-as en negatief in die rigting 

van die negatiewe x-as. Om die cosinus-kurwe te kry, teken ons die horisontale verplasing 

vertikaal (volgens 'n skaal op die y-as). 

CD-ROM. 

SBO: Skakel CD aan en kliek op G. 

Residensieel: Lees paragraaf hieronder. 

[Indien jy dit self op die Internet wil doen, gaan na die adres: http://www.keymath.com/, kliek 

op “Discovering Advanced Algebra”, kliek daarna op “Dynamic Algebra Explorations”, kliek 

daarna op “Defining Circular Functions”. Maak seker dat jy op die eerste skets 'n 

eenheidsirkel het, ander kliek jy op “unit circle”. Skuif die punt (x, y) en kyk na die tekens van 

sinus en cos in die verskillende kwadrante. Die tweede en derde sketse wys hoe die sinus- 

en kosinuskrommes geteken kan word.] Op eFundi sal jy ook die programme Sinus 

tracer.gsp en Cos tracer.gsp vind wat dieselfde bewegings uitvoer. 

Bogenoemde animasies sal in die kontaksessie vertoon word. 

Werk deur die volgende om weer te besef dat die sinus-grafiek verkry word deur die vertikale 

verplasing (teenoorstaande sy) van die driehoek in 'n sirkelbeweging.

1.5 

1 

0.5 

Leereenheid 1 

Gebruik hierdie assestelsel om die punte te teken wat op die volgende twee bladsye gevra 

word. Vul ook die gevraagde h-waardes in op die tweede bladsy: 

50 100 150 200 250 300 

-0.5 

-1 

-1.5 

163

Leereenheid 1 

164

Leereenheid 1 

165

Leereenheid 1 

Hoeksnelheid: 

Veral tydafhanklike harmoniese funksies kan goed gehanteer word deur die konsep van 

hoeksnelheid in te voer: 

Noem die tyd wat een volle siklus van 'n reëlmatig-herhaalde proses duur, die periode T van 

die proses. 

Hou egter in gedagte dat een volledige omwenteling van 'n sirkel met 'n hoek van 360º 

geassosieer word. 

Ons moet nou 'n verband vind tussen T en die rotasiehoek θ van die sirkel. 

Dit kan maklik gedoen word deur te stel dat die grootte van die hoek θ afhang van hoe vinnig 

die rotasie van die sirkel plaasvind. Net soos ons snelheid definieer as die tempo waarteen 

s 

verplasing verander, of verandering in verplasing gedeel deur die verandering in tyd: v , 

t 

 

noem ons hierdie draaitempo die hoeksnelheid en dui dit aan met 

t 

 

, gemeet in grade 

per sekonde. 

 

of 

t 

166 

360 of 

T 

2 

T 

grade 

Dus: = x t Want : grade sekonde 

sekonde 

Vir een volle siklus geld nou: x T = 360 

Dit gee 'n handige manier om die periode T van 'n harmoniese proses of beweging te 

bereken indien die hoeksnelheid bekend is. 

T 

 

 

 

360 

Ons kan dus die trigonometriese funksies y= a sin θ en y= a cos θ wat eintlik funksies van 

hoeke is, gaan herskryf as funksies van tyd, en in terme van hoeksnelheid: 

Let daarop dat die veranderlike a die amplitude van die proses genoem word (by 

rotasiebeweging kom a ooreen met die radius van die rotasie). 

Die sin- en cos-funksies kan nou grafies voorgestel word as funksies van tyd, sodat die 

horisontale as eintlik nou 'n Tyd-as (afgemeet in gerieflike tydeenhede, gewoonlik sekondes) 

word. 

Ook sal alle afsnitte op die horisontale as nou tyds-waardes wees:

Leereenheid 1 

Enige harmoniese proses besit ook 'n frekwensie f, dit is 'n getal gemeet in Hertz (wat 

"siklusse per sekonde" beteken). 

Frekwensie word gedefinieer as die resiprook (omgekeerde) van die periode, so 

1 

f 

T 

.......... .......... . 

1 Uit ons definisie van hoeksnelheid het ons gesien dat 

360 

T 

 

.......... ........ 

2 Vervang ons nou (2) in (1) kry ons: 

1 

f 

360 

360 

 

 

amplitude=a 

amplitude=a 

O 

O 

y 

a 

-a 

y 

a 

-a 

90 

90 

180 

periode 

180 

periode 

270 

270 

360 

360 

t (in sekondes) 

t (in sekondes) 

167

Leereenheid 1 

Sodoende kan die hoeksnelheid van enige harmoniese proses waarvan die frekwensie f 

bekend is, gerieflik bereken word met behulp van = 360xf. 

Ons wiskundige modelle vir harmoniese prosesse naamlik die funksies y = asint en ook 

y = acost is nou gereed vir gebruik. 

Laat ons nou 'n lewenswerklike probleem beskou en met behulp van die kennis wat ons in 

die voorafgaande bespreking ontwikkel het, probeer oplos: 

'n Moontlike oplossing is: 

Vorm van vergelyking: y = asint (Hoekom nie y = acost nie? ............................................... 

.................................................................................................................................................... 

amplitude is 30 mm 

168 

Gestel 'n punt P op die rand van 

'n wiel met radius van 30 mm 

beweeg antikloksgewys vanuit 

die aangeduide posisie. Indien 

die frekwensie van die 

draaibeweging 1,25 siklusse per 

sekonde is, bepaal grafies... 

1. die grootte van die hoek 

waardeur die punt P in 0,5 

sekondes beweeg 

2. die vertikale afstand wat punt 

P na 0,5 sekondes bo of onder 

die as van die wiel sal wees. 

en 

= 1,25 siklusse/s 

= 1,25 (360)/s 

y = 30sin(450t) ......(1) (Hoekom staan hier 'n t? ........................................................) 

Stel 450t = 90 vir die eerste maksimum (Hoekom? Om die horisontale as te herkalibreer 

vanaf hoeke na tyd) 

t = 0,2 s 

Hoogte 

(mm) 

O 

radius=30 mm 

P 

Afstand 

(mm)

Algebraïese oplossing: 

1. hoek = 450t 

= 450(0,5) vir t = 0,5 s 

= 225 

2. y = 30sin(450t) 

Grafiese oplossing: 

150 

180 

210 

120 

240 

 

O 

90 

270 

=225 

= 30sin(450x0,5) vir t = 0,5 s 

= -21,213 mm 

21,213 mm onder die as van die wiel 

60 

Hoogte van P 

(mm) 

300 

30 

30 

P 

330 

A 

0 0,2 

0,4 0,5 0,6 

0,8 

afgelees as -21,2 mm, ge-interpreteer as 

21,2 mm onder die vlak van O 

Leereenheid 1 

Tyd 

(sekondes) 

Een laaste opmerking: Die eenhede waarin hoeke in gevorderde wiskunde gemeet word, is 

radiale en nie grade nie. Aangesien radiaalmaat nie op skool hanteer word nie, het ons in 

die voorafgaande besprekings alle hoekwaardes in grade aangegee. 

Ook hoekfrekwensie, in radiale per sekonde, is vir die doel van hierdie bespreking uitgedruk 

in grade per sekonde. 

169

Leereenheid 1 

Radiaalmaat (ŉ eenheid waarin hoekgroottes gemeet word) word altyd gebruik vir die 

definisie van die trigonometriese funksies as reële funksies 

170 

Agtergrond: Waar kom Radiaalmaat vandaan? 

Die gedagte om 'n volsirkel (een omwenteling) in 360 gelyke dele te verdeel, en elke 

verdelinkie 'n graad te noem, is eeue oud. Ons almal ken dit as die eenhede waarin hoeke 

tradisioneel gemeet word, en ons het almal 'n goeie aanvoeling van watter deel van 

omwenteling 'n sekere hoek-grootte voorstel (bv. 60º is 'n sesde van 'n omwenteling). Hierdie 

is egter 'n diskrete maat met basis 60, want ons verdeel 1 graad in 60 minute en 1 minuut in 

60 sekondes. As 'n mens vanaf die Suidpool 'n hoek van 1 graad sou trek sal die bene by die 

ewenaar ongeveer 111 km uit mekaar wees; een minuut sou 1,85 km wees en 1 sekonde 

meer as 30 meter. Ons benodig dus 'n kontinue desimale eenheid. 

In Wiskunde het ons egter die behoefte ontwikkel om 'n hoek Wiskundig te definieer in terme 

van 'n sirkel (omwenteling). So 'n benadering gee ons 'n manier om 'n hoek te definieer in 

terme van 'n radius en booglengte, en daaruit volg 'n hele aantal nuwe moontlikhede, soos 

bv. om die lengte van 'n boog en die oppervlakte van 'n sirkelsektor te bereken. (Dit is 

gewoon nie moontlik solank ons 'n hoek net as 'n aantal 360stes van 'n volsirkel beskou nie) 

Definisie van 'n hoek in radiale 

Beskou enige sirkel met radius r en enige twee punte A en B op die omtrek, sodat 

die boog s tussen A en B lê: 

Ons definieer dan die hoek (in radiale uitgedruk) as die verhouding van die lengte 

van die boog s tot die lengte van die radius r , en skryf dus 

 

s 

r 

Let daarop dat die hoek 'n grootte van 1 radiaal sal hê indien s r . 

Y 

6 

4 

2 

O 

-5 5 

-2 

-4 

-6 

 

r 

A 

r 

s 

B 

X

Maar hoe "groot" is 'n hoek van 1 radiaal dan werklik? 

Leereenheid 1 

Om u 'n gevoel te gee vir die grootte van 'n hoek in radiale, is dit nuttig om hoeke wat in 

radiale uitgedruk is, om te skakel na grade. Ons sal dus nou 'n metode ontwikkel om 

presies dit te doen. 

Per definisie is die omtrek van 'n volsirkel (een omwenteling) gelyk aan 2 r . 

Maar die omtrek van 'n sirkel kan beskou word as die boog s wat 'n hoek gelyk 

aan een omwenteling onderspan (sien bogenoemde skets). Dan geld: 

s 

wat 

r 

2r as een omwenteling is, beteken dat en dit lewer dat 2 

radiale. 

r 

Maar, in grade gemeet, verteenwoordig een omwenteling 360º. 

Kombineer ons nou bogenoemde uitdrukkings, kry ons 2 radiale=360º 

en dit beteken dat radiale =180º. 

Uit bogenoemde volg: 

1. Algemene formule om grade om te skakel na radiale: 

2. 180 

radiale, so 1 

Net so is 1 radiaal= 180 

 

Hoek in grade Hoek in radiale 

 

360 2 

 

radiale… dus 

180 

 

radiale. 

180 

en dit lewer ongeveer 57,296º. 

3. Ons verkies om sulke hoeke liewer in onegte breukvorm te hanteer, aangesien 

desimale breuke lomp kan wees en sakrekenaars benaderde waardes lewer. 

4. Nuttig om te onthou: 

Hoek in Grade 0 30 45 60 90 180 270 360 

 

 

Hoek in Radiale 0 

6 4 3 2 

3 

2 

2 

171

Leereenheid 1 

5. Hoeke soos 135° en 210° kan sonder insident met behulp van bogenoemde ook as 

eksakte radiaalwaardes geskryf word, bv.: 

172 

en ook 

135 90 45 

 

 

2 4 

2 

 

 

4 

3 

 

4 

210 180 30 

 

 

6 

6 

 

 

6 

7 

 

6 

Geplaas met die toestemming van John C. Polking

Leereenheid 1 

Kyk nou weer na die oplossing van die vorige probleem – hier is dit in beide grade en radiale 

gedoen. 

'n Moontlike oplossing is: 

Vorm van vergelyking: y = asint 

amplitude is 30 mm 

en 

= 1,25 siklusse/s 

= 1,25 (360)/s of 1,25(2) rad/s 

y = 30sin(450t) ......(1) of y = 30sin2,5t ..........(2) 

 

Stel 450t = 90 of 2,5t = vir die eerste maksimum (Hoekom? ......................................... 

2 

t = 0,2 s ........................................................................................) 

Algebraïese oplossing: 

1. hoek = 450t of 2,5t 

= 450(0,5) of 2,5t(0,5) vir t = 0,5 s 

= 225 of 1,25 radiale 

2. y = 30sin(450t) of 30sin2,5t 

= 30sin(450x0,5) of 30sin2,5(0,5) vir t = 0,5 s 

= -21,213 mm 

21,213 mm onder die as van die wiel 

Onthou om die sakrekenaar te stel na radiale 


pp. 369 – 375, 377 - 384 

Maak seker dat jy die identiteite op p. 381 ken. Som dit hier op: [Gebruik cosec i.p.v. csc.] 

173

Leereenheid 1 

174 

Individuele PC-opdrag /GSP 

Gebruik GSP en teken die grafieke van al 6 die trigonometriese funksies. 

Stoor dit op jou geheuestokkie. Onthou om die indelings op die asse te maak 

in grade of radiale soos jy verkies. Voor jy die grafiek “plot”, moet jy eers na 

“Edit” gaan, “Preferences” kies en die eenhede(“units”) stel vir grade of 

radiale. Kontroleer jou grafieke met behulp van die getekende grafieke op bl. 

388, 400 en 401. Maak ook seker dat jy sketsgrafieke met jou sakrekenaar 

kan teken deur omtrent 3 waardes te bereken.

PRAKTIESE WERK: 

Leereenheid 1 

Maak 'n ”rectangular grid” oop in GSP. Stel die x-as sodat 400 (gebruik grade) sigbaar is. 

Teken die volgende sketse en onthou om grade te gebruik. 

Teken sin x , 2 sin x en 4sin x op dieselfde assestelsel. 

Wat is die invloed van a in y a sin x ? 

..................................................................................................................................... 

Teken sin x , sin 2x 

en sin 3x 

op dieselfde assestelsel. 

Wat is die invloed van in y sin x ? 

..................................................................................................................................... 

..................................................................................................................................... 

Teken sin x , sin x 30 

en sin x 45 


Wat is die invloed van c in y sin x c 

? 

..................................................................................................................................... 

..................................................................................................................................... 

Teken cosx, cos x 30 

en cos x 45 


Wat is die invloed van c in y co s x c 

? 

..................................................................................................................................... 

..................................................................................................................................... 

Watter verskil merk u op by horisontale translasies as u die sinus- en kosinusfunksie 

vergelyk? 

..................................................................................................................................... 

..................................................................................................................................... 

 

Teken sin x , sin x 3 3 sin x sin x 3 

en 2 sin x op dieselfde assestelsel: 

Wat is die invloed van b in y sin x b ? 

175

Leereenheid 1 

176 

..................................................................................................................................... 

..................................................................................................................................... 

Teken sin x , sin2x 60 

and sin2 x 30 


Stem u saam dat die “c ” beter grafies waarneembaar is in die vorm y sin x c 

 

y sin x c )? 

as 

..................................................................................................................................... 

..................................................................................................................................... 


pp. 386 – 394 (voorbeeld 6), 399 – 404; 412 – 418 (voorbeeld 6) 

OPSOMMEND: In die grafiek y = asin((x - c)) + b en y = acos((x - c)) + b is: 

Amplitude = a [maksimum verplasing van die voorwerp] {eenheid m, km, volt ens.} 

Periode = 

 

Frekwensie = 

2 

2 

360 

of [tydsduur van een siklus] {eenheid s, ure, ens. } 

 

[aantal siklusse per tydseenheid] {Hz d.w.s. /s} 

 

360 2 

 

is die hoeksnelheid in rad/s (of /s) 

of of 

t 

T T 

Horisontale verplasing of fase: 

c > 0 het positiewe fase {eenheid s, dae ens.} (moederfunksie skuif na regs) 

c < 0 het negatiewe fase (moederfunksie skuif na links) 

(vir die sinusgrafiek dui dit die stygende been se snypunt op die horisontale as 

aan; vir die cosinusgrafiek is dit waar die maksimumwaarde sal voorkom) 

Vertikale verplasing = b {eenheid soos amplitude}

Teken die figure op p. 415 hieronder: 

Leereenheid 1 

Voordat lewenswerklike funksies in GSP geteken word is dit nodig om die amplitude en 

periode te bereken sodat die assestelsel se skaal reg gekies kan word. 


ŉ Opwekker (generator) lewer 'n spanning van V 200 cos 50 

t volt, met t die tyd in 

sekondes. Dus is 50 se eenheid rad/s en 50t 'n hoek in radiale. In GSP moet ons dus 'n 

reghoekige koördinaatstelsel kies. Omdat die amplitude 200 V is, moet 200 sigbaar wees op 

2 

die vertikale as. Die periode is = 0,04 s; sodat 1 taamlik na regs op die horisontale as 

50 

moet wees. Probeer dit skets en kontroleer op jou skets soos volg lyk: 

fx = 200cos 50x 

200 

150 

100 

50 

-50 

-100 

-150 

-200 

0.02 0.04 0.06 0.08 

177

Leereenheid 1 

Teken en voltooi self die volgende voorbeelde met GSP: 


Voor 'n konsert, word die instrumente van die orkes gestem deur 'n A-noot op die klavier of 

fluit te speel. Die vibrasie word gegee deur: y 3, 2cos 880 

t met die verplasing y in mm en 

tyd t in sekondes. 

Amplitude = ................................................................................................ 

Periode = ................................................................................................ 


Die dwarsdeursnee van 'n watergolf is y 

meter. 

 

1 

2, 1sin 

x , met x en y gemeet in 

2 2 

Amplitude: ................................................................................................ 

Periode: ................................................................................................ 

Fase : ................................................................................................ 


178 

................................................................................................ 

'n Satelliet wentel om die aarde sodat die afstand y , in km, noord of suid (hoogte buite 

rekening gelaat) van die ewenaar gegee word deur y 2000cos 0, 025t 10 

minute na die lansering. 

Amplitude: ................................................................................................ 

Periode: ................................................................................................ 

Fase: ................................................................................................ 

met t tyd in 

Om die vergelyking van lewenswerklike probleme te vind, is die moeiliker aspek


ŉ Masjien wat golwe maak in ŉ swembad bestaan uit ŉ 

silinder met ŉ radius van 2 m wat teen 1 omwenteling 

elke 10 s roteer. Die silinder begin met die staaf B in die 

hoogste posisie en roteer deur ŉ hoek in t sekondes. 

A is ŉ vaste punt reg onderkant die silinder. 

Beantwoord nou die volgende vrae : 

1. Druk in terme van t uit. 

2. Skryf nou die hoogte van die staaf, na 10 s, bokant 

(i) O (ii) A. 

Hierdie probleem sal makliker verstaan word met die volgende skets: 

Ons kan soos volg redeneer: 

1. Die beweging is sirkelvormig sinus- of kosinusfunksie 

Leereenheid 1 

Die apparaat raak aan die wateroppervlakte. Dit 

bestaan uit twee silinders wat vas is aanmekaar. 

Elke keer as die staaf (kleiner silinder) onder kom, 

stoot dit die water vorentoe en maak sodoende 'n 

golf. 

Die beginpunt is bo hoogte is 'n maksimum by 0 kosinus funksie 

Radius van 2 m Amplitude is 2 Hoogte = 2 cos(hoek) 

360 

Rotasie van een omwenteling van 360 in 10 sekondes = (36 in 1 sekonde) 

10 

= 36t 

[Na 1 sekonde is die hoek 36(1), 36(2) = 72 na 2 sekondes ens.] 

2. (i) Hoogte = 2 cos(36t) = 2cos (36x10) = 2 meter. 

(ii) Hoogte = 2 + 2 cos (36t) = 2 + 2cos(36x10) = 4 meter 

[Die hele grafiek moet 2 meter opskuif] 

179

Leereenheid 1 


Wanneer ŉ spesifieke stemvurk geslaan word, vibreer elke been 

teen ŉ frekwensie van 256 Hz (hertz of siklusse/sekonde). 

Die maksimum verplasing van die punt van die stemvurk is 0,3 

mm. 

Beantwoord nou die volgende vrae: 

1. Teken ŉ grafiek wat die verplasing van die punt van ŉ been van die stemvurk in ŉ 

spesifieke tydsverloop gee. Veronderstel die aanvanklike verplasing is 0,3 mm 

2. As aangeneem word dat dit ŉ sinusgrafiek is, druk y (die verplasing in millimeters) uit 

as ŉ funksie van t, die tyd wat verloop het vandat die beweging begin het. 

Ons redeneer soos volg: 

180 

1. amplitude = 0,3 mm 

1 

f = 256 siklusse per sekonde periode = sekondes 

256 

omdat die aanvanklike verplasing 0,3 mm (toppunt) is teken ons 'n cos-grafiek: 

2. Vorm: y = a cos(t) of y = a sin (t - c)° 

Amplitude: a = 0,3 

y 

0,3 

-0,3 

Daar is twee maniere om te bereken: 

(i) = 256 Hz/s 

= 256 (360)/s want daar is 360 in een omwenteling 

= 92160 /s 

1 

256 

t

of 

(ii) Periode = 

= 92160 /s 

360 

 

1 

256 

Leereenheid 1 

Omdat die periode 256 -1 sekondes is en die sinus-en kosinus-grafieke 90 uit fase is, is 

die afstand links van die oorsprong is een kwart van 'n siklus of periode, 

m.a.w. 256 - 1 / 4 = 1024 -1 . 

of 

Faseverskuiwing: t c 

1 

sekondes 

1024 

Dus, y = 0,3 cos(92 160t) of 1 

y 0, 3sin 

92160 

t ° 

1024 

181

Leereenheid 1 


'n Meisie sit op 'n groot wiel (soos in pretparke) wat elke 30 sekondes roteer. As die wiel 

begin roteer, sit sy in die posisie soos aangedui in die skets, gemerk met A. 

Beantwoord nou die volgende vrae : 

1. As die deursnee van die wiel 16 m is, hoe hoog is die meisie bokant die laagste punt B, 

t sekondes nadat die wiel begin draai het? Wenk: Druk die hoogte (y) in terme van die 

tyd (t) uit. 

2. Stel die trigonometriese funksie (soos bereken in 1.) grafies voor. 

3. Op watter tydstip(pe) is die meisie 15 m bokant die grond? 

4. Wanneer is sy op die hoogste punt? 

Voordat die 4 vrae beantwoord word, gaan ons eers na verskillende beginposisies vir die 

meisie kyk. 

182 

(a) 'n Mens sou kon begin op die grond waar die meisie opklim, of in die posisie 

waar sy nou sit. Aangesien ons met rotasie in 'n sirkel werk, sou dit dalk die 

maklikste wees om te begin waar die hoek 0 is. M.a.w., gestel die meisie sit op 

die x-as wanneer die wiel begin roteer (die middelpunt van die wiel is in die 

oorsprong geplaas). 

Teken 'n sirkel met radius 8. Vanuit die middelpunt van die sirkel trek ons hoeke 

in veelvoude van 30, omdat ons daaruit die grafiek redelik goed kan teken. Trek 

nou lyne parallel aan die x-as deur die punte waar die hoeklyne die sirkel sny. 

Teken regs van die sirkel 'n y-as loodreg op die verlenging van die x-as. Merk op 

die nuwe assestelsel hoeke in veelvoude van 30 af.

8 

6 

4 

2 

5 5 10 15 

2 

4 

6 

8 

Leereenheid 1 

(b) Die hoogte (y) van die meisie bokant en onderkant die middellyn van die wiel 

word nou vir elke hoek (verskillende tye t) geteken. By 0 is die hoogte 0. Ons 

merk dit op die nuwe oorsprong. By 30 of P1 op die sirkel word 'n loodlyn (y) na 

die x-as getrek. Hierdie hoogte word by 30 (t1) getrek op die tweede assestelsel. 

8 

6 

4 

2 

2 

4 

6 

8 

30 

30 

90 

90 

5 5 10 15 

180 

180 

183

Leereenheid 1 

(c) Die proses word met elke punt op die sirkel herhaal. As ons die hoogtes op die tweede 

assestelsel verbind, kry ons die volgende sinuskromme: 

(d) Die vergelyking van die grafiek word gegee deur: 

184 

y = 8 sin (t - c) + b (ons kan duidelik sien die amplitude is 8) 

(e) Die periode is 30 sekondes (die wiel roteer elke 30 sekondes). 

Dit beteken dat 

360 

12 

/ s 

30s 

hoek 

tyd 

Dus, y = 8 sin12(t - c) + b (die hoogte van die meisie bokant die middellyn van die wiel) 

As A die aanvanklike posisie van die meisie is wanneer die wiel begin draai, beteken 

dit dat ons die y-as 30 na regs moet skuif: Dit beteken 'n fase verandering of 

horisontale skuif van 30. Om dit om te skakel na 'n fase in sekondes, gebruik ons die 

30 

hoeksnelheid van 12 /s. Die tydsduur vir 30 is dus 2, 

5 s. 

12 

/ s 

Die hoogte van die meisie bokant die lyn deur die middelpunt van die sirkel, kan dus 

gegee word deur: h = 8 sin12(t – (-2,5))+ b [Skuif na links] 

h = 8 sin12(t + 2,5) + b 

.

Leereenheid 1 

(f) Om die vrae 1 – 4 te beantwoord, moet die hoogte bokant die grond bereken word. Die 

wiel moet dus 8 m in ŉ opwaartse rigting verskuif word. Dit beteken 'n vertikale 

skuif van 8 opwaarts in die vergelyking van die grafiek. Die hoogte word dus 

gegee deur: y = 8 sin 12(t + 2,5) + 8 of 

Antwoorde van vrae 1 – 4: 

y = 8 + sin 12(t + 2,5) 

1. y = 8 + 8 sin 12(t + 2,5) (die hoogte van die meisie t sekondes nadat die wiel begin 

draai het) 

2. 

Die y-afsnit of hoogte by t = 0: 

y 8 8 sin12 

y 

8 8 sin 30 

8 8( 

12 m 

1 

2 

) 

0 2, 

5 

Vir fase : stel 12(t + 2,5) = 0 

t = - 2,5 s 

Eerste maksimum by: 12(t + 2,5)= 90 (Hoekom? .............................................) 

t = 5 s 

Die tweede maksimum is dus by 5+30=35 s, want die periode is 30 sekondes. 

185

Leereenheid 1 

3. Ons behoort die volgende vergelyking op te los: y 8 8 sin12( t 2, 

5) 

 

Oplossing: 

186 

8 8 sin12( 

t 2, 

5) 

15 

 

12 

8 sin12( 

t 2, 

5) 

7 

Verwysingshoek 

t 2, 

5 

t 

2, 

5 

sin12( 

t 2, 

50) 

0, 

875 

t 

2, 

6 of 

(Kontroleer 

5, 

083 30n; 

9, 

917 30n 

t 7, 

4 of 

jou 

61 

61 

360n; 

180 61 

360n 

n 

t 32, 

6 of 

t 37, 

4 

antwoorde op jou grafiek) 

4. By die hoogste punt, waar y = 16, moet ons die volgende vergelyking oplos: 

8 8 sin12( t 2, 

5) 

16 

. 

Oplossing : 

8 8 sin 12( 

t 2, 

5) 

16 

 

y 

12 

18 

16 

14 

12 

10 

8 

6 

4 

2 

-2 

8 sin 12( 

t 2, 

5) 

8 

Verwysingshoek 

t 2, 

5 

t 

5 of 

5 

sin12( 

t 2, 

5) 

1 

t 

2, 

5 7, 

5 30n 

t 35 of 

5 10 15 20 25 30 35 

90 

90 360n 

met n 

t 65 of 

t 95; 

.. 

(Toets jou antwoorde op jou grafiek) 

y=8sin12(t+2,5) + 8 

20 

t in sekondes

Doen Voorbeeld 8 self en kontroleer dan u antwoorde: 

Leereenheid 1 

Verkope van Ocean Queen “Boogie Boards” fluktueer/wissel sinusoïdaal vanaf 'n 

hoogtepunt van 350 eenhede per week gedurende Februarie (t = 0) tot 'n laagtepunt 

van 50 eenhede per week elke Augustus (t = 6). Gebruik 'n kosinusfunksie om die 

weeklikse verkope s(t) , van Ocean Queen “Boogie Boards” te modelleer, met t die tyd 

in maande. 

8.1 Bereken eers die volgende: (werk tot 3 desimale syfers noukeurig) 

8.1.1 amplitude, 

8.1.2 vertikale verplasing, 

8.1.3 horisontale verplasing of fase in radiale 

8.1.4 periode in maande en die 

8.1.5 koëffisiënt van t (hoeksnelheid) gemeet in radiale per maand. 

8.2 Skryf nou die gevraagde funksie neer. 

8.3 Maak 'n sketsgrafiek 

8.4 Hoe sal die vergelyking van die funksie in vraag 1.2 verander as Januarie t = 0 is? 

8.5 Watter vergelyking moet jy oplos om te bepaal wanneer die verkope 300 “Boogie 

Boards” per week sal wees? Skryf net die vergelyking neer. Moet dit nie oplos nie. 

Oplossing: 

8.1.1 

350 50 

150 eenhede per week 

2 

350 50 

8.1.2 200 

2 

450 

400 

350 350 

300 

250 

200 

150 

100 

50 50 

-50 

 

 

2x amplitude 

eenhede per week 

8.1.3 0 (geen) [ons kan dit so kies dat Feb. 0 op die horisontale as is] 

8.1.4 12 maande [Feb. tot Feb.! Oppas Aug. is ŉ laagtepunt – periode is die horisontale 

afstand tussen twee punt wat in fase is – d.w.s. van hoogtepunt tot hoogtepunt] 

187

Leereenheid 1 

8.1.5 

188 

 

hoek in radiale 

periode 

2 

 

12 

 

rad/maand 

6 

 

8.2 st 

150cos t 200 

6 

8.3 [Doen dit stap vir stap – maar gebruik die regte vergelyking – ek doen eers ŉ grafiek 

met die regte tipe funksie, die amplitude en periode] 

8.4 

s 

[Nou bring ons die vertikale skuif by] 

y 

350 

50 

350 

300 

250 

200 

150 

100 

50 

 

cos vir ŉ skuif van 1 maand na regs 

6 

t 150 t 1 

200 

y 

150 

100 

50 

-50 

-100 

-150 

-200 

of 

y=150cos t/6 6 12 t 

5 10 15 

y=150cos t/6 

+200 

6 12 t 

5 10 15 

8.5 Stel s(t) = 300 of 300 150cos 

t 1 

200 

 

6


OPDRAG 13A: 


pp. 427 – 429 (voorbeeld 1) 

Leereenheid 1 

Individuele addisionele voorbeelde 

Indien jy nog onseker is oor die gebruik van trigonometriese funksies om 

probleme in die praktyk op te los, laai Trig-lewenswerklik.doc vanaf eFundi en 

werk deur die voorbeelde. (Erkenning: Mnr. R.J. van de Venter) 



bespreking 









8. Precalculus p. 398 Discovery Project 

9. 

 

9.1 Ek modelleer 'n sekere situasie deur die vergelyking: y 2, 5 cos 

t 5 . As jy 

6 

die sinus-funksie as model gekies het, wat sal jou vergelyking wees? 

9.2 Die weeklikse verkope van 'n sekere item word gegee deur st A Bcos t 

Wat is st se maksimum waarde? Verduidelik jou antwoord. 

. 

9.3 Voltooi die volgende sin. As die koste van 'n item beskryf word deur 

189

Leereenheid 1 

190 

t A B wt 

c cos , fluktueer/wissel die koste met ..9.3.1.. om 'n basis van 

..9.3.2.. met 'n periode van ..9.3.3.. en bereik 'n maksimum by t = ..9.3.4. 

10. In 1893 is 'n Ferris wiel met deursnede 76 m in 

Chicago gebou. Die hoek tussen die speke 

wat die karretjies met die middelpunt verbind 

 

is radiale. Hoeveel karretjies is daar om die 

3 

wiel? [Moenie eers dink aan grade nie.] 

11. In die figuur word die sketse van 

(1) y 5cos 2x 2 

en 

(2) y cos x 

8 

y 

6 

4 

2 

2 

4 

voorgestel vir 0 x 180 

. 

11.1 Bereken die koördinate van die snypunte van grafiek (1) met die x-as algebraïes. 

11.2 Bereken die koördinate van die snypunte van grafiek (1) met die grafiek (2) 

algebraïes en verifieer dit m.b.v. GSP. 

12. Stel dat die hoogte van die gety ( h in meter) by 'n hawe-ingang voorgestel word deur: 

h t 2, 5sin 30t 5, 

met t die aantal uur na middernag. 

 

P 

(a) Stel h grafies voor. 

B 

(1) 

50 A 

100 150 200 

Q 

(2) 

x

13. Gestel 'n waterwiel met radius 2 meter word 

gebruik om koring te maal. Gestel die wiel roteer 

antikloksgewys teen 12 omwentelinge per minuut 

vanaf 'n posisie OP. (die speek wat die waterbak 

dra) Omdat ons nie na die hoogte van die bakke 

gaan kyk nie, maar na die skaduwees van die 

speek OP, beskou ons die kosinus-funksie as 

model. (ons meet aangrensende sylengtes) 

Leereenheid 1 

13.1 Gestel die son se strale skyn reg van bo af. Teken die verplasing van die 

skaduwees wat die speek van hierdie bak (P) maak, op 'n grafiek soos hieronder. 

Neem verplasing na oos positief en na wes negatief. (Opmerking: hierdie skets 

hou nie rekening met die fase-skuif nie) 

13.2 Hoe lank neem dit die wiel om een siklus te voltooi (m.a.w. die periode)? 

13.3 Wat is die amplitude van hierdie beweging? 

13.4 Bereken die hoeksnelheid in grade/s. 

13.5 Wat is die fase verskuiwing? 

13.6 Gee nou die vergelyking van die verplasing van die skaduwee wat die speek van 

hierdie bak (P) maak as y(t). (Opmerking: hier is geen vertikale skuif nie) 

13.7 Maak 'n skets van y(t). (Jy mag in meer as een stap werk. Gebruik die figuur op 

die volgende bladsy.) 

14. Doen voorbeeld 6 en werk in radiale. 



4 

3 

2 

1 

1 

2 

3 

P 

30 

90 

180 

270 

360 

191

Leereenheid 1 

Opdrag 13B: 




4. Precalculus Oefening 6.1 no. 86a 





9. 

192 

 

9.1 Ek modelleer 'n sekere situasie deur die vergelyking: y 2, 5 cos 

t 5 . As jy 

6 

die sinus-funksie as model gekies het, wat sal jou vergelyking wees? 

9.2 Die weeklikse verkope van 'n sekere item word gegee deur st A Bcos t 

Wat is st se maksimum waarde? Verduidelik jou antwoord. 

. 

9.3 Voltooi die volgende sin. As die koste van 'n item beskryf word deur 

ct A B cos wt , 

fluktueer/wissel die koste met ..9.3.1.. om 'n basis van ..9.3.2.. 

met 'n periode van ..9.3.3.. en bereik 'n maksimum by t = ..9.3.4. 

10. Getye (laag-en hoogwater) word veroorsaak deur gravitasiekrag tydens die 

omwenteling van die maan om die aarde. Die hoogte ( h in meter) van die getye kan 

deur middel van 'n sinus- of kosinusfunksie voorgestel word. 

10.1 Skets die grafiek van die hoogte van die gety as 'n funksie van die tyd as die 

volgende gegee is: Die hoogte van die gety is 5,7 m tydens laagwater en 7,3 m 

tydens hoogwater en 12 uur verloop tussen opeenvolgende hoogwaters. 

(Gebruik 'n sinus-grafiek as model en maak die fase 0) 

10.2 Gebruik die grafiek om die hoogte van die gety ( h meter) as 'n funksie van die 

tyd (t uur) na hoogwater uit te druk. (Werk in radiale.) 

10.3 Druk h as 'n funksie van t uit as h = 3,6 tydens laagwater en h = 4,9 tydens 

hoogwater.

11. 'n Windmeul word gebruik om water te pomp. Die 

radius van die lem is 1,5 meter. Die middelpunt 

van die kop is 5 meter bokant die grond. Gestel die 

lem maak 'n hoek van 45 op tydstip t 0 en dit 

draai teen 5 omwentelinge per sekonde. 

11.1 Gee 'n vergelyking wat die hoogte ( y ) van die 

lem bokant die grond beskryf. (Gebruik die 

sinus-funksie as model) 

11.2 Bewys dat bogenoemde antwoord reduseer tot 

'n kosinusfunksie as die lem begin in die 

posisie van maksimum hoogte. 

Leereenheid 1 

12. 'n Industriële wisselspanning word gelewer en voorgestel deur die funksie 

1 

V 380 sin 100 

t 

, met V (op die vertikale-as) in volt en t (op die horisontale- 

300 

as) in sekondes. Om huishoudelike apparaat by hierdie spanning te gebruik moet die 

stoom telkens deur 'n weerstand gestuur word om die spanning tot 220 volt te beperk. 

Bereken die tydsintervalle wanneer die stroom deur die weerstand gestuur moet word 

vir die eerste 0,035 sekondes: 

12.1 grafies m.b.v. GSP (Wenk: Stel die V [-400; 400] en t [-0,01; 0,04] 

13. ŉ Agentskap vir tydelike werk raadpleeg 'n ekonoom. Hy dui aan dat die aanvraag na 

tydelike werk (gemeet in duisende werksaansoeke per week) in ons land gemodelleer 

f t 4, 3sin 0, 82 t 0, 366 7, 3 waar t die tyd in jare is 

word deur die funksie: 

sedert Januarie 1995. 

13.1 Bereken die: 



13.1.3 horisontale verplasing of fase (3 desimale syfers noukeurig) en die 

13.1.4 periode. 

13.2 Wat is die maksimum werksaansoeke per week? 

13.3 Wat is die minimum werksaansoeke per week? 

13.4 Maak 'n sketsgrafiek. 

13.5 Wanneer (in watter maand) na Januarie 1995 word die eerste maksimum 

bereik? 

14. Doen voorbeeld 6 en werk in radiale. 

193

Leereenheid 1 



Opdrag 13 Opsioneel: 

1. Precalculus Oefening 5.1 no. 3, 10, 21, 26, 30, 35, 40 , 44, 54 

2. Precalculus Oefening 5.2 no. 3, 5, 8, 15, 20, 30, 39, 51, 58, 66 

3. Precalculus Oefening 5.3 no. 7, 20, 29, 46, 61, 68, 75, 78 



194

1.5.10 HIPERBOLIESE FUNKSIES 


Waar die model van belasde kabels (soos hangbrûe ) 

Leereenheid 1 

deur parabole voorgestel word, is die model vir 'n kabel sonder enige las (soos 

telefoonkabels ) behalwe sy eie gewig 'n hiperbool. Sien ook “Figure 4” op p. 3 in die 

addendum. 

Ons weet dat daar 'n spesiale verhouding bestaan tussen die trigonometriese funksies sin 

en cos. Weet jy nog wat dit is? sin 2 + ............................................... 

Netso bestaan daar 'n spesiale band tussen kombinasies van die funksies e x en e -x en die 

hiperbool. Daarom word hulle hiperboliese funksies genoem. 

Die res van hierdie leeronderdeel is opsioneel en kan vir verryking bestudeer word. 


Werk deur pp. 2-4 om die definisies te leer en kontroleer die grafieke deur met GSP hulle te 

teken (gebruik die definisies). Maak seker dat jy hulle definisie- en waardeversamelings en 

asimptote kan bepaal. 

195

Leereenheid 1 

Voltooi: 

196 

sinh x = 

cosh x = 

tanh x = 

Teken die drie grafieke hier en skryf die definisie- en waardeversamelings by.: 

.................................................................................................................................................... 

.................................................................................................................................................... 

Gebruik die definisies en bewys: cosh 2 - sinh 2 = 1 

cosh 2 - sinh 2 = 

= 

= 

= 

Dit beteken dat 'n punt met koördinate (cosh x; sinh x) op die regterbeen van die hiperbool 

gedefinieer deur die vergelyking x 2 – y 2 = 1 lê. Vandaar die naam hiperboliese funksies. 

Hoekom die regterbeen en nie die linkerbeen nie? ................................................................. 

.................................................................................................................................................... 

In die figuur hieronder het ons 'n punt A op die regterbeen van die hiperbool geskuif totdat 

die koördinate daarvan ooreenstem met die waardes van cosh 2 en sinh 2 om sodoende die 

verband te bewys. 

Gebruik die skakel: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html 

om hierdie eienskap met 'n skets te sien wat animeer.

VOLTOOI VOORBEELD 1 

Gestel die vergelyking van 'n kettingboog 

(onbelasde kabel ) word gegee deur: 

x 

y 4 cosh 

 

4 

 

 

2 

 

e 

 

x 

4 

e 

waar (x; y) 'n punt op die kabel is. As die 

stutpaal 5,8 meter hoog is, bereken die 

afstand tussen die stutpale. 

x 

4 

 

 

 

 

Dit beteken dat y = ……………. en ons moet die x-waardes bereken. 

 

 

A: (3.76, 3.63) 

cosh 2 = 

sinh 2 = 

C: (2.35, -2.13) 

cosh (-1,5) = 

sinh (-1,5) = 

Stel 

 

e 

 

 

e 

x 

4 

 

2e 

 

 

x 

4 

0.5 e2+e-2 

= 3.76 

0.5 e2-e-2 

= 3.63 

x 

24 

e 

1 

 

e 

x 

4 

x 

4 

0.5 e-1.5+e1.5 = 2.35 

0.5 e-1.5-e1.5 = -2.13 

e 

 

 

 

 

x 

4 

 

 

 

 

 

 

2, 

9 

 

2, 

9 

 

5, 

8 

0 

6 

4 

2 

-5 5 

-2 

-4 

-6 

C 

C 

A 

A 

Leereenheid 1 

197

Leereenheid 1 

[Gebruik nou die k-metode om k op te los.] 

Stel 

4 

x 

198 

k 

e 

x 

4 

………………………………………………… 

k 2 + 1 – 2,9k = 0 

………………………………………………… (standaardvorm) 

k = (kwadratiese formule) 

= (substitusie) 

= 

2, 9 

2 

4, 

41 

= …………………. of …………………………… 

x 

e = ……………….. of… 4 e = …………………………….. 

loge e x/4 = loge 2,5 of …………………………………………… 

x 

ln e ln 2, 

5 of ……………………………………………… 

4 

[Opmerking: loge = ln, die natuurlike logaritme] 

x 

1 ln 2, 

5 

of ………………………………………………. 

4 

x = 4 ln 2,5 of …………………………………………….. 

x = 3,665 of ………………….. 

Die stutpale is dus 2(3,665) = 7,33 meter van mekaar af. 

Sodra ons inverse hiperboliese funksies doen, gaan ons die k-metode gebruik om formules 

af te lei vir inverse funksies. Dan hoef ons nie hierdie lang k-metode te gebruik nie. 


OPDRAG ??A: 


1 Gebruik die definisie en bereken: 

1.1 cosh 0

1.2 sinh 0 

1.3 tanh 0 

1.4 cosh 1 

1.5 sinh 1 

1.6 tanh 1 

1.7 cosh 2 

1.8 sinh 3 

1.9 tanh 4 

2. Addendum Oef. 7.6 no. 10 (p. 7) 

3. Addendum Oef. 7.6 no. 17 

4. Bereken sinh x en tanh x indien gegee is dat 

Leereenheid 1 

5 

cosh x . (Wenk: Gebruik ’n identiteit.) 

4 

5. Die boonste elektriese kabel, gemodelleer deur die kettingvergelyking 

x 

y 500cosh 110 

500 

500cosh 

0, 

3 

word gestut deur twee kragmaste wat 300 voet uitmekaar is. 

http://www.tamegoeswild.com/thedailymumble/uploaded_images/pylon-05-771972.JPG 

5.1 Hoe hoog is die kragkabel op sy laagste punt bokant die grond? 

5.2 Hoe lank is die kragmaste? 

5.3 Wat is die deursakking? 

y 

x 

199

Leereenheid 1 

OPDRAG ??B: 

1. ŉ Telefoonkabel hang tussen twee pale in die vorm van die kettingvergelyking: 

200 

waar x en y in meter gemeet word. 

x 

y 20cosh 15 

, 

20 

-10 -5 5 

-7 0 

7 

1.1 Hoe hoog is die kabel op sy laagste punt bokant die grond? 

1.2 Hoe lank is die telefoonpale? 

1.3 Wat is die deursakking? 

2. Addendum Oef. 7.6 no. 1 (p. 7) 






8. Addendum Oef. 7.6 no. 20 (Wenk: Gebruik die identiteit cosh 2 x – sinh 2 x = 1) 

9. Die spoed van 'n golf in die see word gegee deur die vergelyking: 

g 

d 

v tanh 

2 

 

, 

2 

g 

met g die gravitasie versnellingskonstante 

die golflengte en 

d die diepte van die golf 

8 

6 

4 

2 

-2 

y 

x

Leereenheid 1 

9.1 Bereken die spoed van 'n golf met golflengte 3 m en diepte 1,715 m. Werk tot 3 

desimale syfers noukeurig. 

9.2 Wat gebeur met die spoed vergelyking as die golwe baie diep (d > 3) raak? 

[Wenk: hou die asimptote van die tanh-funksie in gedagte.] 

9.3. Hoe verander die spoed vergelyking as die golwe baie vlak raak? {Wenk: Teken 

met GSP die grafiek van tanh x. Plaas 'n punt op die grafiek. Meet sy koördinate. 

Skuif die punt en kyk wat gebeur met die y-koördinaat as die x-koördinaat baie 

klein word.] 



eFundi 

Op eFundi is 'n GSP-lêer chain[1] gelaai. Speel 'n bietjie daarmee rond om te 

kyk watter van die drie grafieke jy op mekaar kan pas en watter op die foto 

van die kettinkie pas. 

201

Leereenheid 1 

1.6 STRATEGIEË VIR KEUSE VAN WISKUNDIGE 

MODELLE 


UITKOMSTE: 


’n tabel te analiseer om die korrekte wiskundige model te kies waarmee die data sinvol 

gemoduleer kan word. 

Hoe kies u ŉ model as u ŉ tabel met waardes het? 

202 

Bestudeer die aangetoonde materiaal in die addendum pp. 9 - 15 

Eerste of tweede konstante verskille of spesiale verhoudings is deurslaggewend om ŉ regte 

model te kies. Tydens die kontaksessie sal die dosent aan u die verband tussen konstante 

verskille en die hellings van raaklyne (differensiasie) verduidelik. 

Selfstudie: Alle Oefeninge oor Grafieke in die Addendum pp. 90 en 94-95 


bespreking

Opdrag 14: 

Individuele oefening, tensy anders vermeld. 

1. Watter van die volgende tabelle stel die volgende funksies voor? 

1.1 lineêre funksie 

1.2 eksponensiële funksie 

1.3 derdegraadse funksie 

1.4 kwadratiese funksie 

TABEL A 

x y 

2 4 

5 25 

8 64 

11 121 

14 196 

TABEL B 

x y 

2 7 

5 11 

8 15 

11 19 

14 23 

TABEL C 

x y 

2 4 

5 32 

8 256 

11 2048 

14 16384 

2. Vind ’n formule om die volgende verwantskap te modelleer: 

x y 

0 -4 

1 -1 

2 8 

3 23 

4 44 

3. Vind ’n formule om die volgende verwantskap te modelleer: 

x y 

1 10 

2 5 

4 2,5 

5 2 

4. Addendum p. 16 nr. 1-12 (Gee die patroon en die model) 

Leereenheid 1 

TABEL D 

x y 

2 8 

5 125 

8 512 

11 1331 

14 2744 

203

Leereenheid 1 

5. Addendum p. 18 nr. 31 



204 

Antwoorde/oplossings 

Gedeeltelik deur dosent nagesien. Volledige memorandums op eFundi vir 

selfkontrole van die res. 

Blaai nou terug na die leeruitkomste wat aan die begin van die leergedeelte gestel is. Het jy 

die nodige kennis en vaardighede verwerf wat gestel is?

INVERSE FUNKSIES 

Jy benodig ongeveer 30 uur om hierdie leereenheid suksesvol te voltooi. 

UITKOMSTE: 

Na voltooiing van hierdie leereenheid moet jy in staat wees om 

vas te stel of ŉ funksie ŉ inverse het; 

Leereenheid 2 

die inverses van funksies in leergedeeltes 1.5.1 tot 1.5.10 te bepaal met spesiale 

aandag aan die inverse van die eksponensiële funksie 

Jy gaan die volgende studiemateriaal nodig kry: Addendum hoofstuk 7 en Precalculus 

hoofstuk 2. 

205

Leereenheid 2 

1.2 DEFINISIE 


UITKOMSTE: 


Verstaan wat met die inverse van 'n funksie bedoel word 

Jy gaan die volgende studiemateriaal nodig kry: Precalculus hoofstuk 2. 

Soms is dit nodig om wiskundige prosesse om te keer. Een van die bekendste voorbeelde is 

temperatuuromskakelings. 

As 'n mens 'n ou oond het wat in grade Fahrenheit werk, en 'n nuwe resep met 'n 

temperatuuraanduiding in grade Celsius, sal jy moet weet hoe om C na F om te skakel. Die 

reël is: vermenigvuldig die resep se met 9, deel die antwoord deur 5 en tel dan 32 by. 

Wiskundig geld die volgende reël, verband of funksie: 

Grafies kan ons dit soos volg voorstel: 

206 

F 

350 

300 

250 

200 

150 

100 

50 

9 

 

5 

y f x x 32 , (I) 

waar x C omgeskakel word na y F. 

-100 100 200 300 400 500 

-50 

C

Leereenheid 2 

Indien jy egter met 'n nuwe oond en oumagrootjie se kookboeke sit, sal jy die 

teenoorgestelde moet kan doen. Dan sal jy haar aanwysings in F moet omskakel C toe. 

Die formule is om 32 af te trek, die antwoord met 5 te vermenigvuldig en daarna met 9 te 

deel. Wiskundig kan ons dit voorstel met 'n ander funksie: 

wat x F omskakel na y C. 

5 

32 

, (II) 

9 

1 

y f x x 

Op dieselfde assestelsel lyk dit soos volg: 

350 

300 

250 

200 

150 

100 

50 

-100 D 

100 200 300 400 500 

-50 

Die eenhede is nou by die asse weggelaat, want die x-as stel nou F vir 

steeds C vir f . 


pp. 199 – 202 

f 

y = x 

f -1 

1 

f voor en nog 

207

Leereenheid 2 

As ons 'n wiskundige proses omkeer, kan ons dit ook met 'n funksie doen en hierdie word 

1 

dan die inverse funksie, f van f genoem. 

Skematies kan ons dit soos volg voorstel: 

'n Funksie en sy inverse is spieëlbeelde van mekaar in die lyn y x , of anders gestel f en 

1 

f is simmetries m.b.t. die lyn y x . 

Voltooi: 

Die definisieversameling van f is die waardeversameling van …………. en omgekeerd. 

Is 

208 

1 

f 'n funksie? ………………… 

Lewer elke invoer ( x) van 

1 

f slegs een uitvoer ( y )? ………………….. 

Het elke reguit lyn ( y mx c ) 'n inverse? ………………… 

Het elke reguit lyn ( y mx c ) 'n inverse funksie? ………………… 

Het die reguit lyn y 3 'n inverse? ………………… 

Het die reguit lyn y 3 'n inverse funksie? ………………… 

(Kyk nou weer na jou antwoord oor elke reguit lyn se inverse.) 

Is jy nou in staat om die vraag of alle funksies inverses het, te beantwoord? 

Maak seker dat jy die volgende begrippe onder die knie het: 

Een-eenduidigheid van funksies 

Die horisontale lyn toets 

Definisie van die inverse funksie 

Verband tussen f en 

Notasie verskille tussen 

x f 

x = f -1 (y) f -1 y 

1 

f se gebied en terrein 

1 

f 1 

en 

f 

Die kansellasie vergelykings (p. 201) 

y = f(x) 

Algoritme om inverse funksie te bepaal (Jy mag stappe 2 en 3 omruil op p. 202.)

Die grafiese betekenis van 

1 

f . 

Beantwoord nou die volgende vrae: 

1. Watter van die volgende funksies is een-eenduidig? 

..................................................... 

A B 

C D 

E. 

2 

3 

4 

1 

-5 

f 

h 

3 

q 

5 

6 

7 

8 

5 

2. Gee die definisie- en waardeversamelings van elke grafiek in vraag 1 hierbo. 

......................................................................................................................... 

......................................................................................................................... 

......................................................................................................................... 

......................................................................................................................... 

......................................................................................................................... 

......................................................................................................................... 

......................................................................................................................... 

8 

6 

4 

2 

-5 5 10 

-2 

g 

p 

Leereenheid 2 

209

Leereenheid 2 

210 

......................................................................................................................... 

......................................................................................................................... 

......................................................................................................................... 

3. Gee die definisie- en waardeversamelings van die inverse funksies in 1. 

......................................................................................................................... 

......................................................................................................................... 

......................................................................................................................... 

......................................................................................................................... 

......................................................................................................................... 

......................................................................................................................... 

......................................................................................................................... 

......................................................................................................................... 

......................................................................................................................... 

......................................................................................................................... 

1 

4. In 1A is f f 2 

1 

5. In 1A is f f 2 

1 

6. In 1A is f f 7 

1 

7. In 1A is f f 7 

..................................... 

..................................... 

..................................... 

..................................... 

8. Toon aan dat die vergelyking (II) wel die inverse van (I) is deur die algoritme toe te pas. 

......................................................................................................................... 

......................................................................................................................... 

......................................................................................................................... 

......................................................................................................................... 

......................................................................................................................... 

9. As (1; -4) op die grafiek van f lê, lê …………. op die grafiek van 

1 

f . 

Verkry internettoegang en voer die meegaande opdrag uit -opsioneel. 



As jy meer wil weet oor Inverse Funksies gebruik die adres: 

www.keymath.com/DAA - kliek op Dynamic Algebra Explorations – kies 

Chapter 5.5 – kies Building Inverses of functions

Leereenheid 2 



bespreking 



Opdrag 15: 












2. Precalculus Oefening 2.7 no.10 









211

Leereenheid 2 

1.3 BEKENDE INVERSE FUNKSIES 


UITKOMSTE: 


vas te stel of ŉ funksie ŉ inverse het; 

die inverses van lineêre funksies, absolute waarde, polinome, magsfunksies, rasionale 

funksies en algebraïese funksies te bepaal 

2.2.1 Inverse Van Lineêre Funksies 

212 


pp. 202 Example 6 

Die funksie y mx c het altyd ŉ inverse afbeelding of relasie. Die inverse is slegs 'n funksie 

as y mx c een-eenduidig is. Dit is waar behalwe as m 0 . As die gradiënt nul word, het 

ons y c (bv. y 3 ) wat 'n horisontale lyn is. 

Die reguit lyn x k ( k 'n konstante) is nie ŉ funksie nie en het dus nie ŉ inverse funksie nie. 

Samevattend: Alle reguit lyne van die vorm y mx c het inverses. Alle reguit lyne van die 

vorm y mx c (m 0) het inverses funksies. 




Gebruik die adres: http://www.purplemath.com/modules/invrsfcn3.htm 

en werk deur die eerste voorbeeld ( y 3x 2 ) en maak seker dat jy die 

inverse funksie van ŉ reguit lyn kan bereken. 

[Soek met “Inverse functions” in http://www.purplemath as u probleme 

ondervind.]

Leereenheid 2 

Selfstudie: Alle Oefeninge oor Grafieke in die Addendum p. 99 


bespreking 

213

Leereenheid 2 

2.2.2 Inverse Van Absolute Waarde: 

Die absolute waarde grafiek slaag nie die horisontale lyn toets nie. Dit is dus nie eeneenduidig 

nie. Dus kan ons nie inverse funksies bepaal nie. 

Deur 'n beperking op die definisieversameling van die absolute waarde funksie te plaas, kan 

ons wel een-eenduidigheid verkry. 

VOORBEELD: 

Kyk na die skets van y 2 x 3 4 : 

Die knakpunt is (3; 4). 

Indien ons dus die definisieversameling sou beperk tot x x 3 

of tot x x 3 

, 

het ons te doen met net een been van die grafiek. Dan sou die inverse funksie bereken kan 

word. Gestel ons noem die linkerbeen van die grafiek f en die regterbeen g . 

214 

 

f x y 2 x 3 4 

2x 6 4 

2x 10 

Ruil x en y om vir die inverse: 

x 2y 10 

2y x 10 

x 10 

y 

2 

x 

 

2 

(hoekom?) 

1 

f x x 

10 

8 

6 

4 

2 

-5 5 10 

5 met 4 

Bereken die inverse van g : 



bespreking

2.2.3 Inverse Van Polinome: 

Leereenheid 2 

Net soos by die absolute waarde funksie is polinoom funksies nie eeneenduidig nie. Ons kan 

dus inverse afbeeldings bereken, maar hulle sal net funksies wees indien ons die 

definisieversameling beperk. 

Gestel 'n paraboliese reflektor/teleskoop wys na bo soos op meegaande skets. Dan sal die 

vergelyking wat die parabool beskryf gegee word deur y 

2 

x 

. 

16 

Indien 'n ster na aan die horison waargeneem moet word, moet die teleskoop deur 90 na 

regs gedraai word. 

Die nuwe parabool is dan die inverse afbeelding (nie funksie) van die oorspronklike parabool, 

want hulle is simmetries t.o.v. die lyn y x . 

Die vergelyking na rotasie word gegee deur: 

16 y x 

2 

q x 

= x 

x 16 y 

Manipuleer sodat x nuwe onderwerp word 

 

1 

f ( x ) y x 

Y 

O 

6 

4 

2 

-5 5 

-2 

-4 

-6 

16 Ruil die veranderlikes om vir die inverse 

X 

215

Leereenheid 2 

216 




Gebruik die adres: http://www.purplemath.com/modules/invrsfcn3.htm en 

http://www.purplemath.com/modules/invrsfcn4.htmwerk deur die tweede 

2 

voorbeeld ( y x 1). 

Werk ook deur die gevalle waar die definisieversamelings 

tot x 0 en x 0 beperk word. 


2 

werk deur die voorbeeld y x 3x 2, x 15 , . 

In die onderstaande figuur is beide hierdie gedeelte van die parabool en sy inverse funksie 

geskets. Die simmetrie-as y x is ook geskets. Verskeie punte met hulle refleksies is 

aangebring sodat jy presies kan sien wat inverses meetkundig beteken. 

fx = 0.5 3- 1+4x0.5 

 

g x 

= x2-3x +2 

hx = x 

10 

8 

6 

4 

2 

5 10 15

Vierkantsvoltooing: 

Leereenheid 2 

Soms benodig ons die tegniek van vierkantsvoltooing om die inverse van ‘n kwadratiese 

funksie te bereken. 

Aangesien 2 2 2 

2 

volg uit bekende skoolwerk, gaan ons soos volg te werk: 

2 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

vermenigvuldig 

en deel met koëffisiënt 

van 

kwadratiese term 

 

 

 

 

2 

2 

 

 

 

 

vermenigvuldig 

en deel 

 

die middelterm met 2 sodat 

 

dit 

die korrekte vorm het 

tel 

die kwadraat van 

 

 

 

 

2 2 

 

2 

2 

2 

2 

 

 

 

die faktor tussen die "2" en 

die 

veranderlike van die 

 

middelterm 

by en trek dit 

ook 

af - moenie die koëffisiënt 

 

van 

die kwadratiese term 

 

vergeet 

nie 

2 

 

2 

 

2 

 

2 2 

 

 

2 2 

 

Soms doen u bogenoemde in ‘n vergelyking. Dan kan u elke term aan die linkerkant en elke 

term aan die regterkant met deel. Die term 

vergelyking bygetel word. 

 

 

2 

 

2 

sal dan beide kante van die 

Polinoomfunksies van graad 3 of hoër kan maklik bereken word as alle koëffisiënte in die 

polinoom 0 is , behalwe die term met hoogste graad en die konstante term. 

5 

Voorbeeld: As f x y x 6 , toon ek hoe om die inverse te bereken. Aan die 

linkerkante word stap 2 deur stap 3 in die algoritme gevolg. Aan die regterkant wys ek stap 3 

gevolg deur stap 2: 

5 5 

x y 6 (2) of x y 6 (3) 

 

1 

6 5 

5 

6 

x y y x 

 

1 

5 

f x y x 

6 

Polinoomfunksies van graad 3 en hoër met meer nie-nul koëffisiënte, se inverses kan met 

die algoritme bereken word, maar hoef nie in standaardvorm geskryf te word nie. 

217

Leereenheid 2 

Voorbeeld: As 3 2 

218 

f x x 2x 3x 4 , kan die inverse soos volg gegee word: 

Die inverse word gegee deur: 

3 2 

x y y y 

2 3 4. 



bespreking

2.2.4 Inverse Van Magsfunksies 

Leereenheid 2 





werk deur die voorbeeld ( y x 2 ) en maak seker dat jy die 

beperkings op die definisieversamelings van die funksie en sy inverse funksie 

ook verstaan. 



Hierdie word maklik volgens die algoritme bereken. 

Selfstudie: Alle Oefeninge oor Grafieke in die Addendum p. 104 


bespreking 



OPDRAG 16: 


2. Precalculus Oefening 2.7 no. 51 (wenk: kwadraatsvoltooiing) 



5. Opdrag 9 no. 2.5 tot 2.9 



219

Leereenheid 2 

2.2.5 Inverse van Rasionale Funksies 

220 





2 

werk deur die voorbeeld ( y ) en maak seker dat jy die beperkings 

x 5 

op die definisieversamelings van die rasionale funksie en sy inverse funksie 

ook verstaan. 


werk deur die voorbeeld van die rasionale funksie y 

x 2 

x 2 

. 



Selfstudie: Alle Oefeninge oor Grafieke in die Addendum pp. 105 


bespreking 



OPDRAG 17: 

1. Precalculus Oefening 2.7 no. 44 (Gee ook die definisieversamelings van f en 

2. Precalculus Oefening 2.7 no. 49 (Gee ook die definisieversamelings van f en 

3. Vanaf Opdrag 10A: 6.6 Bereken die inverse van f indien moontlik. 



1 

f ). 

1 

f ).

2.2.6 Inverse van Algebraïese Funksies 

Leereenheid 2 





werk deur die voorbeeld y 

2 

4 x . 





OPDRAG 18: 

1. Precalculus oefening 2.7 no. 15 


3. Precalculus oefening 2.7 no. 51 (Wenk: vierkantsvoltooiing) 



6. Bereken die vergelyking van die inverse funksie van 







1 

y 

1 



x 

x 

221

Leereenheid 2 

1.4 INVERSE VAN EKSPONENSIËLE FUNKSIES 

OOK GENOEM LOGARITMIESE FUNKSIES 


UITKOMSTE: 


die inverses van die eksponensiële funksies te bepaal 

om met die natuurlike logaritme (basis e) te werk 



Die volgende tabel kom uit die papiervou-voorbeeld by die eksponensiële funksie: 2 x 

y of 

2 x 

f x . 

222 

Aantal voue x 0 1 2 3 4 5 6 

Aantal dele y 1 2 4 8 16 32 64 

Indien ons nou die inverse funksie wil bepaal, ruil ons die x- en y-waardes om. 

Aantal dele x 1 2 4 8 16 32 64 

Aantal voue y 0 1 2 3 4 5 6 

Nou kan ons vra hoeveel voue lewer 8 dele op die papier? 

 

Wiskundig gestel: f 

1 

8 3 

As ons die koördinate in die lyn y x reflekteer, lyk dit grafies soos volg:

fx = 2x 

g x 

= x 

y 

1 

Nuwe wiskundige notasie: 

10 

8 

6 

4 

2 

(3; 8) 

-5 5 10 

f 8 log 8 3 

2 

Leereenheid 2 

Die inverse van die eksponensiële funksie 2 x 

y is dus die logaritmiese funksie y log2 x . 

Skat 2 3 log vanuit bostaande grafiek of tabel: ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,……………………………………… 

Gebruik die definisie en voltooi: 2 32 log ……………want……………….. 

10 1000 log ……..want……………….. 

3 27 log ……………want……………….. 

Hoe kan jy sonder GSP die grafiek van y log3 x teken? (Beskryf 2 metodes) 

…………………………………………………………………………………………………………… 

…………………………………………………………………………………………………………… 

…………………………………………………………………………………………………………… 

…………………………………………………………………………………………………………… 


pp. 315 – 321; 337 – 338; 340 – 350 

Hersiening van skooluitkomstes: 325 – 329; 331 - 336 

Let op die definisie van die natuurlike logaritmiese funksie (ln) as inverse van die 

x 

natuurlike eksponensiële funksie y e . [ ln x loge x soortgelyk aan log x log10 x ] 

Voorbeelde 11 en 12 op pp. 337 - 338 toon 'n baie belangrike tegniek. Veranderlike(s) kan 

uit 'n eksponent verwyder word deur aan die linker- en regterkant van die vergelyking 

logaritmes toe te pas en daarna wet 3 van logaritmes te gebruik. 

(8; 3) 

x 

223

Leereenheid 2 

Bestudeer Voorbeeld 2: (Erkenning: Mnr. RJ van de Venter) 

Beskou die volgende grafiek en meegaande wiskundige model vir die waarde van ‘n sekere 

beleggingsrekening op enige tydstip: 

Waarde / Value 

(Rand) 

4996,3 

3298,68 

A 

t 

6t 

2 

224 

2000 

0 2 

tyd / time (jaar / years) 

 

20001 

 

 

6t 

7 

 

600 

14 

3298, 

681 

 

600 

; 0 t 2 

; 2 

t 5 

Hierdie belegging se rente word elke 2 maande bereken, dit beteken 6 keer per jaar. Dit is 

waarom die formule ietwat anders lyk. Moet u nou nie hieroor bekommer nie. 

O 

 

 

5 t

Bereken die waarde van die belegging na twee jaar. 

Let op dat ons met die eerste twee jaar van die beleggingsfunksie se inligting werk. 

Dus: 

A 

 

t A 

2 

20001 

 

 

 

20001 

 

 

 

20001 

 

 

2000 

 

1, 1493..... 

 

2298, 

684 

7 

600 

7 

600 

7 

600 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6t 

62 

Die waarde is dus R2 298,68 na twee jaar. 

12 

2 Let 

op die volgorde van bewerkings : bereken 

 

u vermenigvu ldiging doen! 

Leereenheid 2 

Let 

op dat die skryfwyse A aan die linkerkant nou maar 

 

 

 

net beteken dat ons 2 aan die regterkant in vervang waar 

daar 

vantevore 'n 

t gestaan het. 

A2 

beteken letterlik : die waarde van die funksie At 

 

 

 

wanneer t 2 

magte VOOR 

Na twee jaar het die rekeninghouer duidelik nog R1000 in die belegging gedeponeer. Die 

bank het sy rente toe verdubbel na 14%, steeds tweemaandeliks (dit wil sê, ses maal per 

jaar) bereken. Bereken nou die tyd wat dit die belegging neem om ŉ waarde van R4000 te 

bereik. 

Dit is uit die grafiek en ook ons vorige berekening duidelik dat die belegging nooit R4000 

gaan bereik voor die einde van die eerste twee jaar nie. Dus sal dit net gebeur nadat die 

ekstra R1000 inbetaal is en die belegging se rentekoers aangepas is. 

Vir hierdie deel van ons berekening gebruik ons dus die wiskundige model 

A 

t 

3298, 

681 

 

 

14 

600 

 

 

 

t2 

6 

. 

(Let op dat ons nie At hoef te skryf nie; dit is slegs belangrik om dit so te skryf wanneer 

ons wil aandui dat A van t afhanklik is. At beteken nie A vermenigvuldig met t nie!) 

225

Leereenheid 2 

Stel A 4000 in die 

226 

t 2 

t 2 

t 2 

wiskundige 

model : 

jare 

t 2 

14 

4000 3298, 

681 

 

600 

Dit is duidelik dat ons die vergelyking 

nou vir 

4000 

3298, 

68 

6 

6 

6 

t 2 

t 

 

1 

 

 

 

log 

8, 

357... 

 

6 

1, 

3929... 

2 

3, 

393 

14 

600 

14 

1 

 

600 

t 2 

4000 

3298, 

68 

4000 

log 

3298, 

68 

 

 

 

14 

log1 

 

600 

 

6 

 

 

 

6 

8, 

3576..... 

t 

moet gaan oplos : 

Deel 

weerskante 

met die koëffisiënt 

voor die grondtal 

 

 

Let op dat dit 'n 

eenvoudige eksponensiële 

vergelyking 

 

3 

is, soos byvoorbeeld 

8 2 . 

. 

So 

'n 

vergelyking 

kan in logaritmiese 

vorm geskryf word 

 

 

as 3 log 2 8. 

Omdat ek vir 6t 

2, 

die eksponent in die vorige stap, graag 

 

alleen 

aan die een kant van die vergelyking 

wil kry, 

 

skryf 

ek die eksponensiële 

vergelyking 

uit die vorige 

 

stap nou in logaritmiese 

vorm. * * * 

 

log a 

Hier 

het ons die handige logwet log b a gebruik, 

log b 

 

waarmee 

ons enige logaritmiese 

uitdrulling 

op ons sak - 

rekenaars 

kan uitreken, as 'n 

gewone deelsom. 

 

 

Let daarop dat log a eintlik log 10 a beteken. 

Hierdie 

waardes word vanaf die sakrekenaar 

se vertoon 

 

paneel 

verkry. U moet natuurlik nie nou afrond nie, gebruik 

 

al die desimale syfers. Ek is net te lui om almal neer te 

 

skryf! 

Kyk gerus of u die oplossing van hierdie vraag op die grafiek hierbo kan aflees. 

*** Alternatiewe oplossingsmetode: 

In plaas daarvan om die eksonensiële vergelyking in logaritmiese vorm te skryf, kan u ook 

soos volg te werk gaan nadat die vergelyking in eenvoudigste eksponensiële vorm geskryf is:

4000 14 

log 

log 1 

 

3298, 

68 600 

4000 

log 

6 

3298, 

68 

t 2 

6 

14 

 

600 

 

Pas 

beide kante die logaritmiese 

funksie 

Leereenheid 2 

t 2 

log 1 

vergelyking 

te deel met log 1 kan dieselfde . 

toe 

n 

Hier 

het ek die handige logwet log b a n log b a 

 

gebruik. 

Deur nou die regter - en linkerkant van die 

 

 

14 

 

 

 

600 

oplossingsmetode 

gevolg as hierbo 

 

 

verder gevolg word. 

Bogenoemde is baie werk, maar ek hoop ek het daarin geslaag om die hele saak van 

eksponensiële vergelykings en logaritmes so ŉ bietjie vir u op te klaar. 

Hoe kan ons log 5 x teken m.b.v. GSP? .................. 

Kontroleer dat jy al die eksponensiële en logaritmiese wette ken soos wat jy dit reeds op 

skool gebruik het. Jy kan Precalculus of 'n skoolhandboek gebruik. Die belangrikstes is in die 

bylaag. 

Praktiese voorbeeld. 

Klasvoorbeeld: CA p. 448 no.22 


PowerPoint op eFundi: (Eksp.funksies; Eksp verval; Beperkte Eksp.groei) 

Ander op E-leerplatform: Werklikheidsgetroue Eksponensiële en Logaritmiese 

Vergelykings (Erkenning: Mnr. R.J. van de Venter) 

227

Leereenheid 2 

228 



Opdrag 19A: 

1. Skets y log 2 x, 

y log 4 x, 

y log 6 x en y log8 

x op dieselfde assestelsel m.b.v. GSP 

en voorsien elke grafiek van sy vergelyking. Wat is die verband tussen die grafieke? 

(Stuur via eFundi.) 

2. Skets y ln x, 

x 

x 

y log10 

x, 

y e en y 10 

op dieselfde assestelsel m.b.v. GSP en 

voorsien elke grafiek van sy vergelyking. (Stuur via eFundi.) 

3. Raak ontslae van die eksponente in die volgende vergelykings deur dit m.b.v. die 

definisie om te skakel na logaritmiese vergelyking: 

3.1 3 2 = 9 

3 

1 

3.2 4 64 

3.3 (0,5) -2 = 4 

1 3 

1 

 

3.4 2 

8 

3.5 27 9 

3 

2 

 

4. Bereken sonder sakrekenaar die waardes van: 

log 

1 

4.1 2 4 

4.2 log5125 

log 

1 

4.3 7 7 

log 

1 

4.4 8 4 

5. Vereenvoudig: 

6. 

5.1 log39 + log327 – log381 

5.2 log515 – log53 

5.3 2log 7 7 

6.1 Skets, m.b.v. GSP , op dieselfde assestelsel y = log10x, y = log2x en y = log 3x. 

6.2 Gebruik die logaritmiese wette om die verwantskap tussen die grafieke te 

verduidelik. Toets dit in Sketchpad . (Voeg bladsye by in jou dokument.)

7. As 

log 4! 1, 9746 

5 

OPDRAG 19B: 

, bereken 5 5! 

log sonder ŉ sakrekenaar. 

Leereenheid 2 

1. 'n Kolonie bakterieë verdubbel elke uur. Gestel daar is aanvanklik (t = 0) 1 bakterie. 

1.1 Gee 'n vergelyking met veranderlike t (tyd in uur) wat hierdie proses beskryf. 

(Wenk: stel 'n tabel op om jou te help) 

1.2 Hoe sal die vergelyking lyk as die bakterieë 1000-voudig vermeerder het? 

1.3 Verduidelik waarom 9 < t < 10 as die bakterieë 1000-voudig vermeerder het? 

1.4 Druk t uit as 'n logaritme met basis 2. 

1.5 Bereken t tot 2 desimale syfers noukeurig. 

2. Die halfleeftyd, t in dae, van bismut-210 word gemodelleer deur die vergelyking 

t 

 

10 0, 87 5 . Gebruik logaritmes om die halfleeftyd in dae tot 2 desimale syfers 

korrek te bereken. 

3. Die tydsduur (in ps) om N berekeninge deur 'n spesifieke rekenaar uit te voer is 

t N log N . 

2 

3.1 Skets die grafiek van die funksie met die hand deur 'n tabel te gebruik met N - 

waardes 0; 2; 4; 8; 16 

3.2 Skets die grafiek met GSP (Wenk: Verander die basis na 10) 

4. Atmosferiese druk, p , wissel volgens die hoogte, h , bokant die aarde se oppervlak. 

Vir hoogtes tot en met ongeveer 10 km, word die druk (in mm kwik) benader deur 

met h in km. 

p e 

0, 125h 

760 , 

4.1 Bereken die druk op 'n hoogte van 7,3 km. 

4.2 Op watter hoogte sal die druk 400 mm kwik wees? 

5. Die arbeid, in joule, verrig deur 'n 1-kg monster stikstof gas as die volume van 'n 

aanvangswaarde i V verander na 'n finale waarde van V f teen 'n konstante 

temperatuur proses word gegee deur 

4 V 

f 

W 9 , 1 10 ln 

 

. Bereken die arbeid verrig 

Vi 

 

(tot die naaste 100 J) as hierdie monster se volume toeneem vanaf 3 liter tot 7 liter. 

6. Beskou die skets van 'n dryfkatrol en plat dryfband. Die verhouding tussen die 

stywekantkrag ( T 1) 

en die slapkantkrag ( T 2) 

word gegee deur 

229

Leereenheid 2 

230 

T 

T 

1 

e , met die wrywingskoëffisiënt en die kontakhoek in radiale. 

2 

6.1 Bereken die kontak hoek as T 1 1,3 keer groter as T 2 en = 0,4. 

6.2 Dis wenslik dat die kontakhoek nie kleiner as 120 moet wees nie, om te 

voorkom dat die band gly. Watter afleiding kan jy maak oor hierdie voorbeeld. 

7. Die Griekse sterrekundiges Hipparchos en Ptolemy het die helderste sterre eerste 

magnitude en die dofste sterre sesde magnitude genoem. Die ontwikkeling van die 

teleskoop het baie meer sterre sigbaar gemaak sodat 'n wiskundige definisie vir hulle 

helderheid nodig was. Dit word gegee deur M log I log I 

5 

100 0 met I die 

intensiteit van die lig vanaf die ster en I0 die intensiteit van die lig van 'n ster met 

magnitude 0. Hoe kleiner die magnitude, hoe helderder die ster. Die helderste ster, 

Sirius, het magnitude -1,45, terwyl die planeet Venus 'n helderheid van -4,4 magnitude 

kan bereik. Die Hubble teleskoop kan sterre so dof as 25 magnitude waarneem. Neem 

6 

I 2, 45 10 en bereken: 

0 

7.1 Die intensiteit van lig vanaf Sirius. 

7.2 Die intensiteit van lig vanaf 'n ster met magnitude 25. 

7.3 Hoeveel keer is die lig vanaf Sirius helderder as die vanaf 'n ster met magnitude 

25. 

8. Luidheid (die krag van klank) word gewoonlik gemeet in desibel. Omdat die mense-oor 

'n geweldige omvang van klankhardheid kan waarneem, word die vlak van klank 

beskryf deur die funksie 

I 

10 log 

 

 

, 

I 0 

met die luidheid in desibel, I die intensiteit in watt per vierkante meter, en I 0 die 

12 2 

drumpel-intensiteit van gehoor. Neem 0 10 W/m 

I 

 

. 

Bereken sonder 'n sakrekenaar: 

T 1 

8.1 Die geruis van blare met intensiteit 

T 2 

 

11 

2 

10 W/m .

8.2 'n Besige straat se verkeer teen 

5 

2 

10 W/m . 

6 

2 

8.3 'n Gewone gesprek met intensiteit 3 10 W/m . 

9. Watter verband is daar tussen die formules van vraag 7 en 8? 

Leereenheid 2 

10. In Chemie word die pH van 'n oplossing gedefinieer deur: pH = -log[H + ], waar [H + ] die 

waterstof-ioon konsentrasie van die oplossing is. Bereken die waterstof-ioon 

konsentrasie in 'n monster van suurlemoensap met pH = 3,42. 

11. Opdrag 11A no. 26.3 

Opdrag 19C 





5. Bereken sonder sakrekenaar log66!, as gegee is dat log65! = 2,672. 

6. Gebruik die vergelyking 

1.5.6. 

7. Gebruik die vergelyking 

cx 

y a.e om 'n model vir voorbeeld 4 te vind in leeronderdeel 

ct 

s a.e 

om 'n model vir opdrag 11A no. 5 te vind. 

8. Sondagaand gewaar jy 32 muskiete in jou kamer. Maandagaand 

tel jy 48 muskiete. Dinsdagaand is daar 72. (eina!) Aanvaar dat die 

aantal muskiete eksponensieel toeneem. 

8.1 Wat is die groeikoers ('n persentasie)? 

8.2 Skryf 'n vergelyking wat die aantal muskiete, y , na x dae 

modelleer. 

8.3 Bereken die aantal muskiete na twee weke. 

8.4 Na hoeveel dae sal daar 2000 000 muskiete wees? 

8.5 Gee minstens een rede hoekom die muskietbevolking nie 

werklik eksponensieel aanteel nie. 

9. 'n Nuwe maatskappy met 5 werknemers verwag dat die aantal werknemers sal groei 

teen 'n tempo van 120% per jaar. Hoeveel werknemers sal daar na 4 jaar wees? 

231

Leereenheid 2 

10. Die verkoopsbestuurder van 'n kitskos groep bevind dat die verkope 

van ontbyt afneem aan die einde van 'n promosie-veldtog. Die 

verkope in rand is 'n funksie van die aantal dae d na die veldtog se 

afloop en word beskryf deur 


232 

S( 

d ) 

0, 

1d 

4 

4800 

. 

3 

Die bestuurder wil verhoed dat die verkope onder R 2700 per dag 

val voordat hy 'n nuwe reklame-veldtog begin. Wanneer moet hy 

weer met 'n veldtog begin? (Wenk: Stel S d 2700) 

12. Precalculus Oefening 4.6 no. 23 (gebruik basis e) 

13. Precalculus Oefening 4.6 no. 30 (Lees Opdrag 19B no. 10) 





Opdrag 19D 






































Leereenheid 2 

233

Leereenheid 2 

2.4 INVERSE VAN TRIGONOMETRIESE FUNKSIES 


UITKOMSTE: 


die inverses van die sinus- kosinus en tangens funksies te kan bepaal, skets en 

probleme daarmee op te los 


234 


pp. 406 - 411 

Opmerking: Volgens Stewart is die inverse tangensfunksie bgtan, maar op die meeste 

sakrekenaars word dit aangedui deur tan -1 . Ons gebruik tan -1 (positiewe getal) om een 

verwysingshoek te bereken. Ons gebruik tan -1 (positiewe of negatiewe getal) om die 

hoofwaarde te bereken. Die hoofwaarde is die hoek uit die beperkte definisieversameling. 

Foerster (skrywer van Precalculus with Trigonometry) gebruik bgtan om alle moontlike 

hoeke (omwentelinge ingesluit) aan te dui. Vir hom is bgtan dus die inverse tangensrelasie. 

Dis soortgelyk aan die vierkantswortelfunksie: daar is twee waardes wat x 2 = 4 bevredig, 

maar ons kom ooreen dat die vierkantswortel van 4 die positiewe waarde is.

Hier volg van die bekende waardes (spesiale hoeke) van die inverse tangensfunksie: 

x 1 

tan x 

-1 

in rad bg tan x in 

-60 

-45 

-30 

0 0 (0) 0 

Voltooi die volgende tabel met spesiale hoeke: 

1 

3 

1 

x bg sin x 

0 

0,5 

in radiale 

Voltooi die volgende tabel met spesiale hoeke: 

 

1 

3 

1 

2 

3 

2 

1 

1 

x cos x 

1 

3 

2 

1 

2 

0,5 

0 

in radiale 

30 

45 

60 

 

1 

sin x 

in 

bg cos x 

in grade 

Leereenheid 2 

235

Leereenheid 2 

BESTUDEER VOORBEELD 1: 

1 

Bereken sin tan x 

Oplossing: 

236 

 

1 

Ons weet tan x 

. 

is net 'n ander manier om 

te sê “die hoek waarvan die tangens x is”. 

Ons teken dus 'n reghoekige driehoek met 

een van die hoeke . Dan noem ons die 

teenoorstaande sy x en die aangrensende 

x 

1 

sy 1. Dan sal tan x of tan x 

. 

Dit beteken is die hoek wat ons benodig. 

Volgens die stelling van Pythagoras kan die 

2 skuinssy bereken word as x 1 . 

 

1 

tan x 

1 

sin sin 

 

x 

x 

2 

1 

Topografiese kaart 



bespreking 

 

1 

x


Opdrag 20A: 

1. 


Leereenheid 2 

(Gee by elk van die volgende ook ŉ verwysingshoek in beide grade en radiale en bereken 

ook die algemene oplossing. Wenk: Maak 'n skets van die 4 kwadrante.) 

1.1 Precalculus Oefening 5.5 no. 4(b) 

1.2 Precalculus Oefening 5.5 no. 5(a) 






4. Precalculus Oefening 5.5 no. 26 (sonder sakrekenaar) 

5. Bepaal die presiese waarde van die uitdrukking 

is. 


 

 

indien dit gedefinieer 

4 

1 

cos cos 

7. ŉ Opwekker (generator) lewer 'n spanning van V 200 cos 50 

t volt, met t die tyd in 

sekondes. (Voorbeeld 1 by trigonometriese funksies) op watter tydstip sal die spanning 

150 V wees? Werk tot 3 desimale syfers noukeurig. 

8. Voor ŉ konsert, word die instrumente van die orkes gestem deur ŉ A-noot op die 

klavier of fluit te speel. Die vibrasie word gegee deur: y 3, 2cos 880 

t met die 

verplasing y in mm en t in sekondes. Op watter tydstip (in sekondes tot 4 desimale 

syfers) sal die verplasing 1,6 mm wees? 

9. Die dwarsdeursnee van ŉ watergolf is y 

 

2, 

1sin 

x , met x en y gemeet in 

2 4 

meter. Hoe ver vanaf die oorsprong het die golf ŉ hoogte van 1,5 meter? 

10. ŉ Satelliet wentel om die aarde sodat die afstand y , in km, noord of suid (hoogte buite 

rekening gelaat) van die ewenaar gegee word deur y 2000cos 0, 025t 0, 25 

, met t 

tyd in minute na die lansering. Op watter tydstip sal die satelliet 1000 km suid van die 

ewenaar wees? 

237

Leereenheid 2 

1 

11. Bereken cos 2 sin x 

238 

. 

(Wenk: dubbelhoeke – kies die regte een van die drie formules) 

12. ŉ Rak word ondersteun deur ŉ driehoekige stut/klamp met sye a, b, en c soos 

aangetoon in meegaande skets. Vind ŉ uitdrukking om die hoek tussen sye b en c te 

beskryf. (Wenk: kosinusreël) 

A 

b 

13. Die verskil in hoogte tussen die hoofsuil- en die republiektoring van die Taalmonument 

op Paarlberg is 29 m. Gestel jy staan op ŉ afstand d meter weg van die voet van die 

monument. Laat die hoogtehoek na die republiektoring wees en die hoogtehoek na 

die hooftaaltoring . Toon aan dat 

1 

29 

tan tan 

d 

 

 

d 

Rak 

14. Gestel dat die hoogte van die gety ( h ) in meter by 'n hawe-ingang voorgestel word 

 

deur: h 3 sin t 2 

15 , met t die aantal uur na middernag. 

6 

c 

a 

29 m

Wat is die funksie se: 

14.1 amplitude; 

14.2 periode; 

14.3 fase; 

14.4 vertikale verplasing? 

14.5 Stel h grafies voor. 

Leereenheid 2 

14.6 Op watter tydstip (na middernag) is die eerste hoogwater? Toon dit grafies 

aan. 

14.7 Toon algebraïes aan wanneer alle hoogwaters bereik sal word. 

14.8 Wat is diepste wat 'n boot kan wees om te alle tye die hawe binne te 

vaar? 

15. Vanuit Opdrag 13A no. 12 

(b) Op watter tye (na middernag) is die hoogte van die gety 6 m? 

(c) Gestel 'n skip kan slegs die hawe binnekom of verlaat as die water dieper as 6 m 

is, vir hoeveel uur van die dag is dit moontlik? 

16. Vanuit Opdrag 13A no. 13 

13.8 Op watter tydstippe en hoeke gooi die speek OP die langste skaduwee? 

13.9 Op watter tydstippe en hoeke is die skaduwee wat OP gooi die kortste (geen 

skaduwee)? 



Opdrag 20B 

1. 

(Gee by elk van die volgende die verwysingshoek in beide grade en radiale en gee ook die 

algemene oplossing. Wenk: Maak 'n skets van die 4 kwadrante.) 


1.2 Precalculus Oefening 5.5 no. 5(c) 






1.8 Precalculus Oefening 5.5 no. 23 sonder sakrekenaar 

239

Leereenheid 2 

1.9 Precalculus Oefening 5.5 no. 25 sonder sakrekenaar 



1 

4. Bepaal die presiese waarde van die uitdrukking tan tan 

6 

 

 

indien dit gedefinieer is. 

 


7. ŉ Agentskap vir tydelike werk raadpleeg 'n ekonoom. Hy dui aan dat die aanvraag na 

tydelike werk (gemeet in duisende werksaansoeke per week) in ons land gemodelleer 

f t 4, 3sin 0, 82t 0, 3 7, 3 waar t die tyd in jare is 

240 

word deur die funksie: 

sedert Januarie 1995. 

7.1 Bereken die: 



7.1.3 horisontale verplasing of fase (3 desimale syfers noukeurig) en die 

7.1.4 periode. 

7.2 Wat is die maksimum werksaansoeke per week? 

7.3 Wat is die minimum werksaansoeke per week? 

7.4 Maak 'n sketsgrafiek. 

7.5 Wanneer (in watter maand) na Januarie 1995 word die eerste maksimum bereik? 

8. Die jaarlikse kontantvloei na aandeelfondse(gemeet as 'n persentasie van die totale 

bates) het sedert 1955 gefluktueer in siklusse van ongeveer 40 jaar. Gedurende 1955 

was 'n hoogtepunt bereik. Die hoogtepunte was ongeveer +15% van die totale bates 

en die laagtepunte ongeveer -10% van die totale bates. 

8.1 Modelleer hierdie kontantvloei met 'n kosinusfunksie van die tyd t in jare, waar 

t 0 , 1955 voorstel deur die volgende te bereken: (werk tot 3 desimale 

syfers noukeurig) 



8.1.3 horisontale verplasing of fase in radiale 

8.1.4 periode en die 

8.1.5 koëffisiënt van t gemeet in radiale per jaar. 

8.2 Skryf nou die gevraagde funksie neer. 

8.3 Maak 'n sketsgrafiek 

8.4 Wanneer (vir watter waardes van t tot 3 desimale syfers noukeurig) sal daar 

geen kontantvloei na aandeelfondse wees nie? Werk met t in die interval [0; 60] 

8.5 Wanneer (in watter jaar en maand) na Januarie 1955 is daar vir die eerste keer 

geen kontantvloei na aandeelfondse nie?

9. 'n Nuwe spoorlyn moet deur ŉ berg en 

oor ŉ rivier gebou word. Gebruik 'n 

koördinaat stelsel met oorsprong by die 

ingang van die tonnel. Gestel die berg 

is 250 m op sy hoogste punt bokant die 

spoorlyn en die diepste punt van die 

vallei is 50 meter onder die spoorlyn. 

M.a.w. die spoorlyn word op die x-as 

gemodelleer. Gestel die horisontale 

afstand tussen die toppunt van die berg 

en die laagste punt in die rivier is 

700 meter. Gestel ons modelleer die 

vertikale hoogte, y (in meter) vanaf die 

spoorlyn tot die aardoppervlakte as 'n 

sinusfunksie m.b.t. x (in meter), gemeet 

vanaf die tonnel se ingang. 

9.1 Bereken die amplitude. 

9.2 Bereken die vertikale verplasing. 

9.3 Bereken die periode in meter. 

9.4 Bereken die koëffisiënt van x in 

radiale per meter. 

Leereenheid 2 

9.5 Gebruik die gewens tot jou beskikking en skryf die vergelyking neer wat die 

situasie modelleer. Omdat die fase onbekend is, sal daar 'n veranderlike “c” in die 

hoek voorkom. 

9.6 Bereken c deur die oorsprong (0; 0) in die vergelyking in 9.5 te stel en op te los. 

9.7 Gee die fase. 

9.8 Gee die vergelyking wat die situasie modelleer. 

9.9 Bereken die lengte van die tonnel. 

9.10 Bereken die lengte van die brug. 

10. Vanuit Opdrag 13B 

12.2 algebraïes (Wenk: Stel sakrekenaar in op radiale; gebruik verwysingshoek in al 

vier kwadrante met veelvoude 2n ) 



y 

ingang 

250 m 

tonnel 

700 m 

brug 

50 m 

x 

241

Leereenheid 2 

2.5 INVERSE HIPERBOLIESE FUNKSIES 


UITKOMSTE (Opsioneel en slegs vir verryking): 


die formules van die inverse hiperboliese funksies te kan aflei 

die inverses van die hiperboliese funksies te kan bepaal, skets en probleme daarmee op 

te los (formules sal verskaf word) 

Jy gaan die volgende studiemateriaal nodig kry: Addendum hoofstuk 7 

Waar het ons inverse hiperboliese funksies nodig het in die praktyk? Om die vraag te 

beantwoord beskou ons weer 'n vorige voorbeeld van 'n onbelaste kabel: 'n Telefoonkabel 

hang tussen twee pale in die vorm van die kettingvergelyking: 

242 

waar x en y in meter gemeet word. 

x 

y 20cosh 15 

, 

20 

As ons hoogtes (y) het en horisontale afstande (x) wil bereken, het ons die inverse cosh 

funksie nodig.


Leereenheid 2 

Werk dus deur pp. 4 en 5. Jy moet definisie 2 ken. Definisies 3,4 en 5 moet jy kan aflei en 

gebruik. Jy hoef dit nie te memoriseer nie. Probeer op GSP die grafieke teken m.b.v. hierdie 

drie definisies. Werk ook deur voorbeeld 3 op p. 5. 

Skryf die definisies hier neer: 

Gestel y = acosh(bx) + c 

is die model vir een of ander lewenswerklike voorbeeld. 

[In die voorbeeld van ŉ iglo kan x die helfte van die breedte en y die 

hoogte van die iglo voorstel.] 

As die waarde van x bekend is en y bereken moet word, moet jy die cosh(bx) gedeelte 

verander deur die definisie van die cosh-funksie i.t.v. e bx te gebruik. 

As die waarde van y bekend is en x bereken moet word, moet jy nie die definisie van 

cosh(bx) gebruik nie, maar dit so hou sodat jy cosh -1 kan gebruik. D.w.s. dan gebruik jy die 

formule wat hierbo neergeskryf is. 

Opmerking: sinh 

1 

x 

sinh x 

1 , want sinh -1 x is die inverse funksie. 

243

Leereenheid 2 

Voorbeeld: 

Die Gateway Boog in St. Louis word beskryf deur 'n omgekeerde 

kettingboog met y die hoogte en die verplasing vanaf die middelpunt, 

beide gemeet in voet. Die model word gegee deur: 

x 

y 127 , 7 cosh 

757 , 7 

127, 

7 

315 x 315 . 

1. Gebruik die definisie van die cosh-funksie om y te skryf in terme 

van eksponensiële funksies. 

2. Hoe hoog is die brug? 

1 

2 

3. Hoe breed is die brug? (Wenk: cosh a ln 

a a 1 

a 1) 

 

 

4. Hoeveel verskil jou antwoord met dit wat jy kan aflei uit die 

beperking op die definisieversameling van y? 

Oplossing: 

1. 

244 

 

e e 

cosh 

 

2 

 

e 

y 127, 

7 

 

 

x 

127, 

7 

e 

2 

x 

127, 

7 

 

 

757, 

7 

 

 

2. Uit die volgende skets wat saamgestel is uit die gegewens, kan ons sien dat die 

maksimum hoogte op die y-as bereik word. 

 

e 

y 127, 

7 

 

 

0 

127, 

7 

e 

2 

y 

-315 315 x 

0 

127, 

7 

1 1 

= -127,7 757 , 7 

2 

 

 

757, 

7 

 

 

deur x=0 te stel

= 630 

Dus brug is 630 voet hoog 

3. Vir die breedte benodig ons die x-afsnitte en moet dus y = 0 stel. 

Stel 

x 

127, 7 cosh 757, 

7 

127, 

7 

0 om die x-afsnitte te bepaal 

 

x 

127, 

7 cosh 

 

127, 

7 

757, 

7 

x 

cosh 

5, 

933 

127, 

7 

1 

x 

cosh 

 

cosh 

cosh 

127, 

7 

 

 

x 

 

127, 

7 

 

1 

cosh ( 5, 

933) 

ln 

2, 

466... 

x 

vereenvoudig 

tot 

1 

2 

5, 933 5, 

933 1 

 

314, 972 

629, 

944 

voet 

Breedte 314, 

972 2 

voet 

5, 933 

3.4 Uit gegewens volg: Breedte is: 315 X 2 = 630 

Verskil is: 630 – 629,944 = 0,056 voet 

vorm cosh( a ) b 

Leereenheid 2 

pas links en regs inverse hiperboliese 

cos toe 

245

Leereenheid 2 


OPDRAG 21A: 

246 


1. Addendum (p. 7) Oef. 7.6 no. 5b 

2. Addendum Oef. 7.6 no. 6b 

3. Addendum Oef. 7.6 no. 21(Bereken: 21.1 x 21.2 sinh x 21.3 cosh x tot 3 desimale 

syfers) 

4. Addendum: Gebruik die skets en vergelyking in Oef. 7.6 no. 49 en bereken die kortste 

afstand tussen twee duiwe wat beide op 'n hoogte van 6 meter op die kabel sit. (Wenk: 

die duiwe kan weerskante van dieselfde stutpaal sit. Moenie die k-metode gebruik nie, 

maar gebruik die formule.) 

5. Bewys definisie 4 op p. 489 (gebruik die k-metode) 

6. Gebruik GSP en skets die grafieke van: 

a. sinh -1 x 

b. cosh -1 x 

c. tanh -1 x in een dokument op drie bladsye in “bold”. Skets ook op elke bladsy 

die lyn y x in “dashed” en die oorspronklike funksie in “thin”. 

7. Iglo’s word gebou volgens 'n omgekeerde 

kettingboog funksie. Stephan weet nog nie van 

refleksies nie. Daarom gebruik hy die funksie 

f(x) = 5cosh(0,5x) – 5 

soos hier langsaan geteken. 

7.1 Hy kry ook nie die cosh-funksie op sy 

sakrekenaar nie. Help hom deur die 

gebruik van die definisie van die coshfunksie 

om y te skryf in terme van 

eksponensiële funksies. 

7.2 Help hom om te bereken hoe hoog sy 

igloe gaan wees as hy dit 4 meter breed 

wil hê. (Werk tot die naaste mm) 

y 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

-6 -4 -2 2 4 6 

-1 

-2 

x

Leereenheid 2 

7.3 Hoe breed (tot die naaste mm) moet die igloe wees as Stephan dit graag 3 meter 

hoog wil hê? 1 

(Wenk: cosh a ln 

a 

 

2 

a 1 

 

a 1) 

Opdrag 21B: 

Gebruik die formules en bereken: 

1. cosh -1 (2) 

2. sinh -1 (10) 

3. tanh -1 (0,1) 

3 

4. As sinh x , bereken 

4 

4.1 x 

4.2 cosh x 

4.3 tanh x 

4.4 Bereken cosh x direk uit 'n identiteit (sonder om x te bereken) en vergelyk jou 

antwoord met 4.2. 

5. Jy wil graag (?) die meegaande pizza 

oond deur 'n wiskundige vergelyking 

modelleer. 

Daarom begin jy met die volgende 

moederfunksie: y1 = cosh x 

6 

y 

5 

4 

3 

2 

1 

-4 -2 2 4 x 6 

Daarna reflekteer jy y1 m.b.t. die x-as om y2 

te verkry. 

5.1 Skryf die vergelyking van y2 neer. 

Jy meet die pizza oond en kry die hoogte 1,5 

meter. Daarom transleer jy y2 vertikaal 

y 1 

2 

y 

1 

-4 -2 2 4 6 x 

-1 

-2 

-3 

-4 

-5 

y 2 

247

Leereenheid 2 

opwaarts om y3 te kry. 

248 

5.2 Skryf die vergelyking van y3 neer. 

5.3 Bereken die deursnede van die 

pizza oond. 

Werk tot 3 desimale syfers 

noukeurig. 

(Wenk: 

2 a a 1 

a 1 

1 

cosh a ln 

) 

5.4 Jy meet die pizza oond en kry 'n 

deursnede wat presies die helfte 

is van jou antwoord in 8.3. 

Verkry y4 deur die grafiek 

van y3 horisontaal met 'n faktor 

van 0,5 te krimp. M.a.w. in y4 is 

die bene van die grafiek nader na 

mekaar sodat y4 die oond presies 

modelleer. 

Skryf die vergelyking van y4 neer. 

5.5 Gebruik die definisie van die 

cosh-funksie en herskryf y4 i.t.v. 

eksponensiële funksies. 

5.6. Skryf die waardeversameling van 

y4 in versamelingkeurdernotasie. 

5.7 Is y4 is 'n ewe of onewe funksie? 

Motiveer jou antwoord. 



y 

1.5 1,5 

1 

0.5 

-2 -1 1 2 x 

-0.5 

-1 

y 

1.5 1,5 

1 

0.5 

-2 -1 1 2 x 

-0.5 

-1 

y 4 

y 3

Individuele oefening oor skoolwerk vir hersiening. 

Voltooi die volgende OOR ‘N VERSKEIDENHEID VAN FUNKSIES EN HUL 

INVERSES: 

OPDRAG 22A: 

Leereenheid 2 

1. Die skets word die grafieke van die funksies gegee deur f(x) = x 2 – 2x – 3 en h, 'n 

absolute waarde funksie, voorgestel. Beantwoord die volgende vrae m.b.v. die skets: 

1.1 Vir watter waardes van x is f stygend/toenemend? 

1.2 Wat is die maksimumwaarde van –x 2 + 2x + 3? 

1.3 Vir watter waarde(s) van p sal x 2 – 2x – 3 = p: 

1.3.1 Gelyke wortels hê 

1.3.2 Geen reële wortels hê. 

1.4 Vir watter waarde(s) van c sal die wortels van x 2 – 2x + c = 0 dieselfde teken hê? 

1.5 Bepaal b as h(x) = x + b. 

1.6 Vir watter waardes van x is h(x) f(x)? 

1.7 Bepaal die snypunte van die grafieke f(x) en die funksie gedefinieer deur 

y = -4x + 5. 

h 

2. In die skets word die volgende funksies voorgestel: 

f, met die vergelyking y = 3 x 

6 

4 

2 

-5 5 

T 

-2 

-4 

O 

3 

f 

249

Leereenheid 2 

250 

g, die refleksie van f in die lyn y = x 

h, die refleksie van g in die x-as 

2.1 Bepaal die definiërende vergelyking van g en h in die vorm y = … 

2.2 Bepaal, m.b.v. die skets, die waarde(s) van x waarvan: 

2.2.1 3 x > 0 

2.2.2 log x 0 

1 

3 

(0; 1) 

4 

3 

2 

1 

-2 2 4 6 

-1 

-2 

f 

O (1; 0) 

3. Die skets, stel die grafieke van die funksies f(x) = k x en g(x) = ax 2 + bx + c, voor. Die 

1 

twee grafieke sny by A (op die y-as) en g raak die x-as by ; 0 . Die koördinate van 

2 

B, wat op die grafiek van f lê word aangedui. 

y=x 

h 

g

3.1 Verduidelik waarom die koördinate van A (0; 1) is. 

3.2 Bepaal die waarde van k. 

3.3 Bepaal die waarde van a. 

3.4 Bepaal f -1 , die inverse van f, in die vorm y = ….. 

Leereenheid 2 

3.5 Wat is die definiërende vergelyking van h as h die refleksie van f in die x-as is? 

4. Gegee die funksies: f(x) = x + 4 en 

g( x ) 16 x 

4.1 Teken, (sonder GSP) op dieselfde assestelsel, die sketsgrafieke van f en g. 

Toon duidelik al die afsnitte met die asse aan. 

4.2 Skryf die waardeversameling (terrein) van f neer. 

4.3 Vir watter waardes van x is f(x) < g(x)? 

4.4 Los vir x algebraïes op uit die vergelyking x + 4 = 6 

4.5 Toon op die grafiek van vraag 4.1 aan waar die oplossings van vraag 4.4 

afgelees kan word. gebruik die letters A en B en stippellyne. 


A 

8 

6 

4 

2 

0 1 

-2 -1 1 2 3 4 

2 

B 

f 

2 

g 

251

Leereenheid 2 

Opdrag 22B: 

1. In die bygaande skets word 

die grafieke 

252 

f 'n hiperbool; ( x 0 

) 

g 'n halfsirkel; en 

hx x p , 'n 

absolute waarde 

grafiek, voorgestel. 

Die punt A(4; 2) is die snypunt 

van die drie grafieke. 

1.1 Bepaal die vergelyking 

van: 

1.1.1 f 

1.1.2 g 

1.2 Toon aan dat die waarde van p gelyk is aan 2. 

1.3 Bereken die koördinate van B. Toon AL die berekeninge. 

1.4 Gebruik die grafiek om die waardes van x te bepaal waarvoor gx hx 

. 

2. Gegee: f x x 2 en gx 

x 2 

2.1 Teken sketsgrafieke van f en g op dieselfde assestelsel. Toon duidelik die 

koördinate van alle afsnitte met die asse. 

2.2 Gebruik die grafieke om die waardes van x te bepaal waarvoor f x gx 

0. 

2.3 Gee die vergelyking van die grafiek wat simmetries is aan f met betrekking tot 

die lyn y 0. 

2 

3. Die halfsirkel y 9 x en die 

hiperbool xy k raak mekaar slegs 

by een punt. Herde punt lê op die 

lyn y x. 

Bereken die waarde van 

k . 

B 

g 

y 

0 

f 

y 

C 

h 

A(4; 2) 

y=x 

x 

xy=k 

O x

4. Die sketsgrafiek toon die krommes 

van . 

x 

x 

f x a en g x 5 Die 

krommes sny die y -as by P. 

4.1 Skryf die koördinate van P 

neer. 

4.2 Bepaal AL die moontlike 

waardes van a . 

4.3 Teken 'n sketsgrafiek van 

1 

g 

, die inverse van g . Toon die 

koördinate van enige afsnitte 

met die asse. 

4.4 Skryf die waardes van x 

waarvoor log 0. 

x 

5 



y 

P 

O 

g 

Leereenheid 2 

f 

x 

253

Leereenheid 2 

254

NUWE FUNKSIES UIT OU 

FUNKSIES 


Uitkomste 


gegewe funksies te kombineer (optel, aftrek, vermenigvuldig of deel); 

twee gegewe funksies saam te stel tot 'n nuwe funksie 

te toets of twee funksies mekaar se inverses is deur samestelling. 

Leereenheid 3 

Die volgende studiemateriaal gaan gebruik word: GSP en Precalculus hoofstukke 2 en 5. 

255

Leereenheid 3 

3.1 TRANSFORMASIES VAN FUNKSIES 

Reeds afgehandel in Leereenheid 1.4. 

256

3.2 KOMBINASIES VAN FUNKSIES 


Uitkomste 


Leereenheid 3 

nuwe funksies te vorm deur middel van KOMBINASIES van ander bekende funksies 

funksies met behulp van GSP te kombineer 

Jy gaan die volgende studiemateriaal nodig kry: Precalculus hoofstukke 2 en 5. 

Baie lewenswerklike modelle kan nie deur een funksie voorgestel word nie, maar vereis die 

kombinasie van meer as een funksie. Dit is die geval by alle soorte golwe (klank, lig, water 

en elektriese stroom). 

Enige musiekinstrument produseer klank as 

'n kombinasie van verskillende klanke. Om 

dus klank akkuraat elektronies te 

reproduseer met 'n sintetiseerder, moet die 

relatiewe sterktes van elke komponent van al 

die indiwiduele klanke en toonhoogtes 

gespesifiseer word. Elke toonhoogte word 

deur 'n sinusfunksie voorgestel. Die 

kombinasie van hierdie funksies lewer dan 

die kenmerkende klank. 

257

Leereenheid 3 

VOORBEELD 1: 

258 

By 'n fluit en viool is die fundamentele periode 

dieselfde. Dit word bepaal deur die term 

Asin 440x 

. Die ander botone is veelvoude van die 

basiese frekwensie 440 met kleiner amplitudes. 

Hier volg 'n voorbeeld van die klankgolf van 'n dwarsfluit, waar x die tyd meet en y die 

luidheid of amplitude van die klank. (Stel die horisontale as in radiale). In die eerste term 

beteken 440 die aantal omwentelinge per sekonde. Daarom word dit met 'n faktor 2 

vermeerder omdat daar 2 radiale in 'n omwenteling is. 

 

 

Fluit: y 16 sin 440 2 x 9 sin 880 2 x 3 sin 1320 2 x 

25 

20 y 

klank 

15 

druk 

of 

10 

luidheid 

5 

-5 

-10 

-15 

-20 

2, 5 sin 1760 2 x sin 2200 2 x 

f x = 16sin 4402x +9sin 8802x +3sin 13202x +2.5sin 17602x +sin22002x 

0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 

x tyd in sekondes

Dit is 'n kombinasie (optelling) van die volgende 5 grafieke: 

20 y 

klank 

15 

druk 

of 

10 

luidheid 

CD-ROM. 

SBO: Skakel CD aan kliek op J 

Leereenheid 3 

Residensieel: Tydens die kontaksessie sal hierdie skets stap 

vir stap gedemonstreer word. 


pp. 190 – 192 

Twee funksies f en g kan gekombineer word deur optel, aftrek, vermenigvuldig of deling. 

Voltooi die volgende tabel met die definisies op p. 191. 

Algebra van funksies: 

Kombinasie Definisieversameling 

f g x f x g x 

5 

-5 

-10 

-15 

f x = 16sin 4402x 

qx = 2.5sin 17602x 

rx = sin22002x 

0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 

hx = 3sin 13202x 

gx = 9sin 8802x 

x tyd in sekondes 

259

Leereenheid 3 


Gestel f(x) = x 2 f 

- 9, en g(x) = x - 3. Vereenvoudiging van die formule vir lewer: 

g 

 

 

 

f 

g 

260 

 

 

 

x 

 

 

 

f 

g 

x x 2 

x 9 

x 3 

x 3x 

3 

x 3 

x 3 

hierdie stap waar jy die definisie van ŉ kombinasie toon is baie belangrik – 

moet dit nie weglaat nie 

Daar is 'n tegniese aspek wat ons nie by hierdie voorbeeld uit die oog moet verloor nie. 

f 

f 

 

x g 

 

is nie identies dieselfde as die funksie h x x 3 nie, want is nie gedefinieer by 

 

g 

x 3 nie, terwyl h oral gedefinieer is. 

y= x+3 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8 

 

f 

g 

x 

ongedefinieer 

by x=3 

-1 

-2 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8 

-1 

-2 

 

3

BESTUDEER VOORBEELD 3 

Gestel f(x) = 5x+2 en g(x) = x 2 -1. Ons bereken elke kombinasie by x = 4: 

Leereenheid 3 

f(4)=5(4)+2=22 en g(4)=4 2 -1=15. Kontroleer die berekeninge in hierdie tabel en maak seker 

dat jy die definisies nou goed verstaan. 

Uitdrukking Kombineer en bereken Bereken en kombineer 

(f+g)(x) (5x+2) + (x 2 -1) 

=x 2 +5x+1 

(f-g)(x) (5x+2) - (x 2 -1) 

=-x 2 +5x+3 

(f·g)(x) (5x+2)*(x 2 -1) 

=5x 3 +2x 2 -5x-2 

5x 

2 

x 

2 

1 

(f+g)(4) 4 2 +5(4)+1 

=16+20+1 

=37 

(f-g)(4) -4 2 +5(4)+3 

=-16+20+3 

=7 

(f·g)(4) 5(4 3 )+2(4 2 )-5(4)-2 

=5(64)+2(16)-20-2 

=330 

f 

 

 

g 

 

 

 

 

4 5 

4 4 

2 

2 

 

1 

22 

15 

f(4)+g(4) 22+15 

=37 

f(4)-g(4) 22-15 

=7 

f(4)·g(4) 22(15) 

=330 

In hierdie tabel is die definisieversameling van f, g, f+g, f-g, en fg die reële getalle. Die 

f 

definisieversameling van is egter {x : x 1 } omdat noemers nie nul mag word nie. 

g 


pp. 394 – 395 



bespreking 

22 

15 

261

Leereenheid 3 

262 



Opdrag 23A: 

1. As f x 3x 1 

1.1 f g 

1.2 f g 

1.3 fg 

1.4 

f 

g 

en 2 3 

g x x x , bereken (Moenie die definisies vergeet nie): 

2. Skets die grafiek van 'n gekompliseerde vioolklankgolf wat uit 15 toonhoogtes 

bestaan! Stel GSP sodat die y -as 90 en die x-as 0,003 radiale vertoon. Vir 

interessantheid kan net die eerste term geskets word en daarna kan die ander terme 

een vir een met “EDIT” ingevoeg word om te sien hoe die golf verander. 

y = 19sin(4402x) + 9sin(8802x)+ 8sin(13202x) + 9sin(17602x) + 

12,5sin(22002x) + 10,5sin(26402x) + 14sin(30802x) + 11sin(35202x) + 

8sin(39602x) + 7sin(44002x) + 5,5sin(48402x) + sin(52802x) + 

4,5sin(57202x) + 4sin(61602x) + 3sin(66002x) 

3. Die vertikale verplasing van 'n boei wat op die see dryf word beskryf deur 

y cos 0, 2t 0, 3 sin 0, 4t 

met y in meter en t in sekondes. Skets die eerste 40 sekondes van die grafiek met 

GSP. (Hoekom moet jy in radiale werk?) 

3.1 Wat is die amplitude van die boei se beweging? (Wenk: Bereken dit met 

“measure coordinates”) 

3.2 Wat is die periode van die boei se beweging? 

4. Gestel f(t) = 0,32; g(t) = 0,5sint ene h(t) = 0,2cos2t. Die elektriese stroom (i) in 'n 

sekere stroombaan word gegee deur i(t) = f(t) + g(t) – h(t), met t in millisekondes en i 

in mA. Skets 2 siklusse (so groot as moontlik) van i as 'n funksie van t. (Wenk: Jy mag 

t as x gebruik in GSP en werk in radiale) 

5. Bereken f g , f g , fg , en 

g 

geval ook die definisieversameling. 

f 2 

as f x x 3x 2 

en g x x 2 

. Gee in elke

Leereenheid 3 

f 3 2 

6. Bereken f g , f g , fg , en as f x x 2x en 3 1 

g 

2 g x x . Gee in elke 

geval ook die definisieversameling. 


8. Gestel x x 3 

x 

f en h x . 

2 

x 25 x 5 

8.1 Bepaal die definisieversameling, D f , van f in versamelingkeurdernotasie. 

8.2 Bepaal die definisieversameling van h in intervalnotasie. 

8.3 Bepaal die definisieversameling van h f in versamelingkeurdernotasie. 

8.4 Bereken h f . 

8.5 

8.6 

f 

Bepaal die definisieversameling van in versamelingkeurdernotasie. 

h 

f 

Bereken . 

h 

8.7 Bereken 

1 

h en gee ook die beperking op die definisieversameling. 

9. Opsioneel (vir die wat hou van 'n uitdaging): 

263

Leereenheid 3 

[Wenk: Om te sien hoe die wiele beweeg, gaan na: 

http://www.keymath.com/DAA/dynamic/double_ferris_wheel.html 

264 

Antwoorde: 

 

a) y = 10sin18(x + 15) + 12 of y 10 sin x 5 

12 

10 

2 

30 

b) y = 11sin12(x + +22,5) + 23 of y 11sin x 23 

30 4 

c) y = (10sin18(x + 15) + 12) + (11sin12(x + +22,5) + 23) – 12 ] 

Opdrag 23B: 




2 

4. Gestel f x x 16 

4.1 Bereken x , en g x x 4 

f 

 

g 

 

 

. 

. 

f 

 

g 

 

 

4.2 Wat is die definisieversameling van x f 

4.3 Maak ŉ sketsgrafiek van x g 

. 

 

5. Gebruik GSP (stuur een dokument met 7 bladsye via eFundi) en skets minstens een 

siklus van elk van die volgende: 

5.1 y cos sin 

5.2 y sin 

cos 

5.3 y 3 cos sin 4 

5.4 y 3 cos sin 4 

5.5 y 

5sin cos11 

?

16 

5.6 y 4 cos x 2 sin x 

5 5 

Leereenheid 3 

5.7 Die beskikbare sonenergie is afhanklik van die hoeveelheid daglig, en die 

hoeveelheid tyd per dag vir sonlig hang af van die dag in die jaar. 

1 

1 

C 10 sin n 80 

7, 

5 cos n 80, 

is 'n benaderde korreksie faktor (in 

29 

58 

minute) vir standaardtyd, met n die getal van die in die jaar. Skets C as 'n 

funksie van n. 

6. Gestel 

bc ad x f x en hx 

2 2 2 

c 

x 

d 

ax b 

. 

cx d 

6.1 Bepaal die definisieversameling, D f , van f in 

versamelingkeurdernotasie. 

6.2 Bepaal die definisieversameling van h in intervalnotasie. 

6.3 Bepaal die definisieversameling van f h in 

versamelingkeurdernotasie. 

6.4 Bereken f h . 

6.5 

6.6 

f 

Bepaal die definisieversameling van in versamelingkeurdernotasie. 

h 

f 

Bereken . 

h 

6.7 Bereken 


1 

h en gee ook die beperking op die definisieversameling. 


Opdrag 23C: 

1. Precalculus Oefening 2.6 no. 1 Toon alle berekeninge.) 

2. Precalculus Oefening 2.6 no. 6 (Opsioneel) 


4. Precalculus Oefening 2.6 no. 16 (Gebruik grafiekpapier.) 

265

Leereenheid 3 

3.3 SAMESTELLING VAN FUNKSIES 


Uitkomste 

Na voltooiing van hierdie leergedeelte moet jy in staat wees om : 

nuwe funksies te vorm deur middel van samestelling van bekende funksies; 

lewenswerklike probleme op te los deur die samestelling van funksies te gebruik 


Daar is dikwels ŉ verband tussen twee funksies. Om 'n probleem op te los het 'n mens dan 

ook beide funksies nodig. 

266


Leereenheid 3 

Grafiek A vertoon 'n swemmer se spoed as funksie van tyd. Grafiek B skets die swemmer se 

verbruik van suurstof as 'n funksie van sy spoed. Tyd word gemeet in sekondes, spoed in 

meter per sekonde en suurstofverbruik in liters per minuut. 

3 

2.5 

Spoed 

(m /s ) 

2 

1.5 

1 

0.5 

35 

30 

25 

O2 ve rbruik 

20 

(l/m in) 

15 

10 

5 

-5 

Grafiek A (funksie f) 

y=f(x) 

10 20 30 40 50 60 

Tyd (se k onde s ) 

Grafiek B (funksie g) 

y=g(x) 

0.5 1 1.5 2 2.5 3 

Spoed (m/s) 

As ons die suurstofverbruik na 20 sekondes wil weet, gebruik ons eers grafiek A om die 

spoed by 20 s af te lees as 1,5 m/s. Daarna gebruik ons grafiek B om die suurstofverbruik by 

1,5 m/s af te lees as 11,5 l/min. 

267

Leereenheid 3 

As grafiek A die funksie f en grafiek B die funksie g g voorstel, kan ons dit wiskundig skryf 

as die genesde funksie g(f(x)). Dit beteken f se waardeversameling word g se 

definisieversameling. [Notasie: g(f(x)) = (g f)(x) Sê: f gevolg deur g ] 

Ons kan ook vanaf grafiek B na grafiek A terug werk. Om te bepaal hoeveel sekondes 

verloop het om 15 l/min suurstof te verbruik, begin ons by grafiek B. Dit lewer 'n spoed van 

1,8 m/s. Daarna gebruik ons grafiek A om 'n tydsverloop van ongeveer 35 sekondes af te 

lees. 

1 1 

In hierdie geval het ons f g x 

268 

 

en 

definisieversameling. [Notasie: f -1 (g -1 (x)) = (f -1 g -1 )(x)] 

f 

f 

g o f 

f -1 

g o f 

f -1 og -1 

1 

g se waardeversameling word 

1 

f se 

'n Nuwe funksie kan dus verkry word deur twee gegewe funksies saam te stel. As y ŉ funksie 

is van v en v is op sy beurt ŉ funksie van x, dan beteken dit dat y uiteindelik 'n funksie van x 

is. 

Samestellings van funksies kan met ŉ pyldiagram of ŉ masjiendiagram geïllustreer word. 

g -1 




'n Baie mooi illustrasie kan jy vind by die adres : 

http://ptolemy.eecs.berkeley.edu/eecs20/week2/composition.html 

g 

g

Leereenheid 3 

Maak 'n diagram van hoe samestellings (genesde) funksies gebruik word in die ontwerp van 

modems: 

CD-Rom. 


pp. 192 – 195 

 

MR TN MT x x 

SBO: Skakel CD aan en kliek op K. 

BESTUDEER EN VOLTOOI VOORBEELD 2: 

Residensieel: Tydens die volgende kontaksessie sal die 

volgende verduidelik word: http://www.keymath.com/ (Disc Adv Alg 

– Student web Links – Chapter 4 – 4.8 - Learn more about the 

FUNCTION COMPOSITION APPLET. 

Om te toets of twee funksies inverses van mekaar is: 

1 

Gestel g x f x 

Dan is: 

En: 

. 

f a b f b a ] 

1 

[Onthou: 

g f x g f x 

1 

f f x 

 

x 

 

f g x f g x 

 

1 

 

 

f f x 

x 

 

uit aannname 

kansellasie-reël 

uit aannname 

kansellasie-reël 

Dit beteken f 

1 

f 

en 

1 f f is die identiteitsfunksie. (Onthou die beperking op die 

definisieversameling vir eeneenduidigheid) 

269

Leereenheid 3 

Illustreer voorbeeld 2 hierbo deur gebruik te maak van: 

270 

a) f x sin x 

en 

1 

met 30 en 

 

1 

f f x 

..................................... 

..................................... 

..................................... 

..................................... 

9 

5 

f x bg sin x 

1 

(b) y f x x 32 en y f x x 32 

1 

1 

 

en f f x 

f f x 

5 

 

9 

= f x 32 

 

5 

9 

= ……………………………………… 

9 5 

= x 32 

32 

= ………………………………………. 

5 9 

= 1 x 32 32 

= ………………………………………. 

= x = ………. 




Gebruik die webadres: 

http://www.ugrad.math.ubc.ca/coursedoc/math100/notes/zoo/composite.html 

en doen 'n selfstudie oor hoe interessante voorbeeld van hoe die aantal 

mense die aantal walvisse en uiteindelik die hoeveelheid plankton beïnvloed. 

Gebruik die webadres: 

http://regentsprep.org/Regents/mathb/f/fogprac.htm vir oulike oefeninge. 

Werk baie noukeurig deur VOORBEELD 3: (Erkenning: Mnr. RJ van de Venter) 

Hierdie voorbeeld gaan jy weer in MATE 312 gebruik en m.b.v. die kettingreël differensieer. 

Maak dus seker dat jy dit goed verstaan. 

Saamgestelde funksies is funksies waarvan die onafhanklike veranderlike self ook 'n funksie 

is van 'n ander onafhanklike veranderlike, en verwante veranderingstempo's is wanneer die 

tempo waarteen een funksie verander, afhang van die tempo waarteen 'n ander, verwante 

funksie verander. 

Ons sal nou probeer om die idee van 'n saamgestelde funksie met behulp van nog 'n 

lewenswerklike proses te verduidelik, en om die idee van 'n verwante tempo met behulp van 

'n proses waarvan die veranderingstempo afhanklik is van die veranderingstempo van 'n 

ander proses, te onwikkel.

Leereenheid 3 

Voorbeeld 3: Beskou 'n ballon wat met gas gevul is, beslaan 'n volume van 4188,79 cm³. 

Op 'n sekere oomblik ontstaan daar 'n klein gaatjie en die ballon begin afblaas sodat dit na 

presies 5 s leeg is. 

Ons probleem is om 'n manier te bepaal hoe ons die tempo waarteen die ballon se 

volume met tyd verander, kan uitreken. 

Grafies lyk die situasie soos volg: 

4188,790 

4000 

3000 

2000 

1000 

Uit die grafiek is dit duidelik dat daar vir elke tydstip t in die interval 0 t 5, t een en 

slegs een V-waarde bestaan – dus is die volume V afhanklik van tyd t. 

Daarom kan ons skryf: V is 'n funksie van t: 

O 

Volume V 

(cm 3 ) 

V V ( t) 

[1] 

Op hierdie stadium kan ons met reg vra: Hoe kan dit? 

As die volume V van die ballon van tyd t afhanklik is, dan moet daar tog 'n t in die formule vir 

4 3 

die volume van die ballon wees! En tog: V r 

bevat duidelik geen t. 

3 

Om hierdie vraagstuk op te los, moet ons verder ondersoek instel na ons waarnemings. 

5 

tyd 

(s) 

271

Leereenheid 3 

Die aanvanklike volume van die ballon was 4188,79 cm³, wat beteken dat sy radius toe 10 

4 

cm was (onthou dat vir 'n sfeer geld dat V r 

3 

Dit kan ook grafies so voorgestel word: 

272 

4188,79 

4000 

3000 

2000 

1000 

3 

sodat 3 3V 

r , en 3 

Ons sien dus dat die volume van die ballon afhanklik is van sy radius. 

Daarom kan ons skryf: V is 'n funksie van r: 

O 

Volume V 

(cm 3 ) 

2 

V f ( r) 

[2] 

4 

6 

4 

3V 

4 

V 

 

4188,79 

10 ). 

Vergelyking [2] klop wel, aangesien ons weet dat die formule vir die volume van 'n sfeer 

4 3 

(soos hierbo gebruik) wel 'n r bevat: V r 

3 

Dus: Die ballon se volume V neem af omdat sy radius r krimp namate die ballon afblaas; 

hoe kleiner r, hoe kleiner V, en dit is in lyn met ons waarnemings. 

8 

10 

Radius r 

(cm)

Leereenheid 3 

Maar beskou ons die ballon se radius soos wat die tyd aanstap, sien ons die volgende: 

Uit die grafiek is dit duidelik dat daar vir elke tydstip t in die interval 0 t 5, t een en 

slegs een r-waarde bestaan – dus is die radius r afhanklik van tyd t. 

Daarom kan ons skryf: r is 'n funksie van t: 

r g( t) 

[3] 

Kom ons som ons resultate op: 

volume V is afhanklik van tyd t, so V V ( t) 

[1] 

volume V is afhanklik van radius r so V f ( r) 

[2] 

radius r is afhanklik van tyd t, so r g( t) 

[3] 

Vervang ons nou vir [3] in [2], verkry ons: 

( ) 

V f g t 

[4] 

Stel die regterkant van [1] gelyk aan die regterkant van [4] (wat ons mag doen omdat beide 

[1] en [4] se linkerkante V is) en dit lewer: 

 

10 

O 

radius r 

(cm) 

V ( t) f 

 

g t 

[5] 

Kyk nou terug na [1] en [2] – kan u sien dat daar geen teenstrydigheid bestaan nie, 

aangesien V wel van tyd afhanklik is soos [1] sê, en [2] ook van tyd afhanklik is aangesien 

g( t ) (dit is die radius in [2]) van tyd t afhanklik is, soos [3] sê. 

Die verklaring vir bogenoemde is dus dat V 'n saamgestelde funksie is; dit is 'n funksie van g, 

wat op sy beurt weer 'n funksie van t is. Daarom is V tog ook 'n funksie van tyd. 

t beïnvloed vir g, en r beïnvloed vir V; dus is V gevolg deur r afhanklik van t. 

 

Skematies: t g t f g t 

5 

tyd t 

(s) 

273

Leereenheid 3 

Ons skryf ook soms: V ( t) f g t 

aan g gevolg deur f. 

274 

en lees dit: "V is 'n tydsafhanklike funksie en is gelyk 

Ons is nou gereed om V as tydafhanklike funksie te skryf: 

V 

t f gt 

 

f gt 

met 

4 3 

f ( r) r en r g( t) 

3 

Uit die grafiek van r teenoor t is dit duidelik dat die radius r gegee word deur g( t) 2t 10 . 

4 

V t g t 

3 

Dus: 3 

Opmerkings: 

met g( t ) die radius r en g( t) 2t 10 en t ; 0 t 5 [6] 

Volume V is dus gekoppel aan twee veranderlikes, naamlik radius r en tyd t. Die 

waardeversameling van die radius r g( t) 

dien as definisieversameling vir f . 

Om V uit te reken, moet ons eers vir g( t ) bereken (met behulp van t se waarde) en dan 

vir g( t ) in f vervang. 

Vergelyk [5] en [6]. Kan u sien dat g( t ) die binneste funksie en f die buitenste 

funksie is? 

Dus is die waarde van V afhanklik van twee verwante sake, naamlik 

1. die waarde van r en 

2. die waarde van t 

(aangesien r deur die verwantskap r g( t) 

self van tyd afhanklik is) 



bespreking


Opdrag 24A: 


(Wenk: 

 

f g x f g x f ..... en werk van binne af buite toe) 

1. Precalculus Oefening 2.6 (p. 196) no. 21 






Leereenheid 3 

7. Gestel f x sin x en gx 1 x . Bereken f g , g f , f f en g g . Bepaal 

ook die definisieversameling van elke nuwe samestelling. 

8. Beskou onderstaande twee grafieke. Die eerste toon die radius van ŉ kol wat op see 

uitlek uit ŉ oliebron as funksie van tyd. Die tweede toon die oppervlakte van die kol as 

funksie van die radius. 

4 

3.5 

Radius 

3 

(km) 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

-0.5 

f x 

= 0.375x+0.5 

1 2 3 4 5 6 

Tyd (ure ) 

B: (4.00, 2.00) 

275

Leereenheid 3 

276 

10 

8.1 Wat is die oppervlakte van die kol na 4 ure? 

8.2 Hoe lank neem die oliekol om 'n oppervlakte van 2,5 km 2 te vorm? 

8.3 Bereken g f . 

8.4 Wat is die fisiese grootheid van g f se definisieversameling? 

8.5 Wat is die eenheid van g f se waardeversameling? 

8.6 Bereken 

8 

Ar ea 

(k m 2) 

6 

4 

2 

-2 

1 1 

f g . 

8.7 Wat is die eenheid van 

8.8 Wat is die eenheid van 

g(x) = x 2 

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 

Radius (km ) 

f g 

1 1 

se definisieversameling? 

1 1 

f g se waardeversameling? 

9. Die aantal mense wat langs die kus woon beïnvloed die 

aantal walvisse in die nabygeleë kuswater, omdat die 

walvisse nie hou van die geraas wat die mense maak 

nie. Omdat walvisse plankton eet, het die aantal 

walvisse 'n effek op die aantal plankton in die see. 

Gestel die aantal mense in duisende word deur x 

voorgestel en die aantal walvisse deur y. 'n Eenvoudige 

model word gegee deur 1000 

2 

x 

y f x 

. 

As z die hoeveelheid plankton weergee, is 'n eenvoudige 

model 400 

5 

y 

z g y 

. 

9.1 Bereken 'n saamgestelde funksie h wat die hoeveelheid plankton in terme van 

die aantal mense in duisende weergee. 

9.2 Watter van hierdie drie funksie(s) is dalend? 

9.3 Watter funksie(s) is stygend? 

(1,5; 7)

Opsioneel: 

Leereenheid 3 

9.4 Gebruik die funksie h om die hoeveelheid plankton te bereken as die populasie 

300 000 is. 

9.5 Wat is die veranderingstempo van die aantal walvisse met betrekking tot die 

aantal mense? 

9.6 Wat is die veranderingstempo van die hoeveelheid plankton met betrekking tot 

die aantal walvisse? 

9.7 Wat is die veranderingstempo van die hoeveelheid plankton met betrekking tot 

die aantal mense? 

9.8 Verduidelik die verband tussen die laasgenoemde 3 getalle. 





14. Precalculus Oefening (p 210) no. 78 









23. 'n Sferiese lugballon wat opgeblaas word m.b.v. 'n kompressor. Die volume word 

3 

t 

beskryf deur die funksie V t 

4 

 

3 

. Ontbind V as 'n samestelling van twee 

funksies en verduidelik wat elke funksie beteken. 


Sien assessering op p. viii 

Opdrag 24B: 

(Wenk: 

 



277

Leereenheid 3 






7. Gestel f x x en g x 

278 

1 

x 1 

. Bereken f g , g f , f f en g g . Bepaal 

x 

x 2 

ook die definisieversameling van elke nuwe samestelling. 

8. Temperature word gemeet in drie skale: grade Fahrenheit (ou Britse skaal), grade 

Celsius (desimale skaal) en Kelvin (termodinamiese temperatuur waar die absolute 

minimum 0 K is). In Fahrenheit vries water teen 32F en kook teen 212F. Temperatuur 

is 'n maatstaf van die vibrasies van molekules. Teen -273C is daar geen vibrasie nie, 

sodat dit die laagste bereikbare temperatuur is en word dus 0 K in die Kelvin skaal. Om 

temperature vanaf Fahrenheit na Celsius om te skakel gebruik ons die funksie 

f t 

5 

t 32 

. Temperature in Celsius word na Kelvin omgeskakel met die funksie 

9 

g t t . 

273 

8.1 Bereken g f g f. 

8.2 Wat beteken g f ? 

8.3 Wat is die eenheid van die definisieversameling van g f ? 

8.4 Wat is die eenheid van die waardeversameling van g f ? 

8.5 Teen watter temperatuur kook water in die Kelvin skaal? (Gebruik die 

saamgestelde funksie en toon alle berekeninge.) 

8.6 Teen watter temperatuur vries water in die Kelvin skaal? (Gebruik die 

saamgestelde funksie en toon alle berekeninge.) 

8.7 Skakel 122F om na C. (Toon berekeninge) 

8.8 Skakel 122F om na K. (Gebruik die inverse van die saamgestelde funksie en 

toon alle berekeninge.) 

9. 'n CD se groothandelprys is x rand. Die kleinhandelaar betaal volgens die funksie 

r x x . Die verbruiker betaal volgens die funksie c x 2x 

, waar x die prys is 

3 

wat die kleinhandelaar betaal. 

9.1 Bereken 'n samestelling ( f ) wat die prys sal beskryf wat die verbruiker betaal 

i.t.v die groothandelprys. 

9.2 Bereken m.b.v. f die prys wat die verbruiker sal betaal as die groothandelprys 

R60 is. 

9.3 Bereken 

1 

f .

9.4 Gebruik 

R153 betaal. 

Opsioneel: 





Leereenheid 3 

1 

f om die groothandelprys van die CD te bereken as die vergruiker 











3 

beskryf deur die funksie 

V t 

4 

t 

 

3 . Ontbind V as 'n samestelling van 

twee funksies en verduidelik wat elke funksie beteken. 


Sien assessering op p. viii. 

Opdrag 24C: 

(Wenk: 

 








279

Leereenheid 3 


8. Studies in sosiologie het getoon dat daar ŉ verband bestaan tussen 'n persoon se 

status, opleiding en inkomste. Gestel S is ŉ numeriese waarde vir die status wat 

afhang van die jaarlikse inkomste I . Vir ŉ sekere bevolkingsgroep is 

280 

 

0 53 

0 45 1000 , 

S f I , I . 

Gestel 'n persoon se inkomste I is 'n funksie van E , die aantal jare opleiding, waar 

8.1 Bereken f g E 

. 

3 68 

7202 0 29 , 

I g E , E . 

8.2 Wat word deur hierdie funksie beskryf? 

1 

8.3 Bereken f g E 

. 

8.4 Wat word deur hierdie funksie beskryf? 

9 'n Wiskunde toets het 'n bonusvraag. Volgens die 

aanwysings kry u 5 bonuspunte as u die vraag korrek 

beantwoord en u toetsuitslag word met 7% verhoog. 

Gestel x is die punte van u toets voordat die bonusvraag 

beantwoord is. 

9.1 Skryf 'n funksie f neer wat u uitslag na die 5 

bonuspunte sal beskryf. 

9.2 Skryf 'n funksie g neer wat die 7% verhoging sal 

beskryf. 

9.3 Verduidelik die betekenis van f g . 

9.4 Bereken 75 

f g . 

9.5 Verduidelik die betekenis van g f . 

9.6 Bereken 75 

f g . 

9.7 Geld 75 

Opsioneel: 

 

g f = g f 75 in hierdie probleem? 

9.8 Wat sou u verkies? (Skryf slegs A of B neer) 

 

Moet u dosent eerste A : die 5 bonuspunte bytel en daarna die 7% verhoging 

toepas of 

B : die 7% verhoging toepas en daarna 5 punte bytel? 














Leereenheid 3 


3 

beskryf deur die funksie 

V t 

4 

t 

 

3 . Ontbind V as 'n samestelling van twee 

funksies en verduidelik wat elke funksie beteken. 


Sien assessering op p. viii 

281

Leereenheid 3 

282

TEMPO VAN VERANDERING 

EN LIMIETE 

Jy benodig ongeveer 9 uur om hierdie leereenheid suksesvol te voltooi. 

Uitkomste 


raaklyn- en snelheidsprobleme met behulp van eenvoudige limiete op te los; 

die limiet van ŉ funksie m.b.v. grafieke te bepaal. 

Jy gaan die volgende studie materiaal nodig kry: Precalculus hoofstuk 13. 

Leereenheid 4 

283

Leereenheid 4 

4.1 RAAKLYN- EN SNELHEIDSPROBLEME 


Uitkomste 


raaklyn- en snelheidsprobleme met behulp van eenvoudige limiete op te los; 

gemiddelde- en oombliklike veranderingstempo’s te bereken vanuit grafieke en tabelle. 


Opmerking: Gemiddelde veranderingstempo’s is alreeds in leergedeelte 1.3 behandel. 

Raaklyn- en veranderingstempo situasies is onontbeerlik in die daaglike lewe. 'n Man wil 

graag weet hoe vinnig 'n motor van 0 tot 100 km/h kan versnel (versnelling is die toename of 

veranderingstempo van die snelheid). In die sakewêreld wil ons weet hoe vinnig die inflasie 

koers afneem of toeneem (sien voorbeeld 2) of watter besigheid se wins groei die vinnigste, 

ens. 

284 


pp. 856 – 857 

As jy twee punte op 'n grafiek met 'n snylyn verbind, kan jy die een punt staties hou en die 

ander punt al hoe nader aan die statiese een laat beweeg. Die versameling snylyne kom dan 

al hoe nader aan die raaklyn. 




Laai die adres: www.math.umn.edu/~garrett/qy/Secant.html 

en sien met 'n bewegende skets hoe snylyne die raaklyn by 'n punt 

benader.

Leereenheid 4 

Uit ons daaglikse ondervinding weet ons dat beweging die verandering in posisie van 'n 

voorwerp is. Die beweging van 'n voorwerp is volledig bekend as ons weet waar die 

voorwerp in die ruimte is op elke tydstip. 

Gestel 'n motor beweeg volgens onderstaande afstand-tyd grafiek. [die vertikale as se 

betekenis word altyd eerste genoem en daarna dié van die horisontale as.] Dan weet ons uit 

200 

vorige ervaring dat die motor se snelheid tydens die eerste twee ure (AB) 100 km/h ( ) 

2 

was. Die volgende half-uur (BC) is daar geen verandering in die afstand nie, wat beteken dat 

die motor stilstaan. Die spoed tydens CD is 133 km/h. Gemiddelde spoed word volgens 

definisie bereken deur die formule: 

v gem 

s 

, waar verandering in 

t 

s die afstand, t die tyd en v die spoed beteken. 

s 

400 200 

Bv. oor CD is v gem 

133 km / h 

t 

4 2, 

5 

Meetkundig beteken dit dat die gemiddelde spoed die gradiënte van die lyne is, want 

s y en t x . 

s 

400 

350 

300 

Afstand 

in km 

250 

200 

150 

100 

A 

50 

t 

1 2 3 4 

Tyd in ure 

Hierdie voorstelling is egter nie realisties nie, want 'n motor beweeg nie elke oomblik teen 'n 

konstante spoed nie. Die grafiek sal eerder soos volg lyk: 

B 

C 

D 

285

Leereenheid 4 

Die gemiddelde spoed tussen A en B is nog steeds 100 km/h, want die verandering in 

afstand is nog steeds s = (200 – 0) en die verandering in tyd t = (2 – 0). Tussen A en B 

die spoed egter. Daarom is dit nodig om oombliklike snelheid (spoed op 'n bepaalde 

tydstip) te definieer. Net soos die gemiddelde spoed meetkundig die gradiënt van 'n lyn was, 

gebruik ons ook nou die gradiënt van 'n lyn. Omdat die kurwe 'n kromme is, gebruik ons die 

helling van die raaklyn aan die kromme by 'n spesifieke tydstip of afstand. Dus: 

Grafies lyk dit soos volg 

286 

400 

350 

300 

Afstand 

in km 

250 

200 

150 

100 

A 

50 

400 

350 

300 

s 

Afs tand 

in km 250 

200 

150 

100 

A 

50 

v 

1 2 3 4 

Tyd in ure 

s 

, met die veranderings geneem op die raaklyn. 

t 

P: (1.00, 91.20) 

B 

t 

C 

R: (3.00, 280.64) 

1 2 3 4 

t:Tyd in ure 

B 

C 

s 

Q: (3.00, 91.20) 

D 

D

Leereenheid 4 

Die gemiddelde spoed word nog steeds gegee deur die gradiënt van AB, wat nou 'n snylyn 

is. Die oombliklike snelheid op tydstip t 1 , word gegee deur die gradiënt van die raaklyn 

aan die kurwe deur die punt P. Ons bereken dit soos volg: 

s 

s 

v 

t 

t 

R 

R 

s 

t 

P 

P 

280, 

64 91, 

2 

 

94, 

72 km / h 

3 1 

Let op dat die punte R en P op die raaklyn deur P lê, en nie op die lyn AB nie. 




Laai die adres: math.hws.edu/javamath/config_applets/SecantTangent.html 

Beweeg die groen punt en kyk hoe die snylyn al hoe nader aan die raaklyn beweeg. Die 

gradiënt / helling (“slope”) van die snylyn kom ook al hoe nader aan die waarde van die 

gradiënt van die raaklyn. Dis interessant om daarop te let dat die gradiënt van die snylyn 

“undefined” is as die snylyn en die raaklyn dieselfde is. Eintlik behoort die waardes presies 

dieselfde te wees. Ek neem aan die program herken nie 'n snylyn as 'n raaklyn as hulle bo 

op mekaar val nie. 

Bogenoemde animasie kan ons soos volg voorstel: 

8 

6 

4 

2 

-5 5 10 

x 

A 

raaklyn 

x+h 3 

y 

x+h 2 

-2 

y=f(x) 

Die snylyne l1, l2 en l3 kom al hoe nader aan die raaklyn aan die funksie f by die punt 

x 4 . Die koördinate van die ander snypunt van l3 en f kan gegee word deur 

x h3 ; f x h3 

4 2 ; f 4 2 2 ; f 2 

. 

l 3 

x+h 1 

l 2 

l 1 

x 

287

Leereenheid 4 

'n Snylyn baie naby aan die raaklyn sal dus 'n snypunt met f met koördinate van die vorm 

x h ; f x h 

288 

hê, waar h 'n baie klein getal is. Ons kan h al hoe kleiner maak sodat die 

snylyn met die raaklyn saamval. Wiskundig kan ons dit so stel: 

raaklyn lim l , waar lim staan vir limiet wat iets soos 'n grens beteken. 

s 

Ons kan dus definieer: 

s 

oombliklik e 

snelheid 

s 

lim 

t 0 

t 

0 

s( 

t h ) s( 

t ) 

lim 

 

h 

h 

2 

Beskou nou die kromme van y x 4 met P en Q punte daarop sodat PQ 'n snylyn is: 

(Hierdie sketse sal weer in MATE 312 behandel word by differensiasie) 

3 

2 

1 

-2 -1 1 2 3 4 5 6 

P 

-1 

-2 

-3 

-4 

-5 

-6 

Let nou goed op wat gebeur as die punt P nader aan Q beweeg 

h 

y=x 2 -4 

Q 

R 

Slope PQ = 1.20153 

yQ-yP = 1.20153 

xQ-xP s 

l 

( t ) 

afstand h tussen Q en P se x-koordinate = 7.13244 cm 

f'(x)= lim f(x+h)-f(x) 

h0 h 

.

3 

2 

1 

-1 

-2 

-3 

-4 

-5 

-6 

Leereenheid 4 

-2 -1 1 2 3 4 5 6 

3 

2 

1 

-1 

-2 

-3 

-4 

-5 

-6 

P 

h 

y=x 2 -4 

Q 

R 


Slope PQ = 1.89290 

yQ-yP 

= 1.89290 

xQ-xP 

f'(x)= lim f(x+h)-f(x) 

h0 h 

-2 -1 1 2 3 4 5 6 

P 

h 

y=x 2 -4 

Q 

R 


Slope PQ = 2.64331 

yQ-yP = 2.64331 

xQ-xP f'(x)= lim f(x+h)-f(x) 

h0 h 

289

Leereenheid 4 

290 

Wat gebeur met die waarde van h as P al hoe nader aan Q kom? 

........................................................................................................................................ 

Wat noem ons die lyn PQ wanneer P en Q op dieselfde punt val? 

.............................. 

Wat is die betekenis van die gradiënt van PQ wanneer h so klein as moontlik 

gemaak word? ..................................................................................................... 


pp. 861 – 862 

3 

2 

1 

-2 -1 1 h 2 3 4 5 6 

-1 

-2 

-3 

-4 

-5 

-6 

y=x 2 -4 

Q 

P R 


Slope PQ = 3.53846 

yQ-yP = 3.53846 

xQ-xP f'(x)= lim f(x+h)-f(x) 

h0 h

BESTUDEER VOORBEELD 1: [Funksie-vergelyking is bekend] 

1. Gestel ŉ voorwerp beweeg volgens die posisiefunksie 2 

sekondes en s in meters gemeet. 

Leereenheid 4 

s f t 3t 5 , met t in 

1.1 Bereken die gemiddelde snelheid tydens die interval [10; 10,1]. (Wenk: 

v gem 

s 

) 

t 

1.2 Bereken die snelheid (oombliklike veranderingstempo van verplasing met 

betrekking tot tyd) as t 10 sekondes. 

1.3 Wat is die meetkundige betekenis van die antwoord in 1.2? 

1.4 Wat is die werklike betekenis van die antwoord in 1.2? 

Oplossing: 

1.2 

1.1 

v gem 

 

s 

 

t 

f ( 10, 

1) 

f ( 10) 

10, 

1 

10 

2 

3( 

10, 

1) 

5 

 

0, 

1 

60, 

3 m/s 

uit eerste beginsels : 

v 

10 

lim 

h0 

h0 

f 

( 10 

60 m/s 

2 310 5 

h) 

f 

h 

( 10) 

10 2 

mag ook `n ander 

2 

3( 

10 h) 

5 ( 3 5) 

lim 

h0 

h 

2 

3100 

20h 

h 

5 ( 300 5) 

lim 

h0 

h 

2 

300 60h 

3h 

300 

lim 

h0 

h 

3h( 

20 h) 

lim 

h0 

h 

lim 3( 

20 h) 

h 

simbool wees 

Die volgende variasie van die definisie vereenvoudig die rekenwerk as die funksie ‘n 

polinoom van graad groter as 2 is, want dan word die produk van tweeterme 

uitgeskakel. 

291

Leereenheid 4 

292 

v 

10 

t 

10 

f 

3t 

lim 

t 

10 

3t 

lim 

t 

10 

3 

lim 

t 

10 

3 

lim 

t 

10 

lim 3 

t 

10 

3 

lim 

t f 10 2 

2 

5 305 t 10 

t 10 

2 t 100 

t 10 

t 10t 

10 

t 10 

t 10 

10 10 

60 m / s 

t 10 

300 

1.2 m.b.v. differensiasie 

' 

v( t ) f ( t ) 

6t 

v( 10 ) 6( 10 ) 

 

60 m/s of ms 

1.3 Die helling van die raaklyn aan 2 

1 

s f t 3t 5 by t 10 sekondes, is 60 m/s. 

1.4 Die tempo van verandering van posisie t.o.v. tyd is 60 m/s as t 10 sekondes. 

BESTUDEER VOORBEELD 2: [Vergelyking van funksie is onbekend.] 

2. Die inflasiekoers in die VSA is ŉ funksie van tyd. Die volgende tabel gee die 

inflasiekoers I t vanaf 1987 tot1993 (as ŉ persentasie per jaar): 

Jaar (t ) 1987 1989 1991 1993 

Inflasie ( I ) 3,6 4,8 4,2 3,0 

2.1 Bepaal die gemiddelde groeitempo: 

2.1.1 vanaf 1989 tot 1991 

2.1.2 vanaf 1991 tot 1993 

2.2 Bereken die oombliklike groeitempo in 1991 deur gebruik te maak van die 

gemiddeld van twee gemiddelde groeitempo’s. Gee ook die eenheid. 

2.3 Wat beteken die antwoord in 2.2?

Oplossing: 

2.1.1 Gem. groeitempo 

2.1.2 Gem. groeitempo 

I 

 

t 

4, 2 4, 8 

 

1991 1989 

0, 

6 

 

2 

0, 3 %/jaar 

I 

 

t 

3 4, 2 

 

1993 1991 

0, 6 % / jaar 

Leereenheid 4 

2.2 Omdat ons nie die funksie as 'n vergelyking het nie, maar in tabelvorm, kan ons 

nie die gradiënt van 'n raaklyn gebruik as oombliklike veranderingstempo (van 

inflasie) nie. Daarom gebruik ons die gemiddeld van twee gemiddelde 

groeitempo’s met 1991 in die middel van die intervalle .(In hierdie probleem is 

veranderingstempo spesifiek die groeitempo van inflasie) 

Oombliklike groeitempo 

0, 3 ( 0, 

6 ) 

 

2 

0, 45 %/jaar 

2.3 Die inflasiekoers verander (neem af a.g.v. – teken) teen 'n tempo van -0,45 % per 

jaar teen 1991. 

293

Leereenheid 4 


Gestel grafiek 1 en 2 stel twee besighede se wins voor oor 'n sekere tydperk. 

Watter besigheid vaar die beste? .............................................. 

Motiveer jou antwoord: ............................................................................................ 

294 

y 

4 

3 

2 

1 

grafiek 1 

-4 -2 2 4 x 

........................................................................................................................................... 

Bespreek die definisieversameling van die funksie krities: ....................................................... 

.................................................................................................................................................... 




Laai die adres: 

http://www.math.montana.edu/frankw/ccp/calculus/estlimit/lesttang/discvr.htm 

om ŉ soortgelyke lewenswerklike probleem vir interessantheid deur te werk. 

A 

B 

grafiek 2


Opdrag 25: 


Leereenheid 4 

1. Teken m.b.v. GSP ŉ verplasing-tydgrafiek van ‘n bal wat vryval volgens die wet van 

2 

Galileo s 4, 9t 

(met s t die afstand gemeet in meter en t die tydsverloop in 

sekondes ) vir die eerste 7s. 

Bereken die volgende m.b.v. die grafiek: 

1.1 Die gemiddelde snelheid oor die tydsintervalle [5; 7], [5; 6], [5; 5,5]; [5; 5,2]. 

Doen elkeen op ŉ nuwe bladsy in dieselfde dokument. Wys ook op die grafiek 

hoe jy dit bereken het. (Gebruik loodlyne en/of ewewydige lyne om seker te maak 

dat jy die sye van die hellingsdriehoeke akkuraat genoeg skets. Gebruik 

“Measure” , “Abscissa” en “Ordinate” om seker te maak dat jy die koördinate van 

die hellingsdriehoeke akkuraat genoeg meet.) 

Gebruik 3 metodes: 

y s 

; en deur die helling van die snylyn te meet. 

t 

t 

1.2 Gee die verwantskap tussen die gemiddelde snelhede en die helling van die 

snylyne. 

1.3 Gaan na ŉ nuwe bladsy in dieselfde dokument. Wat was die bal se snelheid op 

die tydstip t 5 (m.a.w. die oombliklike snelheid as t 5 )? Dui op die grafiek 

aan hoe jy dit bereken. 

1.4 Gee die verwantskap tussen die oombliklike snelheid en die helling van die 

raaklyn. 

Stuur opdrag via eFundi en lewer ook ‘n drukstuk in. 


Uit opdrag 25 behoort die volgende duidelik te wees: 

Oombliklike snelheid (as t 5 ) = 

lim (gemiddelde snelheid) 

t 5 

Meetkundig beteken dit dat die gemiddelde snelheid van die bal oor ŉ spesifieke tydsinterval 

gegee word deur die gradiënt van die snylyn (getrek tussen die twee tye wat ter sprake is). 

Die oombliklike snelheid op ŉ spesifieke tydstip word gegee deur die gradiënt van die raaklyn 

aan die grafiek op die spesifieke tydstip. 

295

Leereenheid 4 

Verduidelik met 'n skets en formule wat jy onder die helling van 'n snylyn verstaan: 

Gebruik dieselfde skets as hierbo en gee die definisie van die helling van 'n raaklyn by die 

punt (a; f(a)) i.t.v. x en a en ook i.t.v. x en h: 

Maak seker dat jy die definisies van gemiddelde en oombliklike veranderingstempo’s 

verstaan 

Wenk: 

Die helling van die raaklyn (of oombliklike veranderingstempo) aan f by x a vanuit eerste 

f a h f a 

beginsels word gewoonlik bepaal deur die uitdrukking lim 

. Dit kan ook deur 

h0 

h 

f x f a 

lim 

bereken word. As die funksie eksponente van 3 of hoër besit, is 

x a 

296 

x a 

laasgenoemde uitdrukking makliker, mits jy kan faktoriseer. Die eerste uitdrukking sal baie 

tweeterme besit wat vermenigvuldig moet word. 


Individuele oefening.

Opdrag 26 : 

1. Precalculus Oefening 13.3 no. 6 vanuit eerste beginsels 

2. Precalculus Oefening 13.3 no. 27 vanuit eerste beginsels (gebruik limiet) 

Leereenheid 4 

3. As 'n vastestof verhit word, neem die lengte toe volgens die formule l 125 2x 

. Die 

125 2( x h ) ( 125 2x 

) 

tempo waarteen dit verleng word gegee deur lim 

. Bereken 

h 0 

h 

hierdie limiet. 



6. 'n Sferiese ballon word opgeblaas. 

6.1 Watter uitdrukking beskryf die oombliklike veranderingstempo van die volume 

4 

 

 

 

 

3 

3 

r 

V met betrekking tot die radius? 

6.2 Bereken die veranderingstempo as die radius 2 meter is. 

7. Precalculus Oefening 13.3 no. 30 vanuit eerste beginsels (Kyk na die wenk op die 

vorige bladsy.) 

8. Opdrag 8B vraag 8.2, 8.3 en 8.4 

Opsioneel: 



11. Precalculus Oefening 13.3 no.29 d.m.v. differensiasie 



297

Leereenheid 4 

4.2 DIE LIMIET VAN ‘N FUNKSIE 


Uitkomste 


limiete vanuit grafieke te kan bereken. 


Limiete ontstaan uit alledaagse gebeurtenisse soos die bepaling van hoe vinnig 'n kalkoen 

afkoel nadat dit uit die oond gehaal is of om te verklaar wat die spoedmeterlesings van 'n 

motor werklik beteken. 

In hierdie leergedeelte sal die verband tussen die bepaling van die gradiënt van 'n raaklyn en 

die definisie van 'n limiet duidelik word. Ons konsentreer op die bepaling van limiete met 

behulp van grafieke. 

Asimptote is vertikale of horisontale lyne wat deur ŉ kromme genader, maar nooit geraak 

word nie. 

298 


pp. 840 – 844 tot voor “One-Sided Limits”


Leereenheid 4 



Laai die adres: 

http://www.math.ucdavis.edu/~kouba/CalcOneDIRECTORY/limcondirectory/L 

imitConstant.html 

en werk deur die probleme 1 tot 7 en 9. 

Gebruik die adres: http://www.mecca.org/~halfacre/MATH/limits.htm indien jy 

sukkel om die limiet-begrip te verstaan. Hierdie is ŉ baie goeie PowerPoint 

aanbieding met klank. 

299

Leereenheid 4 


Opdrag 27: 

300 



2. Precalculus Oefening 13.1 no. 18 (a), (d), (e) 

3. Precalculus Oefening 13.1 no. 19 (c), (f), (g), (h) 

4. Precalculus Oefening 13.1 no. 20 (a), (b), (f) 

5. Precalculus Oefening 13.1 no. 29 (c) 

6. 

6.1 Bereken a) 0 5 

y 

3.5 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

-0.5 

f , en b) f ( x ) 

lim 

x 0 

, 5 

y=f(x) 

in die volgende skets: 

-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 

x

6.2 Bereken a) 0, 8 

y 

3 

2 

6.3 Bereken a) 2 

g en b) g( 

x) 

lim 

x 0, 

8 

h en b) h( 

x) 

 

y=g(x) 

lim 

x 2 

y 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

-1 

-2 


0,8 


• 

y=h(x) 

x 

Leereenheid 4 

-6 -4 -2 2 4 6 8 

x 

301

Leereenheid 4 

302 

6.4 Bereken a) f 0 en b) f ( x) 

lim 

x 0 


lim 

x 0 

(Wenk: Gebruik analise ook.) 

y 

110 

100 

90 

80 

70 

60 

50 

40 

30 

20 

10 

-10 

y=f(x) 


-3 -2 -1 1 2 3 4 5 

y 

10 

8 

6 

4 

2 

1 

f( x) 

= ( 1 + x) 

x 

in die volgende skets. 

1 1 2 3 4 5 6 

x 

x

6.6 Bereken a) 1, f 1, f 2 skets: 

lim 

x 1 

lim 

x 1 

lim 

x 2 

Leereenheid 4 

f en b) f ( x) 

, f ( x) 

, f ( x) 

in die volgende 


lim 

x 0 


y 

3 

2 

1 

y 

1 

6 

4 

2 

-2 

-4 

-6 

y=f(x) 

2 x 


y=f(x) 

-5 5 

Jy benodig 'n verdere 8 uur vir jou finale voorbereiding vir die eksamen. 

Ek hoop jy het die module geniet en dat die baie lewenswerklike voorbeelde jou in staat sal 

stel om op skoolvlak wiskunde met groter insig en selfvertroue te kan fasiliteer. Hoop dit sal 

jou in staat stel om Wiskunde 'n “cool” vak te maak! Beste wense vir die eksamen. 

x 

303

Bylaag 

1. Doen alle vrae. 

304 

BYLAAG: 

2. Toon alle berekeninge wat u doen. 

1. Wenke vir Vraestelle en Opdragte 

3. Doen rofwerk aan die regterkant van die bladsy. 

4. Werk slegs aan die linkerkant van die bladsy, vanaf die linkerkantse kantlyn. 

5. Alle sketse en grafieke moet netjies in potlood gedoen word. 

6. Benader irrasionale getalle in finale antwoorde tot drie desimale plekke. 

7. Spasieer u werk. 

8. Begin elke nuwe vraag op ŉ nuwe bladsy. 

9. Trek ŉ lyn na elke volledige vraag. 

2.1 Faktore 

2. Inligting en Voorkennis 

Die volgende tabel is nuttig om die nodige kennis van Faktorisering op te som: 

Veelterm met 

Tipe Produk 

Gemeenskaplike faktor 

Vorm van Produk 

Gefaktoriseerde Vorm 

x y z ( x y z) 

Groepeerbare Veelterm m n m n 

( m n)( ) 

2 2 

Verskil van Volkome Vierkante a b 

( a b)( a b) 

Kwadratiese Drieterme 

Volkome Vierkante 

Verskil van Volkome Derdemagte 

Som van Volkome Derdemagte 

2 

ax bx c of 

2 2 

ax bxy cy 

x 2xy 

y 

2 2 

3 3 

x y 

3 3 

x y 

( x )( x ) 

of 

( x y)( x y) 

( x y) 

2 2 

( x y)( x xy y ) 

2 2 

( x y)( x xy 

y ) 

2

Bylaag 

In die algemeen geld die volgende stappe wanneer ŉ uitdrukking gefaktoriseer moet 

word: 

1. TEL die terme in die uitdrukking. 

2. Moet nooit hakies verwyder deur te vermenigvuldig nie, want ons is met 

faktorisering besig, nie vereenvoudiging nie! Sien Stap 3. 

3. Gebruik die k -metode waar dieselfde hakie in meer as een term voorkom. 

4. Let op of daar nie miskien in elke term 'n Gemeenskaplike Faktor voorkom 

nie. (Indien wel, moet die GF altyd eers uitgehaal word voordat u verder 

probeer gaan.) 

5. Werk van bo na onder in die tabel op die vorige bladsy en probeer die uitdrukking se 

vorm herken as een van die produkte in die tabel. 

6. Herskryf die uitdrukking in gefaktoriseerde vorm. 

7. Vervang die k terug met dit waarmee u dit vervang het in Stap 2 

8. Gaan versigtig na of een of meer van die hakies uit Stap 5 nie miskien op sy 

beurt self verder gefaktoriseer kan word nie. 

9. Onthou dat die finale antwoord verkieslik nie hakies binne hakies mag bevat 

nie – indien so iets voorkom, vermenigvuldig die binneste hakies uit. 

305

Bylaag 

2.2 Eksponente 

306 

m n m n 

x x x 

 

( x ) x 

 

x 

x 

m n m n 

m 

n 

x 

m n 

n m 

m 

n 

x x 

1 m 

x m 

x 

Grafieke: 

1 

O 

Y 

a 

y x is kontinue magskrommes as a 0 , bv. reguitlyne, 

1 

parabole, derdegraadse krommes, ens. Sommige 

hiervan kan sonder die hulp van 'n tabel geskets word, 

bv. reguitlyne, parabole en derdegraadse krommes: 

y=x a , 0a1 

y=x 1 

y=x 0,5 

y=x 0 

X

y=x a , 1a3 

-1 

O 

Y 

1 

-1 

y=x 3 

1 

y=x 2 

y=x 1,5 

y=x 1 

Bylaag 

X 

307

Bylaag 

308 

y=x a ,a

y=a x ,a>0 

x 

x 

y a is die eksponensiaalfunksie. NB: a 0 vir a 0 . 

y=0,8 x 

y=0,5 x 

Bylaag 

Hierdie krommes is kontinu en stel eksponensiële groei voor (as 

a 1) , of eksponensiële verval (as 0 a 1) . 

y=0,25 x 

1 

O 

Y 

1 

y=2 x 

y=1,5 x 

y=1 x 

X 

309

Bylaag 

310 

Spesiale gevalle: 

NB: e=2,71828... 

-1 

x 

y e en 

y=e -x 

x 

y e 

: 

Eksponensiaalkrommes kan almal dmv 'n tabel geskets word. 

Y 

3 

e 

e -1 

2 

O 

1 

1 

y=e x 

X

2.3 Logaritmes 

p 

x b p log x; x 0, b 0 

ln x log x ; e 2,71828.... 

e 

b 

Wet 1: x y log x log y met b 0, x 0 en y 0 

log b 

b 

b 

x 

Wet 2: log b log b x log b y met b 0, x 0 en y 0 

y 

m 

Wet 3: ln x m ln x , ook vir logba m = mlogba 

Wet 4: logmm = 1, ook lne = 1 

Wet 5: 

ln x 

1 

log b x , so : logb x ln x 

lnb 

lnb 

 

 

Grafieke: y ln x is die logaritmiese kromme; slegs gedefinieer as x 0 . 

(Hierdie grafieke kan ook dmv 'n tabel geskets word, maar die x -afsnit 

moet bereken word deur y 0 te stel in die grafiek se vergelyking en vir 

x op te los.) 

Y 

1 

O 

Die Krommes van y=log b(x) vir b>0 

1 

y=log 0,5(x) 

y=ln(x) 

y=log(x) 

Bylaag 

311 

X

Bylaag 

Baie Belangrik: Al bogenoemde funksies se krommes kan ondersoek word 

2.4 Trigonometrie 

312 

sin x 

tan x 

cos x 

cos x 

cot x 

sin x 

1 

sec x 

cos x 

1 

cos ecx 

sin x 

2 2 

sin x cos x 1 

2 2 

sec x tan x 1 

2 2 

cosec x cot x 1 

sin 2 x 2 sin x cos x 

cos2 cos sin 

met behulp van dinamiese SketchPad-sketse: 

Dynamic Power Function Graphs.gsp 

Dynamic Exp and Log Graphs.gsp 

Hierdie sketse sal op eFundi beskikbaar gestel word. 

2 2 

x x x 

1 

2 

2 

sin x (1 cos 2 x) 

1 

2 

2 

cos x (1 cos 2 x)

Grafieke: y sin x en y cos x is kontinue, periodiese krommes. 

y=a sin bx 

y tan x en die ander besit diskontinuïteite (spronge). 

Goeie metodes bestaan waarmee ons hierdie grafieke sonder 

die hulp van 'n tabel kan skets, alhoewel 'n tabel wel gebruik 

kan word. 

Vir u inligting sluit ons grafieke van die drie basiese 

trigonometriese funksies in: 

amplitude=a 

O 

Y 

a 

-a 

90 

b 

180 

b 

periode 

270 

b 

360 X 

b 

Bylaag 

313

Bylaag 

314 

y=a cos bx 

y=a tan bx 

amplitude=a 

-90 

b 

90 

b 

180 

b 

periode 

Let op die diskontinuïteite by die tan-kromme. 

O 

Y 

a 

Y 

a 

-a 

O 

-a 

periode 

270 360 

b b 

X 

90 135 

b b 

45 

b 

180 X 

b

2.5 Algemene wenke vir die skets van enige grafiek 

1. Maak seker dat u die eienskappe en gedrag (hoe die grafiek se kromme 

lyk) van elke soort grafiek ken. 

2. Maak seker dat u die standaardvorm van elke soort grafiek se 

Bylaag 

vergelyking sonder moeite kan uitken. (hoe lyk die vergelyking van elke spesifieke 

soort grafiek – ken die verskille). 

3. Enige grafiek kan m.b.v. 'n tabel geskets word, maar dit is tydrowend en 

kan misleidend wees as 'n mens nie aan punte 1. en 2. hierbo aandag 

gegee het nie. In punt 4 hieronder gee ons nog maniere om die vorm 

van 'n grafiek en sy gedrag te bepaal… 

4. Die volgende algemene riglyne geld algemeen: 

4.1 Vind die y -afsnit(te) deur x 0 te stel en y op te los. 

4.2 Vind die x -afsnit(te) of wortels deur y 0 te stel en x op te los. 

4.3 Bepaal die draaipunte, infleksiepunte en diskontinuïteite – 

metodes om dit te doen, sal in hierdie kursus na vore kom. 

4.4 Probeer vasstel wat met die y -waardes gebeur as x baie groot 

word, en as x baie klein (groot negatief) word. Hiervoor word 

limiete gebruik – meer hiervan in MATE 321. 

315

Bylaag 

www.nald.ca/fulltext/ numeracy/num1/num1.gif 

316 

"What counts is not memorising, but understanding, 

not watching, but searching, 

not receiving, but seizing, 

not learning, but practising." 

- A. Diesterweg

MATE 111 VAC

Transform your PDFs into Flipbooks and boost your revenue!

Delete template?

Save as template ?