18.09.2013 Views

Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek 4 - Plantyn

Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek 4 - Plantyn

Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek 4 - Plantyn

SHOW MORE
SHOW LESS

Create successful ePaper yourself

Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.

4<br />

<strong>Driehoeksmet<strong>in</strong>g</strong> <strong>in</strong> <strong>een</strong><br />

Copyright<br />

<strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong>


Copyright


4 <strong>Driehoeksmet<strong>in</strong>g</strong> <strong>in</strong> <strong>een</strong><br />

<strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong><br />

4.1 Goniometrische getallen van <strong>een</strong> scherpe hoek<br />

4.1.1 S<strong>in</strong>us, cos<strong>in</strong>us en tangens van <strong>een</strong> scherpe hoek ..................................................... 106<br />

4.1.2 Goniometrische getallen en de rekenmach<strong>in</strong>e ........................................................ 113<br />

4.1.3 Verband tussen goniometrische getallen van <strong>een</strong> scherpe hoek ............................. 115<br />

Samenvatt<strong>in</strong>g ........................................................................................................... 118<br />

4.2 Toepass<strong>in</strong>gen<br />

4.2.1 Oplossen van <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong> ................................................................ 119<br />

4.2.2 Vraagstukken ............................................................................................................ 123<br />

Herhal<strong>in</strong>g: voor wie iets meer wil .................................................................... 131<br />

Junior Wiskunde Olympiade ................................................................................ 134<br />

Copyright


1<br />

2<br />

3<br />

4<br />

5<br />

6<br />

104<br />

Studiewijzer<br />

Leerdoelen Th<br />

1 De s<strong>in</strong>us, de cos<strong>in</strong>us en de tangens van <strong>een</strong> scherpe<br />

hoek van <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong> def<strong>in</strong>iëren.<br />

blz. 107 -<br />

109<br />

2 Bovenstaande def<strong>in</strong>ities toepassen. 1, 2, 3 7 5, 6, 8, 47,<br />

49<br />

3 Een hoek tekenen als <strong>een</strong> goniometrisch getal<br />

gegeven is.<br />

4<br />

4 Goniometrische getallen van <strong>een</strong> hoek berekenen<br />

met de rekenmach<strong>in</strong>e.<br />

9, 11, 38<br />

5 Bij <strong>een</strong> gegeven goniometrisch getal de grootte van<br />

de hoek berekenen.<br />

10, 38 12<br />

6 De hoofdformule van de goniometrie formuleren. blz. 115<br />

7 De hoofdformule van de goniometrie bewijzen. blz. 115<br />

8 Het verband tussen de s<strong>in</strong>us, de cos<strong>in</strong>us en de<br />

tangens van <strong>een</strong> scherpe hoek formuleren.<br />

blz. 116<br />

9 Het verband tussen de s<strong>in</strong>us, de cos<strong>in</strong>us en de<br />

tangens van <strong>een</strong> scherpe hoek bewijzen.<br />

blz. 116<br />

10 Bovenstaande formules gebruiken om goniometrische<br />

getallen te berekenen.<br />

13 14 48<br />

11 Hoeken en lengten berekenen <strong>in</strong> <strong>rechthoekige</strong><br />

<strong>driehoek</strong>en.<br />

12 Vraagstukken oplossen door hoeken en lengten te<br />

berekenen <strong>in</strong> <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong>en.<br />

15 16, 17, 18,<br />

21, 22, 30,<br />

32, 33, 42,<br />

44<br />

26, 27, 28,<br />

31, 34, 35,<br />

39, 40, 41,<br />

43, 45, 46<br />

13 Hoeken en lengten berekenen <strong>in</strong> ruimtefiguren. 25<br />

Copyright<br />

<strong>Driehoeksmet<strong>in</strong>g</strong> <strong>in</strong> <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> Driehoek<br />

19, 20, 24,<br />

29, 51, 52<br />

23, 29, 36,<br />

37, 50


4.1 Goniometrische getallen van <strong>een</strong> scherpe hoek<br />

12%<br />

Een boot ligt voor anker. Door de strom<strong>in</strong>g maakt de<br />

ankerkett<strong>in</strong>g <strong>een</strong> hoek van 52° met het wateroppervlak. Het<br />

gedeelte van de ankerkett<strong>in</strong>g dat onder water zit, is 12,7 meter<br />

lang.<br />

Hoe diep is het meer?<br />

Bij <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong>en is er <strong>een</strong> verband tussen de scherpe hoeken: ze zijn<br />

complementair. Je hebt er ook <strong>een</strong> verband gevonden tussen de zijden: het kwadraat van de<br />

schu<strong>in</strong>e zijde is gelijk aan de som van de kwadraten van de rechthoekszijden.<br />

Om dit probleem op te lossen, moet je echter ook verbanden kennen tussen de zijden en de<br />

hoeken.<br />

In DABC is A = 90°.<br />

[ BC ] is de schu<strong>in</strong>e zijde. [ AB ] en [ AC ] zijn rechthoekszijden.<br />

[ AC ] noemen we de overstaande rechthoekszijde van B en [ AB ] de<br />

aanliggende rechthoekszijde van B .<br />

Je kunt ook de rechthoekszijden benoemen <strong>in</strong> functie van C . Dan is [ AC ]<br />

de aanliggende rechthoekszijde en [ AB ] de overstaande rechthoekszijde.<br />

Copyright<br />

4.1 Goniometrische getallen van <strong>een</strong> scherpe hoek 105<br />

A<br />

B<br />

C<br />

1<br />

2<br />

3<br />

4<br />

5<br />

6


1<br />

2<br />

3<br />

4<br />

5<br />

6<br />

401<br />

106<br />

4.1.1 S<strong>in</strong>us, cos<strong>in</strong>us en tangens van <strong>een</strong> scherpe hoek<br />

S<strong>in</strong>us van <strong>een</strong> scherpe hoek<br />

Zoekwerk 1<br />

We zoeken <strong>een</strong> verband tussen de lengte van de zijden en de grootte van <strong>een</strong> scherpe hoek.<br />

Voorbeeld 1<br />

Bij elk van de <strong>driehoek</strong>en is de grootte van <strong>een</strong> scherpe hoek gegeven en de lengte van de<br />

drie zijden.<br />

Bereken de verhoud<strong>in</strong>g van de overstaande rechthoekszijde van de gegeven scherpe hoek<br />

en de schu<strong>in</strong>e zijde op 0,01 nauwkeurig.<br />

4,78<br />

C<br />

34°<br />

B 3,97 A<br />

2,67<br />

40°<br />

3,15<br />

Copyright<br />

<strong>Driehoeksmet<strong>in</strong>g</strong> <strong>in</strong> <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> Driehoek<br />

4,87<br />

D<br />

E<br />

34°<br />

____ | AC |<br />

= _____ | DF |<br />

| BC | | EF |<br />

Wat stel je vast?<br />

3,28<br />

5,87<br />

F<br />

L<br />

4,11<br />

= | KM |<br />

_____<br />

| LM | =<br />

Voorbeeld 2<br />

Vervolledig de teken<strong>in</strong>g zodat je twee <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong>en krijgt.<br />

Bereken dezelfde verhoud<strong>in</strong>g als <strong>in</strong> het eerste voorbeeld.<br />

Wat stel je vast?<br />

Verklaar.<br />

40°<br />

40°<br />

M<br />

2,65<br />

K


Rechthoekige <strong>driehoek</strong>en met <strong>een</strong>zelfde scherpe<br />

hoek zijn gelijkvormig. (gelijkvormigheidskenmerk HH)<br />

Uit de def<strong>in</strong>itie van gelijkvormige <strong>driehoek</strong>en volgt<br />

dat over<strong>een</strong>komstige zijden <strong>een</strong> evenredigheid<br />

vormen.<br />

____ | XY |<br />

| AB | = ____ | YZ |<br />

| BC |<br />

We verwisselen de middelste termen.<br />

____ | XY |<br />

| YZ | = ____ | AB |<br />

| BC |<br />

Deze evenredigheid kunnen we als volgt lezen:<br />

‘In <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong>en met <strong>een</strong>zelfde scherpe hoek a is de verhoud<strong>in</strong>g van de overstaande<br />

rechthoekszijde van de hoek a en de schu<strong>in</strong>e zijde hetzelfde.’<br />

Deze verhoud<strong>in</strong>g is afhankelijk van de grootte van de scherpe hoek en noemen we de<br />

s<strong>in</strong>us van de scherpe hoek a.<br />

De s<strong>in</strong>us van de hoek a noteren we s<strong>in</strong> a.<br />

| XY |<br />

s<strong>in</strong> a = ____<br />

| YZ | = ____ | AB |<br />

| BC |<br />

DEFINITIE<br />

De s<strong>in</strong>us van <strong>een</strong> scherpe hoek van <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong> is gelijk aan de verhoud<strong>in</strong>g<br />

van de overstaande rechthoekszijde en de schu<strong>in</strong>e zijde.<br />

In DABC met <br />

| AC |<br />

A = 90° is s<strong>in</strong> 52° = ____ 3,86<br />

= ____ = 0,788<br />

| BC | 4,90<br />

De s<strong>in</strong>us van <strong>een</strong> scherpe hoek drukt <strong>een</strong> verhoud<strong>in</strong>g uit tussen twee lengten en is dus <strong>een</strong><br />

reëel getal.<br />

Het vraagstuk van de boot kun je nu oplossen.<br />

Een boot ligt voor anker. Door de strom<strong>in</strong>g maakt de ankerkett<strong>in</strong>g<br />

<strong>een</strong> hoek van 52° met het wateroppervlak. Het gedeelte van de ankerkett<strong>in</strong>g<br />

dat onder water zit, is 12,7 meter lang.<br />

Hoe diep is het meer?<br />

Copyright<br />

4.1 Goniometrische getallen van <strong>een</strong> scherpe hoek 107<br />

Y<br />

X<br />

α<br />

A<br />

4,90<br />

Z<br />

B<br />

α<br />

C<br />

B<br />

52°<br />

3,02 A<br />

C<br />

3,86<br />

1<br />

2<br />

3<br />

4<br />

5<br />

6


1<br />

2<br />

3<br />

4<br />

5<br />

6<br />

108<br />

Gegeven: DABC met A = 90°<br />

<br />

Gevraagd: | AC |<br />

Oploss<strong>in</strong>g:<br />

C 1 = 52°<br />

| BC | = 12,7 m<br />

In DABC met <br />

A = 90°:<br />

s<strong>in</strong> | AC |<br />

B = ____<br />

| BC |<br />

| AC |<br />

s<strong>in</strong> 52° = ____<br />

12,7<br />

| AC | = 12,7 ∙ s<strong>in</strong> 52°<br />

| AC | = 10<br />

Het meer is 10 m diep.<br />

Cos<strong>in</strong>us van <strong>een</strong> scherpe hoek<br />

Omdat DXYZ gelijkvormig is met DABC,<br />

kunnen we ook nog <strong>een</strong> andere evenredigheid<br />

afleiden.<br />

| ____ XZ |<br />

| AC | =<br />

____ | YZ |<br />

| BC |<br />

We verwisselen de middelste termen.<br />

| ____ XZ |<br />

| YZ | =<br />

____ | AC |<br />

| BC |<br />

Deze evenredigheid kunnen we als volgt lezen:<br />

‘In <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong>en met <strong>een</strong>zelfde scherpe hoek a is de verhoud<strong>in</strong>g van de<br />

aanliggende rechthoekszijde van de hoek a en de schu<strong>in</strong>e zijde hetzelfde.’<br />

Deze verhoud<strong>in</strong>g is afhankelijk van de grootte van de scherpe hoek en noemen we de<br />

cos<strong>in</strong>us van de scherpe hoek a.<br />

De cos<strong>in</strong>us van de hoek a noteren we cos a.<br />

| XZ |<br />

cos a = _____<br />

| YZ | = ____ | AC |<br />

| BC |<br />

DEFINITIE<br />

De cos<strong>in</strong>us van <strong>een</strong> scherpe hoek van <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong> is gelijk aan de verhoud<strong>in</strong>g<br />

van de aanliggende rechthoekszijde en de schu<strong>in</strong>e zijde.<br />

Copyright<br />

<strong>Driehoeksmet<strong>in</strong>g</strong> <strong>in</strong> <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> Driehoek<br />

Y<br />

X<br />

12,7 m<br />

B<br />

12,7 m<br />

B<br />

52°<br />

α<br />

52°<br />

52°<br />

A<br />

Z<br />

1<br />

1<br />

38°<br />

B<br />

C<br />

A<br />

C<br />

A<br />

α<br />

C


In DABC met <br />

| AB |<br />

A = 90° is cos 52° = ____ 3,02<br />

= ____ = 0,616<br />

| BC | 4,90<br />

De cos<strong>in</strong>us van <strong>een</strong> scherpe hoek drukt <strong>een</strong> verhoud<strong>in</strong>g uit tussen<br />

twee lengten en is dus <strong>een</strong> reëel getal.<br />

Tangens van <strong>een</strong> scherpe hoek<br />

Uit de gelijkvormigheid van DXYZ en DABC<br />

kan nog <strong>een</strong> andere evenredigheid afgeleid worden.<br />

____ | XY |<br />

| AB |<br />

| XZ |<br />

= _____<br />

| AC |<br />

We verwisselen de middelste termen.<br />

_____ | XY |<br />

| XZ | = ____ | AB |<br />

| AC |<br />

Deze evenredigheid kunnen we als volgt lezen:<br />

‘In <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong>en met <strong>een</strong>zelfde scherpe hoek a is de verhoud<strong>in</strong>g van de<br />

overstaande rechthoekszijde en de aanliggende rechthoekszijde van de hoek a hetzelfde.’<br />

Deze verhoud<strong>in</strong>g is afhankelijk van de grootte van de scherpe hoek en noemen we de<br />

tangens van de scherpe hoek a.<br />

De tangens van de hoek a noteren we tan a.<br />

| XY |<br />

tan a = _____<br />

| XZ | = ____ | AB |<br />

| AC |<br />

DEFINITIE<br />

De tangens van <strong>een</strong> scherpe hoek van <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong> is gelijk aan de verhoud<strong>in</strong>g<br />

van de overstaande rechthoekszijde en de aanliggende rechthoekszijde.<br />

In DABC met <br />

| AC |<br />

A = 90° is tan 52° = ____ = ____ 3,86<br />

= 1,278<br />

| AB | 3,02<br />

De tangens van <strong>een</strong> scherpe hoek drukt <strong>een</strong> verhoud<strong>in</strong>g uit tussen<br />

twee lengten en is dus <strong>een</strong> reëel getal.<br />

Goniometrische getallen<br />

De s<strong>in</strong>us, de cos<strong>in</strong>us en de tangens van <strong>een</strong> scherpe hoek noemen we goniometrische<br />

getallen van die hoek.<br />

In <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong> is de schu<strong>in</strong>e zijde steeds de langste zijde.<br />

Bijgevolg liggen de s<strong>in</strong>us en de cos<strong>in</strong>us van <strong>een</strong> scherpe hoek steeds tussen 0 en 1.<br />

Copyright<br />

De tangens van <strong>een</strong> scherpe hoek is groter dan 0.<br />

4.1 Goniometrische getallen van <strong>een</strong> scherpe hoek 109<br />

Y<br />

X<br />

4,90<br />

B<br />

52°<br />

3,02 A<br />

α<br />

4,90<br />

A<br />

Z<br />

B<br />

α<br />

C<br />

3,86<br />

C<br />

B<br />

52°<br />

3,02 A<br />

C<br />

3,86<br />

1<br />

2<br />

3<br />

4<br />

5<br />

6


1<br />

2<br />

3<br />

4<br />

5<br />

6<br />

110<br />

Een geheugensteuntje van ‘alle tijden’!!<br />

Een schip is aan het z<strong>in</strong>ken en de kapite<strong>in</strong> kan nog net het volgende bericht verzenden:<br />

Opdrachten<br />

1 Schrijf met behulp van | XY | , | YZ | en | XZ | .<br />

a s<strong>in</strong> Y = d s<strong>in</strong> Z =<br />

b cos Y = e cos Z =<br />

c tan Y = f tan Z =<br />

2 Vul <strong>in</strong> met s<strong>in</strong>, cos of tan.<br />

a<br />

b<br />

c<br />

_____ | RT |<br />

| RQ | =<br />

_____ | RT |<br />

| RQ | =<br />

| TQ |<br />

_____<br />

| RT | =<br />

<br />

R d<br />

<br />

Q e<br />

<br />

R f<br />

3 Doorstreep de onjuiste antwoorden.<br />

tan | AB |<br />

C = ____<br />

| BC |<br />

tan | AD |<br />

C = _____<br />

| CD |<br />

‘sos castoa’<br />

s<strong>in</strong>us cos<strong>in</strong>us tangens<br />

_____ | RT |<br />

| TQ | =<br />

| TQ |<br />

_____<br />

| RQ | =<br />

| TQ |<br />

_____<br />

| RQ | =<br />

tan | ED |<br />

C = _____<br />

| EC |<br />

tan | ED |<br />

C = _____<br />

| CD |<br />

Copyright<br />

<strong>Driehoeksmet<strong>in</strong>g</strong> <strong>in</strong> <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> Driehoek<br />

<br />

Q<br />

<br />

R<br />

<br />

Q<br />

C<br />

Y<br />

X Z<br />

Q<br />

R T<br />

E<br />

A<br />

D<br />

B


4<br />

5<br />

Teken <strong>een</strong> scherpe hoek a zodat<br />

a s<strong>in</strong> a = 3<br />

_<br />

7<br />

b cos a = 2<br />

_<br />

3<br />

c tan a = 12<br />

__<br />

5<br />

De s<strong>in</strong>us van <strong>een</strong> scherpe hoek van <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong><br />

is altijd kle<strong>in</strong>er dan de tangens van deze hoek. Verklaar.<br />

Copyright<br />

4.1 Goniometrische getallen van <strong>een</strong> scherpe hoek 111<br />

B<br />

C<br />

A<br />

1<br />

2<br />

3<br />

4<br />

5<br />

6


1<br />

2<br />

3<br />

4<br />

5<br />

6<br />

112<br />

6<br />

7<br />

8<br />

Verb<strong>in</strong>d wat bij elkaar hoort.<br />

1 | AB | • • a 25 ∙ s<strong>in</strong> 40°<br />

2 | DC | • • b 25 ∙ cos 40°<br />

3 | AD | • • c<br />

4 | BC | • • d<br />

Waar of niet waar? Verklaar.<br />

a s<strong>in</strong> a is <strong>een</strong> hoek.<br />

b cos b is <strong>een</strong> getal.<br />

c Er bestaat <strong>een</strong> hoek a zo dat tan a > 0.<br />

d Er bestaat <strong>een</strong> hoek a zo dat cos a < −1.<br />

25 ______<br />

s<strong>in</strong> 40°<br />

_______ 25<br />

tan 40°<br />

In <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> DABC met [ AH ] de hoogte op de schu<strong>in</strong>e zijde<br />

is | AC | 2 = | BC | ∙ | HC | .<br />

Bewijs de eigenschap van <strong>een</strong> rechthoekszijde met goniometrie.<br />

8 Def<strong>in</strong>ieer cos a <strong>in</strong> twee verschillende <strong>driehoek</strong>en.<br />

Copyright<br />

<strong>Driehoeksmet<strong>in</strong>g</strong> <strong>in</strong> <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> Driehoek<br />

A<br />

D<br />

40° 25m<br />

C<br />

B


4.1.2 Goniometrische getallen met de rekenmach<strong>in</strong>e<br />

Met <strong>een</strong> rekenmach<strong>in</strong>e is het mogelijk om goniometrische getallen van <strong>een</strong> hoek nauwkeurig<br />

te bepalen.<br />

De grootte van <strong>een</strong> hoek kan uitgedrukt worden <strong>in</strong> verschillende <strong>een</strong>heden.<br />

De graad en de radiaal zijn de meest gebruikte <strong>een</strong>heden.<br />

In dit boek gebruiken we de graad.<br />

• Je rekenmach<strong>in</strong>e met graden laten werken<br />

Druk op MODE , plaats de cursor op DEGREE.<br />

Druk op ENTER .<br />

Druk op CLEAR en je krijgt <strong>een</strong> leeg scherm.<br />

• Van hoek naar goniometrisch getal<br />

Voorbeelden<br />

We berekenen cos 62,15°.<br />

Druk op COS , voer 62,15 <strong>in</strong> en druk op ENTER .<br />

cos 62,15° = 0,467 158 405 2<br />

We berekenen s<strong>in</strong> 30°.<br />

Druk op SIN , voer 30 <strong>in</strong> en druk op ENTER .<br />

s<strong>in</strong> 30° = 0,5<br />

• Van goniometrisch getal naar hoek<br />

Voorbeeld<br />

We zoeken A als tan A = 1,673 78.<br />

Druk op 2ND TAN, voer 1,673 78 <strong>in</strong> en druk op<br />

ENTER .<br />

A = 59,143 790 42°<br />

• Het kwadraat van <strong>een</strong> goniometrisch getal berekenen<br />

Voorbeeld<br />

We berekenen het kwadraat van cos 65°.<br />

We noteren: co s<br />

4.1 Goniometrische getallen van <strong>een</strong> scherpe hoek 113<br />

2 65°<br />

Voer cos 65° <strong>in</strong>, druk op x2 en op ENTER .<br />

co s 2 65°<br />

Copyright<br />

= 0,178 606 195 2<br />

1<br />

2<br />

3<br />

4<br />

5<br />

6


1<br />

2<br />

3<br />

4<br />

5<br />

6<br />

114<br />

Opdrachten<br />

9 Bereken op 0,001 nauwkeurig.<br />

a s<strong>in</strong> 34° = d cos 85° =<br />

b cos 25,5° = e tan 45° =<br />

c tan 82,75° = f s<strong>in</strong> 1,5° =<br />

10 Bereken de hoek a op 0,01° nauwkeurig.<br />

a s<strong>in</strong> a = 0,111 Þ a = d s<strong>in</strong> a = 0,435 Þ a =<br />

b tan a = 15,325 Þ a = e tan a = 1 Þ a =<br />

c cos a = 0,75 Þ a = f cos a = 0,001 Þ a =<br />

11 Bereken op 0,001 nauwkeurig.<br />

12<br />

a si n 2 24° = d co s 2 15° =<br />

b co s 2 65,5° = e ta n 2 45° =<br />

c ta n 2 22,75° = f si n 2 13,5° =<br />

Verklaar: AB // CD<br />

Copyright<br />

<strong>Driehoeksmet<strong>in</strong>g</strong> <strong>in</strong> <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> Driehoek<br />

A<br />

Het is <strong>een</strong> goede gewoonte<br />

om bij het <strong>in</strong>voeren van<br />

bijvoorbeeld s<strong>in</strong> 32° je <strong>in</strong>voer<br />

af te sluiten met <strong>een</strong> haakje.<br />

Het moet als je bijvoorbeeld<br />

si n 2 32° wil berekenen.<br />

B<br />

82 41<br />

C<br />

E<br />

60°<br />

D


402<br />

4.1.3 Verband tussen goniometrische getallen van <strong>een</strong> scherpe hoek<br />

Zoekwerk 2<br />

We zoeken <strong>een</strong> verband tussen si n 2 a en co s 2 a.<br />

Voorbeeld 1<br />

DABC met <br />

A = 90° en <br />

B = 54,2°<br />

Bereken: si n 2 54,2° + co s 2 54,2° =<br />

Herhaal dit voor C .<br />

Wat stel je vast?<br />

Voorbeeld 2<br />

Kies de grootte van <strong>een</strong> scherpe hoek a.<br />

Bereken si n 2 a + co s 2 a.<br />

Kom je tot hetzelfde besluit?<br />

EIGENSCHAP<br />

A C<br />

Copyright<br />

4.1 Goniometrische getallen van <strong>een</strong> scherpe hoek 115<br />

B<br />

54,2°<br />

In <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong> met scherpe hoek a geldt:<br />

si n 2 a + co s 2 a = 1<br />

Hoofdformule van de goniometrie<br />

We bewijzen deze eigenschap.<br />

Gegeven: DABC met <br />

A = 90°<br />

scherpe hoek a<br />

Te bewijzen: si n 2 a + co s 2 a = 1<br />

Bewijs:<br />

In DABC met <br />

A = 90°:<br />

si n 2 a + co s 2 a =<br />

b _<br />

a<br />

(<br />

= __<br />

a<br />

) 2<br />

+<br />

(<br />

2 2 b<br />

+ __ c<br />

2 a 2<br />

= b 2 + c 2<br />

_____<br />

= a 2<br />

__<br />

a 2<br />

= 1<br />

a 2<br />

c _<br />

a<br />

) 2<br />

(def<strong>in</strong>itie s<strong>in</strong>us en cos<strong>in</strong>us van <strong>een</strong> scherpe hoek)<br />

(stell<strong>in</strong>g van Pythagoras)<br />

c<br />

B<br />

α<br />

A<br />

b<br />

C<br />

a<br />

1<br />

2<br />

3<br />

4<br />

5<br />

6


1<br />

2<br />

3<br />

4<br />

5<br />

6<br />

403<br />

116<br />

Zoekwerk 3<br />

We zoeken <strong>een</strong> verband tussen s<strong>in</strong> a, cos a en tan a.<br />

Voorbeeld 1<br />

DABC met A = 90° en B = 54,2°<br />

s<strong>in</strong> 54,2°<br />

Bereken: ________ = tan 54,2° =<br />

cos 54,2°<br />

Herhaal dit voor <br />

C .<br />

Wat stel je vast?<br />

Voorbeeld 2<br />

Kies de grootte van <strong>een</strong> scherpe hoek a.<br />

Bereken _____ s<strong>in</strong> a<br />

cos a en tan a.<br />

Kom je tot hetzelfde besluit?<br />

EIGENSCHAP<br />

In <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong> met scherpe hoek a geldt:<br />

_____ s<strong>in</strong> a<br />

cos a = tan a<br />

We bewijzen deze eigenschap.<br />

Gegeven: DABC met <br />

A = 90°<br />

scherpe hoek a<br />

Te bewijzen:<br />

Bewijs:<br />

_____ s<strong>in</strong> a<br />

cos a = tan a<br />

In DABC met A = 90°:<br />

_____ s<strong>in</strong> a<br />

cos a =<br />

b _<br />

__ a<br />

c<br />

(def<strong>in</strong>itie s<strong>in</strong>us en cos<strong>in</strong>us van <strong>een</strong> scherpe hoek)<br />

_<br />

a<br />

=<br />

b _<br />

a ∙ a _<br />

c<br />

= b<br />

_<br />

c<br />

= tan a (def<strong>in</strong>itie tangens van <strong>een</strong> scherpe hoek)<br />

Copyright<br />

<strong>Driehoeksmet<strong>in</strong>g</strong> <strong>in</strong> <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> Driehoek<br />

B<br />

54,2°<br />

A C<br />

c<br />

B<br />

α<br />

A<br />

b<br />

C<br />

a


Opdrachten<br />

13 Als cos a = 2 _ , bereken dan s<strong>in</strong> a en tan a zonder rekenmach<strong>in</strong>e.<br />

3<br />

14<br />

Als tan a = 3<br />

_<br />

4 , bereken dan s<strong>in</strong> a en cos a zonder rekenmach<strong>in</strong>e.<br />

Copyright<br />

4.1 Goniometrische getallen van <strong>een</strong> scherpe hoek 117<br />

1<br />

2<br />

3<br />

4<br />

5<br />

6


1<br />

2<br />

3<br />

4<br />

5<br />

6<br />

118<br />

SAmENVATTING<br />

DEFINITIES<br />

In <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong> is:<br />

de overstaande rechthoekszijde<br />

• de s<strong>in</strong>us van <strong>een</strong> scherpe hoek = _________________________<br />

de schu<strong>in</strong>e zijde<br />

s<strong>in</strong> | AC |<br />

B = ____<br />

| BC |<br />

de aanliggende rechthoekszijde<br />

• de cos<strong>in</strong>us van <strong>een</strong> scherpe hoek = _________________________<br />

de schu<strong>in</strong>e zijde<br />

cos | AB |<br />

B = ____<br />

| BC |<br />

de overstaande rechthoekszijde<br />

• de tangens van <strong>een</strong> scherpe hoek = _________________________<br />

de aanliggende rechthoekszijde<br />

tan | AC |<br />

B = ____<br />

| AB |<br />

EIGENSCHAPPEN<br />

In <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong> met scherpe hoek a geldt:<br />

• si n 2<br />

•<br />

a + co s 2 a = 1 (hoofdformule van de goniometrie)<br />

_____ s<strong>in</strong> a<br />

cos a = tan a<br />

Goniometrische getallen zonder rekenmach<strong>in</strong>e<br />

Copyright<br />

<strong>Driehoeksmet<strong>in</strong>g</strong> <strong>in</strong> <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> Driehoek<br />

C<br />

A<br />

B


4.2 Toepass<strong>in</strong>gen<br />

4.2.1 Oplossen van <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong><br />

Als we van <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong> <strong>een</strong> zijde en <strong>een</strong> scherpe hoek of twee zijden kennen,<br />

kunnen we de andere zijde(n) en hoek(en) berekenen.<br />

Bij het oplossen van <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong>en moet je de ontbrekende elementen berekenen.<br />

Hierbij gebruik je de metrische eigenschappen <strong>in</strong> <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong> en de goniometrische<br />

getallen van <strong>een</strong> scherpe hoek.<br />

Voorbeeld 1<br />

Gegeven: DABC met A = 90°<br />

B = 23° en | AB | = 20<br />

Gevraagd:<br />

Oploss<strong>in</strong>g:<br />

In DABC met <br />

A = 90°:<br />

B + C = 90°<br />

23° + C = 90°<br />

<br />

C = 67°<br />

<br />

C , | AC | en | BC |<br />

Geef je resultaat op 0,01 nauwkeurig.<br />

| AC |<br />

tan 23° = ____<br />

20<br />

| AC | = 20 ∙ tan 23°<br />

= 8,49<br />

cos 23° =<br />

20 ____<br />

| BC |<br />

| BC | = _______ 20<br />

cos 23°<br />

= 21,73<br />

Je kunt je oploss<strong>in</strong>g steeds controleren met <strong>een</strong> niet-gebruikte eigenschap of def<strong>in</strong>itie.<br />

Bereken C met tan C : Controleer met de stell<strong>in</strong>g van Pythagoras:<br />

tan C =<br />

20 ____ = 2,36<br />

8,49<br />

<br />

C = 67°<br />

| AB | 2 + | AC | 2 = 2 0 2 + 8,4 9 2 = 472,08<br />

√ _<br />

472,08 = 21,73 = | BC |<br />

Omdat je hier <strong>in</strong> je controle rekent met afgeronde getallen, kunnen je resultaten kle<strong>in</strong>e afwijk<strong>in</strong>gen<br />

hebben.<br />

Copyright4.2<br />

Toepass<strong>in</strong>gen 119<br />

20<br />

B<br />

23°<br />

A C<br />

1<br />

2<br />

3<br />

4<br />

5<br />

6


1<br />

2<br />

3<br />

4<br />

5<br />

6<br />

120<br />

Voorbeeld 2<br />

Gegeven: DPQR met <br />

P = 90°<br />

| PQ | = 8 en | QR | = 10<br />

Gevraagd: | PR | , <br />

Q en <br />

R<br />

Geef je resultaat op 0,01 nauwkeurig.<br />

Oploss<strong>in</strong>g:<br />

In DPQR met <br />

P = 90°:<br />

1 0 2 = 8 2 + | PR | 2<br />

1 0 2 − 8 2 = | PR | 2<br />

| PR | = √ _<br />

36<br />

= 6<br />

s<strong>in</strong> R =<br />

8 __<br />

10<br />

Controle:<br />

<br />

R = 53,13°<br />

(stell<strong>in</strong>g van Pythagoras)<br />

cos Q =<br />

8 __<br />

10<br />

<br />

Q = 36,87°<br />

Bereken de som van de scherpe hoeken: Bereken Q met tan Q :<br />

Q + R = 36,87° + 53,13° = 90° tan Q = 6 _<br />

8<br />

<br />

Q = 36,87°<br />

Elementaire opdrachten over het oplossen van <strong>rechthoekige</strong><br />

<strong>driehoek</strong>en v<strong>in</strong>d je <strong>in</strong> het bestand ‘404 oplossen van <strong>rechthoekige</strong><br />

<strong>driehoek</strong>en’.<br />

Copyright<br />

<strong>Driehoeksmet<strong>in</strong>g</strong> <strong>in</strong> <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> Driehoek<br />

Q<br />

10<br />

8<br />

R<br />

P


404<br />

Opdrachten<br />

15 Bereken de ontbrekende zijden en hoeken van DABC met <br />

A = 90°.<br />

Rond <strong>in</strong>dien nodig af op 0,1 nauwkeurig.<br />

16<br />

17<br />

| BC | | AC | | AB |<br />

a 4,2 m 50°<br />

b 35 m 12,5°<br />

c 3,6 m 1,6 m<br />

d 3 m 4 m<br />

Gegeven: DABC is gelijkzijdig<br />

DE ^ CB en | DB | = 5<br />

Bereken | EB | .<br />

Gegeven: DABC, A = 90°, B = 40°, | BC | = 5 m<br />

Bereken op 1 cm nauwkeurig:<br />

a | AB | en | AC |<br />

b | AH |<br />

c | BH | en | CH |<br />

Copyright4.2<br />

Toepass<strong>in</strong>gen 121<br />

<br />

B<br />

C<br />

B<br />

A<br />

A<br />

<br />

C<br />

E<br />

D<br />

5<br />

H<br />

B<br />

C<br />

1<br />

2<br />

3<br />

4<br />

5<br />

6


1<br />

2<br />

3<br />

4<br />

5<br />

6<br />

122<br />

18<br />

19<br />

20<br />

Bereken op 1 mm nauwkeurig de straal van de cirkel<br />

met middelpunt O.<br />

Onderzoek of de volgende uitspraak waar is <strong>in</strong> DACM<br />

met A = 90°.<br />

Als M = 15° en 1 M = 30°, dan is | AB | = 2 1 _ | AC | .<br />

2<br />

In gelijkbenige DABC is tophoek <br />

A gelijk aan 48° en de basis 36 m.<br />

Bereken<br />

a de basishoeken van DABC<br />

b de lengte van de benen op 1 cm nauwkeurig<br />

c de hoogte uit de top op 1 cm nauwkeurig<br />

d de oppervlakte op 1 c m 2 nauwkeurig<br />

Bij het oplossen van <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong>en moet je <strong>een</strong> verklar<strong>in</strong>g<br />

geven. Daarvoor moet je eigenschappen van <strong>driehoek</strong>en<br />

kennen.<br />

4 cm<br />

19 Gebruik de tangens van <strong>een</strong> hoek.<br />

Copyright<br />

<strong>Driehoeksmet<strong>in</strong>g</strong> <strong>in</strong> <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> Driehoek<br />

C<br />

C<br />

B<br />

A<br />

O<br />

2<br />

A<br />

1<br />

A<br />

48°<br />

C 36 m<br />

55°<br />

B<br />

M<br />

B


4.2.2 Vraagstukken<br />

Voorbeeld 1<br />

In <strong>een</strong> smal steegje met <strong>een</strong> breedte van één meter staat <strong>een</strong> ladder<br />

tegen <strong>een</strong> muur. De ladder is 3,6 m lang.<br />

Om stevig te staan, moet de ladder <strong>een</strong> hoek tussen 70° en 75° vormen<br />

met de grond.<br />

Kan deze ladder veilig geplaatst worden?<br />

Op welke hoogte steunt de ladder tegen de muur?<br />

Gegeven: DABC met <br />

A = 90°:<br />

| AB | = 1 m en | BC | = 3,6 m<br />

Gevraagd:<br />

Oploss<strong>in</strong>g:<br />

B en | AC |<br />

In DABC met <br />

A = 90°:<br />

cos B =<br />

1 ___<br />

3,6<br />

<br />

B = 73,87°<br />

De ladder kan veilig geplaatst worden.<br />

Controle:<br />

| AC |<br />

tan 73,87° = ____<br />

1<br />

| AC | = 1 ∙ tan 73,87°<br />

= 3,5<br />

3, 6 2 = 1 2 +<br />

3, 6 2 − 1 = | AC | 2<br />

| AC | = √ _<br />

3, 6 2 − 1<br />

= 3,5<br />

| AC | 2 (stell<strong>in</strong>g van Pythagoras)<br />

De ladder steunt op <strong>een</strong> hoogte van 3,5 m tegen<br />

de muur.<br />

Bij het oplossen van oefen<strong>in</strong>gen gebruik je best zo veel mogelijk<br />

de gegevens en niet de berekende waarden. Zo voorkom je dat je<br />

met <strong>een</strong> fout resultaat verder werkt.<br />

3,6 m<br />

Copyright4.2<br />

Toepass<strong>in</strong>gen 123<br />

B<br />

1 m<br />

C<br />

A<br />

1<br />

2<br />

3<br />

4<br />

5<br />

6


1<br />

2<br />

3<br />

4<br />

5<br />

6<br />

124<br />

Voorbeeld 2<br />

Een piramide heeft als grondvlak <strong>een</strong> vierkant<br />

met <strong>een</strong> zijde van 12 cm en de hoogte is 8 cm.<br />

Bereken a op 0,01° nauwkeurig.<br />

Oploss<strong>in</strong>g:<br />

• We berekenen | AS | .<br />

| AS | = 1<br />

_<br />

2<br />

| AC | (diagonalen-kenmerk<br />

In DABC met <br />

B = 90°:<br />

parallellogram ABCD)<br />

| AC | 2 = 1 2 2 + 1 2 2 ( stell<strong>in</strong>g van Pythagoras )<br />

| AC | = √ _<br />

288<br />

| AS | = 1 _ | AC | =<br />

1<br />

2<br />

_<br />

2<br />

• We berekenen a.<br />

288 = 8,48... ® A<br />

√_<br />

In DAST met <br />

S = 90°:<br />

tan a =<br />

8 __<br />

A<br />

a = 43,31°<br />

Copyright<br />

<strong>Driehoeksmet<strong>in</strong>g</strong> <strong>in</strong> <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> Driehoek<br />

B<br />

B<br />

B<br />

C<br />

C<br />

C<br />

8 cm<br />

S<br />

12 cm<br />

8 cm<br />

S<br />

12 cm<br />

8 cm<br />

S<br />

12 cm<br />

T<br />

T<br />

T<br />

α<br />

α<br />

α<br />

A<br />

A<br />

A<br />

D<br />

D<br />

D


21<br />

Opdrachten<br />

In ruit ABCD is | AC | = 14 cm en | BD | = 32 cm.<br />

Bereken de hoeken van de ruit en de lengte van de zijde op 0,1 nauwkeurig.<br />

Welk punt ligt het dichtst bij de rechte a?<br />

22 A B<br />

5 cm<br />

Copyright4.2<br />

Toepass<strong>in</strong>gen 125<br />

20°<br />

3,4 cm<br />

30°<br />

a<br />

1<br />

2<br />

3<br />

4<br />

5<br />

6


1<br />

2<br />

3<br />

4<br />

5<br />

6<br />

126<br />

Een vliegtuig vliegt naar C. In A merkt de piloot dat<br />

hij niet genoeg brandstof heeft. Hij moet <strong>een</strong><br />

tussenland<strong>in</strong>g maken <strong>in</strong> B om te gaan tanken.<br />

De piloot wijkt hiervoor 20° af van zijn koers.<br />

B ligt op 870 km van A.<br />

Tijdens de tussenstop berekent hij dat hij nog<br />

1 300 km moet vliegen om C te bereiken.<br />

23 A C<br />

20º<br />

870 km<br />

1 300 km<br />

Hoeveel kilometer heeft de piloot nu meer gevlogen dan oorspronkelijk gepland?<br />

Bij bereken<strong>in</strong>gen rond je enkel het e<strong>in</strong>dresultaat af. Tussenresultaten<br />

kun je eventueel opslaan <strong>in</strong> je rekenmach<strong>in</strong>e en opvragen als<br />

je ze nodig hebt.<br />

Het rekenen met afgeronde getallen kun je ook vermijden door je<br />

rekenmach<strong>in</strong>e pas op het e<strong>in</strong>de van de oefen<strong>in</strong>g te gebruiken.<br />

Copyright<br />

<strong>Driehoeksmet<strong>in</strong>g</strong> <strong>in</strong> <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> Driehoek<br />

B


24<br />

25<br />

26<br />

27<br />

Bereken, op 1 m m 3 nauwkeurig, de <strong>in</strong>houd van de kegel<br />

die je krijgt door de <strong>rechthoekige</strong> DABC te laten wentelen.<br />

a om AB<br />

b om AC<br />

Een balk ( EFGH<br />

ABCD<br />

Bereken a.<br />

)<br />

is 8 m breed, 11 m diep en 6 m hoog.<br />

Je zwemt <strong>een</strong> kanaal over en je maakt daarbij <strong>een</strong> hoek van 41° met de oever.<br />

Het kanaal is 20 m breed.<br />

Hoeveel meter moet je zwemmen om de andere oever te bereiken?<br />

Op <strong>een</strong> afstand van 125 m zie je, recht voor je uit kijkend,<br />

de voet van <strong>een</strong> toren.<br />

Kijk je onder <strong>een</strong> hoek van 22° naar boven, dan zie je de top.<br />

Bereken, op 0,1 m nauwkeurig, de hoogte van deze toren.<br />

Copyright4.2<br />

Toepass<strong>in</strong>gen 127<br />

F<br />

6 m<br />

B<br />

G<br />

C<br />

B<br />

A<br />

8 m<br />

α<br />

6 cm<br />

E<br />

A<br />

40º<br />

11 m<br />

C<br />

H<br />

D<br />

1<br />

2<br />

3<br />

4<br />

5<br />

6


1<br />

2<br />

3<br />

4<br />

5<br />

6<br />

128<br />

28<br />

29<br />

30<br />

31<br />

Een vliegtuig vliegt op <strong>een</strong> hoogte van 10 km.<br />

Als je weet dat de dal<strong>in</strong>gshoek 3° is, hoe ver van<br />

de land<strong>in</strong>gsplaats moet dan de piloot de land<strong>in</strong>g<br />

<strong>in</strong>zetten?<br />

Een lichtstraal die schu<strong>in</strong> <strong>in</strong> het water <strong>in</strong>valt, ondergaat <strong>een</strong><br />

brek<strong>in</strong>g die <strong>in</strong> de volgende formule uitgedrukt wordt:<br />

_____ s<strong>in</strong> a<br />

=<br />

4<br />

s<strong>in</strong> b _ . Een lichtstraal die loodrecht <strong>in</strong>valt, treft de bodem<br />

3<br />

<strong>in</strong> <strong>een</strong> punt P.<br />

Op welke afstand van P treft de lichtstraal de bodem, als de<br />

<strong>in</strong>valshoek a gelijk is aan 30° en het water 1 m diep is?<br />

Werk op 1 cm nauwkeurig.<br />

In ruit ABCD is de hoek <br />

A gelijk aan 40° en de zijde 10 m.<br />

Bereken de lengte van de diagonalen op 1 cm nauwkeurig.<br />

In de kamer van Fran staat het bed op 80 cm<br />

van de deur.<br />

De deur is 1 m breed. Om <strong>een</strong> goede doorgang<br />

te hebben, moet de deur m<strong>in</strong>stens 62° open<br />

kunnen staan. Is dit mogelijk?<br />

Copyright<br />

<strong>Driehoeksmet<strong>in</strong>g</strong> <strong>in</strong> <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> Driehoek<br />

deur<br />

1 m<br />

Q<br />

β<br />

α<br />

P<br />

80 cm


32 Bereken de oppervlakte van parallellogram ABCD<br />

A<br />

B<br />

op 0,01 nauwkeurig.<br />

60°<br />

33<br />

34<br />

35<br />

Bereken op 1 c m 2 nauwkeurig de oppervlakte van <strong>een</strong> gelijkbenige DABC waarvan de<br />

tophoek gelijk is aan 62° en de hoogte op de basis 3 m.<br />

Een kraanmach<strong>in</strong>ist moet <strong>een</strong> big bag plaatsen op <strong>een</strong> toren <strong>in</strong> opbouw.<br />

De toren is nu 6 m hoog. De onderkant van de big bag hangt<br />

1,66 m onder de top van de kraanarm.<br />

De kraanarm heeft <strong>een</strong> lengte van 10 m en is op<br />

de wagen bevestigd op 2 m boven de grond.<br />

Hoe groot is de kle<strong>in</strong>ste hoek die de kraanarm<br />

moet maken om de big bag nog op de toren te<br />

kunnen leggen?<br />

Kapers gaan <strong>een</strong> schip enteren. Daarvoor willen ze kett<strong>in</strong>gen<br />

afschieten zodat de masten van het kle<strong>in</strong>ere schip vernield<br />

worden, maar de romp en de lad<strong>in</strong>g <strong>in</strong>tact blijven.<br />

met kett<strong>in</strong>gen hebben de kanonnen maar <strong>een</strong> bereik van<br />

100 m. De man <strong>in</strong> het kraaiennest weet dat hij 50 m boven de<br />

waterlijn zit. Hij ziet het schip naderen onder <strong>een</strong> hoek van<br />

30°. Kunnen ze nu het schip raken?<br />

Copyright4.2<br />

Toepass<strong>in</strong>gen 129<br />

D<br />

8<br />

C<br />

5<br />

1<br />

2<br />

3<br />

4<br />

5<br />

6


1<br />

2<br />

3<br />

4<br />

5<br />

6<br />

130<br />

36<br />

37<br />

Tijdens <strong>een</strong> citytrip naar Parijs logeer je <strong>in</strong> <strong>een</strong> hotel<br />

met zicht op de Eiffeltoren. Vanuit je venster op de<br />

zesde verdiep<strong>in</strong>g, 21 m hoog, kijk je onder <strong>een</strong> hoek<br />

van 56,6° naar de top en onder <strong>een</strong> hoek van 6° naar de<br />

voet van de toren.<br />

Vul de teken<strong>in</strong>g aan en bereken de hoogte van de<br />

Eiffeltoren.<br />

Eiffeltoren<br />

Aan de rand van <strong>een</strong> slotgracht zie je de top van <strong>een</strong> toren onder <strong>een</strong> hoek van 76°.<br />

Ga je 60 m achteruit, dan zie je de top onder <strong>een</strong> hoek van 34°.<br />

a Hoe breed is de slotgracht?<br />

b Hoe hoog is de toren?<br />

22 Duid de afstanden aan op de teken<strong>in</strong>g.<br />

24 I = kegel<br />

<strong>Driehoeksmet<strong>in</strong>g</strong> <strong>in</strong> <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> Driehoek<br />

1 _<br />

3 p r 2 h<br />

28 De dal<strong>in</strong>gshoek is de hoek die gevormd wordt met <strong>een</strong> horizontale lijn.<br />

Copyright


Herhal<strong>in</strong>g: voor wie iets meer wil<br />

38 a is <strong>een</strong> scherpe hoek van <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong>.<br />

Vul de tabel <strong>in</strong> en rond de getallen af op 0,001 en de hoeken op 0,1 nauwkeurig.<br />

39<br />

40<br />

41<br />

42<br />

a s<strong>in</strong> a cos a tan a<br />

60°<br />

72,4°<br />

0,568<br />

0,976<br />

Hoeveel m 2 dakbedekk<strong>in</strong>g is er nodig om het dak te vernieuwen van <strong>een</strong> huis van<br />

12 m breed en 8 m diep?<br />

40° 40°<br />

8 m<br />

Een biljarttafel is 285 cm<br />

bij 142,5 cm.<br />

Een biljartbal wordt zonder<br />

effect van het punt A<br />

naar het punt B gespeeld.<br />

Welke afstand heeft de<br />

biljartbal afgelegd?<br />

36,5 cm<br />

40°<br />

A<br />

Een ladder van 6,5 m staat tegen <strong>een</strong> muur. De voet van de ladder is op 1,5 m van de<br />

muur geplaatst.<br />

Welke hoek vormt de ladder met de muur en op welke hoogte steunt de ladder tegen<br />

de muur?<br />

Bereken op 0,1 nauwkeurig.<br />

De omtrek van <strong>een</strong> ruit is 26,4 m. Eén van de diagonalen is 2,5 m.<br />

Bereken de hoeken van de ruit op 0,1° nauwkeurig.<br />

Copyright<br />

Herhal<strong>in</strong>g: voor wie iets meer wil 131<br />

B<br />

75 cm<br />

1<br />

2<br />

3<br />

4<br />

5<br />

6


1<br />

2<br />

3<br />

4<br />

5<br />

6<br />

132<br />

43 Een piloot beg<strong>in</strong>t aan <strong>een</strong> vlucht van 2 500 km<br />

(van A naar C). Hij moet uitwijken naar B om te<br />

gaan tanken. Hij wijkt hiervoor 20° af van zijn<br />

koers. Aangekomen <strong>in</strong> B, stelt de piloot vast dat<br />

hij 870 km gevlogen heeft.<br />

Hoeveel km moet hij nog vliegen om <strong>in</strong> C aan te<br />

komen?<br />

A<br />

44<br />

45<br />

Bereken de hoeken op 1° en de afstanden op 0,1 nauwkeurig.<br />

a<br />

b<br />

A , B en C<br />

Q , 1 Q en 2<br />

<br />

Q 3<br />

c | QA | , | QB | en | QC |<br />

In 1960 werden op het kanaal Brussel – Charleroi<br />

55 sluizen vervangen door 10 sluizen en het hellend vlak<br />

van Ronquières.<br />

Het hellend vlak overbrugt <strong>een</strong> afstand van 1 432 m en<br />

heeft <strong>een</strong> hell<strong>in</strong>gshoek van 2,72°.<br />

Wat is het hoogteverschil tussen beg<strong>in</strong>- en e<strong>in</strong>dpunt?<br />

46 Een cil<strong>in</strong>dervormige waterton met diameter<br />

70 cm en <strong>een</strong> hoogte van 1 m is volledig gevuld.<br />

Omdat de ton te zwaar is om te verplaatsen,<br />

kantelen we ze over 35° zodat er water wegloopt.<br />

Hoe hoog staat het water <strong>in</strong> de gekantelde ton?<br />

A<br />

47<br />

48<br />

Toon met de figuur aan.<br />

a s<strong>in</strong> 45° = √_ ___ 2<br />

2<br />

b cos 45° = √_ ___ 2<br />

2<br />

c tan 45° = 1<br />

a en b zijn de scherpe hoeken van <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong> en s<strong>in</strong> a = 1<br />

_<br />

2 .<br />

Bereken zonder rekenmach<strong>in</strong>e.<br />

a cos a en tan a<br />

20º<br />

870 km<br />

b s<strong>in</strong> b, cos b en tan b<br />

Copyright<br />

<strong>Driehoeksmet<strong>in</strong>g</strong> <strong>in</strong> <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> Driehoek<br />

B<br />

2 500 km C<br />

1<br />

2<br />

3<br />

C B<br />

A<br />

4<br />

P<br />

D<br />

70 cm<br />

35º<br />

C<br />

B<br />

A<br />

45º<br />

1 m<br />

B<br />

Q<br />

2<br />

C


49<br />

50<br />

51<br />

52<br />

Duid de juiste antwoorden aan.<br />

| CD | is gelijk aan<br />

a cos 40° ∙ cos 30°<br />

b<br />

c<br />

d<br />

cos 30°<br />

_______<br />

cos 40°<br />

1<br />

_____________<br />

cos 40° ∙ cos 30°<br />

cos 50°<br />

_______<br />

cos 30°<br />

Stel: op de Noordpool en Zuidpool<br />

staan twee telescopen opgesteld en<br />

0,94°<br />

ze zijn beide op dezelfde maankrater<br />

gericht. Op <strong>een</strong> zeker moment<br />

M<br />

‘kijken’ ze allebei onder <strong>een</strong> hoek van<br />

0,94° naar deze krater. De ‘polar<br />

0,94°<br />

radius’ is de afstand tussen het<br />

centrum van de aarde en de Noorden<br />

Zuidpool en bedraagt 6 357 km.<br />

Hoe groot is de afstand van de maankrater tot het middelpunt van de aarde?<br />

Gegeven: DABC is gelijkbenig met tophoek <br />

A = 30°<br />

| AB | = | AC | = 8 m<br />

Z is het zwaartepunt<br />

Gevraagd: | CZ | op 0,1 m nauwkeurig<br />

Bereken | BC | op 0,1 m nauwkeurig.<br />

Copyright<br />

Herhal<strong>in</strong>g: voor wie iets meer wil 133<br />

Q<br />

5 m<br />

A<br />

B<br />

1<br />

C<br />

B<br />

A<br />

40º<br />

8 m<br />

38º<br />

60º<br />

P<br />

A<br />

30°<br />

N<br />

C<br />

30º<br />

50º<br />

6 357 km<br />

A<br />

Z<br />

Z<br />

D<br />

B<br />

C<br />

1<br />

2<br />

3<br />

4<br />

5<br />

6


4<br />

134<br />

1<br />

2<br />

3<br />

4<br />

Junior Wiskunde Olympiade<br />

In dit parallellogram, dat tevens <strong>een</strong> ruit is, meet de langste<br />

diagonaal 40 en de hoogte 24.<br />

Bepaal de lengte van de andere diagonaal.<br />

A 28 B 30 C 32 D 34 E 36<br />

In de <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong> ABC is | AB | = 4 en CD en EF<br />

staan loodrecht op AB en DE staat loodrecht op AC.<br />

De lengte van [ EF ] is gelijk aan<br />

A 4 si n 4 a B 4 si n 3 a ∙ cos a C 4 si n 2 a ∙ co s 2 a D 4 s<strong>in</strong> a ∙ co s 3 a E 4 co s 4 a<br />

DABC met <br />

B = 90° , | AB | = 15 cm<br />

en | BC | = 30 cm<br />

In deze <strong>driehoek</strong> wordt <strong>een</strong> vierkant <strong>in</strong>geschreven<br />

zoals <strong>in</strong> de figuur. Hoe lang is de<br />

zijde van dit vierkant?<br />

A 8 cm B 9 cm C 10 cm D 12 cm E 13 cm<br />

Bepaal de oppervlakte van het parallellogram<br />

<strong>in</strong> de figuur.<br />

15 cm<br />

A 18 B 20 C 24 D 25 E 28<br />

Copyright<br />

<strong>Driehoeksmet<strong>in</strong>g</strong> <strong>in</strong> <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> Driehoek<br />

A<br />

B<br />

_<br />

4√2 A<br />

3<br />

45º<br />

8<br />

α<br />

40<br />

30 cm<br />

F<br />

D<br />

135º<br />

E<br />

_<br />

3√2 24<br />

B<br />

C<br />

C


5<br />

6<br />

De hoogtelijn verdeelt de rechte hoek van <strong>een</strong> <strong>rechthoekige</strong> <strong>driehoek</strong> met rechthoekszijden 3<br />

en 4 <strong>in</strong> twee hoeken a en b. Dan is cos a + cos b gelijk aan<br />

A √ _<br />

2 B √_ ______ 3 + 1<br />

2<br />

Een 30° − 60° − 90° <strong>driehoek</strong> met schu<strong>in</strong>e zijde<br />

1 wentelt om het hoekpunt van de kle<strong>in</strong>ste hoek.<br />

Hierdoor beschrijven de andere twee hoekpunten<br />

twee concentrische cirkels.<br />

Wat is de oppervlakte van de r<strong>in</strong>g?<br />

cos 30° = √_ ___ 3<br />

2<br />

A 1 B p<br />

__<br />

2<br />

C 1,2 D 1,25 E 1,4<br />

C p<br />

__<br />

3<br />

D p<br />

__<br />

4<br />

E p<br />

__<br />

6<br />

Copyright<br />

Junior Wiskunde Olympiade 135<br />

1<br />

4


Copyright

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!