27.09.2013 Views

HOBBELEN, SLINGEREN EN TRILLEN - Toegepaste Wiskunde intro

HOBBELEN, SLINGEREN EN TRILLEN - Toegepaste Wiskunde intro

HOBBELEN, SLINGEREN EN TRILLEN - Toegepaste Wiskunde intro

SHOW MORE
SHOW LESS

Create successful ePaper yourself

Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.

Faculteit der <strong>Toegepaste</strong> <strong>Wiskunde</strong> ØUniversiteit Twente<br />

<strong>HOBBEL<strong>EN</strong></strong>, <strong>SLINGER<strong>EN</strong></strong> <strong>EN</strong> TRILL<strong>EN</strong><br />

LOB2-module voor vwo5-leerlingen Natuur & Techniek of Natuur &<br />

Gezondheid<br />

A. van der Meer, N. Alink en J. Neijens<br />

30 maart 2001<br />

Dit hoofdstuk moet thuis, ter voorbereiding, worden doorgewerkt.<br />

1 Inleiding<br />

2 De harmonische trilling<br />

2.1 Beschrijving van de situatie<br />

We bekijken een voorwerp dat op een veer is geplaatst, denk maar aan een<br />

wipkip. Als we het voorwerp een eindje naar beneden duwen en dan loslaten zal<br />

het een tijdje op en neer gaan bewegen. We proberen er achter te komen hoe<br />

dat komt en een beschrijving van deze op-en-neer-gaande beweging te maken.<br />

Systeem<br />

Het voorwerp met de veer samen noemen<br />

we het systeem, zie figuur 1. De<br />

toestand van het systeem beschrijven<br />

we met één of meer variabelen, de toestandsgrootheden.<br />

In dit geval zijn<br />

we geïnteresseerd in de verticale positie<br />

van het voorwerp, die we zullen<br />

aangeven met x. Omdat het voorwerp<br />

kan bewegen is (de toestandsgrootheid)<br />

x een functie van de tijd<br />

— daarom heet het systeem een dynamisch<br />

systeem.<br />

Echter, de positie van het voor- 000000<br />

111111<br />

werp is niet genoeg om de toestand 000000<br />

111111<br />

van het systeem te beschrijven. Het Figuur 1: Voorwerp op een veer<br />

is duidelijk dat we verschillende situaties<br />

hebben wanneer het voorwerp in<br />

positie x stilstaat, naar boven beweegt of naar beneden beweegt. Een tweede<br />

toestandsvariabele is daarom de snelheid, evenals x een functie van de tijd. We<br />

noteren deze met v(t).


Behalve de positie en de snelheid van het voorwerp zijn er natuurlijk nog<br />

andere grootheden die in de tijd veranderen zoals de onderlinge afstand tussen<br />

de windingen van de veer en diverse krachten die de verschillende onderdelen<br />

op elkaar uitoefenen. Sommige daarvan zijn voor ons doel —beschrijving van<br />

het bewegingspatroon van het voorwerp— niet relevant, andere kunnen we uit<br />

de snelheid en de positie van het voorwerp berekenen.<br />

We zullen daarom het variabelenpaar (x, v) de toestand van het systeem<br />

noemen.<br />

Evenwicht<br />

We zeggen dat het systeem in evenwicht is als er in de tijd niets verandert. In<br />

gewoon Nederlands: Het systeem is in evenwicht als het voorwerp stil staat. In<br />

de evenwichtstoestand zijn de krachten die op het voorwerp worden uitgeoefend<br />

met elkaar in evenwicht. De zwaartekracht die het voorwerp naar beneden trekt<br />

wordt dus precies gecompenseerd door de veerkracht van de iets ingedrukte veer<br />

die het voorwerp naar boven trekt. Zonder de zaak verder te analyseren kunnen<br />

we voor dit systeem al zeggen dat een evenwichtstoestand van de vorm (x0, 0)<br />

is (snelheid nul), waarbij x(t) de constante functie x0 is en v(t) de constante<br />

functie nul is.<br />

Kwalitatieve beschrijving<br />

Wat gebeurt er als we het voorwerp een eindje naar beneden duwen en dan<br />

loslaten? We zullen als het ware een vertraagde film voor ons geestesoog afspelen<br />

om zo precies mogelijk te kunnen “zien” wat er nu eigenlijk gebeurt.<br />

• Op het tijdstip t = 0, het moment waarop we het voorwerp loslaten,<br />

bevindt het voorwerp zich onder het evenwichtspunt en heeft snelheid<br />

0. De veer is verder ingedrukt dan bij het evenwichtspunt en zal dus<br />

een grotere kracht naar boven uitoefenen dan in het evenwichtspunt. De<br />

veerkracht is nu groter dan de zwaartekracht en dat levert dus, na loslaten,<br />

een naar boven gerichte resulterende kracht op het voorwerp op. Dat<br />

betekent dat het voorwerp naar boven gaat bewegen.<br />

• Zolang het voorwerp zich nog onder het evenwichtspunt bevindt, is de<br />

veer nog steeds verder ingedrukt dan in het evenwichtspunt. Er blijft dan<br />

een resulterende kracht naar boven bestaan waardoor de snelheid van het<br />

voorwerp zal blijven toenemen.<br />

• Het voorwerp zal nu met een zekere (naar boven gerichte) snelheid het<br />

evenwichtspunt bereiken. Op dat moment is de resulterende kracht op het<br />

voorwerp tot nul gereduceerd. Het zal dus door het evenwichtspunt heen<br />

schieten en verder naar boven blijven bewegen.<br />

• Zodra het voorwerp boven het evenwichtspunt is, is de kracht die de veer<br />

op het voorwerp uitoefent kleiner geworden dan de zwaartekracht, zodat<br />

er een resulterende kracht is die naar beneden gericht is. De kracht is hier<br />

dus tegengesteld aan de bewegingsrichting. Dat betekent dat het voorwerp<br />

wordt afgeremd en steeds langzamer naar boven gaat bewegen.<br />

2


• Op een zeker moment is de snelheid van het naar boven bewegende voorwerp<br />

nul geworden. Het bevindt zich dan in een punt boven het evenwichtspunt<br />

waarin de kracht waarmee de veer tegen het voorwerp drukt 1<br />

kleiner is dan de zwaartekracht. De resulterende kracht op het (stilstaande)<br />

voorwerp is dus naar beneden gericht. Het voorwerp gaat dus<br />

met toenemende snelheid naar beneden bewegen.<br />

• De situatie van het vorige punt komt overeen met de situatie in het begin,<br />

maar nu met de resulterende kracht en de snelheid precies tegengesteld<br />

gericht. Het voorwerp gaat met toenemende snelheid naar beneden bewegen;<br />

voorbij het evenwichtspunt neemt de snelheid weer af, totdat het<br />

ergens onder het evenwichtspunt weer tot stilstand komt. En zo voort.<br />

Samengevat: Het voorwerp zal op en neer bewegen. Dat wisten we natuurlijk<br />

al lang uit ervaring, maar we begrijpen nu misschien iets beter waaròm dat zo<br />

is.<br />

2.2 Bewegingsvergelijkingen<br />

Omdat de redenering in de vorige paragraaf tot het gewenste resultaat lijkt te<br />

leiden, kunnen we deze redenering omzetten in een wiskundig model. Dat is<br />

een stelsel vergelijkingen waaraan de toestandsgrootheden x(t) env(t)moeten<br />

voldoen. Maar voordat we zo ver zijn moeten we eerst nog een aantal zaken<br />

vastleggen (veronderstellen). Bijvoorbeeld: “Een uitgerekte veer trekt” en “en<br />

ingedrukte veer duwt.” We kunnen nu niet meer volstaan met deze kwalitatieve<br />

beschrijving, maar iets gaan veronderstellen (of meten!) omtrent “hoe hard” de<br />

veer trekt, resp. duwt.<br />

x=0<br />

000000<br />

111111<br />

000000<br />

111111<br />

onbelaste veer<br />

000000<br />

111111<br />

111111<br />

000000<br />

evenwichtsstand<br />

F r<br />

000000<br />

111111<br />

111111<br />

000000<br />

positie op t=0<br />

(u(0) is negatief)<br />

Figuur 2: Voorwerp op een veer; positie x en uitrekking u.<br />

1 Misschien is het voorwerp wel zó ver omhoog geschoten dat de veer is uitgerekt inplaats<br />

van ingedrukt, en niet meer tegen het voorwerp duwt maar er aan trekt. Dit verandert echter<br />

niets aan het verhaal.<br />

3<br />

u=0<br />

u evenw<br />

u(0)


Modelveronderstellingen<br />

We formuleren eerst een paar veronderstellingen over het systeem (zie ook figuur<br />

2):<br />

1. De veer. We veronderstellen dat de veer in onbelaste toestand een vaste<br />

lengte heeft, met andere woorden: als de veer een paar keer ingedrukt of<br />

uitgerekt is geweest, dan is hij niet blijvend veranderd. Verder veronderstellen<br />

we: als we de veer u m uitrekken, dan oefent de veer een kracht<br />

van cu N uit. In formule:<br />

Fveer = −cu. (1)<br />

Er staat een minteken in het rechterlid van (1) omdat de uitgeoefende<br />

kracht tegengesteld gericht is aan de uitrekking. De constante c noemen we<br />

de veerconstante en wordt gegeven in Newton per meter. Vanaf nu zullen<br />

we steeds spreken over de uitrekking u van de veer; als hij is ingedrukt is<br />

u negatief.<br />

Formule (1) staat bekend als de Wet van Hooke. Merk op dat we niets<br />

gezegd hebben over het teken van u. Alsunegatief is —dat betekent dat<br />

we de veer |u| m ingedrukt hebben— dan zal de veer met precies dezelfde<br />

kracht terugduwen als de kracht waarmee de veer trekt als we hem |u| m<br />

uitgerekt zouden hebben.<br />

De (voor ons model relevante) eigenschappen van de veer zijn nu geheel<br />

vastgelegd door de wet van Hooke en de veerconstante c.<br />

2. Het voorwerp. Uiteraard is de massa van het voorwerp van belang, laten<br />

we zeggen m kg. Dat betekent dat de zwaartekracht op het voorwerp een<br />

(constante) kracht uitoefent volgens<br />

Fz = −mg, (2)<br />

waarin g de versnelling van de zwaartekracht voorstelt. De zwaartekracht<br />

is naar beneden gericht, dus we hebben er een minteken voor gezet.<br />

Voor het systeem dat we hier bekijken wordt het voorwerp volledig gekarakteriseerd<br />

door de constante m.<br />

3. Overige krachten: We veronderstellen dat er verder geen krachten op<br />

het voorwerp werken. Dat betekent onder andere dat we aannemen dat<br />

een bewegend voorwerp géén wrijvingsweerstand ondervindt. Dat klopt<br />

natuurlijk niet; maar we zullen nagaan waar deze aanname toe leidt en<br />

als dat niet genoeg overeenkomt met de werkelijkheid zullen we het model<br />

moeten verfijnen.<br />

Evenzo zullen we veronderstellen dat de veer die (met dezelfde snelheid als<br />

het voorwerp) van lengte aan het veranderen is óók geen wrijvingskrachten<br />

ondervindt. Hier zullen we straks zéker het model moeten gaan verfijnen,<br />

want de vering van een auto is juist met opzet van “demping” voorzien<br />

omdat daardoor het rijden over een hobbel een stuk comfortabeler kan<br />

plaatsvinden.<br />

4


Het model: eerste versie, het simulatiemodel<br />

In elk geval zullen vergelijking (1), de Wet van Hooke, en (2), de Gravitatiewet,<br />

deel uitmaken van het model. Als hulpvariabelen zullen we gebruiken:<br />

Fr (N) Resulterende kracht op het voorwerp<br />

a (m/s 2 ) versnelling van het voorwerp<br />

u (m) uitrekking van de veer<br />

Voor de versnelling hebben we uiteraard de bekende tweede Wet van Newton:<br />

Fr = ma dus a = Fr<br />

, (3)<br />

m<br />

Voor de positie x van het voorwerp nemen we de verticale as. We moeten een<br />

nulpunt kiezen; hierin zijn we geheel vrij. Laten we het nulpunt zó kiezen dat<br />

x = 0 in de evenwichtstoestand. Welnu, in de evenwichtstoestand moet Fr =0,<br />

dus met (1) en (2)<br />

Fveer + Fz =0 ⇒ uevenw = − mg<br />

(4)<br />

c<br />

(dus in de evenwichtstoestand is de veer mg/c m ingedrukt.) Voor de toestandsgrootheid<br />

x(t) hebben we dus:<br />

x(t) =u(t)+ mg<br />

. (5)<br />

c<br />

We kunnen daarom bij het opstellen van het model net zo goed met de uitrekking<br />

van de veer u(t) als met de positie van het voorwerp x(t) werken.<br />

Om het eigenlijke model op te stellen gaan we uit van de toestand op een<br />

willekeurig tijdstip t waarop de uitrekking van de veer u(t) is en de snelheid van<br />

het voorwerp v(t). We gaan na wat de toestand op tijdtstip t + dt is.<br />

We nemen aan dat de tijd dt zó kort is dat we de snelheid gedurende die tijd<br />

constant mogen veronderstellen. Het voorwerp beweegt gedurende dt seconden<br />

met een snelheid v(t) naar boven (dus naar beneden als v negatief is) en legt<br />

in die tijd een afstand v(t) dt af. Dat betekent dat de veer gedurende dt met<br />

hetzelfde bedrag v(t) dt verder (of juist minder ver, namelijk als v negatief is)<br />

wordt uitgerekt. De uitrekking van de veer op het tijdstip t + dt is dus:<br />

u(t + dt) =u(t)+v(t)dt . (6)<br />

Voor de andere toestandsgrootheid v(t) geldt iets dergelijks. We nemen aan dat<br />

de versnelling gedurende het tijdsverloop dt constant is, zodat<br />

v(t + dt) =v(t)+a(t)dt . (7)<br />

Voor het complete simulatiemodel zetten we de boven gevonden vergelijkingen<br />

op een rijtje:<br />

5


Fveer(t) =−cu(t) (1)<br />

Fz = −mg (2)<br />

Fr(t) =Fz+Fveer(t) (8)<br />

a(t)= Fr(t)<br />

m<br />

(3)<br />

v(t + dt) =v(t)+a(t)dt (7)<br />

u(t + dt) =u(t)+v(t)dt (6)<br />

x(t) =u(t)+ mg<br />

.<br />

c<br />

(5)<br />

Model 1a.<br />

Dit model heet een simulatiemodel omdat we hiermee, uitgaande van een begintoestand<br />

(x(t0),v(t0)) en een tijdstap dt, (bij benadering) kunnen uitrekenen wat<br />

de toestand is op het tijdstip t1 = t0+dt en vinden zo een toestand (x(t1),v(t1)).<br />

Het rekenschema is daarvoor (neem t0 =0):<br />

(a) Gegeven: (x(0),v(0));<br />

(b) Bereken de uitrekking u(0) met vergelijking (5);<br />

(c) Bereken de kracht Fveer voor t = 0 met vergelijking (1);<br />

(d) Bereken de versnelling a(0) met vergelijking (3);<br />

(e) Bereken nu v(t1) enu(t1)met(7)en(6).<br />

Vervolgens kunnen we, uitgaande van de berekende toestand, op dezelfde manier<br />

de toestand (x(t2),v(t2)) uitrekenen voor t2 = t1 + dt. En zo voorts.<br />

Van de grafiek van de (onbekende) functie x(t) vinden we dus benaderde<br />

waarden voor x(t0),x(t1),...,x(tn). Als we deze door middel van rechte lijntjes<br />

verbinden hebben we een benadering van de grafiek van x(t). Naarmate we de<br />

afstand dt tussen de berekende punten kleiner nemen zal de getekende figuur<br />

een betere benadering van de grafiek van x(t) zijn.<br />

Het model: tweede versie, de differentiaalvergelijkingen<br />

Model 1a is een benaderend model. In de formules (6) en (7) doen we net of de<br />

snelheid en de versnelling gedurende een tijd dt constant zijn, en dat is natuurlijk<br />

niet zo. In deze formules zouden we dus eigenlijk inplaats van het gelijkteken<br />

een “ ≈ ”-teken moeten gebruiken om aan te geven dat ze ongeveer juist zijn.<br />

Met “ongeveer” bedoelen we dan: nauwkeuriger naarmate we dt kleiner nemen.<br />

Dit kunnen we tot uitdrukking brengen door dt naar nul te laten gaan.<br />

Vergelijking (6) kan worden herschreven tot<br />

u(t + dt) − u(t)<br />

dt<br />

= du<br />

dt<br />

= v(t) . (9)<br />

Hierin kan du dus worden geïnterpreteerd als de toename van u gedurende dt.<br />

Met vergelijking (7) kunnen we hetzelfde doen en dan krijgen we<br />

v(t + dt) − v(t)<br />

dt<br />

6<br />

= dv<br />

dt<br />

= a(t) . (10)


Met (9) inplaats van (6) en met (10) inplaats van (7) kunnen we Model 1a dus<br />

iets korter opschrijven. Als we dan ook uitdrukking (3) voor a(t) invullen in<br />

(10), dan is model 1a dus ook te formuleren als<br />

du<br />

dt<br />

= v(t) (9)<br />

dv<br />

dt<br />

x(t) =u(t)+ mg<br />

c<br />

2.3 Simulatie met Modellus<br />

c<br />

= −g − u(t) (11)<br />

m<br />

Model 1b.<br />

. (5)<br />

We benadrukken hier nog eens dat Model 1b alleen maar een andere formulering<br />

van Model 1a is. Het voordeel van 1a is dat het direct het rekenschema<br />

van blz. 6 bevat 2 . Uiteraard doen we deze berekeningen niet met de hand.<br />

Iemand die een klein beetje kan programmeren zou hiervoor gemakkelijk een<br />

computerprogramma kunnen schrijven.<br />

Het programma Modellus is precies voor dit soort modellen gemaakt; de vergelijkingen<br />

van Model 1b kunnen vrijwel precies in deze vorm worden ingevoerd.<br />

Dat gaat als volgt.<br />

Invoeren van het model. Modellus start met een scherm dat een aantal<br />

vensters bevat. We voeren eerst het model in op het venster met het opschrift<br />

“Model”, zie figuur 3.<br />

Figuur 3: Modelvenster<br />

Linksboven in dit venster staat een cursor. Je kunt Model 1b nu in de<br />

2 Degenen die wel eens met het programma IP-Coach hebben gewerkt zullen de regels van<br />

Model 1a gemakkelijk kunnen vertalen in de juiste IP-Coach-instructies<br />

7


volgende vorm intypen:<br />

du<br />

= v<br />

dt<br />

dv c<br />

= −g −<br />

dt m u<br />

x = mg<br />

c +u.<br />

Het meeste wijst zich hierbij vanzelf. Voor de volledigheid noemen we een paar<br />

dingen waarop je moet letten:<br />

• Namen van variabelen kunnen uit méér dan één letter bestaan; bijvoorbeeld<br />

Fz en Fveer. Deze moet je typen zonder spatie er tussen.<br />

• Het product van twee variabelen krijg je door ze te typen met een spatie<br />

er tussen. Als je typt: “m g”, dan maakt Modellus daar onmiddellijk van:<br />

“ m × g ”. In feite is de spatie voor Modellus het vermenigvuldigingssymbool<br />

(maar je mag ook “m*g” typen).<br />

• Het quotiënt van twee getallen maak je met het teken “ / ”.<br />

Alsjeklaarbentkunjeopdeknopinterpret clicken. Wanneer je een typefout<br />

gemaakt mocht hebben geeft Modellus een foutmelding. Maar als alles goed<br />

gegaan is, meldt Modellus Model Interpreted! in de boodschappenbalk onderaan<br />

het venster en ziet het modelscherm er nu uit als in figuur 4.<br />

Figuur 4: Model 1b<br />

Opslaan van het model Op dit moment is het verstandig het model alvast<br />

te bewaren. Kies File Save As... en geef je model een mooie naam, bijvoorbeeld<br />

“model_1b”. Zorg dat er .mdl achter blijft staan. Click OK en constateer<br />

dat in de blauwe balk helemaal bovenin de tekst MODELLUS - UNTITLED veranderd<br />

is in MODELLUS - MODEL 1B. Denk er aan dat Modellus alléén de<br />

eerste acht letters van een naam onthoudt. Dat betekent dat M23456789.MDL<br />

en M23456780.MDL hetzelfde zijn, namelijk M2345678.MDL.<br />

8


Parameterwaarden en begincondities. Na het “interpreteren van het model”<br />

is ook het “Initial Conditions”-venster rechts veranderd; zie figuur 5.<br />

Bij het interpreteren van het ingetypte model heeft Modellus gezien dat er<br />

een aantal constanten in het model voorkomt, waarvan het de waarde nodig<br />

heeft om te kunnen gaan rekenen. Hier zijn dat: m, g en c; deparameters van<br />

het model.<br />

De onderste helft geeft de door Modellus herkende toestandsgrootheden, in dit<br />

geval de snelheid v en de uitrekking u. (Dat juist deze de toestandsgrootheden<br />

zijn haalt Modellus uit de modelvergelijkingen du<br />

dv<br />

dt = ... en dt = ...;het“ziet”<br />

hieraan u en v per tijdstap veranderen en dus functies van t zijn.) Om het<br />

model door te kunnen rekenen moeten de toestandsgrootheden een beginwaarde<br />

(initial value) hebben.<br />

Je kunt nu de waarden van de parameters<br />

en de beginwaarden van de toestandsgrootheden<br />

in dit venster invullen. Neem:<br />

g =9.81<br />

c =5.00<br />

m =0.15<br />

en laat v =0.00 en u =0.00 maar staan.<br />

Denk er aan de decimale punt te gebruiken,<br />

dus niet: 9,81 maar: 9.81.<br />

Model met x als toestandsgrootheid.<br />

Modellus geeft ons niet de mogelijkheid om<br />

met het model van figuur 4 de positie x als<br />

toestandsgrootheid aan te wijzen. Dat is niet<br />

erg, want door de onderste vergelijking kan<br />

x direct uit u en de constanten worden berekend.<br />

Als we per se x als toestandsgrootheid<br />

Figuur 5: Parameters en beginwaarden<br />

bij Model 1b<br />

hadden willen hebben (inplaats van u), dan hadden we het model anders moeten<br />

formuleren, namelijk met een regel dx<br />

dt = ... er in.<br />

Dat is niet zo moeilijk. Verander de eerste regel in<br />

dx<br />

= v<br />

dt<br />

en click op interpret. Modellus accepteert dit, gezien de boodschap<br />

“Model Interpreted!” die nu verschijnt.<br />

Als je nu goed oplet zie je dat nu óók het Initial Conditions-venster veranderd<br />

is. Niet alleen is in het Initial values-gedeelte de u vervangen door x<br />

(zoals verwacht), maar is bovendien een u tevoorschijn gekomen in het Parameters-gedeelte.<br />

Dat betekent dat Modellus de variabele u als constante heeft<br />

geïnterpreteerd inplaats van als functie van t. Dat komt omdat de u uitsluitend<br />

in het rechter lid van de formules van het model voorkomt en daaraan herkent<br />

het blijkbaar de parameters van het model (voor zover het geen toestandsgrootheden<br />

zijn tenminste).<br />

We kunnen dat verhelpen door de derde vergelijking zó te herschrijven dat<br />

u links van het gelijkteken komt te staan:<br />

u = x − mg<br />

c ,<br />

9


dus door u uit te drukken in de overige variabelen en constanten.<br />

Sla nu eventueel dit model op onder de naam Model_1c.mdl en haal Model 1b<br />

weer terug via File Open....<br />

Openen van een grafiek. Nu gaan we de simulatie laten lopen. Om een<br />

grafiek van de positie x als functie van de tijd te krijgen moeten we eerst een<br />

grafiek-venster openen. Kies: Window, en in het menuutje dat dan verschijnt:<br />

New Graph. Daarmee verschijnt er een nieuw venster. Links kun je kiezen wat<br />

je langs de verticale as en wat je langs de horizontale as te zien wilt krijgen.<br />

Kies x voor de variabele langs de verticale as; voor de onafhankelijke variabele<br />

(horizontale as) is normaliter al de t aangegeven; zo niet, verander dat<br />

dan.<br />

Runnen van de simulatie. Toen Modellus<br />

Model interpreted! meldde, gaf het daarmee<br />

te kennen dat het de formules in het model<br />

van figuur 4 heeft kunnen vertalen in een<br />

rekenschema als op blz. 6. De simulatie wordt<br />

nu gestart in het Control-venster (het kleine<br />

venster rechtsboven; zie figuur 6). Met de Options.<br />

. . -knop kan een aantal instellingen worden<br />

veranderd.<br />

• Maak er maar een gewoonte van om<br />

steeds direct de “Angles” van graden<br />

(degrees) in radialen (radians) te veranderen.<br />

Figuur 6: Het control-venster<br />

• Zet de eindtijd (Limits, Max:) die standaard op 20 staat maar op 10.<br />

• Belangrijk is de stapgrootte dt die hier Step: heet. Deze staat op 0.1; laat<br />

dat eerst maar even zo.<br />

Click OK.<br />

De simulatie begint nu door in het Control-venster op het driehoekje linksonder<br />

te clicken. Je zult nu niet veel zien gebeuren. Alleen in het Control-venster<br />

zie je het “tijd-schuifje” geleidelijk naar rechts bewegen en het getal achter<br />

t = ... gestaag veranderen.<br />

Na verloop van tijd is het programma klaar (het schuifje is helemaal rechts<br />

aangekomen en er staat t = 10.00). Click nu in het Graph-venster op Adjust.<br />

Hierdoor worden de assen automatisch zó aangepast dat de grafiek precies in het<br />

venster past. Je kunt het Graph-venster groter maken door één van de zijkanten<br />

met de muis te “slepen”. Maak het maar flink breed.<br />

Je kunt ook direct grafieken van andere variabelen te zien krijgen door in<br />

het Vertical-subvenstertje een andere variabele aan te clicken. Je kunt zelfs meer<br />

grafieken in één plaatje krijgen door tijdens het clicken de Ctrl -toets ingedrukt<br />

te houden.<br />

10


Andere waarden van de parameters. Uiteraard kun je de waarden van<br />

de parameters en de beginwaarden veranderen in het Initial Conditions-venster.<br />

Maar het is ook mogelijk om verschillende gevallen, desgewenst in hetzelfde<br />

plaatje, te zien te krijgen.<br />

Kies daarvoor (bovenin het hoofdvenster) Case, Add. InhetInitial Conditionsvenster<br />

verschijnt dan een nieuw tabelletje onder het kopje “case 2” waarin je<br />

nieuwe waarden kunt aangeven. In het Graph-venster verschijnt nu bovenin,<br />

achter Cases:, een tweede knopje (in dezelfde kleur als het nieuwe lijstje in het<br />

Initial Conditions-venster). Je kunt deze knopjes allebei aan of uit zetten.<br />

Je kunt nu het model opnieuw laten lopen en, met behulp van de Cases:knopjes<br />

in het Graph-venster, één van beide, of allebei de grafieken zichtbaar<br />

maken.<br />

Tabellen Behalve in de vorm van grafieken<br />

kunnen de berekende waarden ook in tabelvorm<br />

gegeven worden. Open een TablevensterdoornaWindow<br />

te kiezen: New Table.<br />

Links in het venster dat dan verschijnt staat<br />

een lijstje met alle in het model gebruikte constanten<br />

en variabelen. Je kunt er daarvan een<br />

aantal kiezen om in de tabel op te nemen:<br />

• Eén keer clicken zet de gekozen variabele<br />

aan of uit;<br />

• Door de muisknop ingedrukt te houden<br />

kun je een heel rijtje variabelen meenemen;<br />

• Als je de Ctrl -toets ingedrukt houdt<br />

kun je een extra variabele opnemen.<br />

Figuur 7: Het Table-venster<br />

Zie figuur 7, waar t en x als variabelen zijn gekozen.<br />

Ook in het Table-venster kun je aangeven welke “Case” je wilt zien (nu echter<br />

maar één tegelijk).<br />

Het aantekeningen-venster. Er is nu nog één venster dat nog niet besproken<br />

is: Het Notes-venster. Hierin kun je allerlei commentaar typen. Het wordt<br />

gewoon bewaard als het model wordt opgeslagen. Handig om later nog eens te<br />

kunnen zien wat je precies gedaan hebt.<br />

Soms wordt het wel een beetje vol op het scherm. Je kunt<br />

(bijna) alle vensters tijdelijk verwijderen met de hide-knop,<br />

rechts bovenin een venster. Zie figuur 8. Als je daar op clickt<br />

verdwijnt het venster.<br />

In het submenu onder Window zie je onderin een lijstje<br />

met alle vensters die in het model aanwezig zijn. De verborgen<br />

vensters hebben een “vinkje” en kunnen weer zichtbaar<br />

worden gemaakt door ze aan te clicken.<br />

11<br />

Figuur 8: De<br />

hide-knop


2.4 Opdrachten.<br />

1. Beschrijf in woorden wat de betekenis is van u(0) = 0 en v(0) = 0.<br />

2. Bereken met het schema van blz. 6 x(0.1) en x(0.2).<br />

3. Voer het model in met de parameters zoals in deze paragraaf. Lees uit de<br />

grafiek (of de tabel af) of de beweging van het voorwerp harmonisch is,<br />

dat wil zeggen:<br />

• een vaste maximale uitwijking (amplitude) heeft; en<br />

• een constante periode, dat is de tijd die verloopt tussen de momenten<br />

dat het voorwerp in dezelfde richting door de evenwichtsstand gaat.<br />

Geef een schatting (met één cijfer achter de komma) van de amplitude en<br />

de periode.<br />

4. Maak ook een tabel van je simulatie met t-waarden en x-waarden. Controleer<br />

je antwoorden van vraag 2.<br />

5. Kies een andere begintoestand door u(0) en/of v(0) te veranderen. Veranderen<br />

de amplitude en de periode? Zo ja, hoe?<br />

6. Kies nu ook andere waarden van de parameters: de veerconstante c en de<br />

massa m (niet allebei tegelijk!).<br />

Als c groter/kleiner wordt gemaakt, worden dan periode en amplitude<br />

groter of kleiner?<br />

Dezelfde vraag bij m.<br />

Opmerking voor de kenners van IP-Coach: Het variëren van de parameters<br />

zoals bij deze opdracht heet bij IP-Coach: “simuleren”. In deze<br />

module wordt het woord simuleren echter gebruikt voor het doorrekenen<br />

van het model volgens een rekenschema zoals op blz. 6.<br />

Schrijf je antwoorden in het Notes-venster (maak het desgewenst groter). Bij<br />

vraag 2 moet je ook tussenresultaten vermelden!<br />

2.5 Oplossingen van de differentiaalvergelijkingen<br />

De vergelijkingen (9) en (11) in Model 1b (zie blz. 7) vormen een zogenaamd<br />

stelsel differentiaalvergelijkingen, dat wil zeggen een stelsel vergelijkingen waaraan<br />

de afgeleiden van de onbekende functies u(t) env(t) moeten voldoen.<br />

In de opdrachten van §2.4 zal het vermoeden bij je zijn opgekomen dat de<br />

positie van het voorwerp als functie van de tijd wel eens een cosinusfunctie zou<br />

kunnen zijn. In feite wordt de algemene vorm van een harmonische functie zelfs<br />

gedefinieerd als<br />

x(t) =Acos(ω0t + ϕ) . (12)<br />

De constanten A, ω0 en ϕ hebben te maken met de amplitude, deperiode en het<br />

tijdstip waarop het eerste maximum wordt bereikt (de fase) van de harmonische<br />

beweging. 3<br />

3 Het is gebruikelijk om voor de constanten in een harmonische functie de griekse letters<br />

omega (ω) en phi (ϕ) te nemen. Wij sluiten ons hier bij deze gewoonte aan.<br />

12


2.6 Opdrachten (vervolg)<br />

7. Gegeven een harmonische functie x(t) met amplitude b en periode T .Het<br />

tijdstip waarop het eerste maximum wordt bereikt is t1.<br />

(a) Druk de constanten A, ω0 en ϕ van (12) uit in b, T en t1;<br />

(b) Controleer je antwoord met behulp van Modellus. Dat wil zeggen:<br />

Maak een model dat uit één vergelijking bestaat, namelijk<br />

x = A × cos(ω0 × t + ϕ)<br />

met voor A, ω0 en ϕ de in (a) gevonden uitdrukkingen. Gebruik<br />

Modellus om grafieken te tekenen voor verschillende waarden van b,<br />

T en t1.<br />

NB: Vergeet niet de degrees te vervangen door radians!<br />

Vermeld je bevindingen in het Notes-venster van je model.<br />

8. Laat zien dat de functie (12) een oplossing is van het stelsel differentiaalvergelijkingen:<br />

(a) Veronderstel dat x(t) gegeven wordt door vergelijking (12) en bepaal<br />

u(t) met behulp van vergelijking (4);<br />

(b) Bereken v(t) als de afgeleide van u(t), zie vergelijking (9) in model 1b<br />

op blz. 7 en vul het resultaat in vergelijking (11) in.<br />

(c) Wat er nu staat moet kloppen voor alle waarden van t. Datbetekent<br />

dat A = ..., ω0 =... en ϕ = ....<br />

Welke van de genoemde constanten liggen nu vast (dwz: zijn uit te<br />

drukken in m, g en c)?<br />

(d) Bepaal ook de dimensie van de vastliggende constante(n). Bedenk<br />

dat m in kg, g in N (ofwel: kg m s −2 )encin N m −1 zijn gegeven.<br />

9. Ga na dat de overige constanten kunnen worden bepaald als x(0) en v(0)<br />

(de begintoestand) gegeven zijn. Bepaal ze voor x(0) = x0 en v(0) = 0.<br />

10. Vergelijk nu de gevonden waarde van T met je antwoorden bij opdracht 3<br />

in §2.4.<br />

11. Andere schrijfwijze voor harmonische functies.<br />

(a) Laat zien dat voor elke A en ϕ functie (12) te schrijven is als:<br />

x(t) =c1cos ω0t + c2 sin ω0t (13)<br />

(gebruik een somformule voor goniometrische functies en druk c1 en<br />

c2 uit in A en ϕ).<br />

(b) (Moeilijker!) Laat nu ook het omgekeerde zien: voor elke gegeven c1<br />

en c2 is er een A>0 en een ϕ te vinden waarmee (13) in de vorm<br />

(12) te schrijven is.<br />

13


3 De gedempte trilling<br />

We hebben nu al iets bereikt. Het model (model 1b) “verklaart” hoe het komt<br />

dat een voorwerp op een veer na een zekere beginuitwijking op en neer zal gaan<br />

bewegen. Toch is dit model nog niet bevredigend omdat je uit ervaring weet dat<br />

deze op-en-neer-gaande beweging een steeds kleinere uitwijking moet krijgen en<br />

dat het voorwerp op den duur tot rust zal moeten komen.<br />

3.1 Wrijvingskrachten<br />

Zoals in §2.2 al is gezegd, zullen we dus het model moeten gaan verfijnen als het<br />

niet genoeg met de werkelijkheid overeenkomt. Op de één of andere manier lijkt<br />

de beweging in werkelijkheid te worden afgeremd en dat wijst in de richting van<br />

een wrijvingskracht.<br />

Deze wrijvingskracht mag in elk geval niet constant zijn. Als dat namelijk zo<br />

zou zijn, dan zou hij ook altijd in dezelfde richting werken en daardoor het voorwerp<br />

niet afremmmen maar juist voortduwen zodra hij in de bewegingsrichting<br />

van het voorwerp werkt.<br />

Bovendien moeten we eisen dat de wrijvingskracht nul is als het voorwerp<br />

stil staat, want anders zou er geen evenwichtstoestand meer kunnen bestaan.<br />

Het eenvoudigste is dan om te veronderstellen dat de vrijvingskracht evenredig<br />

is met de snelheid, en tegengesteld gericht:<br />

Fw = −bv. (14)<br />

Hierin is b een positieve constante die we de dempingsconstante zullen noemen.<br />

Welke snelheid?<br />

Tot op dit moment maakte het nog niet uit over welke snelheid we het hebben.<br />

De snelheid van het voorwerp, dx<br />

du<br />

dt , is gelijk aan dt , dat is de snelheid waarmee<br />

de veer langer wordt. Voorlopig blijft dat nog even zo, maar verderop zal “het<br />

voorwerp” de carosserie van een auto zijn en “de veer” het verenstelsel van de<br />

auto. In dat geval zal de onderkant van de veer aan de over de weg bewegende<br />

wielen zijn bevestigd. Bij een volkomen gladde weg kunnen we dan nog aannemen<br />

dat de verticale snelheid van de onderkant van de veer nul is, maar zodra<br />

de auto over een hobbel gaat, zal ook de onderkant van de vering een verticale<br />

niet meer gelijk zal<br />

beweging gaan uitvoeren. Je kunt je voorstellen dat dan dx<br />

dt<br />

zijn aan du<br />

dt .<br />

In elk geval hebben we te maken met twee verschillende wrijvingskrachten:<br />

• De luchtweerstand van het voorwerp. In formule (14) moeten we dan dx<br />

dt<br />

voor v nemen;<br />

• De demping van de veer. Hiervoor moeten we in formule (14) voor de<br />

snelheid du<br />

dt invullen.<br />

We zullen de luchtweerstand van het voorwerp verwaarlozen ten opzichte van<br />

de demping van de veer. Dat betekent dat we vanaf nu zullen veronderstellen:<br />

De snelheid v(t) is de snelheid waarmee de veer langer wordt: v(t) =u ′ (t).<br />

14


000000000<br />

111111111<br />

000000000<br />

111111111<br />

Figuur 9: Veer met demping<br />

De gedempte veer is in figuur 9 gesymboliseerd. Stel je maar een veer voor die in<br />

een (lekkende) zuiger zit opgesloten. Ouderwetse brommers hebben inderdaad<br />

een dergelijke vering.<br />

Bewegingsvergelijkingen; model 2<br />

Het model voor de gedempte trilling is een uitbreiding van Model 1a op blz. 6.<br />

We moeten de wrijvingskracht van vergelijking (14) optellen bij de totale kracht<br />

Fr in vergelijking (8). We krijgen dan:<br />

Fveer(t) =−cu(t) (1)<br />

Fz = −mg (2)<br />

Fw(t) =−bv(t) (14)<br />

Fr(t) =Fz+Fveer(t)+Fw<br />

(15)<br />

a(t) = Fr(t)<br />

m<br />

(3)<br />

dv<br />

= a(t)<br />

dt<br />

(10)<br />

du<br />

= v(t)<br />

dt<br />

x(t)=u(t)+<br />

(9)<br />

mg<br />

.<br />

c<br />

(5)<br />

Model 2a.<br />

We hebben hierin de oorpronkelijke vergelijkingen (6) en (7) herschreven volgens<br />

(9) en (10) op blz. 6.<br />

3.2 Opdrachten (vervolg)<br />

12. Vereenvoudig Model 2a tot een Model 2b, op dezelfde manier als op blz. 7<br />

Model 1a tot 1b is vereenvoudigd.<br />

15


13. Simuleer Model 2b met Modellus.<br />

Dit gaat het eenvoudigst door je Model 1b te openen, eventueel overbodige<br />

cases te verwijderen, in het Model-venster het antwoord van opdracht 12 te<br />

verwerken en op Interpret te clicken. Merk op dat in het Initial Conditionsvenster<br />

de parameter b verschenen is. De waarde van b staat aanvankelijk<br />

op 0; als je deze niet verandert en het model een keer runt, zal blijken<br />

dat je precies hetzelfde krijgt als bij model 1b. Controleer dat (herstel zo<br />

nodig de waarden van g, c en m, blz. 9).<br />

Save as... met de naam MODEL 2B.<br />

14. Maak een nieuwe case met b =0.1 en run het model.<br />

(a) Vergelijk de periode van de gedempte trilling met die van de ongedempte<br />

trilling. Maak zo nodig de tijdstap (via Options. . . in het<br />

Control-venster) kleiner om een nauwkeuriger benadering te krijgen.<br />

Concludeer niet te snel dat de periode wel hetzelfde gebleven zal zijn.<br />

Zoom in rond een snijpunt van de grafiek van x(t) metdet-as om<br />

het nauwkeurig te kunnen bekijken.<br />

(b) Maak een lijstje van de x-waarden van achtereenvolgende maxima.<br />

Dit lijstje gaat u bij volgende opdrachten gebruiken (schrijf de waardenopinhetNotes-venster).<br />

(c) Maak een paar nieuwe Cases met grotere waarden van b (tot ongeveer<br />

b = 2.0). Wat gebeurt er met de periode en de amplitude?<br />

Vanaf welke waarde van b kun je eigenlijk niet meer spreken van een<br />

“gedempte trilling”?<br />

15. Maak nu ook een grafiek (met b =0.1) waarbij je x langs de horizontale<br />

as en v langs de verticale as uitzet. Adjust en run opnieuw om te zien<br />

hoe het plaatje tot stand komt. Interpreteer wat je te zien krijgt en zet je<br />

bevindingen in het Notes-venster.<br />

4 De rotatieslinger<br />

4.1 Beschrijving<br />

Voor nauwkeurige metingen aan een (gedempte)<br />

slinger is een massa-veersysteem zoals<br />

hierboven beschreven minder geschikt.<br />

Voor een goed meetbare periode T is een in<br />

verhouding tot de massa m vrij slappe veer<br />

nodig. In dat geval zal de op de veer rustende<br />

massa gemakkelijk kunnen gaan “kiepen”, de<br />

veer wordt gedurende de beweging niet alleen<br />

ingedrukt of uitgerekt, maar zal ook gaan buigen<br />

(torderen). Je zult je kunnen voorstellen<br />

dat hierdoor een heel ander bewegingspatroon<br />

van het voorwerp ontstaat. Bij zo’n veer is bovendien<br />

de dempingsconstante b niet gemakkelijk<br />

nauwkeurig genoeg te variëren.<br />

16<br />

θ<br />

Figuur 10: Rotatieslinger


Gelukkig is er een andere mogelijkheid.<br />

We kunnen gebruik maken van een rotatieslinger die in figuur 10 schematisch<br />

is weergegeven. Je kunt hierbij denken aan de onrust in een mechanische klok.<br />

De rotatieslinger bestaat uit een ronde schijf, waaraan in het middelpunt een<br />

as bevestigd is. De schijf kan vrijwel wrijvingsloos om deze as ronddraaien. Aan<br />

de schijf is een torsieveer bevestigd; dit is een veer die bestaat uit een opgerolde<br />

strip metaal, die een kracht (preciezer: een krachtmoment) gaat uitoefenen als<br />

hij, vanuit de evenwichtsstand, verder wordt opgerold of juist uitgerold.<br />

Geef je de schijf een uitwijking dan zal de torsieveer de schijf in beweging<br />

zetten. De veer zal de schijf proberen terug te draaien naar de evenwichtsstand<br />

en zal dit met een grotere kracht doen naarmate de uitwijking groter is. Op<br />

dezelfde manier als op blz. 2 e.v. kunnen we nu beredeneren dat de schijf na<br />

loslaten een heen en weer draaiende beweging zal gaan maken.<br />

Het voordeel van zo’n rotatieslinger boven een lineair massa-veer-systeem<br />

zal duidelijk zijn. In de eerste plaats kan de schijf maar één soort beweging<br />

maken: draaien. Verder is het mogelijk door de as goed te lageren en de schijf<br />

mooi glad te maken de wrijvingsweerstand zeer klein te maken (dat is ook<br />

de reden dat dergelijke rotatieslingers in klokken worden (werden) gebruikt.<br />

Tenslotte is het mogelijk, bijvoorbeeld met een elektromagneet, heel nauwkeurig<br />

een wrijvingskracht in te stellen zodat ook gedempte trillingen goed met een<br />

dergelijk systeem kunnen worden bestudeerd.<br />

4.2 Rotatie en lineaire beweging<br />

In veel opzichten kunnen rotaties op dezelfde manier als lineaire bewegingen<br />

worden beschreven. De belangrijkste formule voor een lineaire beweging is de<br />

tweede wet van Newton: F = ma. Voor de rotatie van een lichaam om een<br />

vaste as hebben we een vergelijkbare uitdrukking:<br />

M = Iα. (16)<br />

Hierin is M het moment (“kracht × arm”) dat nodig is om een voorwerp met<br />

traagheidsmoment I een hoekversnelling van α radialen per s 2 te geven.<br />

Traagheidsmoment en massa<br />

Het traagheidsmoment is een eigenschap van een lichaam dat voor de rotatie<br />

(om een bepaalde as) dezelfde rol speelt als de massa bij een rechtlijnige beweging.<br />

Zoals de massa aangeeft hoeveel moeite het kost een lichaam in een<br />

rechtlijnige beweging te krijgen —of een bewegend lichaam stil te zetten— geeft<br />

het traagheidsmoment aan hoeveel moeite het kost een lichaam aan het tollen te<br />

krijgen. De massa van het voorwerp speelt uiteraard een rol: een zware schijf is<br />

moeilijker aan het roteren te krijgen dan een lichte. Verder zal de diameter van<br />

de schijf een rol spelen. Bij dezelfde massa zal een kleine dikke schijf een kleiner<br />

traagheidsmoment hebben dan een grote dunne. Evenzo is de verdeling van de<br />

massa van belang. Als de massa voornamelijk aan de buitenrand geconcentreerd<br />

is (vliegwiel) is het traagheidsmoment groter dan wanneer de massa vooral in<br />

de buurt van de as zit. Tenslotte speelt ook de plaats van de rotatieas een rol.<br />

Een wiel met een excentrische as zal een ander traagheidsmoment hebben dan<br />

een wiel waarbij de as precies door het middelpunt gaat. Een paar voorbeelden:<br />

17


• Traagheidsmoment van een homogene cirkelvormige schijf met massa m<br />

en straal R; as door het middelpunt: 1<br />

2mR2 ;<br />

• Idem, maar met de totale massa geconcentreerd in de “velg” (vliegwiel):<br />

mR2 ;<br />

• Traagheidsmoment van een massieve bol met straal R en massa m; rotatieas<br />

door het middelpunt: 2<br />

5 mR2 .<br />

De torsieveer en de lineaire veer<br />

De veerkracht van de lineaire veer hebben we beschreven in de wet van Hooke,<br />

vergelijking (1): Fveer = −cu. Voor de torsieveer geldt een analoge formule<br />

voor het verband tussen het veermoment en de hoekverdraaiing θ (zie figuur 10:<br />

met γ in N m rad −1 de veerconstante.<br />

Wrijvingsweerstand bij rotatie<br />

Mveer = −γθ, (17)<br />

Naar analogie van de gedempte lineaire veer (zie vergelijking (14)), waarbij de<br />

wrijvingsweerstand evenredig is verondersteld met de snelheid, veronderstellen<br />

we hier dat er een wrijvingsmoment is dat evenredig is met de hoeksnelheid<br />

ω = dθ<br />

dt :<br />

Mw = −βω. (18)<br />

NB Pas op dat je het hier voor de hoeksnelheid gebruikte symbool ω niet<br />

verwart met de ω0 uit vergelijking (12). 4<br />

Analogie lineaire veer en torsieveer<br />

In het volgende tabelletje zetten we de verschillende overeenkomstige grootheden<br />

voor een rechtlijnige beweging (lineaire veer) en een rotatie (torsieveer) naast<br />

elkaar.<br />

Rechtlijnige beweging Rotatie<br />

Grootheid symbool eenheid Grootheid symbool eenheid<br />

Afstand x m hoekverdraaiing θ rad<br />

Snelheid v = dx<br />

dt ms−1 hoeksnelheid ω = dθ<br />

dt<br />

Versnelling a = dv<br />

dt ms−2 hoekversnelling α = dω<br />

dt<br />

rad s −1<br />

rad s −2<br />

Massa m kg traagheidsmoment I kg m 2<br />

Kracht F N moment M Nm<br />

Veerconstante c Nm −1 veerconstante γ N m rad −1<br />

Dempingsconst. b Nsm −1 dempingsconst. β N m s rad −1<br />

4 In feite is het gebruik van hetzelfde symbool voor deze twee ogenschijnlijk nogal verschillende<br />

begrippen niet toevallig. Als x(t) de horizontale coördinaat is van een punt dat op een<br />

afstand A van de as éénparig met hoeksnelheid ω ronddraait, dan wordt deze gegeven door:<br />

x(t) =Acos(ωt + ϕ), vergelijk (12).<br />

18


4.3 De bewegingsvergelijkingen<br />

Met behulp van het voorgaande kunnen we het model voor de torsieslinger nu<br />

direct overschrijven van model 2a op blz. 15. Het enige waarin het nu volgende<br />

model daarmee verschilt, is dat nu de zwaartekracht geen rol speelt (omdat we<br />

verondersteld hebben dat de as waar de schijf om draait precies in het midden<br />

zit). Bovendien is de hoekverdraaiing van de veer precies gelijk aan die van de<br />

schijf. We krijgen dan:<br />

Mveer(t) =−γθ(t) (17)<br />

Mw(t) =−βω(t) (18)<br />

Mr(t) =Mveer(t)+Mw(t) (19)<br />

α(t) = Mr(t)<br />

I<br />

(16)<br />

dω<br />

= α(t)<br />

dt<br />

(20)<br />

dθ<br />

= ω(t)<br />

dt<br />

(21)<br />

Model 3a.<br />

Op dezelfde manier als waarop je in opdracht 12 model 2a eenvoudiger is opgeschreven<br />

kunnen we model 3a opschrijven als:<br />

dω<br />

dt<br />

β γ<br />

= − ω(t) − θ(t)<br />

I I<br />

(22)<br />

dθ<br />

= ω(t)<br />

dt<br />

(21)<br />

Model 3b.<br />

We verdraaien nu op tijdstip t = 0 de schijf over θ0 radialen en laten dan los.<br />

Dus we hebben de beginvoorwaarde: θ(0) = θ0, ω(0) = 0. Door invullen in<br />

de vergelijkingen zou je kunnen controleren (veel werk!) dat de oplossing dan<br />

wordt gegeven door<br />

θ(t) =θ0e −βdt cos(ωdt) , (23)<br />

met:<br />

βd = β<br />

2I<br />

en ωd =<br />

<br />

γ<br />

I −<br />

2 β<br />

.<br />

2I<br />

We zien dat deze oplossing bestaat uit het product van twee factoren:<br />

• θ0 e −βdt cos(ωdt): een harmonische trilling met frequentie ωd<br />

• een dempingsfactor e −βdt die er voor zorgt dat de amplitude van de trilling<br />

geleidelijk aan afneemt.<br />

Als β = 0 (geen demping), dan is βd =0,ωd= γ<br />

I =ω0 en vereenvoudigt (23)<br />

tot de harmonische functie (zie formule (12) op blz. 12):<br />

θ(t) =θ0cos(ω0t) . (24)<br />

19


Vergelijk de uitdrukking voor ω0 met je antwoorden bij opdracht 8.<br />

In figuur 11 is de grafiek van θ(t) getekend, samen met een grafiek van de<br />

dempingsfactor. We zien dat de toppen van de grafiek van θ(t) precies op de<br />

grafiek van de functie θ0e−βdt liggen. Een plaatje zoals figuur 11 heb je —als<br />

het goed is— al gezien bij opdracht 14.<br />

θ0<br />

θ0e −βdt<br />

θ(t)<br />

Figuur 11: Gedempte trilling; θ(t) is de hoekverdraaiing als functie van de tijd<br />

Merk op dat de oplossing (23) alleen betekenis heeft als de dempingsconstante<br />

β niet al te groot is. Bij een te grote waarde van β wordt de uitdrukking<br />

voor ωd namelijk een wortel uit een negatief getal.<br />

4.4 Bepaling van de dempingsfactor β; het logaritmisch<br />

decrement<br />

In figuur 11 zien we dat de toppen van de grafiek van θ(t) precies op dezelfde<br />

afstand van elkaar liggen. Dit is dus precies de tijd die de schijf nodig heeft om<br />

van de ene uiterste stand (linksom) in de volgende uiterste stand (ook linksom)<br />

te komen. Deze tijd (Td) noemenwedeperiode van de gedempte trilling (deze<br />

is dus precies de periode van de harmonische functie θ0 cos(ωdt), de gedempte<br />

trilling (23) waaruit de dempingsfactor e −βdt is weggelaten).<br />

Op de tijdstippen t0 =0,t1=Td, t2=2Td,... is dus cos(ωdt) =1,zodat:<br />

Td = 2π<br />

ωd<br />

ofwel ωd = 2π<br />

. (25)<br />

De achtereenvolgende maximale hoekverdraaiingen noemen we θ1,θ2,..., zie het<br />

linkerplaatje in figuur 12. Als tk een tijdstip is waarop θ(t) hetmaximumθk<br />

heeft, dan is θk = θ0e −βdtk , zodat we voor de verhouding tussen opvolgende<br />

uiterste standen kunnen schrijven:<br />

θk<br />

θk+1<br />

= θ0e −βdtk<br />

Td<br />

θ0e −βdtk+1 = e−βd(tk−tk+1) = e βdTd .<br />

20


θ1<br />

θ2<br />

θ3<br />

θ4 θ5<br />

Td Td Td Td<br />

ln θ1<br />

ln θ2<br />

ln θ3<br />

ln θ4<br />

t1 t2 t3 t4<br />

Figuur 12: Gedempte trilling; logaritmisch decrement<br />

We nemen hiervan de natuurlijke logaritme en definiëren daarmee het logaritmisch<br />

decrement d:<br />

<br />

θk<br />

d =ln =lnθk−ln θk+1 = βdTd . (26)<br />

θk+1<br />

Als model 3b een juiste beschrijving van de werkelijkheid is, dan moet dus de<br />

hierboven gedefinieerde d constant zijn (zie het rechterplaatje in figuur 12). Dat<br />

betekent dat je θ0,θ1,θ2,... moet bepalen, θ0 − θ1, θ1−θ2, θ2−θ3, ... moet<br />

berekenen en kijken of er inderdaad steeds hetzelfde uitkomt. Uit de gevonden<br />

waarde van d is dan met behulp van (26) βd gemakkelijk te bepalen (als je Td<br />

tenminste ook kent).<br />

5 Gedwongen trillingen<br />

5.1 De gedwongen rotatieslinger en de auto op een hobbelige<br />

weg<br />

In §4 was het ene uiteinde van de torsieveer (zie figuur 10) aan de schijf bevestigd,<br />

terwijl we stilzwijgend hebben aangenomen dat het andere uiteinde ergens<br />

aan vast zit.<br />

We zullen nu dat andere uiteinde losmaken om het een heen-en-weer-gaande<br />

beweging te kunnen laten maken, zie figuur 13a. We zullen zien dat de frequentie<br />

van deze heen-en-weer-gaande beweging van grote invloed is op het uiteindelijke<br />

bewegingspatroon van de schijf, en tijdens het prakticum zul je dat precies<br />

gaan onderzoeken. We noemen zo’n door een invloed van buiten aangedreven<br />

beweging een gedwongen trilling.<br />

Een vergelijkbare situatie treedt op bij een auto die over een hobbelige weg<br />

rijdt. In figuur 13b hebben we dat zeer schematisch weergegeven. Als de auto<br />

over de weg rijdt zal het wiel op en neer gaan als de weg niet helemaal vlak<br />

is. Door de veer zal deze verticale wielbeweging worden doorgegeven aan “het<br />

voorwerp”.<br />

Een andere vorm van een gedwongen trilling kun je makkelijk thuis uitproberen.<br />

Knoop een tamelijk zwaar voorwerp aan een niet al te kort stuk elastiek.<br />

21


θ<br />

(a)<br />

000000000000<br />

111111111111<br />

000000000000<br />

111111111111<br />

Figuur 13: Gedwongen trillingen: (a) rotatieslinger, (b) rollend voorwerp met<br />

vering.<br />

Houd het andere uiteinde van het elastiek vast en laat het voorwerp stil naar<br />

beneden hangen. Als je nu je hand regelmatig op en neer beweegt gaat het<br />

voorwerp natuurlijk óók op en neer. Door de snelheid waarmee je je hand op en<br />

neer beweegt te variëren kun je ervoor zorgen dat het voorwerp bijna stil blijft<br />

hangen, òf juist met een veel grotere uitwijking dan die van je hand op en neer<br />

gaat bewegen.<br />

5.2 Bewegingsvergelijking van de gedwongen rotatieslinger<br />

We gaan Model 3, de vrije gedempte rotatieslinger (zie blz. 19) uitbreiden met<br />

het effect van een (harmonische) aandrijving. Stel dat we het losse uiteinde van<br />

de veer laten bewegen met een hoekverdraaiing<br />

θa(t) =Aasin ωat,<br />

dus een heen-en-weer-gaande verdraaiing van maximaal A radialen en periode<br />

Ta = 2π<br />

.<br />

Wat is nu het extra moment dat door deze aandrijving op de schijf wordt uitgeoefend<br />

(en dus bij de Mr(t) van vergelijking (19) moet worden opgeteld)?<br />

Welnu, de hoeksnelheid van deze aandrijving is<br />

dθa(t)<br />

dt = Aaωa cos ωat.<br />

De hoekversnelling is hiervan weer de afgeleide, zodat<br />

ωa<br />

(b)<br />

αa(t) =−Aaω 2 a sin ωat. (27)<br />

Met behulp van formule (16) van blz. 17 kunnen we dus schrijven:<br />

Ma(t) =Iαa(t)<br />

en dit kan zó bij (19) worden opgeteld om het totale moment Mr(t) tekrijgen.<br />

Het nieuwe model voor de aangedreven rotatieslinger is dus een uitbreiding van<br />

model 3:<br />

22


dω β γ<br />

= − ω(t) −<br />

dt I I θ(t) − Aaω 2 a sin ωat (28)<br />

dθ<br />

= ω(t)<br />

dt<br />

(21)<br />

Model 4.<br />

In deze vorm kan het nieuwe model gemakkelijk in Modellus worden ingevoerd.<br />

Het kan nog wat korter worden opgeschreven door vergelijking (21) in te vullen<br />

in (28), en daarbij te bedenken dat uit (21) volgt dat<br />

zodat we krijgen:<br />

d2θ β<br />

+<br />

dt2 I<br />

dω<br />

dt<br />

= d<br />

dt<br />

dθ<br />

dt<br />

<br />

= d2θ .<br />

dt2 dθ γ<br />

+<br />

dt I θ(t) =−Aaω 2 asin ωat. (29)<br />

Deze vergelijking is niet zo handig voor Modellus omdat dit programma geen<br />

tweede orde afgeleiden kent (in Modellus moet je dat dus doen via de “hulpfunctie”<br />

ω(t), zoals in Model 4). Aan vergelijking (29) kun je echter wèl een<br />

paar dingen over de oplossing θ(t) vrij gemakkelijk zien.<br />

Als we voor het rechterlid inplaats van −Aω 2 a sin ωat gewoon 0 nemen (geen<br />

aandrijving):<br />

d2θ β<br />

+<br />

dt2 I<br />

dθ γ<br />

+ θ(t) = 0 (30)<br />

dt I<br />

hebben we de bewegingsvergelijking voor de vrije (gedempte) rotatieslinger. We<br />

noemen (30) de homogene vergelijking, behorend bij de (inhomogene) vergelijking<br />

(29).<br />

Stel dat de functie θhom(t) een oplossing is van de homogene vergelijking,<br />

dat wil zeggen dat θhom(t) voor alle t voldoet aan<br />

d 2 θhom<br />

dt 2<br />

β<br />

+<br />

I<br />

dθhom<br />

dt<br />

+ γ<br />

I θhom(t) =0.<br />

We noemen θhom(t) daarom wel een homogene oplossing van (29).<br />

Als bovendien de functie θpart(t) een oplossing is van de inhomogene vergelijking<br />

(29), dat wil zeggen dat θpart(t) voor alle t voldoet aan<br />

dan zal de functie<br />

d 2 θpart<br />

dt 2<br />

β<br />

+<br />

I<br />

dθpart<br />

dt<br />

γ<br />

+<br />

I θpart(t) =−Aaω 2 asin ωat,<br />

θ(t) =θhom(t)+θpart(t)<br />

óók een oplossing van (29) zijn. Bedenk hierbij dat<br />

dθ<br />

dt<br />

d<br />

<br />

<br />

= θhom(t)+θpart(t) =<br />

dt<br />

dθhom(t)<br />

+<br />

dt<br />

dθhom(t)<br />

.<br />

dt<br />

Nu hebben we bij model 3 al gezien dat een homogene oplossing van de vorm<br />

θhom(t) =θ0e −βdt cos(ωdt + ϕ1)<br />

23


is, zie formule (23). Vanwege de e-macht die hierin voorkomt dooft deze oplossing<br />

dus op den duur uit. Iets minder makkelijk is te zien dat een functie van<br />

de vorm<br />

θpart(t) =Arcos(ωat + ϕ2) (31)<br />

een oplossing van de inhomogene vergelijking is. 5 Dit is een harmonische functie,<br />

met dezelfde periode als de aandrijving.<br />

Samengevat: De oplossing van (29) is de som van een gedempte vrije trilling<br />

en een harmonische trilling met dezelfde periode als de aandrijving. Zie<br />

figuur 14.<br />

θhom(t)<br />

θpart(t)<br />

Figuur 14: Gedwongen trilling: Homogene en particuliere oplossing<br />

In figuur 15 is de oplossing van de gedwongen trilling getekend. Je ziet dat de<br />

schijf in het begin “een beetje gek doet” (de amplitude wordt eerst wat groter en<br />

dan weer wat kleiner), maar later wordt het bewegingspatroon mooi regelmatig.<br />

Na een aanloopverschijnsel, waarin de beweging nog veel grilliger kan verlopen<br />

Figuur 15: Gedwongen trillingen: θ(t) =θhom(t)+θpart(t).<br />

5Als je dit (door invullen in (29)) zou willen controleren, moet je de resultaten van opdracht<br />

11 gebruiken.<br />

24


dan in figuur 15, gaat de rotatieslinger uiteindelijk een harmonische trilling<br />

uitvoeren met dezelfde frequentie als de aandrijving.<br />

In figuur 16 zijn de aandrijving en de beweging van de rotatieslinger in één<br />

plaatje getekend. Hieraan is duidelijk te zien dat de frequentie (en dus ook de<br />

θ(t)<br />

aandrijving: Aa sin ωat<br />

Figuur 16: Gedwongen trilling: Aandrijving en hoekverdraaiing van de rotatieslinger<br />

periode T ) van de trilling van de rotatieslinger op de duur gelijk wordt aan die<br />

van de aandrijving. In dit plaatje is ook te zien dat de rotatieslinger achterloopt<br />

(of vóórloopt, het is maar net hoe je het bekijkt) op de aandrijving. We noemen<br />

dat de faseverschuiving van de gedwongen trilling, dat is de ϕ2 in formule (31).<br />

Deze faseverschuiving hangt af van de dempingsfactor β en de frequentie van de<br />

aandrijving ωa. We zullen er hier verder niet op in gaan.<br />

5.3 Resonantie<br />

In figuur 16 is bovendien te zien dat de uiteindelijke amplitude Ar van de gedwongen<br />

trilling, zie formule (31), niet gelijk is aan de amplitude van de aandrijving<br />

(Aa). De Ar uit (31) wordt gegeven door de nogal ingewikkelde formule<br />

(die we niet zullen afleiden)<br />

AaI<br />

Ar = <br />

(ω2 aI − γ)2 + β2ω 2 . (32)<br />

a<br />

Het blijkt dat de verhouding Ar<br />

afhankelijk is van de aandrijf-frequentie ωa.<br />

Aa<br />

We zullen nu gaan onderzoeken hoe Ar<br />

Aa van ωa afhangt.<br />

In figuur 17 is voor verschillende waarden van de dempingsfactor β de grafiek<br />

van deze amplitude-verhouding als functie van ωa (bij gelijke γ en I) getekend.<br />

(Zo’n plaatje heet de amplitudekarakteristiek van de gedwongen trilling.) We<br />

zien dat de amplitude van de resulterende trilling een maximum heeft. De<br />

waarde van de aandrijf-frequentie ωa waarvoor het maximum wordt bereikt<br />

heet resonantiefrequentie. We geven deze aan met het symbool ωR.<br />

Aan de figuur zien we ook dat het maximum steeds hoger komt te liggen<br />

naarmate β kleiner is. Bij een niet al te grote dempingsfactor is de resonantieamplitude<br />

aanzienlijk groter dan de amplitude van de aandrijving.<br />

25


Ar<br />

Aa<br />

1<br />

0<br />

β groot<br />

ω0<br />

β klein<br />

Figuur 17: Gedwongen trilling: Amplitudekarakteristiek<br />

In figuur 17 is tevens de waarde van ω0 aangegeven, dat is de frequentie van<br />

de ongedempte rotatieslinger: <br />

γ<br />

ω0 =<br />

I ,<br />

zie blz. 19. We zien dat ωR steeds dichter bij ω0 komt te liggen naarmate β<br />

kleiner wordt. Er geldt:<br />

<br />

ωR = ω2 β2<br />

0 − .<br />

2I2 (33)<br />

26<br />

ωa

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!