27.09.2013 Views

HOBBELEN, SLINGEREN EN TRILLEN - Toegepaste Wiskunde intro

HOBBELEN, SLINGEREN EN TRILLEN - Toegepaste Wiskunde intro

HOBBELEN, SLINGEREN EN TRILLEN - Toegepaste Wiskunde intro

SHOW MORE
SHOW LESS

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.

Faculteit der <strong>Toegepaste</strong> <strong>Wiskunde</strong> ØUniversiteit Twente<br />

<strong>HOBBEL<strong>EN</strong></strong>, <strong>SLINGER<strong>EN</strong></strong> <strong>EN</strong> TRILL<strong>EN</strong><br />

LOB2-module voor vwo5-leerlingen Natuur & Techniek of Natuur &<br />

Gezondheid<br />

A. van der Meer, N. Alink en J. Neijens<br />

30 maart 2001<br />

Dit hoofdstuk moet thuis, ter voorbereiding, worden doorgewerkt.<br />

1 Inleiding<br />

2 De harmonische trilling<br />

2.1 Beschrijving van de situatie<br />

We bekijken een voorwerp dat op een veer is geplaatst, denk maar aan een<br />

wipkip. Als we het voorwerp een eindje naar beneden duwen en dan loslaten zal<br />

het een tijdje op en neer gaan bewegen. We proberen er achter te komen hoe<br />

dat komt en een beschrijving van deze op-en-neer-gaande beweging te maken.<br />

Systeem<br />

Het voorwerp met de veer samen noemen<br />

we het systeem, zie figuur 1. De<br />

toestand van het systeem beschrijven<br />

we met één of meer variabelen, de toestandsgrootheden.<br />

In dit geval zijn<br />

we geïnteresseerd in de verticale positie<br />

van het voorwerp, die we zullen<br />

aangeven met x. Omdat het voorwerp<br />

kan bewegen is (de toestandsgrootheid)<br />

x een functie van de tijd<br />

— daarom heet het systeem een dynamisch<br />

systeem.<br />

Echter, de positie van het voor- 000000<br />

111111<br />

werp is niet genoeg om de toestand 000000<br />

111111<br />

van het systeem te beschrijven. Het Figuur 1: Voorwerp op een veer<br />

is duidelijk dat we verschillende situaties<br />

hebben wanneer het voorwerp in<br />

positie x stilstaat, naar boven beweegt of naar beneden beweegt. Een tweede<br />

toestandsvariabele is daarom de snelheid, evenals x een functie van de tijd. We<br />

noteren deze met v(t).


Behalve de positie en de snelheid van het voorwerp zijn er natuurlijk nog<br />

andere grootheden die in de tijd veranderen zoals de onderlinge afstand tussen<br />

de windingen van de veer en diverse krachten die de verschillende onderdelen<br />

op elkaar uitoefenen. Sommige daarvan zijn voor ons doel —beschrijving van<br />

het bewegingspatroon van het voorwerp— niet relevant, andere kunnen we uit<br />

de snelheid en de positie van het voorwerp berekenen.<br />

We zullen daarom het variabelenpaar (x, v) de toestand van het systeem<br />

noemen.<br />

Evenwicht<br />

We zeggen dat het systeem in evenwicht is als er in de tijd niets verandert. In<br />

gewoon Nederlands: Het systeem is in evenwicht als het voorwerp stil staat. In<br />

de evenwichtstoestand zijn de krachten die op het voorwerp worden uitgeoefend<br />

met elkaar in evenwicht. De zwaartekracht die het voorwerp naar beneden trekt<br />

wordt dus precies gecompenseerd door de veerkracht van de iets ingedrukte veer<br />

die het voorwerp naar boven trekt. Zonder de zaak verder te analyseren kunnen<br />

we voor dit systeem al zeggen dat een evenwichtstoestand van de vorm (x0, 0)<br />

is (snelheid nul), waarbij x(t) de constante functie x0 is en v(t) de constante<br />

functie nul is.<br />

Kwalitatieve beschrijving<br />

Wat gebeurt er als we het voorwerp een eindje naar beneden duwen en dan<br />

loslaten? We zullen als het ware een vertraagde film voor ons geestesoog afspelen<br />

om zo precies mogelijk te kunnen “zien” wat er nu eigenlijk gebeurt.<br />

• Op het tijdstip t = 0, het moment waarop we het voorwerp loslaten,<br />

bevindt het voorwerp zich onder het evenwichtspunt en heeft snelheid<br />

0. De veer is verder ingedrukt dan bij het evenwichtspunt en zal dus<br />

een grotere kracht naar boven uitoefenen dan in het evenwichtspunt. De<br />

veerkracht is nu groter dan de zwaartekracht en dat levert dus, na loslaten,<br />

een naar boven gerichte resulterende kracht op het voorwerp op. Dat<br />

betekent dat het voorwerp naar boven gaat bewegen.<br />

• Zolang het voorwerp zich nog onder het evenwichtspunt bevindt, is de<br />

veer nog steeds verder ingedrukt dan in het evenwichtspunt. Er blijft dan<br />

een resulterende kracht naar boven bestaan waardoor de snelheid van het<br />

voorwerp zal blijven toenemen.<br />

• Het voorwerp zal nu met een zekere (naar boven gerichte) snelheid het<br />

evenwichtspunt bereiken. Op dat moment is de resulterende kracht op het<br />

voorwerp tot nul gereduceerd. Het zal dus door het evenwichtspunt heen<br />

schieten en verder naar boven blijven bewegen.<br />

• Zodra het voorwerp boven het evenwichtspunt is, is de kracht die de veer<br />

op het voorwerp uitoefent kleiner geworden dan de zwaartekracht, zodat<br />

er een resulterende kracht is die naar beneden gericht is. De kracht is hier<br />

dus tegengesteld aan de bewegingsrichting. Dat betekent dat het voorwerp<br />

wordt afgeremd en steeds langzamer naar boven gaat bewegen.<br />

2


• Op een zeker moment is de snelheid van het naar boven bewegende voorwerp<br />

nul geworden. Het bevindt zich dan in een punt boven het evenwichtspunt<br />

waarin de kracht waarmee de veer tegen het voorwerp drukt 1<br />

kleiner is dan de zwaartekracht. De resulterende kracht op het (stilstaande)<br />

voorwerp is dus naar beneden gericht. Het voorwerp gaat dus<br />

met toenemende snelheid naar beneden bewegen.<br />

• De situatie van het vorige punt komt overeen met de situatie in het begin,<br />

maar nu met de resulterende kracht en de snelheid precies tegengesteld<br />

gericht. Het voorwerp gaat met toenemende snelheid naar beneden bewegen;<br />

voorbij het evenwichtspunt neemt de snelheid weer af, totdat het<br />

ergens onder het evenwichtspunt weer tot stilstand komt. En zo voort.<br />

Samengevat: Het voorwerp zal op en neer bewegen. Dat wisten we natuurlijk<br />

al lang uit ervaring, maar we begrijpen nu misschien iets beter waaròm dat zo<br />

is.<br />

2.2 Bewegingsvergelijkingen<br />

Omdat de redenering in de vorige paragraaf tot het gewenste resultaat lijkt te<br />

leiden, kunnen we deze redenering omzetten in een wiskundig model. Dat is<br />

een stelsel vergelijkingen waaraan de toestandsgrootheden x(t) env(t)moeten<br />

voldoen. Maar voordat we zo ver zijn moeten we eerst nog een aantal zaken<br />

vastleggen (veronderstellen). Bijvoorbeeld: “Een uitgerekte veer trekt” en “en<br />

ingedrukte veer duwt.” We kunnen nu niet meer volstaan met deze kwalitatieve<br />

beschrijving, maar iets gaan veronderstellen (of meten!) omtrent “hoe hard” de<br />

veer trekt, resp. duwt.<br />

x=0<br />

000000<br />

111111<br />

000000<br />

111111<br />

onbelaste veer<br />

000000<br />

111111<br />

111111<br />

000000<br />

evenwichtsstand<br />

F r<br />

000000<br />

111111<br />

111111<br />

000000<br />

positie op t=0<br />

(u(0) is negatief)<br />

Figuur 2: Voorwerp op een veer; positie x en uitrekking u.<br />

1 Misschien is het voorwerp wel zó ver omhoog geschoten dat de veer is uitgerekt inplaats<br />

van ingedrukt, en niet meer tegen het voorwerp duwt maar er aan trekt. Dit verandert echter<br />

niets aan het verhaal.<br />

3<br />

u=0<br />

u evenw<br />

u(0)


Modelveronderstellingen<br />

We formuleren eerst een paar veronderstellingen over het systeem (zie ook figuur<br />

2):<br />

1. De veer. We veronderstellen dat de veer in onbelaste toestand een vaste<br />

lengte heeft, met andere woorden: als de veer een paar keer ingedrukt of<br />

uitgerekt is geweest, dan is hij niet blijvend veranderd. Verder veronderstellen<br />

we: als we de veer u m uitrekken, dan oefent de veer een kracht<br />

van cu N uit. In formule:<br />

Fveer = −cu. (1)<br />

Er staat een minteken in het rechterlid van (1) omdat de uitgeoefende<br />

kracht tegengesteld gericht is aan de uitrekking. De constante c noemen we<br />

de veerconstante en wordt gegeven in Newton per meter. Vanaf nu zullen<br />

we steeds spreken over de uitrekking u van de veer; als hij is ingedrukt is<br />

u negatief.<br />

Formule (1) staat bekend als de Wet van Hooke. Merk op dat we niets<br />

gezegd hebben over het teken van u. Alsunegatief is —dat betekent dat<br />

we de veer |u| m ingedrukt hebben— dan zal de veer met precies dezelfde<br />

kracht terugduwen als de kracht waarmee de veer trekt als we hem |u| m<br />

uitgerekt zouden hebben.<br />

De (voor ons model relevante) eigenschappen van de veer zijn nu geheel<br />

vastgelegd door de wet van Hooke en de veerconstante c.<br />

2. Het voorwerp. Uiteraard is de massa van het voorwerp van belang, laten<br />

we zeggen m kg. Dat betekent dat de zwaartekracht op het voorwerp een<br />

(constante) kracht uitoefent volgens<br />

Fz = −mg, (2)<br />

waarin g de versnelling van de zwaartekracht voorstelt. De zwaartekracht<br />

is naar beneden gericht, dus we hebben er een minteken voor gezet.<br />

Voor het systeem dat we hier bekijken wordt het voorwerp volledig gekarakteriseerd<br />

door de constante m.<br />

3. Overige krachten: We veronderstellen dat er verder geen krachten op<br />

het voorwerp werken. Dat betekent onder andere dat we aannemen dat<br />

een bewegend voorwerp géén wrijvingsweerstand ondervindt. Dat klopt<br />

natuurlijk niet; maar we zullen nagaan waar deze aanname toe leidt en<br />

als dat niet genoeg overeenkomt met de werkelijkheid zullen we het model<br />

moeten verfijnen.<br />

Evenzo zullen we veronderstellen dat de veer die (met dezelfde snelheid als<br />

het voorwerp) van lengte aan het veranderen is óók geen wrijvingskrachten<br />

ondervindt. Hier zullen we straks zéker het model moeten gaan verfijnen,<br />

want de vering van een auto is juist met opzet van “demping” voorzien<br />

omdat daardoor het rijden over een hobbel een stuk comfortabeler kan<br />

plaatsvinden.<br />

4


Het model: eerste versie, het simulatiemodel<br />

In elk geval zullen vergelijking (1), de Wet van Hooke, en (2), de Gravitatiewet,<br />

deel uitmaken van het model. Als hulpvariabelen zullen we gebruiken:<br />

Fr (N) Resulterende kracht op het voorwerp<br />

a (m/s 2 ) versnelling van het voorwerp<br />

u (m) uitrekking van de veer<br />

Voor de versnelling hebben we uiteraard de bekende tweede Wet van Newton:<br />

Fr = ma dus a = Fr<br />

, (3)<br />

m<br />

Voor de positie x van het voorwerp nemen we de verticale as. We moeten een<br />

nulpunt kiezen; hierin zijn we geheel vrij. Laten we het nulpunt zó kiezen dat<br />

x = 0 in de evenwichtstoestand. Welnu, in de evenwichtstoestand moet Fr =0,<br />

dus met (1) en (2)<br />

Fveer + Fz =0 ⇒ uevenw = − mg<br />

(4)<br />

c<br />

(dus in de evenwichtstoestand is de veer mg/c m ingedrukt.) Voor de toestandsgrootheid<br />

x(t) hebben we dus:<br />

x(t) =u(t)+ mg<br />

. (5)<br />

c<br />

We kunnen daarom bij het opstellen van het model net zo goed met de uitrekking<br />

van de veer u(t) als met de positie van het voorwerp x(t) werken.<br />

Om het eigenlijke model op te stellen gaan we uit van de toestand op een<br />

willekeurig tijdstip t waarop de uitrekking van de veer u(t) is en de snelheid van<br />

het voorwerp v(t). We gaan na wat de toestand op tijdtstip t + dt is.<br />

We nemen aan dat de tijd dt zó kort is dat we de snelheid gedurende die tijd<br />

constant mogen veronderstellen. Het voorwerp beweegt gedurende dt seconden<br />

met een snelheid v(t) naar boven (dus naar beneden als v negatief is) en legt<br />

in die tijd een afstand v(t) dt af. Dat betekent dat de veer gedurende dt met<br />

hetzelfde bedrag v(t) dt verder (of juist minder ver, namelijk als v negatief is)<br />

wordt uitgerekt. De uitrekking van de veer op het tijdstip t + dt is dus:<br />

u(t + dt) =u(t)+v(t)dt . (6)<br />

Voor de andere toestandsgrootheid v(t) geldt iets dergelijks. We nemen aan dat<br />

de versnelling gedurende het tijdsverloop dt constant is, zodat<br />

v(t + dt) =v(t)+a(t)dt . (7)<br />

Voor het complete simulatiemodel zetten we de boven gevonden vergelijkingen<br />

op een rijtje:<br />

5


Fveer(t) =−cu(t) (1)<br />

Fz = −mg (2)<br />

Fr(t) =Fz+Fveer(t) (8)<br />

a(t)= Fr(t)<br />

m<br />

(3)<br />

v(t + dt) =v(t)+a(t)dt (7)<br />

u(t + dt) =u(t)+v(t)dt (6)<br />

x(t) =u(t)+ mg<br />

.<br />

c<br />

(5)<br />

Model 1a.<br />

Dit model heet een simulatiemodel omdat we hiermee, uitgaande van een begintoestand<br />

(x(t0),v(t0)) en een tijdstap dt, (bij benadering) kunnen uitrekenen wat<br />

de toestand is op het tijdstip t1 = t0+dt en vinden zo een toestand (x(t1),v(t1)).<br />

Het rekenschema is daarvoor (neem t0 =0):<br />

(a) Gegeven: (x(0),v(0));<br />

(b) Bereken de uitrekking u(0) met vergelijking (5);<br />

(c) Bereken de kracht Fveer voor t = 0 met vergelijking (1);<br />

(d) Bereken de versnelling a(0) met vergelijking (3);<br />

(e) Bereken nu v(t1) enu(t1)met(7)en(6).<br />

Vervolgens kunnen we, uitgaande van de berekende toestand, op dezelfde manier<br />

de toestand (x(t2),v(t2)) uitrekenen voor t2 = t1 + dt. En zo voorts.<br />

Van de grafiek van de (onbekende) functie x(t) vinden we dus benaderde<br />

waarden voor x(t0),x(t1),...,x(tn). Als we deze door middel van rechte lijntjes<br />

verbinden hebben we een benadering van de grafiek van x(t). Naarmate we de<br />

afstand dt tussen de berekende punten kleiner nemen zal de getekende figuur<br />

een betere benadering van de grafiek van x(t) zijn.<br />

Het model: tweede versie, de differentiaalvergelijkingen<br />

Model 1a is een benaderend model. In de formules (6) en (7) doen we net of de<br />

snelheid en de versnelling gedurende een tijd dt constant zijn, en dat is natuurlijk<br />

niet zo. In deze formules zouden we dus eigenlijk inplaats van het gelijkteken<br />

een “ ≈ ”-teken moeten gebruiken om aan te geven dat ze ongeveer juist zijn.<br />

Met “ongeveer” bedoelen we dan: nauwkeuriger naarmate we dt kleiner nemen.<br />

Dit kunnen we tot uitdrukking brengen door dt naar nul te laten gaan.<br />

Vergelijking (6) kan worden herschreven tot<br />

u(t + dt) − u(t)<br />

dt<br />

= du<br />

dt<br />

= v(t) . (9)<br />

Hierin kan du dus worden geïnterpreteerd als de toename van u gedurende dt.<br />

Met vergelijking (7) kunnen we hetzelfde doen en dan krijgen we<br />

v(t + dt) − v(t)<br />

dt<br />

6<br />

= dv<br />

dt<br />

= a(t) . (10)


Met (9) inplaats van (6) en met (10) inplaats van (7) kunnen we Model 1a dus<br />

iets korter opschrijven. Als we dan ook uitdrukking (3) voor a(t) invullen in<br />

(10), dan is model 1a dus ook te formuleren als<br />

du<br />

dt<br />

= v(t) (9)<br />

dv<br />

dt<br />

x(t) =u(t)+ mg<br />

c<br />

2.3 Simulatie met Modellus<br />

c<br />

= −g − u(t) (11)<br />

m<br />

Model 1b.<br />

. (5)<br />

We benadrukken hier nog eens dat Model 1b alleen maar een andere formulering<br />

van Model 1a is. Het voordeel van 1a is dat het direct het rekenschema<br />

van blz. 6 bevat 2 . Uiteraard doen we deze berekeningen niet met de hand.<br />

Iemand die een klein beetje kan programmeren zou hiervoor gemakkelijk een<br />

computerprogramma kunnen schrijven.<br />

Het programma Modellus is precies voor dit soort modellen gemaakt; de vergelijkingen<br />

van Model 1b kunnen vrijwel precies in deze vorm worden ingevoerd.<br />

Dat gaat als volgt.<br />

Invoeren van het model. Modellus start met een scherm dat een aantal<br />

vensters bevat. We voeren eerst het model in op het venster met het opschrift<br />

“Model”, zie figuur 3.<br />

Figuur 3: Modelvenster<br />

Linksboven in dit venster staat een cursor. Je kunt Model 1b nu in de<br />

2 Degenen die wel eens met het programma IP-Coach hebben gewerkt zullen de regels van<br />

Model 1a gemakkelijk kunnen vertalen in de juiste IP-Coach-instructies<br />

7


volgende vorm intypen:<br />

du<br />

= v<br />

dt<br />

dv c<br />

= −g −<br />

dt m u<br />

x = mg<br />

c +u.<br />

Het meeste wijst zich hierbij vanzelf. Voor de volledigheid noemen we een paar<br />

dingen waarop je moet letten:<br />

• Namen van variabelen kunnen uit méér dan één letter bestaan; bijvoorbeeld<br />

Fz en Fveer. Deze moet je typen zonder spatie er tussen.<br />

• Het product van twee variabelen krijg je door ze te typen met een spatie<br />

er tussen. Als je typt: “m g”, dan maakt Modellus daar onmiddellijk van:<br />

“ m × g ”. In feite is de spatie voor Modellus het vermenigvuldigingssymbool<br />

(maar je mag ook “m*g” typen).<br />

• Het quotiënt van twee getallen maak je met het teken “ / ”.<br />

Alsjeklaarbentkunjeopdeknopinterpret clicken. Wanneer je een typefout<br />

gemaakt mocht hebben geeft Modellus een foutmelding. Maar als alles goed<br />

gegaan is, meldt Modellus Model Interpreted! in de boodschappenbalk onderaan<br />

het venster en ziet het modelscherm er nu uit als in figuur 4.<br />

Figuur 4: Model 1b<br />

Opslaan van het model Op dit moment is het verstandig het model alvast<br />

te bewaren. Kies File Save As... en geef je model een mooie naam, bijvoorbeeld<br />

“model_1b”. Zorg dat er .mdl achter blijft staan. Click OK en constateer<br />

dat in de blauwe balk helemaal bovenin de tekst MODELLUS - UNTITLED veranderd<br />

is in MODELLUS - MODEL 1B. Denk er aan dat Modellus alléén de<br />

eerste acht letters van een naam onthoudt. Dat betekent dat M23456789.MDL<br />

en M23456780.MDL hetzelfde zijn, namelijk M2345678.MDL.<br />

8


Parameterwaarden en begincondities. Na het “interpreteren van het model”<br />

is ook het “Initial Conditions”-venster rechts veranderd; zie figuur 5.<br />

Bij het interpreteren van het ingetypte model heeft Modellus gezien dat er<br />

een aantal constanten in het model voorkomt, waarvan het de waarde nodig<br />

heeft om te kunnen gaan rekenen. Hier zijn dat: m, g en c; deparameters van<br />

het model.<br />

De onderste helft geeft de door Modellus herkende toestandsgrootheden, in dit<br />

geval de snelheid v en de uitrekking u. (Dat juist deze de toestandsgrootheden<br />

zijn haalt Modellus uit de modelvergelijkingen du<br />

dv<br />

dt = ... en dt = ...;het“ziet”<br />

hieraan u en v per tijdstap veranderen en dus functies van t zijn.) Om het<br />

model door te kunnen rekenen moeten de toestandsgrootheden een beginwaarde<br />

(initial value) hebben.<br />

Je kunt nu de waarden van de parameters<br />

en de beginwaarden van de toestandsgrootheden<br />

in dit venster invullen. Neem:<br />

g =9.81<br />

c =5.00<br />

m =0.15<br />

en laat v =0.00 en u =0.00 maar staan.<br />

Denk er aan de decimale punt te gebruiken,<br />

dus niet: 9,81 maar: 9.81.<br />

Model met x als toestandsgrootheid.<br />

Modellus geeft ons niet de mogelijkheid om<br />

met het model van figuur 4 de positie x als<br />

toestandsgrootheid aan te wijzen. Dat is niet<br />

erg, want door de onderste vergelijking kan<br />

x direct uit u en de constanten worden berekend.<br />

Als we per se x als toestandsgrootheid<br />

Figuur 5: Parameters en beginwaarden<br />

bij Model 1b<br />

hadden willen hebben (inplaats van u), dan hadden we het model anders moeten<br />

formuleren, namelijk met een regel dx<br />

dt = ... er in.<br />

Dat is niet zo moeilijk. Verander de eerste regel in<br />

dx<br />

= v<br />

dt<br />

en click op interpret. Modellus accepteert dit, gezien de boodschap<br />

“Model Interpreted!” die nu verschijnt.<br />

Als je nu goed oplet zie je dat nu óók het Initial Conditions-venster veranderd<br />

is. Niet alleen is in het Initial values-gedeelte de u vervangen door x<br />

(zoals verwacht), maar is bovendien een u tevoorschijn gekomen in het Parameters-gedeelte.<br />

Dat betekent dat Modellus de variabele u als constante heeft<br />

geïnterpreteerd inplaats van als functie van t. Dat komt omdat de u uitsluitend<br />

in het rechter lid van de formules van het model voorkomt en daaraan herkent<br />

het blijkbaar de parameters van het model (voor zover het geen toestandsgrootheden<br />

zijn tenminste).<br />

We kunnen dat verhelpen door de derde vergelijking zó te herschrijven dat<br />

u links van het gelijkteken komt te staan:<br />

u = x − mg<br />

c ,<br />

9


dus door u uit te drukken in de overige variabelen en constanten.<br />

Sla nu eventueel dit model op onder de naam Model_1c.mdl en haal Model 1b<br />

weer terug via File Open....<br />

Openen van een grafiek. Nu gaan we de simulatie laten lopen. Om een<br />

grafiek van de positie x als functie van de tijd te krijgen moeten we eerst een<br />

grafiek-venster openen. Kies: Window, en in het menuutje dat dan verschijnt:<br />

New Graph. Daarmee verschijnt er een nieuw venster. Links kun je kiezen wat<br />

je langs de verticale as en wat je langs de horizontale as te zien wilt krijgen.<br />

Kies x voor de variabele langs de verticale as; voor de onafhankelijke variabele<br />

(horizontale as) is normaliter al de t aangegeven; zo niet, verander dat<br />

dan.<br />

Runnen van de simulatie. Toen Modellus<br />

Model interpreted! meldde, gaf het daarmee<br />

te kennen dat het de formules in het model<br />

van figuur 4 heeft kunnen vertalen in een<br />

rekenschema als op blz. 6. De simulatie wordt<br />

nu gestart in het Control-venster (het kleine<br />

venster rechtsboven; zie figuur 6). Met de Options.<br />

. . -knop kan een aantal instellingen worden<br />

veranderd.<br />

• Maak er maar een gewoonte van om<br />

steeds direct de “Angles” van graden<br />

(degrees) in radialen (radians) te veranderen.<br />

Figuur 6: Het control-venster<br />

• Zet de eindtijd (Limits, Max:) die standaard op 20 staat maar op 10.<br />

• Belangrijk is de stapgrootte dt die hier Step: heet. Deze staat op 0.1; laat<br />

dat eerst maar even zo.<br />

Click OK.<br />

De simulatie begint nu door in het Control-venster op het driehoekje linksonder<br />

te clicken. Je zult nu niet veel zien gebeuren. Alleen in het Control-venster<br />

zie je het “tijd-schuifje” geleidelijk naar rechts bewegen en het getal achter<br />

t = ... gestaag veranderen.<br />

Na verloop van tijd is het programma klaar (het schuifje is helemaal rechts<br />

aangekomen en er staat t = 10.00). Click nu in het Graph-venster op Adjust.<br />

Hierdoor worden de assen automatisch zó aangepast dat de grafiek precies in het<br />

venster past. Je kunt het Graph-venster groter maken door één van de zijkanten<br />

met de muis te “slepen”. Maak het maar flink breed.<br />

Je kunt ook direct grafieken van andere variabelen te zien krijgen door in<br />

het Vertical-subvenstertje een andere variabele aan te clicken. Je kunt zelfs meer<br />

grafieken in één plaatje krijgen door tijdens het clicken de Ctrl -toets ingedrukt<br />

te houden.<br />

10


Andere waarden van de parameters. Uiteraard kun je de waarden van<br />

de parameters en de beginwaarden veranderen in het Initial Conditions-venster.<br />

Maar het is ook mogelijk om verschillende gevallen, desgewenst in hetzelfde<br />

plaatje, te zien te krijgen.<br />

Kies daarvoor (bovenin het hoofdvenster) Case, Add. InhetInitial Conditionsvenster<br />

verschijnt dan een nieuw tabelletje onder het kopje “case 2” waarin je<br />

nieuwe waarden kunt aangeven. In het Graph-venster verschijnt nu bovenin,<br />

achter Cases:, een tweede knopje (in dezelfde kleur als het nieuwe lijstje in het<br />

Initial Conditions-venster). Je kunt deze knopjes allebei aan of uit zetten.<br />

Je kunt nu het model opnieuw laten lopen en, met behulp van de Cases:knopjes<br />

in het Graph-venster, één van beide, of allebei de grafieken zichtbaar<br />

maken.<br />

Tabellen Behalve in de vorm van grafieken<br />

kunnen de berekende waarden ook in tabelvorm<br />

gegeven worden. Open een TablevensterdoornaWindow<br />

te kiezen: New Table.<br />

Links in het venster dat dan verschijnt staat<br />

een lijstje met alle in het model gebruikte constanten<br />

en variabelen. Je kunt er daarvan een<br />

aantal kiezen om in de tabel op te nemen:<br />

• Eén keer clicken zet de gekozen variabele<br />

aan of uit;<br />

• Door de muisknop ingedrukt te houden<br />

kun je een heel rijtje variabelen meenemen;<br />

• Als je de Ctrl -toets ingedrukt houdt<br />

kun je een extra variabele opnemen.<br />

Figuur 7: Het Table-venster<br />

Zie figuur 7, waar t en x als variabelen zijn gekozen.<br />

Ook in het Table-venster kun je aangeven welke “Case” je wilt zien (nu echter<br />

maar één tegelijk).<br />

Het aantekeningen-venster. Er is nu nog één venster dat nog niet besproken<br />

is: Het Notes-venster. Hierin kun je allerlei commentaar typen. Het wordt<br />

gewoon bewaard als het model wordt opgeslagen. Handig om later nog eens te<br />

kunnen zien wat je precies gedaan hebt.<br />

Soms wordt het wel een beetje vol op het scherm. Je kunt<br />

(bijna) alle vensters tijdelijk verwijderen met de hide-knop,<br />

rechts bovenin een venster. Zie figuur 8. Als je daar op clickt<br />

verdwijnt het venster.<br />

In het submenu onder Window zie je onderin een lijstje<br />

met alle vensters die in het model aanwezig zijn. De verborgen<br />

vensters hebben een “vinkje” en kunnen weer zichtbaar<br />

worden gemaakt door ze aan te clicken.<br />

11<br />

Figuur 8: De<br />

hide-knop


2.4 Opdrachten.<br />

1. Beschrijf in woorden wat de betekenis is van u(0) = 0 en v(0) = 0.<br />

2. Bereken met het schema van blz. 6 x(0.1) en x(0.2).<br />

3. Voer het model in met de parameters zoals in deze paragraaf. Lees uit de<br />

grafiek (of de tabel af) of de beweging van het voorwerp harmonisch is,<br />

dat wil zeggen:<br />

• een vaste maximale uitwijking (amplitude) heeft; en<br />

• een constante periode, dat is de tijd die verloopt tussen de momenten<br />

dat het voorwerp in dezelfde richting door de evenwichtsstand gaat.<br />

Geef een schatting (met één cijfer achter de komma) van de amplitude en<br />

de periode.<br />

4. Maak ook een tabel van je simulatie met t-waarden en x-waarden. Controleer<br />

je antwoorden van vraag 2.<br />

5. Kies een andere begintoestand door u(0) en/of v(0) te veranderen. Veranderen<br />

de amplitude en de periode? Zo ja, hoe?<br />

6. Kies nu ook andere waarden van de parameters: de veerconstante c en de<br />

massa m (niet allebei tegelijk!).<br />

Als c groter/kleiner wordt gemaakt, worden dan periode en amplitude<br />

groter of kleiner?<br />

Dezelfde vraag bij m.<br />

Opmerking voor de kenners van IP-Coach: Het variëren van de parameters<br />

zoals bij deze opdracht heet bij IP-Coach: “simuleren”. In deze<br />

module wordt het woord simuleren echter gebruikt voor het doorrekenen<br />

van het model volgens een rekenschema zoals op blz. 6.<br />

Schrijf je antwoorden in het Notes-venster (maak het desgewenst groter). Bij<br />

vraag 2 moet je ook tussenresultaten vermelden!<br />

2.5 Oplossingen van de differentiaalvergelijkingen<br />

De vergelijkingen (9) en (11) in Model 1b (zie blz. 7) vormen een zogenaamd<br />

stelsel differentiaalvergelijkingen, dat wil zeggen een stelsel vergelijkingen waaraan<br />

de afgeleiden van de onbekende functies u(t) env(t) moeten voldoen.<br />

In de opdrachten van §2.4 zal het vermoeden bij je zijn opgekomen dat de<br />

positie van het voorwerp als functie van de tijd wel eens een cosinusfunctie zou<br />

kunnen zijn. In feite wordt de algemene vorm van een harmonische functie zelfs<br />

gedefinieerd als<br />

x(t) =Acos(ω0t + ϕ) . (12)<br />

De constanten A, ω0 en ϕ hebben te maken met de amplitude, deperiode en het<br />

tijdstip waarop het eerste maximum wordt bereikt (de fase) van de harmonische<br />

beweging. 3<br />

3 Het is gebruikelijk om voor de constanten in een harmonische functie de griekse letters<br />

omega (ω) en phi (ϕ) te nemen. Wij sluiten ons hier bij deze gewoonte aan.<br />

12


2.6 Opdrachten (vervolg)<br />

7. Gegeven een harmonische functie x(t) met amplitude b en periode T .Het<br />

tijdstip waarop het eerste maximum wordt bereikt is t1.<br />

(a) Druk de constanten A, ω0 en ϕ van (12) uit in b, T en t1;<br />

(b) Controleer je antwoord met behulp van Modellus. Dat wil zeggen:<br />

Maak een model dat uit één vergelijking bestaat, namelijk<br />

x = A × cos(ω0 × t + ϕ)<br />

met voor A, ω0 en ϕ de in (a) gevonden uitdrukkingen. Gebruik<br />

Modellus om grafieken te tekenen voor verschillende waarden van b,<br />

T en t1.<br />

NB: Vergeet niet de degrees te vervangen door radians!<br />

Vermeld je bevindingen in het Notes-venster van je model.<br />

8. Laat zien dat de functie (12) een oplossing is van het stelsel differentiaalvergelijkingen:<br />

(a) Veronderstel dat x(t) gegeven wordt door vergelijking (12) en bepaal<br />

u(t) met behulp van vergelijking (4);<br />

(b) Bereken v(t) als de afgeleide van u(t), zie vergelijking (9) in model 1b<br />

op blz. 7 en vul het resultaat in vergelijking (11) in.<br />

(c) Wat er nu staat moet kloppen voor alle waarden van t. Datbetekent<br />

dat A = ..., ω0 =... en ϕ = ....<br />

Welke van de genoemde constanten liggen nu vast (dwz: zijn uit te<br />

drukken in m, g en c)?<br />

(d) Bepaal ook de dimensie van de vastliggende constante(n). Bedenk<br />

dat m in kg, g in N (ofwel: kg m s −2 )encin N m −1 zijn gegeven.<br />

9. Ga na dat de overige constanten kunnen worden bepaald als x(0) en v(0)<br />

(de begintoestand) gegeven zijn. Bepaal ze voor x(0) = x0 en v(0) = 0.<br />

10. Vergelijk nu de gevonden waarde van T met je antwoorden bij opdracht 3<br />

in §2.4.<br />

11. Andere schrijfwijze voor harmonische functies.<br />

(a) Laat zien dat voor elke A en ϕ functie (12) te schrijven is als:<br />

x(t) =c1cos ω0t + c2 sin ω0t (13)<br />

(gebruik een somformule voor goniometrische functies en druk c1 en<br />

c2 uit in A en ϕ).<br />

(b) (Moeilijker!) Laat nu ook het omgekeerde zien: voor elke gegeven c1<br />

en c2 is er een A>0 en een ϕ te vinden waarmee (13) in de vorm<br />

(12) te schrijven is.<br />

13


3 De gedempte trilling<br />

We hebben nu al iets bereikt. Het model (model 1b) “verklaart” hoe het komt<br />

dat een voorwerp op een veer na een zekere beginuitwijking op en neer zal gaan<br />

bewegen. Toch is dit model nog niet bevredigend omdat je uit ervaring weet dat<br />

deze op-en-neer-gaande beweging een steeds kleinere uitwijking moet krijgen en<br />

dat het voorwerp op den duur tot rust zal moeten komen.<br />

3.1 Wrijvingskrachten<br />

Zoals in §2.2 al is gezegd, zullen we dus het model moeten gaan verfijnen als het<br />

niet genoeg met de werkelijkheid overeenkomt. Op de één of andere manier lijkt<br />

de beweging in werkelijkheid te worden afgeremd en dat wijst in de richting van<br />

een wrijvingskracht.<br />

Deze wrijvingskracht mag in elk geval niet constant zijn. Als dat namelijk zo<br />

zou zijn, dan zou hij ook altijd in dezelfde richting werken en daardoor het voorwerp<br />

niet afremmmen maar juist voortduwen zodra hij in de bewegingsrichting<br />

van het voorwerp werkt.<br />

Bovendien moeten we eisen dat de wrijvingskracht nul is als het voorwerp<br />

stil staat, want anders zou er geen evenwichtstoestand meer kunnen bestaan.<br />

Het eenvoudigste is dan om te veronderstellen dat de vrijvingskracht evenredig<br />

is met de snelheid, en tegengesteld gericht:<br />

Fw = −bv. (14)<br />

Hierin is b een positieve constante die we de dempingsconstante zullen noemen.<br />

Welke snelheid?<br />

Tot op dit moment maakte het nog niet uit over welke snelheid we het hebben.<br />

De snelheid van het voorwerp, dx<br />

du<br />

dt , is gelijk aan dt , dat is de snelheid waarmee<br />

de veer langer wordt. Voorlopig blijft dat nog even zo, maar verderop zal “het<br />

voorwerp” de carosserie van een auto zijn en “de veer” het verenstelsel van de<br />

auto. In dat geval zal de onderkant van de veer aan de over de weg bewegende<br />

wielen zijn bevestigd. Bij een volkomen gladde weg kunnen we dan nog aannemen<br />

dat de verticale snelheid van de onderkant van de veer nul is, maar zodra<br />

de auto over een hobbel gaat, zal ook de onderkant van de vering een verticale<br />

niet meer gelijk zal<br />

beweging gaan uitvoeren. Je kunt je voorstellen dat dan dx<br />

dt<br />

zijn aan du<br />

dt .<br />

In elk geval hebben we te maken met twee verschillende wrijvingskrachten:<br />

• De luchtweerstand van het voorwerp. In formule (14) moeten we dan dx<br />

dt<br />

voor v nemen;<br />

• De demping van de veer. Hiervoor moeten we in formule (14) voor de<br />

snelheid du<br />

dt invullen.<br />

We zullen de luchtweerstand van het voorwerp verwaarlozen ten opzichte van<br />

de demping van de veer. Dat betekent dat we vanaf nu zullen veronderstellen:<br />

De snelheid v(t) is de snelheid waarmee de veer langer wordt: v(t) =u ′ (t).<br />

14


000000000<br />

111111111<br />

000000000<br />

111111111<br />

Figuur 9: Veer met demping<br />

De gedempte veer is in figuur 9 gesymboliseerd. Stel je maar een veer voor die in<br />

een (lekkende) zuiger zit opgesloten. Ouderwetse brommers hebben inderdaad<br />

een dergelijke vering.<br />

Bewegingsvergelijkingen; model 2<br />

Het model voor de gedempte trilling is een uitbreiding van Model 1a op blz. 6.<br />

We moeten de wrijvingskracht van vergelijking (14) optellen bij de totale kracht<br />

Fr in vergelijking (8). We krijgen dan:<br />

Fveer(t) =−cu(t) (1)<br />

Fz = −mg (2)<br />

Fw(t) =−bv(t) (14)<br />

Fr(t) =Fz+Fveer(t)+Fw<br />

(15)<br />

a(t) = Fr(t)<br />

m<br />

(3)<br />

dv<br />

= a(t)<br />

dt<br />

(10)<br />

du<br />

= v(t)<br />

dt<br />

x(t)=u(t)+<br />

(9)<br />

mg<br />

.<br />

c<br />

(5)<br />

Model 2a.<br />

We hebben hierin de oorpronkelijke vergelijkingen (6) en (7) herschreven volgens<br />

(9) en (10) op blz. 6.<br />

3.2 Opdrachten (vervolg)<br />

12. Vereenvoudig Model 2a tot een Model 2b, op dezelfde manier als op blz. 7<br />

Model 1a tot 1b is vereenvoudigd.<br />

15


13. Simuleer Model 2b met Modellus.<br />

Dit gaat het eenvoudigst door je Model 1b te openen, eventueel overbodige<br />

cases te verwijderen, in het Model-venster het antwoord van opdracht 12 te<br />

verwerken en op Interpret te clicken. Merk op dat in het Initial Conditionsvenster<br />

de parameter b verschenen is. De waarde van b staat aanvankelijk<br />

op 0; als je deze niet verandert en het model een keer runt, zal blijken<br />

dat je precies hetzelfde krijgt als bij model 1b. Controleer dat (herstel zo<br />

nodig de waarden van g, c en m, blz. 9).<br />

Save as... met de naam MODEL 2B.<br />

14. Maak een nieuwe case met b =0.1 en run het model.<br />

(a) Vergelijk de periode van de gedempte trilling met die van de ongedempte<br />

trilling. Maak zo nodig de tijdstap (via Options. . . in het<br />

Control-venster) kleiner om een nauwkeuriger benadering te krijgen.<br />

Concludeer niet te snel dat de periode wel hetzelfde gebleven zal zijn.<br />

Zoom in rond een snijpunt van de grafiek van x(t) metdet-as om<br />

het nauwkeurig te kunnen bekijken.<br />

(b) Maak een lijstje van de x-waarden van achtereenvolgende maxima.<br />

Dit lijstje gaat u bij volgende opdrachten gebruiken (schrijf de waardenopinhetNotes-venster).<br />

(c) Maak een paar nieuwe Cases met grotere waarden van b (tot ongeveer<br />

b = 2.0). Wat gebeurt er met de periode en de amplitude?<br />

Vanaf welke waarde van b kun je eigenlijk niet meer spreken van een<br />

“gedempte trilling”?<br />

15. Maak nu ook een grafiek (met b =0.1) waarbij je x langs de horizontale<br />

as en v langs de verticale as uitzet. Adjust en run opnieuw om te zien<br />

hoe het plaatje tot stand komt. Interpreteer wat je te zien krijgt en zet je<br />

bevindingen in het Notes-venster.<br />

4 De rotatieslinger<br />

4.1 Beschrijving<br />

Voor nauwkeurige metingen aan een (gedempte)<br />

slinger is een massa-veersysteem zoals<br />

hierboven beschreven minder geschikt.<br />

Voor een goed meetbare periode T is een in<br />

verhouding tot de massa m vrij slappe veer<br />

nodig. In dat geval zal de op de veer rustende<br />

massa gemakkelijk kunnen gaan “kiepen”, de<br />

veer wordt gedurende de beweging niet alleen<br />

ingedrukt of uitgerekt, maar zal ook gaan buigen<br />

(torderen). Je zult je kunnen voorstellen<br />

dat hierdoor een heel ander bewegingspatroon<br />

van het voorwerp ontstaat. Bij zo’n veer is bovendien<br />

de dempingsconstante b niet gemakkelijk<br />

nauwkeurig genoeg te variëren.<br />

16<br />

θ<br />

Figuur 10: Rotatieslinger


Gelukkig is er een andere mogelijkheid.<br />

We kunnen gebruik maken van een rotatieslinger die in figuur 10 schematisch<br />

is weergegeven. Je kunt hierbij denken aan de onrust in een mechanische klok.<br />

De rotatieslinger bestaat uit een ronde schijf, waaraan in het middelpunt een<br />

as bevestigd is. De schijf kan vrijwel wrijvingsloos om deze as ronddraaien. Aan<br />

de schijf is een torsieveer bevestigd; dit is een veer die bestaat uit een opgerolde<br />

strip metaal, die een kracht (preciezer: een krachtmoment) gaat uitoefenen als<br />

hij, vanuit de evenwichtsstand, verder wordt opgerold of juist uitgerold.<br />

Geef je de schijf een uitwijking dan zal de torsieveer de schijf in beweging<br />

zetten. De veer zal de schijf proberen terug te draaien naar de evenwichtsstand<br />

en zal dit met een grotere kracht doen naarmate de uitwijking groter is. Op<br />

dezelfde manier als op blz. 2 e.v. kunnen we nu beredeneren dat de schijf na<br />

loslaten een heen en weer draaiende beweging zal gaan maken.<br />

Het voordeel van zo’n rotatieslinger boven een lineair massa-veer-systeem<br />

zal duidelijk zijn. In de eerste plaats kan de schijf maar één soort beweging<br />

maken: draaien. Verder is het mogelijk door de as goed te lageren en de schijf<br />

mooi glad te maken de wrijvingsweerstand zeer klein te maken (dat is ook<br />

de reden dat dergelijke rotatieslingers in klokken worden (werden) gebruikt.<br />

Tenslotte is het mogelijk, bijvoorbeeld met een elektromagneet, heel nauwkeurig<br />

een wrijvingskracht in te stellen zodat ook gedempte trillingen goed met een<br />

dergelijk systeem kunnen worden bestudeerd.<br />

4.2 Rotatie en lineaire beweging<br />

In veel opzichten kunnen rotaties op dezelfde manier als lineaire bewegingen<br />

worden beschreven. De belangrijkste formule voor een lineaire beweging is de<br />

tweede wet van Newton: F = ma. Voor de rotatie van een lichaam om een<br />

vaste as hebben we een vergelijkbare uitdrukking:<br />

M = Iα. (16)<br />

Hierin is M het moment (“kracht × arm”) dat nodig is om een voorwerp met<br />

traagheidsmoment I een hoekversnelling van α radialen per s 2 te geven.<br />

Traagheidsmoment en massa<br />

Het traagheidsmoment is een eigenschap van een lichaam dat voor de rotatie<br />

(om een bepaalde as) dezelfde rol speelt als de massa bij een rechtlijnige beweging.<br />

Zoals de massa aangeeft hoeveel moeite het kost een lichaam in een<br />

rechtlijnige beweging te krijgen —of een bewegend lichaam stil te zetten— geeft<br />

het traagheidsmoment aan hoeveel moeite het kost een lichaam aan het tollen te<br />

krijgen. De massa van het voorwerp speelt uiteraard een rol: een zware schijf is<br />

moeilijker aan het roteren te krijgen dan een lichte. Verder zal de diameter van<br />

de schijf een rol spelen. Bij dezelfde massa zal een kleine dikke schijf een kleiner<br />

traagheidsmoment hebben dan een grote dunne. Evenzo is de verdeling van de<br />

massa van belang. Als de massa voornamelijk aan de buitenrand geconcentreerd<br />

is (vliegwiel) is het traagheidsmoment groter dan wanneer de massa vooral in<br />

de buurt van de as zit. Tenslotte speelt ook de plaats van de rotatieas een rol.<br />

Een wiel met een excentrische as zal een ander traagheidsmoment hebben dan<br />

een wiel waarbij de as precies door het middelpunt gaat. Een paar voorbeelden:<br />

17


• Traagheidsmoment van een homogene cirkelvormige schijf met massa m<br />

en straal R; as door het middelpunt: 1<br />

2mR2 ;<br />

• Idem, maar met de totale massa geconcentreerd in de “velg” (vliegwiel):<br />

mR2 ;<br />

• Traagheidsmoment van een massieve bol met straal R en massa m; rotatieas<br />

door het middelpunt: 2<br />

5 mR2 .<br />

De torsieveer en de lineaire veer<br />

De veerkracht van de lineaire veer hebben we beschreven in de wet van Hooke,<br />

vergelijking (1): Fveer = −cu. Voor de torsieveer geldt een analoge formule<br />

voor het verband tussen het veermoment en de hoekverdraaiing θ (zie figuur 10:<br />

met γ in N m rad −1 de veerconstante.<br />

Wrijvingsweerstand bij rotatie<br />

Mveer = −γθ, (17)<br />

Naar analogie van de gedempte lineaire veer (zie vergelijking (14)), waarbij de<br />

wrijvingsweerstand evenredig is verondersteld met de snelheid, veronderstellen<br />

we hier dat er een wrijvingsmoment is dat evenredig is met de hoeksnelheid<br />

ω = dθ<br />

dt :<br />

Mw = −βω. (18)<br />

NB Pas op dat je het hier voor de hoeksnelheid gebruikte symbool ω niet<br />

verwart met de ω0 uit vergelijking (12). 4<br />

Analogie lineaire veer en torsieveer<br />

In het volgende tabelletje zetten we de verschillende overeenkomstige grootheden<br />

voor een rechtlijnige beweging (lineaire veer) en een rotatie (torsieveer) naast<br />

elkaar.<br />

Rechtlijnige beweging Rotatie<br />

Grootheid symbool eenheid Grootheid symbool eenheid<br />

Afstand x m hoekverdraaiing θ rad<br />

Snelheid v = dx<br />

dt ms−1 hoeksnelheid ω = dθ<br />

dt<br />

Versnelling a = dv<br />

dt ms−2 hoekversnelling α = dω<br />

dt<br />

rad s −1<br />

rad s −2<br />

Massa m kg traagheidsmoment I kg m 2<br />

Kracht F N moment M Nm<br />

Veerconstante c Nm −1 veerconstante γ N m rad −1<br />

Dempingsconst. b Nsm −1 dempingsconst. β N m s rad −1<br />

4 In feite is het gebruik van hetzelfde symbool voor deze twee ogenschijnlijk nogal verschillende<br />

begrippen niet toevallig. Als x(t) de horizontale coördinaat is van een punt dat op een<br />

afstand A van de as éénparig met hoeksnelheid ω ronddraait, dan wordt deze gegeven door:<br />

x(t) =Acos(ωt + ϕ), vergelijk (12).<br />

18


4.3 De bewegingsvergelijkingen<br />

Met behulp van het voorgaande kunnen we het model voor de torsieslinger nu<br />

direct overschrijven van model 2a op blz. 15. Het enige waarin het nu volgende<br />

model daarmee verschilt, is dat nu de zwaartekracht geen rol speelt (omdat we<br />

verondersteld hebben dat de as waar de schijf om draait precies in het midden<br />

zit). Bovendien is de hoekverdraaiing van de veer precies gelijk aan die van de<br />

schijf. We krijgen dan:<br />

Mveer(t) =−γθ(t) (17)<br />

Mw(t) =−βω(t) (18)<br />

Mr(t) =Mveer(t)+Mw(t) (19)<br />

α(t) = Mr(t)<br />

I<br />

(16)<br />

dω<br />

= α(t)<br />

dt<br />

(20)<br />

dθ<br />

= ω(t)<br />

dt<br />

(21)<br />

Model 3a.<br />

Op dezelfde manier als waarop je in opdracht 12 model 2a eenvoudiger is opgeschreven<br />

kunnen we model 3a opschrijven als:<br />

dω<br />

dt<br />

β γ<br />

= − ω(t) − θ(t)<br />

I I<br />

(22)<br />

dθ<br />

= ω(t)<br />

dt<br />

(21)<br />

Model 3b.<br />

We verdraaien nu op tijdstip t = 0 de schijf over θ0 radialen en laten dan los.<br />

Dus we hebben de beginvoorwaarde: θ(0) = θ0, ω(0) = 0. Door invullen in<br />

de vergelijkingen zou je kunnen controleren (veel werk!) dat de oplossing dan<br />

wordt gegeven door<br />

θ(t) =θ0e −βdt cos(ωdt) , (23)<br />

met:<br />

βd = β<br />

2I<br />

en ωd =<br />

<br />

γ<br />

I −<br />

2 β<br />

.<br />

2I<br />

We zien dat deze oplossing bestaat uit het product van twee factoren:<br />

• θ0 e −βdt cos(ωdt): een harmonische trilling met frequentie ωd<br />

• een dempingsfactor e −βdt die er voor zorgt dat de amplitude van de trilling<br />

geleidelijk aan afneemt.<br />

Als β = 0 (geen demping), dan is βd =0,ωd= γ<br />

I =ω0 en vereenvoudigt (23)<br />

tot de harmonische functie (zie formule (12) op blz. 12):<br />

θ(t) =θ0cos(ω0t) . (24)<br />

19


Vergelijk de uitdrukking voor ω0 met je antwoorden bij opdracht 8.<br />

In figuur 11 is de grafiek van θ(t) getekend, samen met een grafiek van de<br />

dempingsfactor. We zien dat de toppen van de grafiek van θ(t) precies op de<br />

grafiek van de functie θ0e−βdt liggen. Een plaatje zoals figuur 11 heb je —als<br />

het goed is— al gezien bij opdracht 14.<br />

θ0<br />

θ0e −βdt<br />

θ(t)<br />

Figuur 11: Gedempte trilling; θ(t) is de hoekverdraaiing als functie van de tijd<br />

Merk op dat de oplossing (23) alleen betekenis heeft als de dempingsconstante<br />

β niet al te groot is. Bij een te grote waarde van β wordt de uitdrukking<br />

voor ωd namelijk een wortel uit een negatief getal.<br />

4.4 Bepaling van de dempingsfactor β; het logaritmisch<br />

decrement<br />

In figuur 11 zien we dat de toppen van de grafiek van θ(t) precies op dezelfde<br />

afstand van elkaar liggen. Dit is dus precies de tijd die de schijf nodig heeft om<br />

van de ene uiterste stand (linksom) in de volgende uiterste stand (ook linksom)<br />

te komen. Deze tijd (Td) noemenwedeperiode van de gedempte trilling (deze<br />

is dus precies de periode van de harmonische functie θ0 cos(ωdt), de gedempte<br />

trilling (23) waaruit de dempingsfactor e −βdt is weggelaten).<br />

Op de tijdstippen t0 =0,t1=Td, t2=2Td,... is dus cos(ωdt) =1,zodat:<br />

Td = 2π<br />

ωd<br />

ofwel ωd = 2π<br />

. (25)<br />

De achtereenvolgende maximale hoekverdraaiingen noemen we θ1,θ2,..., zie het<br />

linkerplaatje in figuur 12. Als tk een tijdstip is waarop θ(t) hetmaximumθk<br />

heeft, dan is θk = θ0e −βdtk , zodat we voor de verhouding tussen opvolgende<br />

uiterste standen kunnen schrijven:<br />

θk<br />

θk+1<br />

= θ0e −βdtk<br />

Td<br />

θ0e −βdtk+1 = e−βd(tk−tk+1) = e βdTd .<br />

20


θ1<br />

θ2<br />

θ3<br />

θ4 θ5<br />

Td Td Td Td<br />

ln θ1<br />

ln θ2<br />

ln θ3<br />

ln θ4<br />

t1 t2 t3 t4<br />

Figuur 12: Gedempte trilling; logaritmisch decrement<br />

We nemen hiervan de natuurlijke logaritme en definiëren daarmee het logaritmisch<br />

decrement d:<br />

<br />

θk<br />

d =ln =lnθk−ln θk+1 = βdTd . (26)<br />

θk+1<br />

Als model 3b een juiste beschrijving van de werkelijkheid is, dan moet dus de<br />

hierboven gedefinieerde d constant zijn (zie het rechterplaatje in figuur 12). Dat<br />

betekent dat je θ0,θ1,θ2,... moet bepalen, θ0 − θ1, θ1−θ2, θ2−θ3, ... moet<br />

berekenen en kijken of er inderdaad steeds hetzelfde uitkomt. Uit de gevonden<br />

waarde van d is dan met behulp van (26) βd gemakkelijk te bepalen (als je Td<br />

tenminste ook kent).<br />

5 Gedwongen trillingen<br />

5.1 De gedwongen rotatieslinger en de auto op een hobbelige<br />

weg<br />

In §4 was het ene uiteinde van de torsieveer (zie figuur 10) aan de schijf bevestigd,<br />

terwijl we stilzwijgend hebben aangenomen dat het andere uiteinde ergens<br />

aan vast zit.<br />

We zullen nu dat andere uiteinde losmaken om het een heen-en-weer-gaande<br />

beweging te kunnen laten maken, zie figuur 13a. We zullen zien dat de frequentie<br />

van deze heen-en-weer-gaande beweging van grote invloed is op het uiteindelijke<br />

bewegingspatroon van de schijf, en tijdens het prakticum zul je dat precies<br />

gaan onderzoeken. We noemen zo’n door een invloed van buiten aangedreven<br />

beweging een gedwongen trilling.<br />

Een vergelijkbare situatie treedt op bij een auto die over een hobbelige weg<br />

rijdt. In figuur 13b hebben we dat zeer schematisch weergegeven. Als de auto<br />

over de weg rijdt zal het wiel op en neer gaan als de weg niet helemaal vlak<br />

is. Door de veer zal deze verticale wielbeweging worden doorgegeven aan “het<br />

voorwerp”.<br />

Een andere vorm van een gedwongen trilling kun je makkelijk thuis uitproberen.<br />

Knoop een tamelijk zwaar voorwerp aan een niet al te kort stuk elastiek.<br />

21


θ<br />

(a)<br />

000000000000<br />

111111111111<br />

000000000000<br />

111111111111<br />

Figuur 13: Gedwongen trillingen: (a) rotatieslinger, (b) rollend voorwerp met<br />

vering.<br />

Houd het andere uiteinde van het elastiek vast en laat het voorwerp stil naar<br />

beneden hangen. Als je nu je hand regelmatig op en neer beweegt gaat het<br />

voorwerp natuurlijk óók op en neer. Door de snelheid waarmee je je hand op en<br />

neer beweegt te variëren kun je ervoor zorgen dat het voorwerp bijna stil blijft<br />

hangen, òf juist met een veel grotere uitwijking dan die van je hand op en neer<br />

gaat bewegen.<br />

5.2 Bewegingsvergelijking van de gedwongen rotatieslinger<br />

We gaan Model 3, de vrije gedempte rotatieslinger (zie blz. 19) uitbreiden met<br />

het effect van een (harmonische) aandrijving. Stel dat we het losse uiteinde van<br />

de veer laten bewegen met een hoekverdraaiing<br />

θa(t) =Aasin ωat,<br />

dus een heen-en-weer-gaande verdraaiing van maximaal A radialen en periode<br />

Ta = 2π<br />

.<br />

Wat is nu het extra moment dat door deze aandrijving op de schijf wordt uitgeoefend<br />

(en dus bij de Mr(t) van vergelijking (19) moet worden opgeteld)?<br />

Welnu, de hoeksnelheid van deze aandrijving is<br />

dθa(t)<br />

dt = Aaωa cos ωat.<br />

De hoekversnelling is hiervan weer de afgeleide, zodat<br />

ωa<br />

(b)<br />

αa(t) =−Aaω 2 a sin ωat. (27)<br />

Met behulp van formule (16) van blz. 17 kunnen we dus schrijven:<br />

Ma(t) =Iαa(t)<br />

en dit kan zó bij (19) worden opgeteld om het totale moment Mr(t) tekrijgen.<br />

Het nieuwe model voor de aangedreven rotatieslinger is dus een uitbreiding van<br />

model 3:<br />

22


dω β γ<br />

= − ω(t) −<br />

dt I I θ(t) − Aaω 2 a sin ωat (28)<br />

dθ<br />

= ω(t)<br />

dt<br />

(21)<br />

Model 4.<br />

In deze vorm kan het nieuwe model gemakkelijk in Modellus worden ingevoerd.<br />

Het kan nog wat korter worden opgeschreven door vergelijking (21) in te vullen<br />

in (28), en daarbij te bedenken dat uit (21) volgt dat<br />

zodat we krijgen:<br />

d2θ β<br />

+<br />

dt2 I<br />

dω<br />

dt<br />

= d<br />

dt<br />

dθ<br />

dt<br />

<br />

= d2θ .<br />

dt2 dθ γ<br />

+<br />

dt I θ(t) =−Aaω 2 asin ωat. (29)<br />

Deze vergelijking is niet zo handig voor Modellus omdat dit programma geen<br />

tweede orde afgeleiden kent (in Modellus moet je dat dus doen via de “hulpfunctie”<br />

ω(t), zoals in Model 4). Aan vergelijking (29) kun je echter wèl een<br />

paar dingen over de oplossing θ(t) vrij gemakkelijk zien.<br />

Als we voor het rechterlid inplaats van −Aω 2 a sin ωat gewoon 0 nemen (geen<br />

aandrijving):<br />

d2θ β<br />

+<br />

dt2 I<br />

dθ γ<br />

+ θ(t) = 0 (30)<br />

dt I<br />

hebben we de bewegingsvergelijking voor de vrije (gedempte) rotatieslinger. We<br />

noemen (30) de homogene vergelijking, behorend bij de (inhomogene) vergelijking<br />

(29).<br />

Stel dat de functie θhom(t) een oplossing is van de homogene vergelijking,<br />

dat wil zeggen dat θhom(t) voor alle t voldoet aan<br />

d 2 θhom<br />

dt 2<br />

β<br />

+<br />

I<br />

dθhom<br />

dt<br />

+ γ<br />

I θhom(t) =0.<br />

We noemen θhom(t) daarom wel een homogene oplossing van (29).<br />

Als bovendien de functie θpart(t) een oplossing is van de inhomogene vergelijking<br />

(29), dat wil zeggen dat θpart(t) voor alle t voldoet aan<br />

dan zal de functie<br />

d 2 θpart<br />

dt 2<br />

β<br />

+<br />

I<br />

dθpart<br />

dt<br />

γ<br />

+<br />

I θpart(t) =−Aaω 2 asin ωat,<br />

θ(t) =θhom(t)+θpart(t)<br />

óók een oplossing van (29) zijn. Bedenk hierbij dat<br />

dθ<br />

dt<br />

d<br />

<br />

<br />

= θhom(t)+θpart(t) =<br />

dt<br />

dθhom(t)<br />

+<br />

dt<br />

dθhom(t)<br />

.<br />

dt<br />

Nu hebben we bij model 3 al gezien dat een homogene oplossing van de vorm<br />

θhom(t) =θ0e −βdt cos(ωdt + ϕ1)<br />

23


is, zie formule (23). Vanwege de e-macht die hierin voorkomt dooft deze oplossing<br />

dus op den duur uit. Iets minder makkelijk is te zien dat een functie van<br />

de vorm<br />

θpart(t) =Arcos(ωat + ϕ2) (31)<br />

een oplossing van de inhomogene vergelijking is. 5 Dit is een harmonische functie,<br />

met dezelfde periode als de aandrijving.<br />

Samengevat: De oplossing van (29) is de som van een gedempte vrije trilling<br />

en een harmonische trilling met dezelfde periode als de aandrijving. Zie<br />

figuur 14.<br />

θhom(t)<br />

θpart(t)<br />

Figuur 14: Gedwongen trilling: Homogene en particuliere oplossing<br />

In figuur 15 is de oplossing van de gedwongen trilling getekend. Je ziet dat de<br />

schijf in het begin “een beetje gek doet” (de amplitude wordt eerst wat groter en<br />

dan weer wat kleiner), maar later wordt het bewegingspatroon mooi regelmatig.<br />

Na een aanloopverschijnsel, waarin de beweging nog veel grilliger kan verlopen<br />

Figuur 15: Gedwongen trillingen: θ(t) =θhom(t)+θpart(t).<br />

5Als je dit (door invullen in (29)) zou willen controleren, moet je de resultaten van opdracht<br />

11 gebruiken.<br />

24


dan in figuur 15, gaat de rotatieslinger uiteindelijk een harmonische trilling<br />

uitvoeren met dezelfde frequentie als de aandrijving.<br />

In figuur 16 zijn de aandrijving en de beweging van de rotatieslinger in één<br />

plaatje getekend. Hieraan is duidelijk te zien dat de frequentie (en dus ook de<br />

θ(t)<br />

aandrijving: Aa sin ωat<br />

Figuur 16: Gedwongen trilling: Aandrijving en hoekverdraaiing van de rotatieslinger<br />

periode T ) van de trilling van de rotatieslinger op de duur gelijk wordt aan die<br />

van de aandrijving. In dit plaatje is ook te zien dat de rotatieslinger achterloopt<br />

(of vóórloopt, het is maar net hoe je het bekijkt) op de aandrijving. We noemen<br />

dat de faseverschuiving van de gedwongen trilling, dat is de ϕ2 in formule (31).<br />

Deze faseverschuiving hangt af van de dempingsfactor β en de frequentie van de<br />

aandrijving ωa. We zullen er hier verder niet op in gaan.<br />

5.3 Resonantie<br />

In figuur 16 is bovendien te zien dat de uiteindelijke amplitude Ar van de gedwongen<br />

trilling, zie formule (31), niet gelijk is aan de amplitude van de aandrijving<br />

(Aa). De Ar uit (31) wordt gegeven door de nogal ingewikkelde formule<br />

(die we niet zullen afleiden)<br />

AaI<br />

Ar = <br />

(ω2 aI − γ)2 + β2ω 2 . (32)<br />

a<br />

Het blijkt dat de verhouding Ar<br />

afhankelijk is van de aandrijf-frequentie ωa.<br />

Aa<br />

We zullen nu gaan onderzoeken hoe Ar<br />

Aa van ωa afhangt.<br />

In figuur 17 is voor verschillende waarden van de dempingsfactor β de grafiek<br />

van deze amplitude-verhouding als functie van ωa (bij gelijke γ en I) getekend.<br />

(Zo’n plaatje heet de amplitudekarakteristiek van de gedwongen trilling.) We<br />

zien dat de amplitude van de resulterende trilling een maximum heeft. De<br />

waarde van de aandrijf-frequentie ωa waarvoor het maximum wordt bereikt<br />

heet resonantiefrequentie. We geven deze aan met het symbool ωR.<br />

Aan de figuur zien we ook dat het maximum steeds hoger komt te liggen<br />

naarmate β kleiner is. Bij een niet al te grote dempingsfactor is de resonantieamplitude<br />

aanzienlijk groter dan de amplitude van de aandrijving.<br />

25


Ar<br />

Aa<br />

1<br />

0<br />

β groot<br />

ω0<br />

β klein<br />

Figuur 17: Gedwongen trilling: Amplitudekarakteristiek<br />

In figuur 17 is tevens de waarde van ω0 aangegeven, dat is de frequentie van<br />

de ongedempte rotatieslinger: <br />

γ<br />

ω0 =<br />

I ,<br />

zie blz. 19. We zien dat ωR steeds dichter bij ω0 komt te liggen naarmate β<br />

kleiner wordt. Er geldt:<br />

<br />

ωR = ω2 β2<br />

0 − .<br />

2I2 (33)<br />

26<br />

ωa

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!